上海市高考数学系列模拟卷(9)沪教版

上海市高考数学系列模拟卷（9）沪教版

一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1．设集合{}

{

}

2

21,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则集合

A B =．

2．函数x x y cos sin =的最小正周期是_________。

3．设函数21(0)()2(0)

x x f x x x ?+≥=?

(10)f -=．

4．直线13+-=x y 的方向向量与x 轴的正方向上的单位向量i 的夹角是_。 5．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆的面积为π，则球的表面积为． 6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是???

?

??-210211，则 y x +=_________。

7．在极坐标系中，若直线l 的方程是1)6

sin(=+

π

θρ，点P 的坐标为

(2,)π，

则点P 到直线l 的距离=d ．

8．某程序框图，该程序执行后输出的W =_________。

9．已知点P 在直线210x y +-=上,点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点

00(,)M x y ，且002y x >+，则

y x 的取值范围是________. 10．（文）已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，

可得这个几何体的体积是_______。

（理）数列{}n a 满足：11

121(234)n n a a n a -==-=???，，，，

，若数列{}n a 有 一个形如sin()n a A n B ω?=++的通项公式，其中A B ω?、、、均为实

数，且π002A ω?>><，，，n a =________________.（只要写

出一个通项公式即可）

2

2

（正视图）

2

2 （俯视图）

2

?

（侧视图）

11．观察等式

15551597399915913115

13131313

159131715717171717176,

=22,

22,

22,

C C C C C C C C C C C C C C +=++++++=-++++=+

…… 由

以上等

式推测到一个一般的结论：对于

*159

41

41414141n n n n n n N C C C C +++++∈++++=，_____________.

12．（文）若不等式组0

024

x y y x s y x ≥??≥?

?+≤??+≤?表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是．

（理）已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y 满足

200

y x y ?-≤??

-+≥?

?≥??

,则||OA OP Z OA ?=的最大值是_ _． 13.若函数()sin()(0)4

f x a x a π

π=-

>在区间(1,0)-上有且仅有一条平行于y 轴的直线是

其图像的对称轴，则a 的取值范围是___________。

14．已知函数21,0()2,()41,0

x x f x x x g x x

x x ?

+>?

=--=??+≤?，若方程[()]0g f x a -=的实数根的个数有3个，则实数a 的值是．

二．选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．

15．2

6

(1)(1)ax x -+的展开式中，3

x 项的系数为16-，则实数a 的值为

A 、2

B 、3

C 、-2

D 、2或3 16．如果复数

212bi

i -+（其中i 为虚数单位，b R ∈）的实部和虚部互为相反数，则b 等于( ) A ．23- B

．2

3

C ．2

17．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”

，区间[a ，b ]称为“密

切区间”.若2

()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是 （ ） （A ）[1，4] （B ）[2，4] （C ）[3，4] （D ）[2，3] 18．下列四个命题中正确的命题序号是

（ ）

①向量,a b 共线的充分必要条件是存在唯一实数λ，使a b λ=成立。 ②函数11()()y f x y f x =-=-与的图像关于直线1x =对称. ③sin cos 2([0,])y y θθθπ-=∈成立的充分必要条件是|2|1y ≤+。 ④已知U 为全集，则x A B ?的充分条件是()()U U x C A C B ∈。

A ．②④

B ．①②

C ．①③

D ．③④

三．解答题(本大题满分74分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。

A 、

B 是直线)0(1)3

cos(2

cos 2)(02

>-+

+==ωπ

ωωx x

x f y 与函数图像的两个相邻

交点，且.2

||π

=

AB

（1）求ω的值；

（2）在锐角ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ABC c A f ?=-

=,3,2

3

)( 的面积为33， 求a 的值.

20．（本小题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。 （文）如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD , E , F 分别是AC , PB 的中点.

（1）证明: EF ∥平面PCD ；

（2）若PA ＝AB , 求EF 与平面PAC 所成角的大小.

P

（理）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AB BC AA ，

BC AB ⊥。M 、N 分别是AC 和BB 1的中点。

（1）求二面角111C C A B --的大小。

（2）证明：在AB 上存在一个点Q ，使得平面QMN ⊥平面C B A 11，并

求出BQ 的长度。

21．（文）（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分5分。

现有编号分别为1，2，3的三个不同的基本题和一道附加题，甲同学从这三个基本题中一次随机抽取两道题，每题做对做错及每题被抽到的概率是相等的。

A 1

B

（1）用符号（,x y ）表示事件“抽到的两题基本题的编号分别为x 、y ，且x y <”共有

多少个基本事件？请列举出来：

（2）求甲同学所抽取的两道基本题的编号之和小于4的概率。

（3）甲同学在做完两道基本题之后，又做一道附加题，做对基本题每题加5分，做对附加

题加10分，做错都得0分，求甲同学得分不低于15分的概率。 （理）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分。 质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

（1）求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率；

（2）设ξ为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求ξ的分布列及期望E ξ。

22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分8分。

如图，S(1，1)是抛物线为2

2(0)y px p =>上的一点，弦SC 、SD 分别交x 轴于A 、B 两点，且SA=SB 。

（1）求证：直线CD 的斜率为定值； （2）延长DC 交x 轴于点E ，若1

||||3

EC DE =，求cos2CSD ∠的值。

23. (本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3

小题满分8分。

已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b R ∈，都满足

()()()f ab af b bf a =+.

（1）求(0)(1)f f 、的值；

（2）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论；

（3）（文科）若*(2)2(2)()n n f u f n N ==∈，，求证：*

1()n n u u n N +>∈.

（3）（理科）若*(2)

(2)2()n n f f u n N n

-==∈，，求数列n u 的前n 项和n S . 参考答案 一．填空题

1．B ∞或(-,0)2．π 3．3 4．1200

或600

5.8π 6．6 7．2 8．22

9．()1125--，10. ()

2ππ1332n -+11.41212(1)2n n n --+-?

12.（文）0s <≤2或s ≥4 1315(,)44 14.514

或

二．选择题

15.D 16。A 17。D 18。A

三．解答题

19．解：（1）).3

sin(31sin 23cos 21cos 1)(π

ωωωω--=--+

+=x x x x x f 由函数的图像及2

||π

=

AB ，得到函数的周期2

22π

ω

π

?

==

T ，解得.2=ω

（2）2

3)32sin(3)(-=-

-=π

A A f .2

3

)3

2sin(=

-

∴π

A 又ABC ? 是锐角三角形，,3

32,323

23

ππππ

π

=-∴<

-

<-

A A 即.3π=A

由4,332

3

23sin 21==?==

?b b A bc S ABC 得 由余弦定理，得,132

1

34234cos 22

2

2

2

2

=???-+=-+=A bc c b a 即.13=a

20．（文）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系, 线面角大小计算, 同时考查空

间想象能力和推理论证能力。满分14分。

（1）证明: 如图, 连结BD ,则E 是BD 的中点.

又F 是PB 的中点, 所以EF ∥PD .

因为EF 不在平面PCD 内,

所以EF ∥平面PCD . …………………(6分) （2）解: 连结PE .

因为ABCD 是正方形， 所以BD ⊥AC .

又PA ⊥平面ABC ，

所以PA ⊥BD . 因此BD ⊥平面PAC . 故∠EPD 是PD 与平面PAC 所成的角. 因为EF ∥PD ,

所以EF 与平面PAC 所成的角的大小等于∠EPD. 因为PA ＝AB ＝AD , ∠PAD ＝∠BAD ＝

90,

所以Rt △PAD ≌Rt △BAD . 因此PD ＝BD . 在Rt △PED 中, sin ∠EPD ＝2

1

=PD ED , ∠EPD =

30.

所以EF 与平面PAC 所成角的大小是

30. …………………(14分)

A B

C

D

P

E

F

（理）解：方法一（向量法）

如图建立空间直角坐标系……………………1分 （1）)2,2,0(),0,2,0(),2,0,0(),2,0,2(111C C B A ∴)2,0,0(),0,0,2(),2,2,2(1111=-=--=CC B A A

设平面11CB A 的法向量为),,(111z y x =，平面11CC A 的法向量为),,(222z y x =

则有)1,1,0(02022200

1111111

=????=-=-+-??????=?=?x z y x n B A n C A …………3分 )0,1,1(02022200

222211=??

?

?=-=-+-??????=?=?m z z y x m CC A …………5分 设二面角111C C A B --为θ，则

2

1

|,cos |cos ==><=θ

∴二面角111C C A B --的大小为60°。…………7分 （2）设)0,0,(t Q ………………9分

∵)1,0,0(),0,1,1(N M

∴)1,1,1(),1,0,(-=-=NM t NQ ，设平面QMN 的法向量为),,(z y x u =

则有：),1,1(0000

t t z y x z tx -=??

??=-+=-?????

?=?=?…………11分 由（1）可知平面11CB A 的法向量为)1,1,0(=n ∵平面QMN ⊥平面C B A 11 ∴0=?n u 即012=-t ，2

1

=t 此时2

1

=

BQ 。………………14分 方法二：（1）取11C A 中点G ，连接G B 1 ∵1111C B B A =∴111C A G B ⊥

A 1

1

B

又∵1111C B A CC 平面⊥∴G B CC 11⊥ ∴C C A G B 111平面⊥∴C A G B 11⊥ 过G 做C A GH 1⊥于H ，连接H B 1 ∴GH B C A 11平面⊥∴H B C A 11⊥

∴HG B 1∠为二面角111C C A B --的平面角………………4分 有：21=

G B

∵GH A 1?∽11CC A ?，21=G A ，21=CC ，321=C A

∴

3

23

22

2111=?=?=GH GH C A G A CC GH

∴3tan 11==

∠GH

G

B HG B ∴

601=∠HG B …………………………7分 （2）同方法一

21.（文）解：（1）（1，2）、（1，3）、（2，3） （2）2()3P A =

（3）3

()8

P B =

（理）解：（1）不能被4整除的有两种情形：

①4个数均为奇数，概率为.16

1)2

1

(4

1=

=P （2）4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为.8

141)2

1(3

3

42=?

=C P 故所求的概率为P .1613811611=--

= （2）ξξ),4,3,2,1,0()1()(4

4===k C k P k 的分布列为

ξ服从二项分布.22

4),2,4(=?=ξE B 则

22．（1）将点（1，1）代入px y 22

=，得12=p

∴ 抛物线方程为x y =2

设)1(1-=-x k y SA 的方程为直线，),(11y x C 与抛物线方程x y =2

联立得：012

=-+-k y ky

k y 111=

+∴11

1-=∴k

y )11

,)1((2

2--∴k

k k C 由题意有SB SA =，k SB -∴的斜率为直线

)11

,)1((22--+∴k

k k D

2

1)1()1(1

1

112

2

22-=+--++-=∴k k k k k k K CD

（2）设)0,(t E

3

1

= )11,)1((31)11,)1((2

2

22---+=---∴k t k k k t k k )11

(3111--=-k k 2=∴k 12-=∴x y SA 的方程为直线

)0,21(A ∴

同理)0,2

3

(B -

5

3

2cos cos 222=?-+=∠=∠∴SA SB AB SB SA ASB CSD

25

7

1cos 22cos 2-

=-∠=∠∴ASB CSD

23.(1)令1

(1)(1)(1)(1)0a b f f f f ===+?=，则

令01

(0)0(1)1(0)2(0)0(0)0a b f f f f f ==-=?--??=?=，，则 (2) 令1

(1)(1)(1)0(1)0a b f f f f ==-=----=?-=，则 令1

()()(1)()()a f b f b bf f b f x =--=-+-=-?，则为奇函数 (3)(文科)法一：(递推公式法)11

1(2)(22)2(2)2(2)22n n n n n n n u f f f f u +++==?=+=+

11121,(2)2(1)122222

n

n n n n n n n

u u u u f n u n ++?

-===?=+-??=?且 111(1)2(1)212n n n n n

n u n n u u u n n

++++?+?==>?>? 法二：(迭代法)略

法三：(归纳猜想证明法)略

(4)(理科)法一：(递推公式法)令1

(2)[()]2

n

n

n t f f -== 则1111111111[()][()]()()()22

222222

n

n n n n n t f f f t ++==

+=- 111

22122()(1)(1)2n n n n n n t t t n n ++?-=-?=-+--=-

11[1()]

11221122212

n n n n n n n

n t u S --?=-?=-?==-+- 法二：(迭代法)略

法三：(归纳猜想证明法)略