全国高中数学联赛试题1

全国高中数学联赛试题

第二试

（10月16日上午10：00～12：00）

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1．(·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④B．①②③C．①③④D．①②④

2．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是( )

A．1B．2C．3D．4

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．钝角三角形

6．(·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )

A．2＋3B．1＋3C．2＋23D．4＋3

7．(·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为1

，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆

8．(·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________．

10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图2是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．

11．(·银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？

12．(·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；

(2)求出侧视图的面积．

1．(·江西八所重点高中模拟)底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )

A．23B．3C.3D．4

2．(·深圳模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD是矩形，平面

ABCD⊥平面ABE，已知AB＝2，AE＝BE＝3，且当规定正视方向垂直平

面ABCD时，该几何体的侧视图的面积为

.若M，N分别是线段DE，CE

上的动点，则AM＋MN＋NB的最小值为________．

3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图如图1和2所示，其中正视图、侧视图均为边长为a的正方形．

(1)请在图2指定的框内画出多面体的俯视图；

(2)若多面体底面对角线AC，BD交于点O，E为线段AA1的中点，求证：OE∥平面A1C1C；

(3)求该多面体的表面积．

[答题栏]

A级1._________2._________3._________4._________5

._________6._________B级 1.______2.______ 7.__________8.__________9.__________

答案

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十)

A级

1．A2.A3.C4.B

5．选B由斜二测画法知B正确．

6．选D依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋1

×2×3＝4＋ 3.

7．解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△A BE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③

8．解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几何体的体积为12×2×2sin60°×2－13×12×2×2sin60°×1＝53

答案：53

9.解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF ，其中E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连接AO ，易得AO ＝2，而PA ＝3，于是解得PO ＝1，所以PE ＝2，故其正视图的周长为2＋2 2.

答案：2＋22

10．解：图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体． 11．解：如图所示，正四棱锥S －ABCD 中，高OS ＝3，

侧棱SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝7，在Rt △SOA 中，

OA ＝SA2－OS2＝2，∴AC ＝4. ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2 2. 作OE ⊥AB 于E ，则E 为AB 中点．连接SE ，则SE 即为斜高，在Rt △SOE 中，

∵OE ＝1

2BC ＝2，SO ＝3，

∴SE ＝5，即侧面上的斜高为 5.

12．解：(1)三棱锥的直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝

42－? ??

??23×32×232

＝12＝23，

∴S △VBC ＝1

×23×23＝6.

B 级

1．选A 当正视图的面积达最大时可知其为正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示位置放置，此时侧视图的面积为2 3.

2．解析：依题意得，点E 到直线AB 的距离等于

2－? ??

??222＝2，因为该几何体的左(侧)视图的面积为12·BC ×2＝2

2，所以BC ＝1，DE ＝EC ＝DC ＝2.所以△DEC 是正三角形，∠DEC ＝60°，tan ∠DEA ＝AD AE ＝3

3，∠DEA ＝∠CEB ＝30°.把△DAE ，△DEC 与△CEB 展在同一平面上，此

时连接AB ，AE ＝BE ＝3，∠AEB ＝∠DEA ＋∠DEC ＋∠CEB ＝120°，AB2＝AE2＋BE2－2AE ·BEcos120°＝9，即AB ＝3，即AM ＋MN ＋NB 的最小值为3.

答案：3

3．解：(1)根据多面体的直观图、正视图、侧视图，得到俯视图如下：

(2)证明：如图，连接AC ，BD ，交于O 点，连接OE. ∵E 为AA1的中点，O 为AC 的中点， ∴在△AA1C 中，OE 为△AA1C 的中位线． ∴OE ∥A1C.

∵OE ?平面A1C1C ，A1C ?平面A1C1C ， ∴OE ∥平面A1C1C.

(3)多面体表面共包括10个面，SABCD ＝a2， SA1B1C1D1＝a2

，

S △ABA1＝S △B1BC ＝S △C 1DC ＝S △ADD1＝a2

2，

S △AA1D1＝S △B1A1B ＝S △C1B1C ＝S △DC1D1 ＝12×2a 2×32a 4＝3a28， ∴该多面体的表面积

S ＝a2＋a22＋4×a22＋4×3a2

8＝5a2.

高考数学（文）一轮：一课双测A+B精练(四十四) 直线、平面垂直的判定与性质

1．(·杭州模拟)设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分条件是( )

A．a⊥c，b⊥cB．α⊥β，a?α，b?β

C．a⊥α，b∥αD．a⊥α，b⊥α

2．设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题

①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l?β，且l∥α，则l∥β.

其中正确的命题是( )

A．①②B．②③C．②④D．③④

3．给出命题：

(1)在空间里，垂直于同一平面的两个平面平行；

(2)设l，m是不同的直线，α是一个平面，若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

(3)已知α，β表示两个不同平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件；

(4)a，b是两条异面直线，P为空间一点，过P总可以作一个平面与a，b之一垂直，与另一个平行．

其中正确命题个数是( )

A．0B．1C．2D．3

4.(·济南模拟)如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝

90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )

A．直线AB上B．直线BC上

C．直线AC上D．△ABC内部

5.(·曲阜师大附中质检)如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平

面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中

点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距

离等于线段BC的长．其中正确的是( )

A．①②B．①②③C．①D．②③

6.(·济南名校模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下面命题正确的是( )

A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC

7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各

边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

8．(·忻州一中月考)正四棱锥S－ABCD的底面边长为2，高为

2，E是BC的中点，动点P在四棱锥的表面上运动，并且总保持

PE⊥AC，则动点P的轨迹的长为________．

9.(·蚌埠模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1

上运动，给出下列四个命题：

①三棱锥A－D1PC的体积不变；

②A1P∥平面ACD1；

③DP⊥BC1；

④平面PDB1⊥平面ACD1.

其中正确的命题序号是________．

10.如图所示，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB

的中点，D为PB的中点，且△PMB为正三角形．

(1)求证：DM∥平面APC；

(2)求证：平面ABC⊥平面APC.

11.(·北京海淀二模)如图所示，PA⊥平面ABC，点C在以AB为直径的⊙O上，∠CBA＝30°，PA＝AB＝2，点E为线段PB的中点，点M在AB 上，且OM∥AC.

(1)求证：平面MOE∥平面PAC；

(2)求证：平面PAC⊥平面PCB.

12．(·珠海摸底)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是梯形，AB ∥CD ，四边形ACFE 是矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，AD ＝DC ＝CB ＝AE ＝a ，∠ACB

＝π

(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；

(2)若M 是棱EF 上一点，AM ∥平面BDF ，求EM 的长．

1.如图，在立体图形D －ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列正确的是( )

A ．平面ABC ⊥平面ABD

B ．平面ABD ⊥平面BDC

C ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDE

D ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE

2．如图所示，b ，c 在平面α内，a ∩c ＝B ，b ∩c ＝A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，b ⊥c ，若C ∈a ，D ∈b ，则△ACD 是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形

3.(·莆田模拟)如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC ，△ABC 分别是以A ，B 为直角顶点的等腰直角三角形，AB ＝1.

(1)现给出三个条件：①PB ＝3；②PB ⊥BC ；③平面PAB ⊥平面A BC.试从中任意选取一个作为已知条件，并证明：PA ⊥平面ABC ；

(2)在(1)的条件下，求三棱锥P －ABC 的体积． [答题栏]

A 级

1._________

2._________

3._________

4._________

5._

________6._________

B 级

1.______

2.______

7.__________8.__________9.__________

答案

高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(四十四)

A级

1．C2.D3.B4.A

5．选B对于①，∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC.∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA.∵PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．

6．选D在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.

7．解析：由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，

即有PC⊥平面MBD.

而PC?平面PCD，

∴平面MBD⊥平面PCD.

答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)

8．解析：如图，设AC∩BD＝O，连接SO，取CD的中点F，SC的

中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，连接GH，

易知AC⊥EF，

GH∥SO，

∴GH⊥平面ABCD，

∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，

故动点P的轨迹是△EFG，

由已知易得EF＝2，

GE＝GF＝

，∴△EFG的周长为2＋6，故动点P的轨迹长为2＋ 6.

答案：2＋6

9．解析：连接BD交AC于O，连接DC1交D1C于O1，连接OO1，则OO1∥BC1.

∴BC1∥平面AD1C，动点P到平面AD1C的距离不变，

∴三棱锥P－AD1C的体积不变．

又VP－AD1C＝VA－D1PC，∴①正确．

∵平面A1C1B∥平面AD1C，A1P?平面A1C1B，

∴A1P∥平面ACD1，②正确．

由于DB不垂直于BC1显然③不正确；

由于DB1⊥D1C ，DB1⊥AD1，D1C ∩AD1＝D1， ∴DB1⊥平面AD1C.DB1?平面PDB1， ∴平面PDB1⊥平面ACD1，④正确．答案：①②④

10．证明：(1)由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP. 又MD ?平面APC ，AP ?平面APC ，故MD ∥平面APC.

(2)因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB.所以AP ⊥PB.

又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC. 因为BC ?平面PBC ，所以AP ⊥BC.

又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC. 因为BC ?平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC.

11．证明：(1)因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点，所以OE ∥PA.

因为PA ?平面PAC ，OE ?平面PAC ，所以OE ∥平面PAC. 因为OM ∥AC ，

且AC ?平面PAC ，OM ?平面PAC ，所以OM ∥平面PAC.

因为OE ?平面MOE ，OM ?平面MOE ，OE ∩OM ＝O ，所以平面MOE ∥平面PAC.

(2)因为点C 在以AB 为直径的⊙O 上，所以∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC. 因为PA ⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ，所以PA ⊥BC. 因为AC ?平面PAC ，PA ?平面PAC ， PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC. 因为BC ?平面PCB ，所以平面PAC ⊥平面PCB.

12．解：(1)证明：因为∠ACB ＝π

2，所以BC ⊥AC.又因为BC ?平面ABCD ，平面ACFE ∩平

面ABCD ＝AC ，平面ACFE ⊥平面ABCD ，

所以BC ⊥平面ACFE.

(2)记AC ∩BD ＝O ，在梯形ABCD 中，因为AD ＝DC ＝CB ＝a ，AB ∥CD ，所以∠ACD ＝∠CAB

＝∠DAC.

所以π＝∠ABC ＋∠BCD ＝∠DAB ＋∠ACD ＋∠ACB ＝3∠DAC ＋π2，所以∠DAC ＝π

6，即

∠CBO ＝π

又因为∠ACB ＝π

2，CB ＝a ，所以CO ＝33a.连接FO ，由AM ∥平面BDF 得

AM ∥FO ，因为四边形ACFE 是矩形，所以EM ＝CO ＝

a. B 级

1．选C 要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直．因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC ，同理有DE ⊥AC ，于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内，所以平面ABC ⊥平面BDE.又由于AC ?平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE.

2．解析：选B ∵a ⊥b ，b ⊥c ，a ∩c ＝B ， ∴b ⊥面ABC ，

∴AD ⊥AC ，故△ACD 为直角三角形． 3．解：法一：(1)选取条件① 在等腰直角三角形ABC 中， ∵AB ＝1， ∴BC ＝1，AC ＝ 2. 又∵PA ＝AC ，∴PA ＝ 2. ∴在△PAB 中，AB ＝1，PA ＝ 2. 又∵PB ＝3， ∴AB2＋PA2＝PB2.

∴∠PAB ＝90°，即PA ⊥AB. 又∵PA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ， ∴PA ⊥平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知PA ⊥平面ABC ，

V 三棱锥P －ABC ＝13PA ·S △ABC ＝13×2×12×12＝2

法二：(1)选取条件② ∵PB ⊥BC ，

又AB ⊥BC ，且PB ∩AB ＝B ，

∴BC⊥平面PAB.

∵PA?平面PAB，

∴BC⊥PA.

又∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，

∴PA⊥平面ABC.

(2)依题意得，由(1)可知PA⊥平面ABC.∵AB＝BC＝1，AB⊥BC，

∴AC＝2，

∴PA＝2，

∴V三棱锥P－ABC＝1

3PA·S△ABC＝

AB·BC·PA＝

×1×1×2＝

法三：(1)选取条件③

若平面PAB⊥平面ABC，

∵平面PAB∩平面ABC＝AB，BC?平面ABC，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.

∵PA?平面PAB，∴BC⊥PA.

∵PA⊥AC，且BC∩AC＝C，

∴PA⊥平面ABC.

(2)同法二．