2020年中考数学试题分类汇编之十七 尺规作图 含解析
2020年中考数学试题分类汇编之十七
尺规作图
一、选择题
1.（2020河北）如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下，
第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； 第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 下列正确的是（ ）
A. a ，b 均无限制
B. 0a >，1
2b DE >
的长 C. a 有最小限制，b 无限制 D. 0a ≥，1
2
b DE <
的长 【答案】B
【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ； ∴0a >；
第二步：分别以D ，E 为圆心，大于1
2
DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴1
2
b DE >
的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 综上，答案为：0a >；1
2
b DE >的长， 故选：B ．
2.（2020河南）.如图，在ABC ?中，30AB BC BAC ==∠=? ，分别以点,A C 为圆
心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点D ，连接,,DA DC 则四边形ABCD 的面积为（ ）
A. B. 9 C. 6
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
连接BD 交AC 于O ，由已知得△ACD 为等边三角形且BD 是AC 的垂直平分线，然后解直角三角形解得AC 、BO 、BD 的值，进而代入三角形面积公式即可求解． 【详解】连接BD 交AC 于O ， 由作图过程知，AD=AC=CD ， ∴△ACD 为等边三角形， ∴∠DAC=60o， ∵AB=BC,AD=CD ，
∴BD 垂直平分AC 即：BD ⊥AC ，AO=OC ，
在Rt △AOB 中，30AB BAC =∠=?
∴BO=AB ·sin30o AO=AB ·cos30o=
3
2
，AC=2AO=3， 在Rt △AOD 中，AD=AC=3,∠DAC=60o，
∴DO=AD ·sin60o=
2
，
∴ABC ADC ABCD S S S ??=+四边形=11332
2
2
2
??+??=
故选：D ．
3.（2020贵阳）如图，Rt ABC ?中，90C ∠=?，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，
BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于1
2
DE 为长的半径作弧，两弧在CBA
∠内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）
A. 无法确定
B.
12
C. 1
D. 2
【答案】C
【详解】解：由题意可知，当GP∴AB 时，GP 的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB 是∴ABC 的角平分线， ∴∴C=90°， ∴当GP∴AB 时，GP=CG=1， 故答案为：C ．
4．（2020广西南宁）（3分）如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，∠B ＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE 的度数为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75°
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，观察作图过程可得，进而可得∠DCE 的度数．
【解答】解：∵BA＝BC，∠B＝80°，∴∠A＝∠ACB＝（180°﹣80°）＝50°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝130°，
观察作图过程可知：CE平分∠ACD，
∴∠DCE＝ACD＝65°，∴∠DCE的度数为65°故选：B．
二、填空题
5．(2020天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC
?的顶点A，C均落在格
点上，点B在网格线上，且
5
3 AB=．
（I）线段AC的长等于______；
（II）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P，Q分别为边AC，BC上的动点，当BP PQ
+取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，Q，并简要说明点P，Q的位置是如何找到的（不要求证明）_______．
答案）如图，取格点M，N，连接MN，连接BD并延长，与MN相交于点B'；连接B C'，与半圆相交于点E，连接BE，与AC相交于点P，连接B P'并延长，与BC相交于点Q，则点P，Q即为所求．
6.(2020苏州）.如图，已知MON ∠是一个锐角，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM 、ON 于点A 、B ，再分别以点A 、B 为圆心，大于1
2
AB 长为半径画弧，两弧交于点C ，画射线OC ．过点A 作AD
ON ，交射线OC 于点D ，过点D 作DE OC ⊥，交
ON 于点E ．设10OA =，12DE =，则sin MON ∠=________．
【详解】连接AB 交OD 于点H ，过点A 作AG∴ON 于点G ， 由尺规作图步骤，可得：OD 是∴MON 的平分线，OA=OB ， ∴OH∴AB ，AH=BH ， ∴DE OC ⊥， ∴DE∴AB ， ∴AD
ON ，
∴四边形ABED 是平行四边形， ∴AB=DE=12， ∴AH=6，
8==，
∴OB?AG=AB?OH ， ∴AG=
AB OH OB ?=12810?=48
5
， ∴sin MON ∠=AG OA =24
25
． 故答案是：
2425
．
7．（2020新疆生产建设兵团）（5分）如图，在x 轴，y 轴上分别截取OA ，OB ，使OA ＝OB ，再分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径画弧，两弧交于点P ．若点P 的坐标为（a ，
2a ﹣3），则a 的值为 3 ．
【分析】根据作图方法可知点P 在∠BOA 的角平分线上，由角平分线的性质可知点P 到x 轴和y 轴的距离相等，结合点P 在第一象限，可得关于a 的方程，求解即可． 【解答】解：∵OA ＝OB ，分别以点A ，B 为圆心，以大于1
2AB 长为半径画弧，两弧交于
点P ，
∴点P 在∠BOA 的角平分线上， ∴点P 到x 轴和y 轴的距离相等，
又∵点P 在第一象限，点P 的坐标为（a ，2a ﹣3）， ∴a ＝2a ﹣3， ∴a ＝3． 故答案为：3．
8．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，分别以点A 和B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN ，交AC 于点E ，连接BE ，若CE ＝3，则BE 的长为 5 ．
9．（2020宁夏）（3分）如图，在△ABC中，∠C＝84°，分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线MN交AC点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP，此时射线BP恰好经过点D，则∠A＝32度．
三、解答题
10.（2020北京）已知：如图，∴ABC为锐角三角形，AB=BC，CD∴AB.
求作：线段BP，使得点P在直线CD上，且∴ABP=1
2
BAC .
作法：∴以点A为圆心，AC长为半径画圆，交直线CD于C，P两点；∴连接BP.线段BP 就是所求作线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∴CD∴AB，
∴∴ABP= .
∴AB=AC，
∴点B在∴A上.
又∴∴BPC=
1
2
∴BAC（）（填推理依据）
∴∴ABP=
1
2
∴BAC
【解析】（1）如图所示
（2）∠BPC；在同圆或等圆中同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。
11．（2020广州）（本小题满分12分）
如图10，△ABD中，∠ABD =∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，
交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若
13
2
OE=，10
BD=，求点E到AD的距离．
【详解过程】解：(1)作图如下：∴点C为所求的点A关于BD的对称点。
（2）①证明：∵点A与点C关于BD对称
图10
D
B
A
∴BC=BA, DC=DA
∵△ABD中，∠ABD =∠ADB
∴AB=AD
∴AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形。
②过B作BF⊥AD于点F。根据平行线上的距离处处相等
可知BF的长度就是点E到AD的距离。
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD于点O,即∠BOC＝90°。
∵在RT△BOC中，E为BC中点，
13
2
OE=
,
∴BC=2OE=13.
∴AB=BC=CD=DA=13.
∵BD=10.
∴BO=DO=5
∴在RT△BCO中，CO=12.
∴AC＝2CO=24.
∴
1
=
2
S AC BD
菱形
=
1
2410
2
??
=120.
∵
=
S AD BF
菱形
∴13×BD=120,即BD=
120
13
.
所以点E到AD的距离
120
13
。
12.（2020福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得//
CD AB，且2
CD AB
=；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为,
M N，求证：,,
M P N三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【详解】解：（1）
则四边形ABCD 就是所求作的四边形．
（2）∴AB CD ∥，∴ABP CDP ∠=∠，BAP DCP ∠=∠， ∴ABP CDP ??∽，∴
AB
AP CD CP
． ∴,M N 分别为AB ，CD 的中点， ∴2AB AM =，2CD CN =，∴
=AM AP
CN CP
． 连接MP ，NP ，又∴BAP DCP ∠=∠， ∴∽??APM CPN ，∴∠=∠APM CPN ，
∴点P 在AC 上∴180∠+∠=?APM CPM ，∴180∠+∠=?CPN CPM ， ∴,,M P N 三点在同一条直线上．
13．（2020陕西）如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°即可．
【解答】解：如图，点P 即为所求．
14．（2020哈尔滨）（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB 和线段CD 的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以AB 为边的正方形ABEF ，点E 和点F 均在小正方形的顶点上； （2）在图中画出以CD 为边的等腰三角形CDG ，点G 在小正方形的顶点上，且CDG ?的周
长为10+EG ，请直接写出线段EG 的长．
【解答】解：（1）如图，正方形ABEF 即为所求．
（2）如图，CDG ?即为所求．EG
15.（2020江西）.如图，在正方形网格中，ABC ?的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）.
（1）在图1中，作ABC ?关于点O 对称的'''A B C ?；
（2）在图2中，作ABC ?绕点A 顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的'''A B C ?.
【解析】作图如下：
16．（2020南京）（9分）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A B'与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．
为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明+<'+．请完成这个证明．
AC CB AC C B'
（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．
①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；
②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
【解答】证明：（1）如图②，连接A C''，
点A，点A'关于l对称，点C在l上，
∴=，
CA CA'
AC BC A C BC A B ''∴+=+=，
同理可得AC C B A C BC '''''+=+， A B A C C B ''''<+， AC BC AC C B ''∴+<+；
（2）如图③，
在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB ，（其中点D 是正方形的顶点）； 如图④，
在点C 出建燃气站，铺设管道的最短路线是ACD DE EB ++，（其中CD ，BE 都与圆相切） 17.（2020贵阳）如图，在44?的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为项点分别按下列要求画三角形．
（1）在图∴中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图∴中，画一个直角三角形，使它的一边长是有理数，另外两边长是无理数； （3）在图∴中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数．
【分析】
（1）画一个边长为3,4,5的三角形即可；
（2）利用勾股定理，找长为、4的线段，画三角形即可；
（3）利用勾股定理，找长为、 【详解】解：（答案不唯一）
图∴（2）图∴（3）图∴
18.（2020无锡）如图，已知ABC ?是锐角三角形()AC AB <．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若5
3
BM =，2BC =，则O 的半径为________．
解：（1）∴先作BC 的垂直平分线：分别以B ，C 为圆心，大于1
2
BC 的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l ，分别交AB 、BC 于M 、N ；
∴再作ABC ∠的角平分线：以点B 为圆心，任意长为半径作圆弧，与ABC ∠的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B ，即为ABC ∠的角平分线，这条角平分线与线段MN 的交点即为O ； ∴以O 为圆心，ON 为半径画圆，圆O 即为所求； （2）过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ，设ON OE r == ∴53BM =
，2BC =，∴1BN =，∴43
MN =
根据面积法，∴BMN BNO BMO S S S =+△△△ ∴
141151123223r r ??=??+??，解得12
r =， 故答案为：1
2
r =
．
19..（2020长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：AOB ∠ 求作：AOB ∠的平分线
做法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ， （2）分别以点M ，N 为圆心，大于1
2
MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于点C
（3）画射线OC ，射线OC 即为所求．
请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)． ∴SSS ∴SAS ∴AAS ∴ASA （2）请你证明OC 为AOB ∠的平分线．
解：（1）根据作图的过程知道：OM=ON ，OC=OC ，CM=CM ，所以由全等三角形的判定定理SSS 可以证得∴EOC∴∴DOC ，从而得到OC 为AOB ∠的平分线； 故答案为：∴； （2）如图，
连接MC 、NC ． 根据作图的过程知， 在∴MOC 与∴NOC 中，
OM ON OC OC CM CN ??
???
＝＝＝， ∴∴MOC∴∴NOC （SSS ）， ∴AOC=∴BOC ，
∴OC 为AOB ∠的平分线．
20.(2020甘肃定西）如图，在ABC ?中，D 是BC 边上一点，且BD BA =.
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作ABC ∠的角平分线交AD 于点E ； ②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F .
（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系. .解：（1）①作出ABC ∠的角平分线； ②作出线段DC 的垂直平分线.
（2）数量关系：
1
2
EF AC
；
位置关系：//
EF AC.
21．（2020吉林）（7分）图①、图②、图③都是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：
（1）在图①中，画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N为格点．
（2）在图②中，画一条不与AC重合的线段PQ，使PQ与AC关于某条直线对称，且P，Q为格点．
（3）在图③中，画一个△DEF，使△DEF与△ABC关于某条直线对称，且D，E，F为格点．
解：（1）如图①，MN即为所求；
（2）如图②，PQ即为所求；
（3）如图③，△DEF即为所求．
22．（2020宁夏）（6分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．
（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．
解：（1）由题意知：△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1），则△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1的坐标为A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），
连接A1C1，A1B1，B1C1
得到△A1B1C1．
如图所示△A1B1C1为所求；
（2）由题意知：位似中心是原点，
则分两种情况：
第一种，△A2B2C2和△ABC在同一侧
则A2（2，6），B2（8，2），C2（2，2），
连接各点，得△A2B2C2．
第二种，△A2B2C2在△ABC的对侧
A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣2），C2（﹣2，﹣2），
连接各点，得△A2B2C2．
综上所述：如图所示△A2B2C2为所求；
23．（2020江苏泰州）（10分）如图，已知线段a，点A在平面直角坐标系xOy内．
（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P，使点P到两坐标轴的距离相等，且与点A的距离等于a．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若a≈A点的坐标为(3,1)，求P点的坐标．
【解答】解：（1）如图，点P即为所求；
（2）由（1）可得OP是角平分线，设点(,)
P x x，
过点P作PE x
⊥于点D，
⊥轴于点F，AD PE
⊥轴于点E，过点A作AF x
PA a
=≈A点的坐标为(3,1)，
AD x
=-，
PD x
1
∴=-，3
根据勾股定理，得
222
=+，
PA PD AD
222
∴=-+-，
(1)(3)
x x
解得5
x=-（舍去）．x=，1
所以P点的坐标为(5,5)．