1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)

信达雅教育内部教案（教师版）

一、集合

1.2 集合的基本关系与基本运算

学习目标：

1.了解集合之间包含关系的意义.

2.理解子集、真子集的概念.

3.了解全集的意义,理解补集的概念.

1.2.1集合的基本关系

观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？

（1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == PS ：A 是b 的子集，但4属于B ，不属于A ，满足定义 (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==.

PS ：首先来学习子集 （1）子集

一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B

B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A)

PS ：看实例（1）和实例（2），谁是谁的子集？ PS ：注意符号的方向不要搞错，开口处为大。 (2)集合相等与真子集

（2）空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合

为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。

如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图.

图l ()A B B A ??或 图2 B A =

（4）集合的一些基本结论：

1）任何一个集合是它本身的子集。即

A A ?；（根据定义说明） 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C

B B A ??? PS ：板书说明

例：{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==6}5432{1C ,，，，，，=

接下来看例题：

例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 PS:不要漏掉，空集是任何集合的子集 练习：

1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解：按子集元素个数来分类，

不取任何元素，得?； 取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，

即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ?． 拓展：子集个数的计算

有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，含有2n -1个非空子集，含有2-2n

个非空真子集

2．用适当的符号填空：

（1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2

{|0}x x =； （3）?______2

{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ；

（5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2

{|320}x x x -+=． （1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2

{|0}

{0}

x x ==； （3）2{|10}x R x ?=∈+= 方程2

10x +=无实数根，2

{|10}x R x ∈+==?；

（4）{0,1}N （或{0,1}N ?） {0,1}

是自然数集合N 的子集，也是真子集；

（5）{0}

2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ?=） 2{|}{0,1}

x x x ==； （6）2

{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2

320x x -+=两根为121,2x x ==．

3．判断下列两个集合之间的关系：

（1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；

（2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈；

（3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈． 3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以

A

B ；

（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+， 即B 是A 的真子集，

B

A ；

（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．

1.2.2集合的基本运算

请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C ===

(2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数

PS:什么是并集 （1）并集

—般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集.

记作：A ∪B.读作“A 并B ”.

其含义用符号表示为：{|,}A

B x x A x B =∈∈或

用Venn 图表示如下：

这样，在问题（1）（2）中，集合A 与B 的并集是C ，即 C B A = ： 例题：PS ：板书答案

（2）交集

（1）{2,4,6,8,10},{3,5,8,12},{8};A B C ===

（2）A={x |x 是国兴中学2004年9月在校的女同学}，

B={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级同学}， C={x |x 是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}.

一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.

记作：B A . 读作：A 交B

其含义用符号表示为：{|,}.A B x x A x B =∈∈且

用Venn 图表示如下：

阴影部分即为B A

例题：PS ：板书答案，例7不讲。

（3）全集与补集

（4）集合的简单性质：（PS:用韦恩图解释说明）

（1）;,,A B B A A A A A ?=?Φ=Φ?=? （2）;,A B B A A A ?=?=Φ? （3）);()(B A B A ???

（4）B B A B A A B A B A =???=???;；

（5）德.摩根定律

U C （A B ）=（U C A ） （U C B ），U C （A B ）=（U C A ） （U C B ）

练习：

1．设{3,5,6,8},{4,5,7,8}A B ==，求,A B A B ．

1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，

{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A

B ==．

2．设22{|450},{|1}A x x x B x x =--===，求,A B A B ．

2．解：方程2

450x x --=的两根为121,5x x =-=， 方程210x -=的两根为121,1x x =-=， 得{1,5},{1,1}A B =-=-， 即{1},{1,1,5}A

B A B =-=-

3．已知{|}A x x =是等腰三角形，{|}B x x =是直角三角形，求,A B A B ．

3．解：{|}A B x x =是等腰直角三角形，

{|}A

B x x =是等腰三角形或直角三角形．

4．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==， 求()()()B C A C B C A U U U ,

4．解：显然{2,4,6}U B =e，{

1,3,6,7}U A =e， 则(){2,4}U A

B =e，()

(){6}U U A B =痧．