初二下学期数学难题

1. 如图，在△ABC 中，AC ＞AB ，D 点在AC 上，AB =CD ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若∠EFC =60°，连接GD ，判断△AGD 的形状并证明．

2．已知： 直线36y x =+与x 轴交于点A ；与y 轴交于点B .

(1) 在坐标平面内求一点C ，使△ABC 是等腰直角三角形；直接写出点C 的坐标； （2）有一点P 在直线3y x =-+ 且S △ABP =9；求出点P 的坐标

3、在平面直角坐标系中，我们称边长为1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形．

如图，在菱形ABCD中，四个顶点坐标分别是（－8, 0），（0, 4），（8, 0）（0，－4），则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是个；

若菱形A

n

B n

C n

D n的四个顶点坐标分别为（－2n,0），（0, n），（2n，0），

（0，－n）（n为正整数），

则菱形A n B n C n D n能覆盖的单位格点正方形的个数为（用含

有n的式子表示）.

4、仅用尺规不可能“三等分角”.但借助函数可以“三等分角”.下面介绍数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：

将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上，边OA与函数

1

y

x

=的图象交

于点P，以点P为圆心，以2OP为半径作弧交函数

1

y

x

=的图象于点R . 分别过点P和R作x

轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连结OM得到∠MOB，则∠MOB=1

3

∠AOB.要明白

帕普斯的方法，请研究以下问题：

（1）设P(

1

,a

a

)、R(

1

,b

b

)，求直线OM的解析式（用含a、b的代数式表示）；

（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q . 说明Q点在直线OM上，

并据此证明∠MOB=1

3

∠AOB.

x

y

8

-8

-4

4

O

A

B

C

D

1、 已知abc ≠0,并且a b b c c a

p c a b

+++===,那么y px p =+一定经过( )

A.第一、二象限

B.第二、三象限 C 、第三、四象限 D 、第一、四象限 2、 函数3|2|y x =--的图象如图2所示,则点A 与B

的坐标分别是A ,B

3、 设直

线(1)nx n y ++=

(n 为自然数)与两坐标轴

围成的三角形面积为

n S (n =1,2,3,…,2000).则S 1+S 2+S 3+…+S 2000的值为 ( )

A.19992000

B.1

C.20002001

D.2001

2002

4、如图,直线1y x =-

+与x 轴,y 轴分别交于点,A B ,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=90○.如果在第二象限内有一点P(a ,1

2

),且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等,求a 的值.

5、某家电生产业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工作时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如表1

表一

问每周应生产空调器,彩电,冰箱各多少台才能使产值最高?最高产值多少(以千元为单位)?

y

x

A

O

B (a,12

)

y

x

A

O

P C

B

6. 一个一次函数的图象与直线

595

44

y x

=+平行,与x轴、y稠的交点分别为A,B并且过

点(-1,-25).则在线段AB上(包含端点A,B),横、纵坐标都是整数的点有( )

A.4个

B.5个

C.6个

D.7个

7.如图,直线210

y x

=-+与x轴,y轴分别交于A,B两点,把△AOB沿AB翻折,点O落在C 处,则点C的坐标是多少?

8.在直角坐标系xOy中,x轴上的动点M(,0

x)到定点P(5,5)、Q(2,1)的距离分别为MP和MQ.当MP MQ

+最小值时,点M的横坐标x=

9.求证:不论k为何值,一次函数(21)(3)(11)0

k x k y k

--+--=的图象恒过一定点.

(提示:此题是“直线束”问题,可先由两条特殊直线求得交点坐标,在证明其他直线必经过此交点.)

10.设直线(1)1

kx k y

++=(k为自然数)与两坐标轴所围成的图形的面积为S k(k=1,2,3,…,2000).则S1+S2+S3+…+S2000=

11、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．图

②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若

S1＋S2＋S3＝10，则S2的值是______________.

1在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，cm AD CD AB 5===，BC =11cm ，点P 从点D 开始沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2

）． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；

（3）在移动的过程中，是否存在x 使得PQ=AB ，若存在求出所有x 的值，若不存在请说明理由．

2. 如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交

于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．

（1） 由几个不同的位置，分别测量BF 、AG 、AE 的长，从中你能发现BF 、AG 、AE 的数量之间具有怎样

的关系？并证明你所得到的结论；

（2） 联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE=x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，

并写出函数的定义域；

（3） 如果正方形的边长为2，FG 的长为2

5

，求点C 到直线DE 的距离．

C

B

P

D A

B

B

3．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，CE =AE ，F 是AE 的中点，AB = 4，BC = 8．求线

段OF 的长．

4已知一次函数421

+-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．梯形AOBC 的边AC = 5．

（1）求点C 的坐标；

为常数，且

（2）如果点A 、C 在一次函数y k x b =+（k 、b

k <0）的图像上，求这个一次函数的解析式．

5．如图，直角坐标平面xoy 中，点A 在x 轴上，点C 与点E 在y

且E 为OC 中点，BC //x 轴，且BE ⊥AE ，联结AB ， （1）求证：AE 平分∠BAO ；

（2）当OE =6， BC=4时，求直线AB 的解析式．

6．如图，△ABC 中，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，过点A 作AF//BC 交线段DE 的延长线相交于F 点，

A

B C

D

O

E

F

（第3题图）

（第4题图）

取AF 的中点G ，如果BC = 2 AB ． 求证：（1）四边形ABDF 是菱形；

（2）AC = 2DG ．

7．边长为4的正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点， P 是对角线AC 上一动点，过点P 作PF ⊥CD 于

点F ，作PE ⊥PB 交直线CD 于点E ，设PA=x ，S ⊿PCE =y ， ⑴ 求证：DF ＝EF ；（5分）

⑵ 当点P 在线段AO 上时，求y 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3分） ⑶ 在点P 的运动过程中，⊿PEC 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA 的长；

如果不能，请简单说明理由。（2分）

8．已知一条直线b kx y +=在y 轴上的截距为2，它与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，且△ABO 的面积为

4．

（1）求点A 的坐标；

（2）若0

第26题图

D C

B A

E

F

P

。

O

D

C

B

A 备用图

O 。

9．在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，另一个正方形OHIG绕点O旋转（如图），设OH与边BC交于点E（与点B、C不重合），OG与边CD交于点F.

（1）求证：BE=CF；

（2）在旋转过程中，四边形OECF的面积是否会变化？若没有变化，求它的面积；若有变化，请简要说明理由；

（3）联结EF交对角线AC于点K，当△OEK是等腰三角形时，求∠DOF的度数.

10 如图，已知矩形ABCD，过点C作∠A的角平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB、MD．求

证：MB = MD．

11．如图，在菱形ABCD中，∠A = 60°，AB = 4，E是AB边上的一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M、DC于点N．

（1）请判断△DMF的形状，并说明理由；

（2）设EB = x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）当x取何值时，S△DMF = 3 ．

12．如图1，在ABC 中，AB = BC = 5，AC = 6，△ECD 是△ABC 沿BC 方向平移得到的，连接AE 、AC 和BE

相交于点O ．

（1）判断四边形ABCE 是怎样的四边形，说明理由．

（2）如图2，P 是线段BC 上的一动点（图2），（点P 不与B 、C 重合），连PO 并延长交线段AE 于点Q ，QR

⊥BD ，垂足为R ．

① 四边形PQED 的面积是否随点P 的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED 的面积．

② 当P 在线段BC 上运动时，是否有△PQR 与△BOC 全等？若全等，求BP 的长；若不全等，请叙述理由．

13,已知：如图，在菱形ABCD 中，AB =4，∠B =60°，点P 是射线BC 上的一个动点，∠P AQ =60°，交射线CD 于点Q ，设点P 到点B 的距离为x ，PQ =y ． （1）求证：△APQ 是等边三角形；

（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果PD ⊥AQ ，求BP 的值．

14．如图，已知点E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上一点，且CE CA =，联结AE ，过点C 作

CF AE ⊥，垂足为点F ，联结BF 、FD .（1）求证：FBC ?≌FAD ?；（2）联结BD ，若

3

5

FB BD =，且10AC =，求FC 的值.

图１ 备用图 图２ D F

D

A

15,A B ，两地盛产柑桔，A 地有柑桔200吨，B 地有柑桔300吨．现将这些柑桔运到C 、D 两个冷藏仓库，已知C 仓库可储存240吨，D 仓库可储存260吨；从A 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨20元和25元，从B 地运往C 、D 两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A 地运往C 仓库的柑桔重量为x 吨，

A 、

B 两地运往两仓库的柑桔运输费用分别为A y 元和B y 元．

（1）请填写下表后分别求出A B y y ，与x 之间的函数关系式，并写出定义域；

解：

（2）试讨论A B ，两地中，哪个运费较少； 解：

16.,已知：正方形ABCD 的边长为28厘米，对角线AC 上的两个动点E F ，，点E 从点A 、点F 从点C 同时出发，沿对角线以1厘米/秒的相同速度运动，过E 作EH ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于H ；过F 作FG ⊥AC 交Rt ACD △的直角边于G ，连接HG ，EB ．设HE ，EF ，FG ，GH 围成的图形面积为1S ，AE ，EB ，BA 围成的图形面积为2S （这里规定：线段的面积为0）．E 到达C F ，到达A 停止．若

E 的运动时间为x 秒，解答下列问题：

（1）如图①，判断四边形EFGH 是什么四边形，并证明； （2）当08x <<时，求x 为何值时，12S S =；

（3）若y 是1S 与2S 的和，试用x 的代数式表示y ．（图②为备用图） （1）解：

图①

17,如图，在平面直角坐标系中，直线l 经过点)3,2(-A ， 与x 轴交于点B ，且与直线3

8

3-

=x y 平行。 （1） 求：直线l 的函数解析式及点B 的坐标；

（2） 如直线l 上有一点)6,(-a M ，过点M 作x 轴的垂线，

交直线3

8

3-

=x y 于点N ，在线段MN 上求一点P ，

使PAB ?是直角三角形，请求出点P 的坐标。

：

18, 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =ο90，∠C =45o，AB =8，BC =14，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，EF //AD ，

点P 与AD 在直线EF 的两侧，∠EPF =90o，

PE =PF ，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，

设AE =x ，MN =y ． （1） 求边AD 的长；

（2） 如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求y 关于x 的

函数解析式，并写出定义域；

（3） 如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．

（第18题）

B

D

A C

E

F

N M

P

19, 如图，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，

EF //BC ．

（1）求证：四边形BDEF 是平行四边形；

（2）线段BF 、AB 、AC 的数量之间具有怎样的关系？

证明你所得到的结论．

20, 如图，一次函数42+=x y 的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，四边形ABCD 是正方形．

（1）求点A 、B 、D 的坐标； （2）求直线BD 的表达式．

21, 有两个不透明的布袋，其中一个布袋中有一个红球和两个白球，另一个布袋中有一个红球和三个白球，

它们除了颜色外其他都相同．在两个布袋中分别摸出一个球， （1） 用树形图或列表法展现可能出现的所有结果； （2） 求摸到一个红球和一个白球的概率．

22,已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是BD 、AC 的中点（如图2）.

求证：（1）MN ∥BC ；

（2）)(2

1

AD BC MN -=

. A

B

C

D

E

F

（第19题）

A

B

C

D

M

N

23,已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，联结BP 、DP . （1）若将AD 顺时针旋转?30至AP ，如图3所示，求BPD ∠的度数.

（2）若将AD 顺时针旋转α度)900(?<

（3）若将AD 逆时针旋转α度)1800(?<

（图4、图5、图6）. 解：

24,

25、某公路上一段道路的维修工程准备对外招标，现有甲、已两个工程队前来竟标，竟标资料显示：若由甲乙两队合作6天可以完成，共需工程费7800元，若单独完成此项工程甲队比乙队少用5天，但甲队每天的工程费比乙队多300元。

A B C

D

P

图3

A

B C D P

M

图4

A

C

D

P

B

图5 A

B

C

D

P

图6

（1）甲、乙两队单独完成各需多少天？

（2）从节约资金的角度上考虑，应选哪个队单独完成？并说明理由

26.如图,在△ABC 中,E 是AB 的中点,CD 平分∠ACAB,AD ⊥CD 于带点D.求证:(1)DE=BC;(2)DE=2

1

(BC-AC).

27.如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,AB=DC,点P 为BC 边上一点,PE ⊥AB,BG ⊥CD,垂足分别为E,F,G. 求证:PE+PF=BG

28.如图,等腰梯形ABCD 中, AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点.

(1)求证:四边形MENF 是菱形;

(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论.

29,.已知如图,在△ABC 中∠ACB=90°,AD

平分∠CAB 交BC 于D, CH ⊥AB 于H 交AD 于F,DE ⊥AB 于E.求证:四边形CDEF 为菱形.

C

B

C

D E

A

A B P

E

C

F

G D

E F B N C A D M

30.如图.点P 是等腰直角三角形ABC 底边BC 上的一点,过P 作BA,AC 的垂线,垂足为E,F 设D 为BC 的中点.(1)求证:DE ⊥DF;

(2)若点P 在BC 的延长线上是DE ⊥DF 吗?试证明你的结论.

31,.如图,CD 为Rt △ABC 斜边AB 上的高,AE 平分∠BAC 交C,D 于E, EF ∥AB,交AB 于点F,求证:CE=BF.

32.如图, Rt △ABC 中∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,AE 平分∠BAC 交CD 于F,过F 作FH ∥AB 交BC 于H.求证:CE=BH.

33.如图,梯形ABCD 中AD ∥BC,AB=AD=DC,点E 为底边BC 的中点,且DE ∥AB,试判断△ABC 的形状,并 给出证明.

34.如图,已知□ABCD 中,E 为AD 的中点,CE 的延长线交BA 的延长线于点F.(1)求证:CD=FA;

(2)若使∠F=∠BCF, □ABCD 边长之间还需要再添加一个什么条件?请补上这个条件,并进行证明.(不再添辅助线).

B

D P C

A E F C A D

B F E C

A

D B H F E

B E C

D A C

35.如图所示,已知矩形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E 为BC 上一动点(点E 不与B,C 两点重合), EF ∥BD 交AC 于点F,EC ∥AC 交BD 于点G. 求证:四边形EFOG 的周长等于2OB.

36,.已知一个六边形的六个内角都是120°,其连续四边的长依次是1cm,9cm,9cm,5cm,那么这个六边形的周长是多少厘米?

37,.矩形ABCD 中,O 是AC 与BD 的交点,过O 点的直线EF 与AB,CD 的延长线分别交于E,F; (1)求证:△BOE ≌△DOF;(2)当EF 与AC 满足什么

条件时,四边形AECF 是棱形,并证明你的结论?

B

C M N A

D O

1cm 9cm

9cm 5cm

38,.等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC,M,N 分别是AD,BC 的中点,E,F 分别是BM,CM 的中点. 求证: (1)四边形MENF 是棱形;

(2)若四边形MENF 是正方形,请探索等腰梯形ABCD 的高和底边BC 的数量关系,并证明你的结论?

39,.如图在△ABC 中,AB=AC,若将△ABC 绕点C 顺时针旋转180°得到△FEC.

(1) 试猜想AE 与BF 有何关系?说明理由;

(2) 若△ABC 的面积为2

3cm ,求四边形ABFE 的面积; (3) 当∠ACB 为多少度时,四边形ABFE 为矩形?说明理由?

40. 如图:棱形ABCD 中,AB=4,E 为BC 中点,AE ⊥BC,AF ⊥CD 于点F,CG ∥AE,CG 交AF 于点

H,交AD 于点G.(1)求棱形ABCD 的度数.(2)求∠GHA 的度数.

41,.已知:如图,正方形ABCD 中,M 是AB 的中点,E 是AB 延长线上一点,MN ⊥DM 且交∠CBE

的平分线于N. (1)求证:MD=MN;

(2)若将上述条件中“M 是AB 中点”改为“M 是AB 上任意一点”,其余条件不变(如图乙),则结论“MD=MN ”还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立,请说明理由.

C F E B

D A N M

F

E C B A

C F

D

E B A G

H

42. 如图:∠MON=90°,在∠MON 的内部有一个正方形AOCD,点A,C 分别在射线OM,ON 上,点

1B 是ON 上的任意一点,在∠MON 的内部作正方形D C AB 11.

(1) 连接D D 1,求证: ο

901=∠ADD ;

(2) 连接C C 1,猜一猜, CN C 1∠的度数是多少?并证明你的结论;

(3) 在ON 上再任取一点2B ,以2AB 为边,在∠MON 的内部作正方形D C AB 22,观察图

形,并结合(1),(2)的结论,请你再做出一个合理的判断.

43. 已知:如图,在□ABCD 中,E,F 分别为边AB,CD 的中点,BD 是对角线,AG ∥DB 交CB 的

延长线于G.(1)求证: △ADE ≌△CBF;(2)若四边形BEDF 是棱形,则四边形AGBD 是什么特殊四边形?并证明你的结论.

44.已知:如图, □ABCD 中,AB ⊥AC,AB=1,BC=5,对角线AC,BD 交于点0,将直线AC 绕0

顺时针旋转,分别交BC,AD 于点E,F.

(1) 证明:当旋转角为ο

90时,四边形ABEF 是平行四边形; (2) 试说明在旋转过程中,线段AF 与EC 总保持相等;

(3)试说明在旋转过程中,四边形BEDF 可能是菱形吗?如果不能,请说明理由;如果能,说明理由.并求出此时AC 绕点O 顺时针旋转的度数.

45.

AC 交BD 于点O ，四边形AODE 是平行四边形。 求证：四边形ABOE 、四边形DCOE 都是平行四边形。

M A

O

D

C

N

1B

1

D 1

C A

46．两个全等的含30°, 60°角的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置，E,A,C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．

47．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD > CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C 落在AD上的点C′处，折痕DE交BC于点E，连结C’E

（1）求证：四边形CDC’E是菱形；

（2）若BC = CD + AD，试判断四边形ABED的形状，并加以证明.

48．已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC.

（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）.

O

F

A

B C

D

E

G

①设AB 的长为a ，PB 的长为b （b

2

2

PA +PC =2PB ，请说明点P 必在对角线AC 上.

49．如图：∠MON = 90°，在∠MON 的内部有一个正方形AOCD ，点A 、C 分别在射线OM 、ON 上，点B1是ON 上的任意一点，在∠MON 的内部作正方形AB1C1D1。 （1）连续D1D ，求证：∠ADD1 = 90°；

（2）连结CC1，猜一猜，∠C1CN 的度数是多少？并证明你的结论；

（3）在ON 上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON 的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断。

50．将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．

A

B

C

D

P

图2

A

B

C

D

P

P′

图1

A

A