傅里叶变换的性质以及光学中一些函数的F.T.变换式

Ch2：二维线性系统分析 一：二维傅立叶分析
傅立叶变换 傅立叶变换的性质和定理 可分离的函数 圆对称函数 Fourier-Bessel变换 一些常用的函数（光学模型（元件））的数学 公式表达和傅立叶变换式

Joseph Fourier
约瑟夫·傅立叶 （1768～1830） 法国数学家

Lord Kelvin on Fourier’s theorem
Fourier’s theorem is not only one of the most beautiful results of modern analysis, but it may be said to furnish an indispensable instrument in the treatment of nearly every recondite question in modern physics. Lord Kelvin

The Fourier Transform and its Inverse
F (ω) =
?∞
∫
∞
∞
f (t ) exp(?iω t ) dt
1 f (t) = 2π
?∞
∫
F(ω) exp(iω t) dω

Fourier decomposing functions
we write a square wave as a sum of sine waves.
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0级频透
1 2 3 4
1
0.8
0.6
0.4
0，±1
1 2 3 4
0.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0，±1， ±2
1 2 3 4
0.6
0.4
0.2
1 -0.2
2
3
4
-0.4
±1， ±2
-0.6

we’ve said about Fourier transforms between the t and ω domains also applies to the x and k domains.
time→ space
If f(x) is a function of position,
F (k ) = ∫
∞
?∞
f ( x) exp(?ikx) dx
F {f(x)} =F(k)
We refer to k as the “spatial frequency.”
% 现代光学中：波前指的就是与接受平面打交道的光场 U ( x, y ) 现代光学
1D →2D

1.1： 二维Fourier 变换
定义: 正Fourier变换
∞
F{g} = ∫ ∫ g ( x, y ) exp[?i 2π ( f x x + f y y )]dxdy = G ( f x , f y )
?∞
反Fourier变换
F {G} = ∫ ∫ G ( f x , f y ) exp[i 2π ( f x x + f y y )]df x df y = g ( x, y )
?1 ?∞
∞

二维Fourier 变换存在条件：
g(x,y)必须在整个无限xy平面绝对可积 在任一有限矩形区域里, g必须只有有限个间断点和有 限个极大和极小点 g(x,y)必须没有无穷大间断点
点光源、点像
?
δ (x, y) ?

The delta function（脉冲函数）
?∞ if t = 0 δ (t ) ≡ ? ? 0 if t ≠ 0
δ(t)
t
It’s best to think of the delta function as the limit of a series of peaked continuous functions.
δ ( t ) = lim N e
N → ∞
? N 2π t 2
, lim N r e c t ( N t ) ,
N → ∞
s i n (π N t ) lim N s in c ( N t ) = lim N N → ∞ N → ∞ π Nt

光学中的点源
δ (x, y) = lim N e
N →∞ 2 N →∞
2 ? N 2π ( x2 + y2 )
, lim N rect(Nx)rect(Ny),
N →∞
2
lim N sin c(Nx)sin c(Ny), lim J1(2π N x + y )
2 2
N
2
N →∞
π
circ(N x + y ),
2 2
N →∞
lim N
x +y
2
2

广义Fourier 变换：
函数不严格满足存在条件，但是函数可定义另一函数 所组成的序列的极限，序列中的函数有Ｆ.Ｔ.；对组成序 列的每一个函数进行变换，就产生一个相应的变换序 列，该新序列的极限即为原函数的广义Ｆ.Ｔ.
g ( x, y ) = lim f N ( x, y ) ?{ f N ( x, y )} = FN ( f x , f y )
N →∞ N →∞
lim FN ( f x , f y ) = ?{ g ( x, y )} = G ( f x , f y )

?{δ ( x, y )}
lim ?{ N exp(?N π (x + y ))} = limexp(?
2 2 2 2 N→∞
π ( f x2 + f y 2 )
2
N→∞
N fy ? ? 1 fx 1 2 lim ?{ N rect(Nx)rect(Ny)} = lim ?N ? sin c( )N ? sin c( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N fy ? ? 1 fx 1 lim ?{ N sin c(Nx)sin c(Ny)} = lim ?N ? rect( )N ? rect( )? =1 N→∞ N→∞ N N N ? ? N
2
) =1

δ?function Properties 1． 筛选性(定义性质)
∞ ?∞
∫ g ( x)δ ( x ? x ) dx = g ( x )
0 0
δ ( x ? x0 ) = 0, x ≠ x0
2． 尺度缩放性质
δ (ax) =
3． 偶函数
x 1 1 δ ( x), δ (ax ? x0 ) = δ ( x ? 0 ) a a a
δ ( x ) = δ ( ? x ) , δ ( ? x + x 0 ) = δ ( x ? x0 )

3． 乘积性质
g ( x)δ ( x ? x0 ) = g ( x0 )δ ( x ? x0 ); xδ ( x ? x0 ) = x0δ ( x ? x0 )
４． 积分性质
∞
?∞
∫ Aδ ( x ? x ) dx = A
0
∞
?∞
∫ δ ( x ? x ) dx = 1
0
５． 卷积性质
g ( x) ? δ ( x ? x0 ) = g ( x ? x0 )

卷积定义
∞
f ( x) ? h( x) =
?∞
∫ f (a)h(x ? a)da
反转,平移,相乘,积分

卷积在光学中的应用
卷积表示一输出，在光学上就表示成像系统的像分 布 ；对于线性空间不变光学系统，其输出的信息可 表示为输入信息g与系统脉冲响应函数h（系统对点 源的响应）的卷积 的响应

x0处点源：I 0 Δξ 对应的像强度分布P( xi ? x0 )
输出像：I i ( xi ) = I 0 Δξ P ( xi ) + I 0 Δξ P( xi ? ξ 1 ) +K
Δξ → 0：I i ( xi ) = ∫ I 0 (ξ ) P( xi ? ξ )d ξ
二维：g(x, y)表示物（输入信息）； h(x,y)表示系统对点源的响应（点扩散函数、脉冲响应函数）
输出=g( x, y ) ? h(x,y)

卷积的性质
１． 符合交换律
g ( x,y ) ? h( x, y ) = h( x, y ) ? g ( x,y )
２．函数平移不变性
f ( x, y ) ? h ( x, y ) = g ( x, y ) ? f ( x ? x0 , y ? y0 ) ? h( x, y ) = g ( x ? x0 , y ? y0 )

３． 线性运算
(af + bh) ? g = af ? g + bh ? g
4．δ函数的卷积
f ( x, y )* δ ( x, y ) = f ( x, y )
δ 函数与任何函数卷积仅重新产生该函数严格再生 5． 光滑作用
脉冲响应函数h是 对光学系统性能的 定量评价。若h为 δ函数（理想线性 系统：无像差、无 点扩散）。h越宽 成像质量越差

相关运算
g ? h = ∫∫ g (ξ ,η )h ( x + ξ , y + η ) d ξ dη
?
= ∫∫ g (ξ ′ ? x ,η ′ ? y )h (ξ ′,η ′) d ξ ′dη ′
?
≠ h? g
平移、共轭、相乘、积分 h = g自相关 若实函数，自相关的几何意义就是重叠面积