复变函数期末试卷
一 . 填空 (每题2分，共10分)。 1. 设)
2)(3()
3)(2)(1(i i i i i z ++--+=
，则=z .
2.设c 为沿原点z =0到点z =1+i 的直线段,则=?
c
dz z 2 2 .
3. 函数f(z)=]1)
(z 11z 1[1z
15
+++++ 在点z=0处的留数为__________________ 4. 若幂级数i z z c
n n
n 210+=∑∞
=在处收敛，则该级数在z =2处的敛散性为 .
5. 设幂级数
∑∞
=0
n n
n z
c
的收敛半径为R ，那么幂级数
∑∞
=-0
)12
(n n n n
z c 的收敛半径为 .
二. 单项选择题 (每题2分，共40分)。 1． 复数i 25
8-2516z =的辐角为 （ ） A ．arctan 2
1 B ．-arctan 2
1 C ．π-arctan 2
1 D ．π+arctan 2
1
2． 方程1Rez 2
=所表示的平面曲线为 （ ）
A ．圆
B ．直线
C ．椭圆
D ．双曲线 3．复数)5
isin
-5
-3(cos z π
π
=的三角表示式为 （ ）
A ．)54isin 543(cos -ππ＋
B ．)5
4isin 543(cos ππ－ C ．)54isin 543(cos
ππ＋ D ．)5
4isin 543(cos -ππ－ 4．设z=cosi ，则 （ ）
A ．Imz=0
B ．Rez=π
C ．|z|=0
D ．argz=π 5．复数i
3e
+对应的点在 （ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 6．设w=Ln(1-i),则Imw 等于（ ） A ．4π
－
B ． 1,0,k ,42k ±=ππ－
C ．4
π D ． 1,0,k ,42k ±=+ππ 7.设函数f(z)=u+iv 在点z 0处可导的充要条件是 ( ) A. u,v 在点z 0处有偏导数
C. u,v 在点z 0处满足柯西—黎曼方程
B. u,v 在点z 0处可微 D. u,v 在点z 0处可微，且满足柯西—黎曼方程
8．若函数f(z)在正向简单闭曲线C 所包围的区域D 内解析，在C 上连续，且z=a 为D 内任一点，n 为正整数，则积分
?+-c n a z z f 1)()
(等于 （ ）
A ．)()!1(2)1(a f n i n ++π
B ．)(!2a f n i
π C ．)(2)
(a if
n π D ．
)(!
2)
(a f n i
n π
9．
设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分
?+-c n i z dz
1)(等于 （ ）
A.1 B ．2πi C ．0 D ．
i
π21 10．设C 为正向圆周|z|=2，则积分dz z c ?
-
等于 （ ）
A ．0
B ．2πi
C ．4πi
D ．8πi 11．设函数f(z)=
?
z
d e 0
ζζζ，则f （z ）等于 （ ）
A ．1++z z e ze
B ．1-+z z e ze
C ．1-+-z z e ze
D ．1+-z z e ze 12．设积分路线C 为z=-1到z=1的上半单位圆周，则
?+c 2dz z 1
z 等于（ ）
A ．i 2π+
B ．i -2π
C ．i -2-π
D ．i 2-π+
13．幂级数∑∞
=1n 1
-n n!
z 的收敛区域为（ ）
A ．+∞<<|z |0
B ．+∞<|z |
C ．1|z |0<<
D ．1|z |<
14．
3z π=是函数f(z)=
π
π
-3z )3-sin(z 的（ ） A.一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 15．
z=-1是函数
4
1)
(z z
cot +π的 （ ） A.3级极点 B ．4级极点 C ．5级极点 D ．6级极点 16．
幂极数
∑∞
=+1
n n
z (2n)!1)!n （的收敛半径为（ ） A.0 B ．1 C ．2 D ．＋∞ 17．
设Q （z ）在点z=0处解析，1)
-z(z Q(z)
f(z)=
,则Res[f(z),0]等于 （ ）
A ．Q （0）
B ．－Q （0）
C ．Q ′（0）
D ．－Q ′（0） 18．下列积分中，积分值不为零的是（ ）
A ．2|1-z C 3)dz,2z (z c
3=++?为正向圆周｜其中 C ．
1|z C dz,sinz z
c =?为正向圆周｜其中
B ．5|z
C dz,e c
z =?为正向圆周｜其中 D ．
2|z C dz,1-z cosz
c =?为正向圆周｜其中
19.级数
∑∞
=1
n in
e
是 ( )
A. 收敛
B. 发散
C. 绝对收敛
D. 条件收敛
20.在|z|<1内解析且在（-1，1）内具有展开式∑∞
=-0
n n n
x )
1(的函数只能是（ ）
A. z
11
+ B.
2
z 11- C.
z 11
- D. 2
z 11+
三．计算及应用题（每题10分，共50分）。
1．求函数6
z 5z 1)z (f 2+-=
在z=1处的泰勒展开式及+∞<<--=
||2)
2)(1(1
)(z z z z g 在
内展开为洛朗级数.
2．设)2()(;2cos )(2
3π
ξξξξξf z f z d z z f ''≠-+=?
=及求，. 3．.给定积分
?
-C
z
dz z z e 2
)2(.试就下列不同情形，写出此积分的值：
(1)C 为正向圆周|z|=1， (2)C 为正向圆周|z-2|=1, (3)C 为正向圆周|z|=3.
4．已知解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的虚部v(x,y)=x 3-3xy 2,并且f(i)=0,求f(z). 5. 讨论y ix xy z f 22)(+=的可导性与解析性. 一、 填空题(每空 3 分，共15 分) 1、复数484z +=i 的模||z ＝_____________________。
2、i
i
-2=________________。
3、设C 为正向圆周||
z =2，则?c
dz 2
-
z π
iz e =___________________________。
4、Z=1是
1)(3-=z z f 的____________级零点。
5、设
Z
e z
f 1)(=，则=]0),([Re z f s ________________。
二、单项选择题（每题 3 分，共15 分）
1、当y x ,等于什么实数时，等式i i
y i x +=+-++135)
3(1成立（ ）
（A ）4,0==y x (B)11,2==y x （C ） 11,1==y x (D) 4,2==y x
2、函数z
1=?把Z 平面上的曲线42
2=+y x 映射成为?平面上的（ ）
（A ）一条过原点的直线v
u = （B ）一个过原点的圆
（C ）上半平面0)Im(>? （D ）方程为4
1
22
=
+v u 的圆 3、设C 为正向圆周：3||=z ，则?
+c dz z z )
1(1
的值为（ ） （A ）0 （B ）i π2 （C ）-1 (D) -i π2 4、0=z
是
z
z
sin 的（ ） （A ）可去奇点 （B ）一级极点 （C ）本性奇点 (D) 零点 5、下列函数处处解析的是（ ）
（A ）iy x z f -=2)( （B ）i y x z f 3332)(+=
（C ）
y ix xy z f 22)(+= (D) )sin (cos )(y i y e z f x +=
三、（10分）设z=z ),z (Im ),z (Re ,i
1i
2i 1求---
四、（10分）将复数)0(sin cos 1π??
?≤<+-=i Z 化成三角形式与指数形式，并求它的辐角主值。
五、（10分）设函数
)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=.问常数d c b a ,,,取何值时，)(z f 在
复平面内处处解析？ 六、（10分）证明y x y y x u 233),(-=
为调和函数，并求其共轭调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数
iv u z f +=)(。
七、（12分）计算下面积分的值，其中C 为正向圆周|z|=3
（1）?-=c
2
dz 2z
z 1
-2z I （2）?=c
5
dz 1)-(z z cos I π 八、（10分）将+∞<<--=
|z |2)
2z )(1z (1
)z (f 在内展开为洛朗级数
九、（8分）用留数计算实积分?+=∞
+∞
-.x 1)
(x 1
2
2d I
一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1．（1＋i ）3＋（1－i ）3＝ ____________
2.e
2
1π
i -
= 。
3．
?
c
dz z
z
＝ 其中C 为正向圆周：z ＝4。 4．
?=12sin z n dz z
z
＝ （其中n 为正整数）。 5.Res ??
?
???-1,12
z ze z = __________ 二、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．下列函数极限存在的是 （ ）
A ．0
lim →z
z z )Re( B. 0lim →z z z C. 0lim →z 12
22---+z z z z z D. 0lim →z i 21(z
z －z z )
2．将Z 平面上的曲线x 2+y 2=4映射成W 平面上的曲线u 2+v 2=4
1
的映射函数f(z)为( ) A ．W=Z B.W=Z 2 C.W=
Z
1
D.W=Z 3．下列命题正确的是 （ ）
A ．如果)(z f 在z 0连续，那么)('0z f 存在
B ．如果)('0z f 存在，那么)(z f 在z 0解析
C ．如果)(z f 在z 0解析，那么)('0z f 存在
D ．如果z 0是)(z f 的奇点，那么)(z f 在z 0不可导
4．下列级数绝对收敛的是 （ ）
A ．∑∞
=1n n n i B.∑∞=2ln n n n i C.∑∞=+08)56(n n n
i D.∑∞
=??
?
??
?+-121)1(n n
n i n 5．∞是f(z)=
1
+z z
的 （ ） A ．可去奇点 B.一级极点 C.本性奇点 D.二级极点 三、计算题(每题10 分，共 70 分)
1.已知y x u )1(2-=为调和函数，求满足f(2)=-i 的解析函数f(z)=u+iv 。
2．设f(z)=?
=-+-221
23ξξξξξd z (1)试求f(1)；(2)当2≠z 时，试求f(z)。 3. 求函数f(z)=2
1
2-+z z 在圆环域+∞<-<13z 内的洛朗展开式。
4. 计算积分?-+c
z z z )4()1(1
4
dz ，C 为正向圆周：z ＝5。 5. 计算
?+∞
∞-+dx x
x
x 21sin 。 6. 求?Γ1
Re zdz +?Γ2
Re zdz ，其中1Γ和2Γ的起点和终点相同，都是0和1＋i ，但路径不同，1Γ是连接这两
点的直线段，2Γ是经过z=1的折线段。 7. 设级数
∑∞
=0
n n
C
收敛，而
∑∞
=0
n n
C
发散，证明
n n n
z C
∑∞
=0
的收敛半径为1。
一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1．设100
i)(1z +=，则Imz ＝ 。
2.方程lnz=
i 3
π
的解为 。 3．设C 为正向圆周|z|=1，则?
+c )dz z z
1(＝ 。
4．幂级数∑∞
=1
n 2
1
-n n n z 2的收敛半径为 。 5. 的为函数2
2
23z
z z z ++∞=奇点类型是 。 二．选择题(每题 3 分，共 15 分) 1．复数i 21
8-2116z =的辐角为 （ ）
A.arctan 2
1 B ．-arctan 2
1 C ．π-arctan 2
1 D ．π+arctan 2
1
2.设z=cosi ，则（ ）
A ．Imz=0
B ．Rez=π
C ．|z|=0
D ．argz=π 3．设函数f(z)=
?z
d e
ζζζ
，则f （z ）等于（ ）
A ．1++z z e ze
B ．1-+z z e ze
C ．1-+-z z e ze
D ．1+-z
z e ze
4．设Q （z ）在点z=0处解析，1)
-z(z Q(z)
f(z)=
,则Res[f(z),0]等于（ ）
A ．Q （0）
B ．－Q （0）
C ．Q ′（0）
D ．－Q ′（0） 5．0z =是函数f(z)=z
cos 1sinz -的 （ ）
A.一级极点 B ．可去奇点 C ．一级零点 D ．本性奇点 三．计算题(每题10 分，共 70 分)
1. 求2
2
y -2xy x u +=的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1。 2．求
?+c n z )
1(1
其中C 为不经过z=-1的任意简单闭曲线，n 为整数。 3. 试求函数f(z)=
ζζd e z
-2
?
在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域。 4. 利用留数计算积分
?--c z z z 4)
1)(3(1
dz ，其中C 为正向圆周： z ＝4. 5. 设)2(2)(23π
ξξξξf z d z
z f ''<-=?
=，求，其中. 6. 将+∞<<-=
||2)2(1
)(2
z z z f 在内展开为洛朗级数。
7.若复数321,,z z z 的模相等且1z +2z +3z =0.证明: 321,,z z z 构成等边三角形的三个顶点。 07-08复变答案
一． 1． -4 2. ie - 3. i π8 4. )!
12(2)1(1---n i n π 5. 2e
二．1．C 2.C 3.C 4.C 5.A
三． 1.i iz i iy x i x i y y
u
i x u z f 222)(2)22(2)(+-=++-=--=??-??=
' C iz iz z f ++-=2)(2 又i C i f -=?-=)2( 则i iz iz z f -+-=2)(2
2.（1）πξξπξξξξξξ4)123(211
23)1(121
2=+-=-+-===?
i d f i
（2）时2>z 0)(=z f 时2 ? ? ??+--?=-+=-+= 211131)1)(2(121)(2z z z z z z z f +∞<-<13z 时，113 <-z ∑∞=??? ??--?-=?? ? ?? ---?-=-+=+013111311 1 1 )1(3121n n z z z z z z ()()∑∞ =----??---?=1211311131)(n n n n z z z f 4. ???? ????????-++??????--++??????-+?=-+? =4,)4()1(1Re 1,)4()1(1Re 0,)4()1(1Re 2) 4()1(1 4 445 4 z z z s z z z s z z z s i dz z z z z π ??????∞-+?-=,)4()1(1Re 24z z z s i π?????? ???????-+?=0,1)41()11(11Re 224z z z z s i π??????-+?=0,)41()1(Re 24 4 z z z s i π （z=0是可去奇点） ＝0 5. ? ?? ?? ?+?=????????????+?=??????+=+→+∞∞-+∞ ∞-??i z ze i i z ze s i dx x xe dx x x x iz i z iz ix lim 2Im ,1Re 2Im 1Im 1sin 2 22ππ e e i i ie i π ππ=??????=????? ??=-Im 22Im 1 中南大学考试试卷(A) 2008--2009学年第二学期 时间110分钟 复变函数与积分变换课程40学时2.5学分 考试形式：闭卷 专业年级：教改信息班 总分100分，占总评成绩70 % 注：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上 一、单项选择题（15分，每小题3分） 1． 下列方程中，表示直线的是（ ）。 ()()()()()()()254(54)54(54)1 12R e 1 A i z i z z z B i z i z C z i z i D z z z -++ =-++=-++= =- 2． 函数222()()(2)f z x y x i xy y =--+-在（ ）处可导。 ()()()()22A B x C y D ==全平面 处处不可导 3． 下列命题中，不正确的是（ ）。 ()()()()()()()()()0R e s ,0I m 1.z z A f z f z B f z D z f z D C e i D z e i ωπω∞∞ =-=<<<+如果无穷远点是的可去奇点,那么若在区域内任一点的邻域内展开成泰勒级数 ,则在内解析. 幂级数的和函数在收敛圆内是解析函数.函数将带形域0()映射为单位圆 4． 下列级数绝对收敛的是（ ）。 ()()()() ()2 2111 1112n n n n n n n i i i A B C i D n n n ∞∞ ∞ ∞ ====?? ++ ?? ?∑ ∑∑∑ 5． 设()f z 在01z <<内解析且()0 lim 1z zf z →=，那么()() Res ,0f z =（ ）。 ()()()()22 11 A i B i C D ππ-- 二、填空题（15分，每空3分） 1．()Ln 1i -的主值为 。 2．函数()()Re Im f z z z z ()=+仅在点z = 处可导。 3． ()1 sin z z z e z dz =-=? 。 4． 函数()ln 1z +在0z =处的泰勒展开式 。 5． 幂级数()1 1n n z n ∞ =-∑ 的收敛半径为 。 三．(10分)求解析函数f z u iv ()=+，已知22,()1u x y xy f i i =-+=-+。 四．(20分)求下列积分的值 1． () 2 2 4 1z z e dz z z =-? 2． ()2 sin 0x x dx a x a +∞ >+? 五．(15分)若函数()z ?在点解析，试分析在下列情形： 1．为函数()f z 的m 阶零点； 2．为函数()f z 的m 阶极点； 求()()()0Res ,f z z z f z ??? '??? ?。 六．（15分）试求()2 1 1f z z = +以z i =为中心的洛朗级数。 七．（10分）已知单位阶跃函数()0 01 t u t t >?=? 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续 复变函数试题汇总 ————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期： ? 《复变函数》考试试题(一） 一、 判断题（2０分）: 1.若ｆ(z)在z 0的某个邻域内可导,则函数f(ｚ)在ｚ0解析． （ ) 2. 有 界 整 函 数 必 在 整 个 复 平 面 为 常 数 . ( ） ３ . 若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. （ ) 4．若ｆ(z)在区域Ｄ内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)((常数）. ( ) ５.若函数ｆ(z)在z ０处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ） 6.若 z 0是 )(z f 的 m 阶零点，则 z 0是 1/ )(z f 的 m 阶极 点． （ ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z ０ 是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域 D 内的单叶函数,则)(0)('D z z f ∈?≠. （ ） 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . 10.若函数f （z ）在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f （ｚ)在区域D 内恒等于常数.( ） 二．填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz ＿__＿______.(n 为自然数) 2. =+z z 22cos sin ____＿____. 3．函数z sin 的周期为_________＿＿． 《复变函数论》期末考试试题-A 卷答案 一、 选择题（每小题4分，共20分） ⒈ 21|z | 《复变函数论》试卷一 一、填空（30分） 1. 将复数()πααα≤≤+-=0sin cos 1i z 化为三角表示式，则=z 把它化为指数表示式，则=z 2.=+i e π3 ，()i i +1的辐角的主值为 3. =z 0是()44sin z z z f =的 阶零点. 4.0z 是()z f 的()1>m m 阶零点，则0z 是 () z f '1 的 阶极点. 5.已知()()2323cxy x i y bx ay z f +++=为解析函数， 则___________________===c b a 6.方程0273=+z 的根为 ， ， 二、简要回答下列各题（15分） 1. 用复数i 去乘复数i +1的几何意义是什么？ 2. 函数()z f 在0z 解析有哪几个等价条件？ 3. 设函数()z f 在单连通区域D 内处处解析，且不为零，C 是D 内的任一简 单闭曲线，问积分()() dz z f z f c ? '是否等于零，为什么？ 三、计算下列积分（16分） 1. c zdz ?，c 是从点1i -到点1i +的有向直线段 2. 20 2cos d πθ θ +? 四、（12分） 求函数() 1 1z z +在圆环112z <-<内的洛朗级数展开式. 五、（12分） 证明方程24290z z ++=在单位圆1z =内及其上无解. 六、（15分） 求映射，把带形区域0Re 2z <<共形映射成单位圆1w <，且把1z =映 射成0w =，把2z =映射成1w =. 《复变函数》试卷二 一、填空题（20分） 1. －2是 的一个平方根 2. 设2 1i z --= ，则，=z Argz ＝ =z Im 3. 若2 2z z =，则θi re z =满足条件 4. =z e e ，() =z e e Re 5. 设1≠=θi re z ，则()=-1ln Re z 6. 设变换βαβα,,+=z w 为复常数，则称此变换为 变换，它是由 等三个变换复合而成. 7. 幂级数∑∞ =1 2n n n z n 的收敛半径=R 8.函数 b az +1 在0=z 处的幂级数展开式为 ，其收敛半径为 9.变换z e W =将区域π< dz C 2 2．设2 2-+= ni ni n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ） A. 0； B. 1； C. -1+i ； D. 1+i 。 3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。 A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。 4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( ) A.1 )(+=z e z f ； B ．- =z z f )( ； C ．n z z f =)( ； D ．)sin (cos )(y i y e z f x +=。 5 A. ∑∞ =+08)56(n n n i ； C. ∑∞ =02n n i ；三．计算题（每小题71．设z 1+= 2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。 3．计算积分? - C dz z z 4 )2 (sin π 4.计算积分 4=。 5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。 6.将函数) 2)(1(1 )(--=z z z f ，在圆环域21< 7.利用留数计算积分?C 四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。（7分） 参考答案 一、填空题（本大题共8小题，每小题3 1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或 二、单项选择题(本大题共7小题，每小题31. B ，2. B ，3.C,4. B,5. B . 三、计算题（本大题共7小题，15-19 1.解：由i z 31+=得：) sin (cos 2π π i z +=, （1分） 6 24 (cos 23166ππ k i z k +=+=所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)1813sin 1813(cos 262ππi z += , )25sin 1825(cos 264ππi z +=,5z 7分） 2. 解 ) 2()2y xy i x -+,则 (),(22y x y x u -= y u x x u ,12=??-=?? 只在2 1 = y ,x v ??-（6分） 故只在2 1 =y 处可导，处处不解析。（7分） 3z 在2=z 内解析，（2分） 得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11)(z z f +=，=)0() 5(f （ ）； 4．0=z 是 4 sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 )1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分 黄冈师范学院 2009—2010学年度第二学期期末试卷 考试课程：复变函数论 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师： 考试专业：数信学院数教 考试班级：数教200701-02班 一、 选择题（每小题4分，共20分） 1、复数i z 45-=，则=2Re z （ ） A 、40 B 、9 C 、-40 D 、-9 2、关于复数z ，下列不正确的是（ ） A 、||2z z z = B 、)Im()Re(iz z = C 、z Argz arg = D 、z z sin )sin(-=- 3、已知xy i y x z f 2)(22+-=，则)(z f ''是（ ） A 、2 B 、y x 22- C 、2z D 、0 4、下列等式中不正确的是（ ） A 、?==0cos 111z dz z B 、02111=?=dz e z z z C 、??=dz z f k dz z kf )()( D 、? =z z e dz e 5、下列级数收敛的是（ ） A 、∑∞ =+1)21(n n i n B 、∑∞=??????+-12)1(n n n i n C 、∑∞=02cos n n in D 、∑∞=+o n n i )251( A 卷 【第 1 页 共 2 页】 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、=-)22(i Arg ____________； 2、函数z e z f =)(是以 _______为基本周期； 3、幂级数∑∞ =12n n n z 的收敛半径R=____________； 4、函数()z z f cos =在0=z 处的泰勒级数是_________ ； 5、计算积分?==1||1 2 z z dz e 二、 判断题（每小题2分，共10分） 1、在几何上，θi re z =与)2(πθk i re z +=表示同一个复角.（ ） 2、当复数z=0时，则有0=z 和0arg =z .（ ） 3、可导函数一定处处连续，连续函数不一定处处可导.（ ） 4、若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内存在无穷阶导数.（ ） 5、收敛级数的各项必是有界的.（ ） 三、 计算及证明题（8+8+10+12+12，共50分） 1、若0321=z z z ，则复数321,,z z z 中至少有一个为零（8分） 2、已知解析函数iv u z f +=)(的虚部为222121y x v +- =，且0)0(=f ，求)(z f （8分） 3、已知c 为从z =0到z =2+i 的直线段，求?dz z c 2（10分） 4、将z e z -1在0=z 处展成幂级数（12分） 5、将函数2 )(+=z z z f 按1-z 的幂展开，并指出它的收敛范围.（12分） A 卷 【第 2 页 共 2 页】 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括 号内。错选、多选或未选均无分。 1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A. 12i + B. 12i -- C. 12i - D. 12i -+ 2．下列等式中，不成立的等式是（ ） 3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B. Re()0z >表示上半平面 C. 0arg 4 z π << 表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面 4．关于0 lim z z z z ω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω= 5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ） 6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ） A. cos z 是有界函数 B. 2 2Lnz Lnz = 7 ．在下列复数中，使得z e i =成立的是（ ） 8．已知3 1z i =+，则下列正确的是（ ） 9．积分 ||342z dz z =-??的值为（ ） A. 8i π B.2 C. 2i π D. 4i π 10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()z C e dz z i π-??等于（ ） A. 1 10! B. 210! i π C. 29! i π D. 29! i π- 11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327n n i ∞ =+?? ?? ?∑是绝对收敛的 B.级数 212 (1)n n i n n ∞ =??+ ?-??∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛 D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos ) z e z z -的（ ） A. 可去奇点 B.一级极点 C.二级极点 D. 三级极点 《复变函数》试卷 第1页（共4页） 《复变函数》试卷 第2页（共4页） XXXX 学院2016—2017学年度第一学期期末考试 复变函数 试卷 一、单项选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，请从每题备选项中选出唯一符合题干要求的选项，并将其前面的字母填在题中括号内。） 1. =)i Re(z ( ) A.)i Re(z - B.)i Im(z C.z Im - D.z Im 2. 函数2 ) (z z f =在复平面上 ( ) A.处处不连续 B. 处处连续，处处不可导 C.处处连续，仅在点0= z 处可导 D.处处连续，仅在点0=z 处解析 3.设复数a 与b 有且仅有一个模为1，则b a b a --1的值 ( ) A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.无穷大 4. 设x y z f y x z i )(i +-=+=，，则=')(z f ( ) A.i 1+ B.i C.1- D.0 5.设C 是正向圆周 1=z ，i 2sin π=?dz z z C n ，则整数n 等于 ( ) A.1- B.0 C.1 D.2 6.0=z 是2 1 )( z e z f z -=的 ( ) A.1阶极点 B.2阶极点 C. 可去奇点 D.本性奇点 7.幂级数!2)1(0 n z n n n n ∑∞ =-的和函数是 ( ) A.z e - B.2 z e C.2 z e - D.z sin 8.设C 是正向圆周 2=z ，则 =?C z dz 2 ( ) A.0 B.i 2π- C.i π D.i 2π 9.设函数)(z f 在)0( 00+∞≤<<- 第一章 复变函数测试题及答案-精品 2020-12-12 【关键字】条件、充分、关系、满足、方向、中心 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 (tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos( sec θπθπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） 学院领导 审批并签名 B 卷 广州大学20011-2012学年第二学期考试卷（答 案） 课 程： 复 变 函 数 考 试 形 式： 闭卷 考查 学院：_ _ _ _ 系：_ _ _ _ _ 专业：_ _ _ _ 班级：_ _ _ _ _ 学号：_ _ 姓名：_ _ _ _ _ 题 次 一 二 三 四 五 六 总分 评 卷 人 分 数 24 30 16 10 10 10 100 评 分 一．填空题（每小题3分，共24分） 1．设1255,34,z i z i =-=+ 则)Re( 2 1z z =__-1/5___。 2. 复数 13i - 的主幅角为 3/π-。 3. 复数1i +的指数形式为i e 42π 。 4. ln(3)i +=6 2ln π i +。 5. 曲线|3||3|10z z -++=的直角坐标方程为116 252 2=+y x 。 6. 0=z 是3 sin z z 的 2 级极点。 7. dz z z z ?=-1 ||2= 0 。 8. 复数项级数 1 2n n n n z ∞ =∑的收敛半径R = 2 。 二．解答下列各题（每小题6分，共30分） 1．求方程 3 10z +=的全部解。 p.32. )31(2 1 , 1),31(2 1 i i --+ 2．设iy x z +=，判定函数i y x z f 2332)(+=在何处可导？何处解析？ 答案： p.66. 在抛物线2x y =上可导，但在复平面上处处不解析。 3．计算积分2 ()C x iy dz +? ， 其中C 为连接原点O 到i +1的线段。 p.99 i 6 561+- 4．计算积分3 3() C z dz z i -??? 其中C 为正向圆周：||2z =。 答案： p.89 π6- 5．计算积分 cos i z z dz ? 。 答案： p.83 11--e 三．解答下列各题（每小题8分，共16分） 1．判断级数2(1)1 []ln 3n n n i n ∞ =-+∑的收敛性与绝对收敛性。 答案： p.109 收敛、非绝对收敛 2．将函数1 ()(1)(2) f z z z = --在圆环域1||2z <<内展成洛朗级数。 答案： p.132 ------- --8 4211112 1 z z z z z n n 四．（10分）求 dz z z z )3 211( 4 ||-++? =的值。 答案： p.86 i π6 复变函数试题与答案 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT- 第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 (tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ） )]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得2 2z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i -- 4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无 界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2. )1(i Ln +-的主值是 （ i 4 32ln 21π + ） ；3. 211)(z z f +=，=)0() 5(f （ 0 ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（一级）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3 -z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在（ C ） （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( B ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析， 则 0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算 ? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33 42215 d )2()1(z z z z z （4）函数3 2 32) (sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级. 四、（本题14分）将函数) 1(1 )(2 -= z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<- 第一章 复 数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 i （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 0) Im()Im(z z -） 1 1．设) 2)(3() 3)(2)(1(i i i i i z ++--+= ，则=z 2．设)2)(32(i i z +--=，则=z arg 3．设4 3)arg(,5π = -=i z z ，则=z 《复变函数论》试题库 《复变函数》考试试题（一） 一、 判断题（20分）： 1.若f(z)在z 0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z 0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若 } {n z 收敛，则 } {Re n z 与 } {Im n z 都收敛. ( ) 4.若f(z)在区域D 内解析，且 0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）. ( ) 5.若函数f(z)在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点. ( ) 7.若 ) (lim 0 z f z z →存在且有限，则z 0是函数f(z)的可去奇点. ( ) 8.若函数f(z)在是区域D 内的单叶函数，则)(0)('D z z f ∈?≠. ( ) 9. 若f (z )在区域D 内解析, 则对D 内任一简单闭曲线C 0)(=? C dz z f . ( ) 10.若函数f(z)在区域D 内的某个圆内恒等于常数，则f(z)在区域D 内恒等于常数.（ ） 二.填空题（20分） 1、 =-?=-1||0 0)(z z n z z dz __________.（n 为自然数） 2. =+z z 2 2cos sin _________. 3.函数z sin 的周期为___________. 4.设 11 )(2+= z z f ，则)(z f 的孤立奇点有__________. 5.幂级数 n n nz ∞ =∑的收敛半径为__________. 6.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. 7.若ξ=∞→n n z lim ，则=+++∞→n z z z n n (i) 21______________. 8.= )0,(Re n z z e s ________，其中n 为自然数. ____________________________________________________________________________________________________ 一、填空题（每小题2分） 1、复数i 212--的指数形式是 2、函数w = z 1将Z S 上的曲线()1122 =+-y x 变成W S (iv u w +=)上 的曲线是 3、若01=+z e ,则z ＝ 4、()i i +1= 5、积分()? +--+i dz z 22 22= 6、积分?==1sin 21z dz z z i π 7、幂级数()∑∞ =+0 1n n n z i 的收敛半径R= 8、0=z 是函数 z e z 1 11- -的 奇点 9、=??? ? ??-=1Re 21z e s z z 10、将点∞,i,0分别变成0,i,∞的分式线性变换=w 二、单选题（每小题2分） 1、设α为任意实数，则α 1=（ ） A 无意义 B 等于1 C 是复数其实部等于1 D 是复数其模等于1 2、下列命题正确的是（ ） A i i 2< B 零的辐角是零 C 仅存在一个数z,使得z z -=1 D iz z i =1 3、下列命题正确的是（ ） A 函数()z z f =在z 平面上处处连续 B 如果()a f '存在,那么()z f '在a 解析 C 每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛 D 如果v 是u 的共轭调和函数,则u 也是v 的共轭调和函数 4、根式31-的值之一是（ ） A i 2321- B 223i - C 223i +- D i 2 321+- 5、下列函数在0=z 的去心邻域内可展成洛朗级数的是（ ） A z 1sin 1 B z 1cos C z ctg e 1 D Lnz 6、下列积分之值不等于0的是( ) A ?=-123z z dz B ?=-12 1z z dz C ?=++1242z z z dz D ?=1 cos z z dz 7、函数()z z f arctan =在0=z 处的泰勒展式为（ ） A ()∑∞ =+-02121n n n n z （z <1） B ()∑∞ =+-0 1221n n n n z （z <1） C ()∑∞ =++-012121n n n n z （z <1） D ()∑∞=-0 221n n n n z （z <1） 8、幂级数n n n z 20 1)1(∑∞ =+-在1中南大学复变函数考试试卷(A)及答案
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