市北资优六年级分册 第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖

1．3 素数、合数与分解素因数

自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；

只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．

有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．

显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．

例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？

分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．

解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．

例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111

=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001

所以，3 333 334 111 111是合数．

例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，

都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？

解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一

堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =

上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．

练习1．3（1）

1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．

3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案

练习13．1（1）

1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、43

3． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，

10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．

思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？

6 = 2 × 3

2 × 3

6 2 × 2 × 7

28 = 2 × 2 × 7

4 × 7

28

60 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 5

2 ×

3 × 2 × 5

6 × 1060××××

从上面的例子可以看出：

每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因

数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．

例4 把48，35，60分解素因数

解：

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

3

2 62 1 22 2 42 4 8

7

5 3 5

35 = 5 × 7

5

60 = 2 × 2 × 3 × 5

3 1 5

2 3 0

2 6 0

用短除法分解素因数的步骤如下：

1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；

2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．

质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．

2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．

4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．

5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：12

12

k a a

a k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是

质数；12,,

k a a a 是正整数．

例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且2222

1234511p p p p =+++，试求这四个质数．

分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．

解：显然有12p =，代入得222

234507p p p =++，

因为2

50752923=＜，所以419p ≤

若419p =，则22

23146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．

若417p =，则22

23218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．

所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．

例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：2

2x +、2

4x +、2

6x +、2

8x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．

当3x =时，2

211x +=，2

413x +=，2

615x +=，2

817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2

227x +=，2

429x +=，2

631x +=，2

833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2

251x +=，2

453x +=，2

655x +=，2

857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．

例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．

分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：

11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或

12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．

练习1．3（2）

1．分解素因数：45，88，126．

2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）

3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．

5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．

6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？

练习1．3（2）

1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×7

2． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．

3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625

249 525125625

+++=（个）．

4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，2

5．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．