最新同济大学高数试卷 大一下学期 期末考试

同济大学2009-2010学年第二学期高等数学C(下)期终试卷

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案）

1、下列微分方程为一阶线性方程的是： 【 D 】 :A '1yy =； :B 'e 1y

y +=； :C 2

'y y y +=； :D 2

'y y x =+。 2、若向量()()()2,1,0,1,1,2,0,1,2a b c k =-=--=，且()

0a b c ??=，则k = 【 B 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

3、若向量()1,2,a k =-在向量()2,1,2b =-上的投影为2-，则k = 【 C 】 :1A ； :2B ； :3C ； :4D 。

4、设e cos x x z x y y =+

-，则z

y

?=? 【 A 】 :A 2e sin x x y y -

+； :B 21e sin x x y y -+； :C 21e sin x y y -+； :D 2e sin x x y y

-。 5、交换二次积分的次序：()2

220d ,d y

y y

f x y x =??

【 A 】

()4

2

:

d ,d x A x f x y y ?

?； ()4

:d ,d x

B x f x y y ?；

()2220

:d ,d x x

C x f x y y ??； ()2

:d ,d x

D x f x y y ?。

二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"2'20y y y -+=的通解为y =()

12e cos sin x c x c x +.

7、设向量()()2,3,2,2,3,0a b =-=-，若,x a x b ⊥⊥，且7x =。则向量x =()3,2,6±。

8、空间直线240

329x y z x y z -+=??

--=?在xoy 面上的投影直线方程为：

7990x y z -=??

=?

。

9、设函数()2z f x y =-，其中函数f 具有二阶导数，则

2z

x y

?=??()

2"2f x y --。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出具体解题过程） 10、求微分方程：2d 1d y

x

y x

-= 的通解。 [2d d 1y x y x =+??()tan ln y x c ?=+] 11、一平面过原点及点()6,3,2-，且与另一平面428x y z -+=垂直，求平面方程。

[()()()6,3,24,1,24,4,6n =-?-=--2230x y z ?+-=]

12、已知函数(),z z x y =由()()ln 1sin z z xy =++所确定，求d z 。

[()()

()1cos d d d z xy z y x x y z

+=+]

13、求函数()()2

2

,4f x y x y x y =---的极值点。

[420420x y

f x f y =-=??

=--=?2

2x y =???

=-?,20,0,2;0A B C =-<==-?<,(2,2)-为极大值点] 14、计算二重积分：sin d d D

y

I x x y x =

??，其中D 由直线,0y x y ==和1x =所围。 [10

d sin d x

y I x x y x =

??

12

00cos d x

y x x x ??=-???

??()1201cos1d x x =-?()11cos13=-]

15、计算二重积分：d d D

I x x y =

??，其中(){}

()2

22,,00D x y x

y a y a =+≤≥>。

[π20

2

d cos d a

I θρθρρ=??

?π

320

2cos d 3a θθ=?

32

3

a =] 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出具体解题过程） 16、求微分方程：()

()21d 2cos d 0x y xy x x -+-= 满足初始条件：01x y == 的特解。

[222cos '11x x y y x x +

=--()2

1'cos x y x ???-=??,2sin 1x c y x +=-,1c =-,2sin 11

x y x -=-] 17、求函数：2z x y =+ 在椭圆 2

212

x y += 上的最值。 [2

22(1)2x L x y y λ=+++-,222012022x y x y λλ+=??

+=??+=?

,41(,)33

,41(,)33--,max min 3;3z z ==-]

18、球面2222x y z a ++=含在柱面()222

0x y b b a +=<<内部分的面积恰为全球面积的

一半，求 b 。

[222

2

d x y b S x y +≤=??

(4πa a =22πa

=2

b a ?=

]

2009—2010学年第二学期《高等数学C 》(下) 重修

一、选择题.（本题共有5小题，每小题3分，满分15分，每题只有一个正确答案） 1、微分方程'y y =的通解为： 【 C 】

:A e x y =； :B e x

y c =+； :C e x

y c =； :D e cx

y =。

2、若向量()()1,2,3,2,,6a b k ==，且a b ⊥，则k = 【 D 】 :0A ； :4B ； :6C -； :10D -。

3、计算向量：()()

23a b a b -?+= 【 B 】 ()

:5A a b ?； ():7B a b ?； ():5C b a ?； ()

:7D b a ?。 4、设e ln

xy

x z y =+，则z

x

?=? 【 A 】 :A 1e xy

y x +

； :B 1e xy y x -； :C 11e xy x y +-； :D e xy

y y x

+。

5、二重积分：

()222

21

3d d x y x

y x y +≤+=?? 【 A 】

:πA ； :2πB ； :3πC ； :4πD 。 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，只需将答案填入空格） 6、微分方程"0y y -=的通解为y =

12e e x x

c c -+.

7、到平面1z =和到原点的距离相等的点的轨迹方程为：

2221

x y z ++=。

8、曲面：()

2222220a z x a y --= 在点()(),,0a a a a ≠处的切平面方程为：

0x y z a --+=。

9、设函数(

)

,y x

z f x y

=，其中函数(),f u v 可微，则

z y

?=?112ln ''

y x x y f xy f -?+。

三、解答题（本题共有6小题，每小题7分，满分42分，需写出解题过程） 10、求微分方程：

d 1d y y

x x

=+ 的通解。 解： '1y y x -

= 1

'y x x

??= ??? ln y x c x =+ ()ln y x x c =+

11、已知三点()()()2,3,1,2,1,1,6,3,1A B C --，求点A 到直线BC 的距离。 解： ()()0,2,2,4,2,0BA BC == BA BC d BC

?=

=

=

12、已知函数(),z z x y =由e 3z

z xy -+=所确定，求

,z z x y

????。 解： 令e 3z

F z xy =-+- ,,e 1z x y z F y F x F ===-

,1e 1e z z

z y z x x y ??==?-?- 13、求函数22222

(,)()2()f x y x y x y =+--的极值点。

解： 22

22

4()40

4()40

x y f x x y x f y x y y ?=+-=??=++=?? 驻点为：()()()0,0,1,0,10-，

2

2

2

2

1244,8,4124xx xy yy f x y f xy f x y =+-==++,有极小值点:()1,0和()1,

0-

14、计算积分：

2

220

d )d x x y y +?

。

解： π

2cos 2

20

d d I θ

θρρρ=

??

?

π420

4cos d θθ=? 3π4

=

15、计算二重积分：

22d x y x

x y +

≤??

。

解：0

I x y =

?

1

x =?1

220

4(1)d t t t =-?8

15

= 四、综合题（本题共有3小题，每小题9分，满分27分，需写出解题过程） 16、求微分方程："'1y y += 的通解。

解：2

00,1λλλ+=?=- *y Ax = 1A = 12e x y c c x -=++

17、求抛物面22

z x y =+到平面10x y z +++=的最近距离。 解： 令2

2

2

(1)()L x y z x y z λ=+++++-

()()()2221202120

210

x x x L x y z x L x y z y L x y z z x y λλλ?=++++=?

=++++=??=+++-=??=+?

11,22x y z ==

-

=min 111,,)222

6

d --=

=

18、求由曲面：2

2z x =-与222z x y =+ 所围的立体体积。

解： (){}

2

2,1xy D x y x

y =+≤

222

[2(2)]d d xy

D V x x y x y =

--+??2π1200d (22)d θρρρ=-??112π2()24=??-π=

*

()'2,10'y xy y x yy -==+ ()22arctan ln 0y x y x ??

++=????

* 2

'x

y xy y +=

* ()()3'321,00e 12x

y y x y y x ??=++=?=--??

* 2

2'y y y x x ??=- ???

* 'cot 3y x y +=-

* "4'5cos y y y x ++= * ()()

231d d 0x y y x x x ++++= * e ln

y x

x z y =，求z x

??。 * ,x y u f y z ??= ???

，求22u

y ??。

* 设()z x yf z =+，其中f 可微，且()1'0yf z -≠，求d z 。

* 求曲线22230

23540x y z x x y z ?++-=?-+-=?

在点()1,1,1处的切线。

* ()0

2

1

1d ,d y

y f x y x --?

?

《应聘》-5人搞笑小品剧本（爆笑)

人物：2个考官，3个应聘者 （某公司招聘推销主管）

应聘者：龙民：一个农业养殖户，泰有才：一个没有社会背景的高才生，贞有权：一个官家

子弟。

泰有才（背这手，度着步子，抬着头思索状）：岁月不留人，时间飞逝过，如今的市场，我也来竞争

贞有权（西装革履，大步走上）：根据本人的调查，在这个竞争日益激烈的市场，要求一份好的工作的确很难，同志们呐，为了生存我也来此应聘了。

考官A说：你们都是来应聘的，我们公司要的是推销方面的人才，要么有学历，要么有经验你们都是有学历的人。

（突然从门外闯近来一个破烂衣服的人，跑得太急差点摔倒）

闯近来的农民边挠头边憨厚的说：大姐，对不起，俺迟到了

（考官B怒火直冒）：谁是你大姐`？本姑娘才一支花的年龄！！诶？怎么会突然冒出这么个人出`！

（龙民惊讶的看着考官说）：大姐？俺村没一支一支的花只有一大把一大把的`！（做夸张的，用抱的姿势来形容花多）

（考官B捏紧拳头强忍怒火的样子说）：好了。现在开始自我介绍，把你们的姓名，住址，年龄，民族，生日，性别，婚姻状况，学历…报上来

（3个应聘者作惊讶状）（考官A笑笑说）：不用这么多，把你们的名字和学历经验报上来就行

贞有权：这才差不多，否则我还以为到派出所了`！

泰有才：我叫泰有才，泰国的泰，本人硕士毕业，经过学校文化的熏陶，经过社会的磨砺，经过人生的考验，我来到了贵公司应聘。我将把我的知识为公司推销，用我的文化来推销，把世界观，价值观，荣辱观带到公司的整体利益中来。。。。

考官B：停停停，罗嗦，下一个！（泰有才扶了扶眼镜，把头一昂退了退）

贞有权：我叫贞有权，贞德的贞。我毕业于那个什么H大，由于社会的竞争，恩，是吧，我来到了这个公司，然后呢，我想竟聘这个职位，我的话说完了，谢谢各位。