全国初中数学竞赛决赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题

答题时注意：

1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交.

一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( ).

（A ）24 （B ）25 （C ）10 （D ）12 2．对于任意实数a b c d ，，，，定义有序实数对a b （，）与c d （，）之间的运算“△”为：（a b ，）△（c d ，）＝（ac bd ad bc ++，）．如果对于任意实数u v ，， 都有（u v ，）△（x y ，）＝（u v ，），那么（x y ，）为( ).

（A ）（0，1） （B ）（1，0） （C ）（﹣1，0） （D ）（0，-1）

3．若1x >，0y >，且满足3y y x

xy x x y

==，，则x y +的值为( ).

（A ）1 （B ）2 （C ）

92 （D ）112

4．点D E ，分别在△ABC 的边AB AC ，上，BE CD ，相交于点F ，设1234BDF BCF CEF EADF S S S S S S S S ???====四边形，，，，则13S S 与24S S 的大小关系为

( ).

（A ）1324S S S S < （B ）1324S S S S = （C ）1324S S S S > （D ）不能确定

5．设333

3

1111

12399S =

++++

，则4S 的整数部分等于( ). （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．若关于x 的方程2(2)(4)0x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可 以作为一个三角形的三条边的长，则m 的取值范围是 .

7．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数的概率是 .

8．如图，点A B ，为直线y x =上的两点，过A B ，两点分别作y 轴的平行线交双曲线1

y x

=

（x ＞0）于C D ，两点. 若2BD AC =，则224OC OD -

的值为 .

9．若y =的最大值为a ，最小值为b ，则22a b +的值为 .

10．如图，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为35，正方形CDEF 内接于△ABC ，且其边长为12，则△ABC 的周长为 .

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程

20x ax

b +

+=的两个根都大1，求

a b c ++的值

.

12．如图，点H 为△ABC 的垂心，以AB 为直径的⊙1O 和△BCH 的外接圆⊙2O 相交于点D ，延长AD 交CH 于点P ，求证：点P 为CH 的中点.

13．如图，点A 为y 轴正半轴上一点，A B ，两点关于x 轴对称，过点A 任作直线交抛物线2

23

y x =

于P ，Q 两点. （1）求证：∠ABP =∠ABQ ；

（2）若点A 的坐标为（0，1），且∠PBQ =60o，试求所有满足条件的直线PQ 的函数解析式.

14．如图，△ABC 中，60BAC ∠=?，2AB AC =．点P 在△ABC

内，且

52PA PB PC ===，，求△ABC 的面积．

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯”20XX 年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题 1．A

解：

因为1a =-，

1a +=， 262a a =-， 所以

3223126123621262612

61260

662126024.

a a a a a a a a a a a +--=-+---=--+=---+=（）（）（）

2．B

解：依定义的运算法则，有ux vy u vx uy v +=??+=?，，即(1)0(1)0

u x vy v x uy -+=??-+=?，

对任何实数

u v ，都成立. 由于实数u v ，的任意性，得

（x y ，）=（1，0）．

3．C

解：由题设可知1

y y x -=，于是

341y y x yx x -==，

所以 411y -=，

故1

2

y =，从而4x =．于是92x y +=．

4．C

解：如图，连接DE ，设1D E F

S S ?'=，则14

23

S S EF S BF S '==，从而有1324S S S S '=．因为11S S '>，所以1324S S S S >．

5．A

解：当2 3 99k =，，，时，因为

()()()32111112111k k k k k k k ??

<=-??-+-??

，

所以 333111111511123

992299100

4S ?

?<=+

+++

<+-< ????. 于是有445S <<，故4S 的整数部分等于4．

二、填空题 6．3＜m ≤4

解：易知2x =是方程的一个根，设方程的另外两个根为12 x x ，，则124x x +=，12x x m =

．显然1242x x +=>，所以

122x x -<， 164m ?=-

≥0，

即2<，164m ?=-≥0，所以

2<， 164m ?=-≥0，

解之得 3＜m ≤4.

7．1

9

解： 在36对可能出现的结果中，有4对：（1，4），（2，3），（2，3），（4，1）的和为5，所以朝上的面两数字之和为5的概率是41369

=. 8．6

解：如图，设点C 的坐标为a b （，），点D 的坐标为c d （，）,则点A 的坐标为a a （，），点B 的坐标为.c c （，） 因为点C D ，在双曲线1

y x

=

上，所以11ab cd ==，． 由于AC a b =-，BD c d =-， 又因为2BD AC =，于是

22222242c d a b c cd d a ab b -=--+=-+，（），

所以 22224826a b c d ab cd +-+=-=（）（），

即2

24OC OD -=6.

9．

3

2

解：由1x -≥0，且12x -≥0，得1

2

≤x ≤1．

21122y =

+=+ 由于

13

124

<<，所以当34x =时，2y 取到最大值1，故1a =．

当12x =

或1时，2y 取到最小值1

2

，故2b =．

所以，223

2

a b +=． 10．84

解：如图，设BC ＝a ，AC ＝b ，则

22235a b +=＝1225． ①

又Rt △AFE ∽Rt △ACB ，所以

F E A F

C B A C

=

，即1212

b a b

-=

，故 12()a b ab +=． ② 由①②得

222

2122524a b a b a b a b +=++=++（）（），

解得a ＋b ＝49（另一个解－25舍去），所以

493584a b c ++=+=．

三、解答题

11．解：设方程20x ax b ++=的两个根为αβ，，其中αβ，为整数，且

α≤β，则方程20x cx a ++=的两根为11αβ++，，由题意得

()()11a a αβαβ+=-++=，，

两式相加得 2210αβαβ+++=， 即 (2)(2)3αβ++=，

所以 2123αβ+=??+=?，； 或232 1.αβ+=-??+=-?，

解得 11αβ=-??=?，； 或53.αβ=-??=-?

，

又因为[11]a b c αβαβαβ=-+==-+++（），，（）（），

所以 012

a b c ==-=-，，；或者

81

5a b c ===

，

，， 故3a b c ++=-，或29.

12．证明：如图，延长AP 交⊙2O 于点Q ， 连接 AH BD QB QC QH ，，，，.

因为AB 为⊙1O 的直径， 所以∠ADB =∠BDQ =90°， 故BQ 为⊙2O 的直径. 于是CQ BC BH HQ ⊥⊥，.

又因为点H 为△ABC 的垂心，所以.AH BC BH AC ⊥⊥，

所以AH ∥CQ ，AC ∥HQ ，四边形ACQH 为平行四边形. 所以点P 为CH 的中点.

13．解：（1）如图，分别过点P Q ，　

作y 轴的垂线，垂足分别为C D ，　. 设点A 的坐标为（0，t ），则点B 的坐标为（0，-t ）. 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,并设P Q ，的坐

标分别为 P P x y （，）,Q Q x y （，）.由

223y kx t y x =+??

?

=??

，

， 得 2203

x kx t --=， 于是 32

P Q x x t =-，即 23

P Q t x x =-.

于是

222323

P P Q Q

x t y t BC BD y t x t ++==++22222()333.222()333P P Q P P Q P Q Q P Q Q Q P x x x x x x x x x x x x x x --===---

又因为

P Q x PC QD x =-，所以BC PC BD QD

=. 因为∠BCP =∠90BDQ =?，所以△BCP ∽△BDQ ， 故∠ABP =∠ABQ .

（2）解法一 设PC a =，DQ b =，不妨设a ≥b >0，由（1）可知

∠ABP =∠30ABQ =?，BC

，BD

，

所以 AC

2-，AD

=2.

因为PC ∥DQ ，所以△ACP ∽△ADQ . 于是

PC AC

DQ AD

=

，即a b ，

所以a b +=．

由（1）中3

2P Q x x t =-，即32ab -=-

，所以32ab a b =+=，

于是可求得2a b ==

将b =

代入22

3y x =，得到点Q

，12）.

再将点Q 的坐标代入1y kx =+

，求得k = 所以直线PQ

的函数解析式为1y =+. 根据对称性知，所求直线PQ

的函数解析式为1y =+

，或1y +. 解法二 设直线PQ 的函数解析式为y kx t =+,其中1t =. 由（1）可知，∠ABP =∠30ABQ =?，所以2BQ DQ =.

故

2Q x =. 将2

23

Q Q y x =

代入上式，平方并整理得 4241590Q Q x x -+=，即22(43)(3)0Q Q x x --=.

所以

Q x =

又由 (1)得332

2

P Q x x t =-=-，32

P Q x x k +=.

若Q x =

代入上式得

P x = 从而

2()3P Q k x x =+=.

同理，若Q x =

可得P x = 从而

2()3P Q k x x =+=.

所以，直线PQ

的函数解析式为1y =+

，或1y +. 14．解：如图，作△ABQ ，使得

QAB PAC ABQ ACP ∠=∠∠=∠，，则△ABQ ∽△ACP . 由于2AB AC =，所以相似比为2. 于是

224AQ AP BQ CP ====．

60QAP QAB BAP PAC BAP BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=?.

由:2:1AQ AP =知，90APQ ∠=?

，于是3PQ ==．

所以 22225BP BQ PQ ==+，从而90BQP ∠=?． 于是

222()28AB PQ AP BQ =++=+.

故

2163s i n 60282

ABC S AB AC AB ?+=??==．