§2解析函数的孤立奇点解读

§2 解析函数的孤立奇点 一、教学目标或要求：

掌握解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：

基本内容：解析函数的孤立奇点的分类 许瓦兹引理的叙述和证明 重点：解析函数的孤立奇点的分类 难点: 许瓦兹引理的叙述和证明 三、教学手段与方法： 讲授、练习

四、思考题、讨论题、作业与练习： 4－7

§2 解析函数的孤立奇点 1. 孤立奇点的三种类型

若为

的孤立奇点，则

在点的某去心邻域

内可以展开成

Laurent 展式 。

定义5.3 设点a 为函数)(z f 的孤立奇点：

(1)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分为零（即Laurent 展式不含负幂项），则称点a 为)(z f 的可去奇点；

(2)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有有限多项，设为

0,)

()(1

1

)1(≠-++-+-------m m m m m c a z c a z c a z c 则称点a 为)(z f 的m 级（阶）极点；

(3)若)(z f 在点a 的罗朗级数的主要部分有无限多项，则称点a 为)(z f 的本性奇

点．

依定义，点0=z 为z z sin 的可去奇点，点0=z 为2e z

z

的二级极点，点1=z 为z z -1sin

的本性奇点． 2. 可去奇点

定理5.3 若点a 为)(z f 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的： (1) 在点 的主要部分为0；

(2)

(3) 在点 的某去心邻域内有界。

证

由于

且

在

内解析，从而连续，故 。

由于

,故

取 ，则

,

即得。

设

，

考虑

在 的

主要部分

则

对 成立，故当 时， 即得。

3.Schwarz 引理

如果函数)(z f 在单位圆1||

),1|(|1|)(|,0)0(<<=z z f f

则在单位圆1||

如果上式等号成立，或在圆1||

)1|(|)(<=z z e z f ia ，其中a 为一实常数。

证 设

，令

由于在

内,作为和函数 是解析,又当

时，

，在

时，

，故在内,

,于是在 内,

是解析的。任取

,若满足条件

,则根据最大模原理,

令

,则

,从而

,又

，即

。由于

时

，故

，又，故可统一成（1）的

形式。当3)或4)成立时,由最大模定理 在 或0点

取到

了最大模，因此 常数 ，使

，即

，故

。

4. 极点 定理

5.4 若

以为孤立奇点,则下列三个条件是等价的:

(1) 在点的主要部分为；

(2) 在点的某去心邻域内能表示成，其中在点的

邻域内解析且；

(3) 以为级零点(可去奇点要当作解析点看，只要令

。

证“”在点的某去心邻域、内有

其中

在的邻域上解析，且

在的某去心邻域中，，其中在

内解析且，故在点连续，从而存在中的某一个邻域，

其上，从而在上解析，故由可去

奇点的特征知，为的可去奇点，令，则以为级零点。

若以为级零，则在的某个邻域内，

，其中在上解析,且,于是存在的某个邻域

,其上,于是在上解析,故有Taylor展式:

故

定理5.5的孤立奇点为极点.

证根据定理5.4，以为极点

以零点。

例求的奇点,并确定其类型。

解的奇点为，由于以为一级零点,

以为二级零点,故以为一级极点，以为二级极点。

例求的全部有限奇点。并确定其类型。

解的全部有限奇点为,由于为的聚点，

故为的非孤立奇点。现考虑为的几级零点。

故为的一级零点，从而为的一级极点。

5.本性奇点

定理5.6的孤立奇点为本性奇点

，

即不存在。

证由于的孤立奇点为可去奇点为为极点

，即得。

定理 5.7若为的孤立奇点,且在的充分小的去心邻域内不为0,则也为的本性奇点。

证令则由为的孤立奇点，且在的充分小的可去邻域内

知为的孤立奇点。若为的可去奇点，则

；若则此时为的极点,与已知矛盾；若,则,此时为的可去奇点, 也与已知矛盾。

若为的极点,则,从而，即为的可去奇点，与已知矛盾。综合知，只能是的本性奇点。

例 为的本性奇点，因为不存在。

6．毕卡定理

定理 5.8 如果点a 为)(z f 的本性奇点，则对于任何常数A ，不管它是有限数还是无穷，都有一个收敛于a 的点列}{n z ，使得

A z f n =)(lim .

换句话说，在本性奇点的无论怎样小的去心邻域内，函数)(z f 可以取任意接近于预先给定的任何数值（有限的或无穷的）。

证 “

” 当

时,由于为

的本性奇点，故一定不是

的可去

奇点,由定理 5.3，在的任何一个去心邻域内无界，对任意的

都存在

则

当

时,若在的任意小去心邻域内都有某一点使

,则结论已

得。若的充分小去心邻域

内,令则在

内解析。由于为

的本性奇点,也为的本性奇点,由定理 5.7,为的本性奇点，类似于中的证明由不是

的可去奇点知，存在

点列

从而

根据已知条件得

不存在，由定理5.6即得。

例 设1)e 1(5)(-+=z z f ，试求)(z f 在复平面上的奇点，并判定其类别． 解 首先，求)(z f 的奇点．)(z f 的奇点出自方程0e 1=+z 的解．解方程得)1(Ln -=z ,2,1,0,i π)12(±±=+=k k

若设),2,1,0(i π)12( ±±=+=k k z k ，则易知k z 为)(z f 的孤立奇点．另外，因

0)e 1(,0)

e 1(≠'

+=+==k

k

z z z z z z

所以，由零点的定义知k z 为z e 1+的一级零点．从而知),2,1,0( ±±=k z k 均为

)(z f 的一级极点．

??

∞

+∞-+++-=t t

t t t t x x x d 12

)12,11(Ra d )sin ,(cos Ra 2222π

20

例 求出1sinz -的全部零点和级别。

解：由1sinz -=0 解此方程.即 i l l iz

iz 2--=1

即 iz e -iz

e -zi=0

两边同乘以iz e 得iz e -2i iz

e -1=0 即 ()

02

=-i

e

iz

，从而有iz e =I

令iy x z +=即有()

i e

iy x i =+ , 即 i e y ix =-，从而有 o y =，

22π

π+

=k x 。

故

(2

2=+

=k k z k π

π，±1，…)为sin 1-z 的全部零点。

又

(sin 0cos )1'

==-=zk

z z z

()1sinz 1sinz zk z '

'-=-=-=，

因此，

(2

2=+

=k k z k π

π，±1，…)是)(z f 的二级零点。

例 求函数)(z f ＝

πk z k 1

=

(k=±1,…) 0=z

是)(z f 的奇点，其中k z 是

孤立奇点，因为

=

→z

1sin 1lim

k

z z ∞，且()ππk k z z z k

111cos

.1

1sin 2'

-=-=??? ?

?≠0 故

πk z k 1=

是)(z f 的一级极点。又01lim lim k ==∞→∞→πk z k k ,因此，

0=z 是{}k z 的聚点, 故0=z 是非孤立零点。

课后讨论

1.到目前为止，我们学过了解析函数的哪些表达式？

2.何谓解析函数的零点？零点是否必是解析点？

https://www.360docs.net/doc/427528342.html,urent展开的条件是什么？有哪些展开方法？

4. 将函数以z=0为中心进行Laurent展开和在z=0的去中心领域中进行Laurent展开有区别？为什么？

5.在单连通区域内解析的函数的Taylor展开和Laurent展开是否一样？在复通区域中解析的函数呢？试举例说明。

6.以下推理是否正确？为什么？

因为Laurent展开的系数公式为

故由解析函数的高阶导数公式（1.2.18）有

以为中心的Laurent展开式为

7.易于得到，函数

和

还是否与Laurent展开的惟一性相矛盾

8.何谓孤立奇点？何谓非孤立奇点？孤立奇点又分为哪几类？

9.试小结判定奇点类型的方法，并用你所小结归纳的方法判定，函数，

的诸奇点各属哪类？

的解析性与奇点分类与函数的解析性与奇点分类之间

10.函数

有什么关系？

11.对于为孤立奇点，如何对其进行分类？

12.函数

在的去心邻域能否展开为Laurent级数？为什么？