求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法

1. 公式法

等差数列前n 项和：

特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S na =

(

)1111n n a q q S q

-≠=

-，，特别要注意对公比的讨论。

其他公式：

1、)1(211+==∑=n n k S n

k n 2、)12)(1(61

2++==∑=n n n k S n

k n

3、21

3)]1(2

1[+==∑=n n k S n k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32

（利用常用公式）

＝x

x x n

--1)1(＝2

11)

1(2

1--n ＝1－n

21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2

11++=+n n S n （利

用常用公式）

∴ 1)32()(++=

n n S n S n f ＝64

342++n n n

＝

n 64

341+

+＝

)8(12+-

n 50

1≤

∴ 当 8

8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f

2. 错位相减法

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积

设

n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ②

（设制错位）

①

－

②

得

n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相

减）

再利用等比数列的求和公式得：

n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?+=--

∴ 2

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列??????,22,,26,24,

2232n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n

2}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列

{n 2

}的通项之积设n n n

S 2

226242232+???+++=…………………………………①

14322

226242221++???+++=n n n

S ……………………………② （设制错位）

①－②得1

4322

2222222222

2)2

1(+-+???++++

=-n n n n

S （错位相减）

∴ 1

4-+-=n n n S 练习：

求：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1

解：S n =1+5x+9x 2+······+(4n -3)x n-1 ①

①两边同乘以x ，得

x S n =x+5 x 2+9x 3+······+(4n -3)x n ② ①-②得，（1-x ）S n =1+4（x+ x 2+x 3+······+ n x ）-（4n-3）x n

当x=1时，S n =1+5+9+······+（4n-3）=2n 2-n 当x ≠1时，S n = 1 1-x [ 4x(1-x n

) 1-x +1-

（4n-3）x n ]

3. 反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. ①

将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …② （反

序）

又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο ①+②得（反序相加）

)

89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5 4. 分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例6] 求数列的前n 项和：231

,,71,

41,111

2-+???+++-n a a a n ，…

解：设)231

()71()41()11(12-++???++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n

（分组）

当a ＝1

时，2

)13(n n n S n -+

=＝

)13(n

n + （分组求和）

当1≠a 时，2)13(1111n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n

k n k k k S 1

)12)(1(＝)32(231

k k k n

k ++∑=

将其每一项拆开再重新组合得

23n

n k k k S k k k

====++∑∑∑

（分组）

＝)21()21(3)21(2222333n n n +???++++???++++???++

22(1)(1)(21)(1)

222

n n n n n n n ++++=++ （分组求和）

＝2

)

2()1(2++n n n

练习：求数列???+???),21(,,813,412,211n

n 的前n 项和。

解：

n n n n n n n n S 2

1)1(21)

212121()321()

(81341221132-++=+???+++++???+++=++???+++= 5. 裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质

是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）

1)1(1+-

=+=

n n n n a n （4）

121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n

（5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

(6)

n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(1

1,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-?=?+-+=?++=

-则

[例9] 求数列

???++???++,1

21,2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=111 （裂项）

则1

13212

11+++

???+++

n n S n （裂项求和）

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例10] 在数列{a n }中，1

1211++

???++++=n n

n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴ )11

1(82

122+-=+?=

n n n n b n （裂项） ∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

1()4

1()3

1()2

11[(8+-

+???+-+-+-=n n

S n （裂项求和）

＝)1

11(8+-

n ＝ 18+n n

[例11] 求证：ο

οοοοοο1

sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+???++ 解：设ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=

S ∵ο

οο

οοn n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ο

οοοοο89cos 88cos 1

2cos 1cos 11cos 0cos 1+

???++=S （裂项求和）＝

]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1

sin 1ο

οοοοοοοο

-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝ο

1cot 1

sin 1?＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立

练习：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。

解：9

4)911(21)9171()7151()5131()311(21)91

71(21)7151(21)5131(21)311(219

75153131163135115131=-=??????-+-+-+-=-+-+-+-=?+?+?+?=+++

6. 合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求

S n .

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+

cos179°

∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质

项）

∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+

（cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合

并求和）

＝ 0

[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002. 解：设S 2002＝2002321a a a a +???+++

由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……

∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性

质项）

∴ S 2002＝2002321a a a a +???+++ （合并求和）

＝

)()()(66261612876321++++???+++???+???+++???+++k k k a a a a a a a a a a

＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a

＝5

[例

14]在各项均为正数的等比数列中，若

103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊

性质项）

和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求

和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

7. 利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1

1111111111n +++???+???1442443个之和.

解：由于

1111119999(101)99k

k k ???=????=-14424431442443

个个（找通项及特征）

∴1

1111111111n +++???+???1442443个

1231111

(101)(101)(101)(101)9999

n =-+-+-+???+- （分组求和）

＝1231

1(10101010)(1111)99

n n +++???+-+++???+1444442444443个

＝9

110)110(1091n

n ---?

＝

)91010(81

1n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞

=+-+++=

1))(1(,)3)(1(8

n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])

4)(2(1

)3)(1(1)[

1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特

征）

＝])

4)(3(1

)4)(2(1[

8+++++?n n n n （设制分

组）

＝

31(8)4121(

4+-+++-+?n n n n （裂项）

∴ ∑∑∑∞

=∞

=++-+++-+=-+1

111)41

31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）

＝4

18)4

(4?++?＝

13 练习：求5，55，555，…，的前n 项和。

解：∵a n = 5 9(10n -1)

∴S n = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + … +

5 9(10n

-1)

= 5 9[（10+102+103+……+10n ）-n] =

5（10n ＋1-9n-10）

以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。

求数列前N项和的七种方法含例题和答案

求数列前N 项和的七种方法点拨: 核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。 1. 公式法等差数列前n 项和： 11()(1) 22 n n n a a n n S na d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）

＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 n n 8= ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和.

几种求数列前n项和的方法

几种求数列前n 项和的常用方法 1、公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式：()()11122 n n n a a n n S na d +-==+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=?=-?-=≠?--? 常见的数列的前n 项和：， 1+3+5+……+(2n-1)= ，等. 2、倒序相加法：类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例、求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值. 解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S …………. …. …. …. ① 将①式右边反序得：οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S ……② 又因为sin cos(90)x x =-o ，22sin cos 1x x +=，①+②得： 2222222(sin 1cos 1)(sin 2cos 2)(sin 89cos 89)S =++++???++o o o o o o ＝89 ∴ S ＝小结：倒序相加法，适用于倒序相加后产生相同的结果，方便求和. 3、错位相减法：类似于等比数列的前n 项和的公式的推导方法。若数列各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到，即数列是一个“差·比”数列，则采用错位相减法. 例、求和：()2112301n n S x x nx x x -=++++≠≠L ，（课本61页习题组4）解：设S n =1+2x+3x 2+…+(n-1)x n-2+nx n -1 ， ① 则：x S n = x +2 x 2+…+(n-1) x n-1 + n x n ②

数列前n项和的求和公式

数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

求前n项和公式的常用方法

求数列前N项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和S n 解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和

数列前n项和的求和公式

For personal use only in study and research; not for commercial use 数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：????? ≠--=--==) 1(11)1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++== ∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

求数列前n项和的七种方法

求数列前N 项和的七种方法 1. 公式法等差数列前n 项和：特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+g ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S na = ( )1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。其他公式： 1、)1(211+==∑=n n k S n k n 2、)12)(1(61 1 2++==∑=n n n k S n k n 3、21 3)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 11++=+n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64 341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 2. 错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设 n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ① － ② 得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：

求数列前N项和的常用方法

求数列前n项和的常用方法核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

求数列前n项和的几种常用方法

2 2 2 3 求数列前n 项和的几种常用方法江苏省马吉超公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是的条件。二、分组转化法差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。求S n 1 解: S n 1 2 n n 1 n n -- d 2 2 2 1 n 2 最基本的方法。但应注意等比数列前 N 项求和公式 a 1 S n 解：①当x 1时, S n ②当x 1时, S n X 1 X 1 X 如果所给数列的每一项是由等差等比或特殊数列对应项的和或解: S n

1 n 2 2 2s n 2C n 1 2 C n n n 2 C n 2(c n 1 C n 三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。 ⑴+⑵得 2s 12 32 384 s 192 ⑴+⑵得 1 n 一一 n 1 2n 2 6 1 n n 1 1 --------- 2 2 解: 11 亏 49 5 12 ~5 48 5 13 ~5 47 5 47 "5 13 5 48 ~5 12 5 49 "5 11 5 解: 0 s C n m C n C n 2 C n C n 1 2C n 3c n n n 1 1 C n n C n n m C n 2 3C n 1 2 C n n 1 n C n n 0 C n n 1

2 1 四、错位相减法求和公式可用此法推导） . n 1 2 ①一② S n 故 S n n 12n1 2 五、裂项相消法分正负项又可以相消，则可用此法。求9 1 占丘 2 - 21 1 n 2n n 1 形如a n b n 的数列，其中a n 是等差数列，b n 是等比数列，则可在求和等式两边同乘 b n 的公比，然后两等式错位相减。（等比数列例6求S n 1 2 2 2 2 3 S n 2 2 2 2 3 如果求和数列的每一项均能分裂成对应两项的差, 求和时，大部解: S n 21 丄 21 2 2

求数列前N项和的方法

求数列前N 项和的方法 1. 公式法等差数列前n 项和： 11() (1) 2 2 n n n a a n n S n a d ++= =+ 特别的，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+ ，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n 项和： q=1时，1n S n a = ( ) 1111n n a q q S q -≠= -，，特别要注意对公比的讨论。其他公式： 1、)1(2 11+= = ∑ =n n k S n k n 2、)12)(1(6 11 2 ++= = ∑ =n n n k S n k n 3、21 3 )]1(2 1[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 2 3 -= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3 log 1log 3 3 2 3 = ?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝ 2 11) 211(2 1 - -n ＝1－ n 2 1 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(2 1+= n n S n ， )2)(1(2 11++= +n n S n （利用常用公式） ∴ 1 )32()(++= n n S n S n f ＝ 64 342 ++n n n

求数列前n项和方法

数列求和 1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。 d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+= ?????≠--==)1(1)1() 1(11q q q a q na S n n 公比含字母时一定要讨论例：1.已知等差数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S 2. 等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 3.已知等比数列}{n a 满足,11=a 32=a ，求前n 项和}{n S 4.设4 7 10 310 ()22222()n f n n N +=+++++∈ ，则()f n 等于（） A. 2(81)7n - B.12(81)7n +- C.32 (81)7n +- D. 4 2(81)7 n +- 2．错位相减法求和：如：{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++ 例：1．求和2 1 123n n S x x nx -=++++ 2.求和：n n a n a a a S ++++= 32321 3.设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b += （Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ?? ???? 的前n 项和n S ． 3．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项： 111)1(1+-=+n n n n ) 121 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n )211(21)2(1+-=+n n n n ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n !)!1(!n n n n -+=? )!1(1!1)!1(+-=+n n n n i n i n i n C C C 1 11----= 数列{}n a 是等差数列，数列? ?? ???+11n n a a 的前n 项和例：1.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ）

求数列的前n项和常用方法

数列求和的常用方法公式法1.：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，； ③常用公式：的关系，必要时需分类讨论.特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1n(n?1)11222233331)??1)(2??3??n?nn(n?1)1n?2(??nn1?2]?2??3[??n1. ，， 622?1 23n?xlog1例 x?x?x?????x????的前n项和. ，求、已知3log322222a?a?a? ?aｎn}{a＝_____ 2练一练：等比数列－１，则；的前项和S＝ｎn321n 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 111例2、1?1,?4,?7,???,?3n?2，n项和：…求数列的前 12?n aaa n S??1?3?5?7??(?1)(2n?1)练一练：求和：n3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序 n和公式的推导方法）相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前. 22222 3例8988sin?sin?1??sin?2??sinsin3?的值、求 2xf(x)?，练一练：已知21?x111)f()?f()??(1)?f(2)?f(3)f(4)?f(f______则；＝ 4234.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减n.法（这也是等比数列前和公式的推导方法） 23n?1x)(?2nx??7x1????5S?1?3x?4例、求和：n2462n例5,,,???,,???前n项的和、求数列. n322222{a}T?na?(n?1)a??2a?aT?1T?4{a}的首项和公，①求数列为等比数列，练一练：设，已知，nn?11n2nn21}{T 比；②求数列.；的通项公式n 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：1)????(；①；② knn?(n?k)k(nn?1)nn?1n11111)?(??③， 221k?12k?1kk?1111111??????； 2k1kk?k?1)k(k?1)kk?1(k1111]?[?④； 2)n?(n?1)(n1)(n?n?2)2n(?1)(n11n??；⑤1)!(n?n(?1)!n!122 1)n??)n????2(n??2(n1 . ⑥ 1?n??nn1nn?1 111、例6?,?,,?,???. 项和的前求数列n12?3?n?n1?2n122?b、7例???????a. n项的和{b，又}的前在数列{a}中，，求数列nn nn a?a1??1nn?1n1?nn练一练：111????；求和：（1）1)n?n?2)4?4?7?(3(311

求数列前n项和的几种常用方法

求数列前n 项和的几种常用方法江苏省马吉超一、公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N 项求和公式q q a n s n -=? ? ? ?? -111中1 ≠q 的条件。例1 求x x s n n x +++= 2 解：①当1=x 时，n s n =+++=111 。 ②当1≠x 时，( )x x x s n n --=11。二、分组转化法如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。例2 求 ()()()() 2834221n n n s ++++++++= 解：()() 222322321n n n s +++++++++= ()22 121 -++= +n n n 例3 求 ()()()n s n +++++++++++= 321321211 解： ()2 2213212 n n n n n +=+=++++ ∴() ()n n s n +++++++++= 3212121222 23 21

()()()2121121621+?+++?= n n n n n ()()6 21++= n n n 三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）例4 求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。解：549 548547513512511+ +++++= s ⑴ 又 5 11 512513547548549++++++= s ⑵ ⑴+⑵得 )511549()548512()549511(2++++++= s 3212?= 384= 故 192=s 例5 求()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- 解：()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- ⑴ ()c c c c n n n n n n n n s 0 1 1 21+++++=- ⑵ 又 c c m n n m n -= ⑴+⑵得 ()()()c c c n n n n n n n s 22221 ++++++= ())(21 1 c c c c n n n n n n n +++++=- ()22n n ?+= 故 ()212-+=n n s

求前n项和公式的常用方法

求前n项和公式的常用方法 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】

求数列前N 项和的常用方法核心提示：求数列的前n 项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律，找到适合的方法解题。一.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n 项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n }，公差为d ，求证：{a n }的前n 项和S n =n(a 1+a n )/2 解：S n =a 1+a 2+a 3+...+a n ① 倒序得：S n =a n +a n-1+a n-2+…+a 1② ①+②得：2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+…+(a n +a 1) 又∵a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1 ∴2S n =n(a 2+a n )S n =n(a 1+a n )/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…=a n +a 1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n 项和对等差数列、等比数列，求前n 项和S n 可直接用等差、等比数列的前n 项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n 项和S n 解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n 项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n 项和。

求数列前n项和的几种常用方法

求数列前n 项和的几种常用方法江苏省马吉超一、公式法如果数列是等差或等比数列，可直接利用前n 项求和公式，这是最基本的方法。但应注意等比数列前N 项求和公式q q a n s n -=?? ? ? ? -111中1 ≠q 的条件。例1 求x x s n n x +++= 2 解：①当1=x 时，n s n =+++=111 。 ②当1≠x 时，( )x x x s n n --=11。二、分组转化法如果所给数列的每一项是由等差、等比或特殊数列对应项的和或差构成，可以把原数列的求和分组转化为等差、等比或特殊数列的求和。例2 求 ()()()( ) 2834221n n n s ++++++++= 解：()()2223 2 2321n n n s +++++++++= ()22 121 -++= +n n n 例3 求 ()()()n s n +++++++++++= 321321211 解： ()2 2213212 n n n n n +=+=++++ ∴() ()n n s n +++++++++= 3212 121222 2321

()()()2121121621+?+++?=n n n n n ()()6 21++= n n n 三、倒序相加法如果求和数列的首末两项的和及与首末两项等距离的两项的和相等，可用此法。（等差数列求和公式可用此法推导）例4 求所有大于2且小于10的分母为5的既约分数的和。解：549 548547513512511+ +++++= s ⑴ 又 5 11 512513547548549++++++= s ⑵ ⑴+⑵得 )511549()548512()549511(2++++++= s 3212?= 384= 故 192=s 例5 求()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- 解：()c c c c c n n n n n n n n n s 1321 2 1 ++++++=- ⑴ ()c c c c n n n n n n n n s 0 1 1 21+++++=- ⑵ 又 c c m n n m n -= ⑴+⑵得 ()()()c c c n n n n n n n s 22221 ++++++= ())(21 1 c c c c n n n n n n n +++++=- ()22n n ?+=

数列前n项和Sn的求法

数列前n项和S n的求法数列前n项和S n=a1+ a 2+ a 3+…+ a n，对任何一个可求和数列求前n项和一般有下列几种方法。一、直接求和法：对等差数列、等比数列或可以转化成等差等比数列的数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。例1、（1）已知数列{a n}满足：a n=2n+3,求S n 。（2）已知数列{a n}的通项公式a n=3?2n，求S n 。例2、求数列1，2+3，4+5+6，7+8+9+10，…的前n项和S n 。练习：计算2 2 2 （共n个根号）的值。 2 二、分项求和法：将数列的一项分成两项（或多项），然后重新去组合，再利用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。值得注意的是，通项公式是“分项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“分项”。

例3、求数列{n+2n }的前n 项和。例4、计算：22332222)1 ()1()1()1(n n a a a a a a a a 。例5、求数列 0.9，0.99，0.999，0.9999，…的前n 项和。例6、计算：1)3(4)2(3)1(21 n n n n n 。三、拆项求和法：将数列的一项拆成两项（或多项），使得前后项相抵消，留下的有限项，从而求出数列的前n 项和。与分项求和法不同的是它靠抵消项而不是靠重新去组合来求和，相同的是通项公式是“拆项”的依据，没有写出通项公式的数列首先要求出通项公式再根据通项公式进行“拆项”。例7、求数列{) 12)(12(1 n n }的前n 项和。

例8、计算：n 3211 4321132112111的值。四、错位相减求和法：差比数列的前n 项和用错位相减求和法求和，在和式的两边同乘以公比q ，再错位相减即可以求出前n 项和。差比数列的定义：数列{n a }的通项公式形如：n n n c b a ，其中{n b }是等差数列，{n c }是等比数列的数列{n a }叫差比数列。例9、求数列{n n 2 1 )13( }的前n 项和。例10、计算：n n 1)1(4321 的值。

求数列的前n项和常用方法

数列求和的常用方法 1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式： 1123(1)2n n n ++++=+ ，222112(1)(21)6n n n n +++=++ ，33332(1)123[]2 n n n +++++= . 例1 、已知3 log 1log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 练一练：等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ－１，则2232221n a a a a ++++ ＝_____ ； 2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. 例2、求数列的前n 项和：231,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ，… 练一练：求和：1357(1)(21)n n S n =-+-+-+-- 3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 例3、求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值练一练：已知2 2()1x f x x =+，则1 11(1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++＝______； 4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 例4、求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 例5、求数列??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 练一练：设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++ ，已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.； 5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++；②1111()()n n k k n n k =-++； ③2211111()1211 k k k k <=---+， 211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-+++++ ； ⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；

求数列的前n项和方法

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求数列的前n项和一.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列{a n}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。例题1：设等差数列{a n}，公差为d，求证：{a n}的前n项和S n=n(a1+a n)/2 解：S n=a1+a2+a3+...+a n ① 倒序得：S n=a n+a n-1+a n-2+…+a1② ①+②得：2S n=(a1+a n)+(a2+a n-1)+(a3+a n-2)+…+(a n+a1) 又∵a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1 ∴2S n=n(a2+a n) S n=n(a1+a n)/2 点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…=a n+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和S n可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。例题2：求数列的前n项和S n

解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。三.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。例题3：求数列(n∈N*)的和解：点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。四.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{a n·b n}中，{a n}成等差数列，{b n}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。例题4：求数列{na n}(n∈N*)的和解：设 S n = a + 2a2 + 3a3+ … + na n① 则：aS n = a2 + 2a3+ … + (n-1)a n + na n+1② ①-②得：(1-a)S n = a + a2 + a3+ … + a n - na n+1③

数列通项公式和前n项和求解方法(全)

关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999， (2) ,1716 4,1093 ,542,21 1（3） ,52,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n . 公式法1：特殊数列例2：已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2 ，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<