初中数学中的折叠问题

监利县第一初级中学刘光杰

折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白：

1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．

2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．

4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形

5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．

一、矩形中的折叠

1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．

BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD

则∠CBD = 90°

折叠前后的对应角相等

2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．

沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1

2AA’，

又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24

对称轴垂直平分对应点的连线

3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD

重合，得折痕DG ，求AG 的长．

由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △

A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’

B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值

解得x = 25

所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754

重合部分是以折痕为底边的等腰三角形

∴∠4 = 180°- 2 ×64°= 52°

∵AD∥BC

∴∠1 = ∠4 = 52°

∠2 = ∠5

又∵∠2 = ∠3

∴∠3 = ∠5

∴GE = GF

∴△EFG是等腰三角形

对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF

（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．

理清在每一个折叠过程中的变与不变

8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为

四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则

①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长

折叠前后对应边相等

9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B

∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=20°，

在图b中，GE = GF，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，

在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，

本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．

由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG

三、三角形中的折叠

17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=

在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD

在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF

∴∠AEF = ∠AFE

∴△AEF是等腰三角形

(1)由折叠可知

∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG

而∠BEG = 45°+ ∠α

因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°

所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°

∠α = 22.5°

由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。要抓住折叠前后图形之间的对应关系

(2)将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④），求∠MNF的大小．

由题意得出：

∠NMF=∠AMN=∠MNF，

∴MF=NF，由对称性可知，

MF=PF，

∴NF=PF，

而由题意得出：MP=MN，

又MF=MF，

∴△MNF≌△MPF，

∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，

即3∠MNF=180°，

∴∠MNF=60°，

在矩形中的折叠问题，通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构，即以折痕为底边的等腰三角形

21．直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．

探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程，并画出符合条件的后的图形．

AE长度的和的最小值是（）

本题经过了三次折叠，注意理清折叠过程中的对称关系，求两条线段的和的最小值问题可以参见文章https://www.360docs.net/doc/4318026890.html,/view/f6a6b4dda58da0116c174995.html

折叠方法如图所示．

明白折叠中的对应边就行

29．已知一个直角三角形纸片OAB，其中∠AOB=90°，OA=2，OB=4．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与边AB交于点D．

（1）若折叠后使点B与点A重合，求点C的坐标；

（2）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x，OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值范围；

（3）若折叠后点B落在边OA上的点为B″，且使B″D∥OB，求此时点C的坐标．

折痕是对应点连线的垂直平分线

四、圆中的折叠

30．如图，正方形ABCD 的边长为2，⊙O 的直径为AD ，将正方形的BC 边沿EC 折叠，点B 落在圆上的F 点，求BE 的长

初中数学专题;折叠问题

（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少？模块精讲例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．

初中数学折叠问题

第1题图第2题图 G 第3 题图第4题图第5题图第6 题图折叠问题文稿（不含压轴题） 1.如图，长方形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，如果∠BAF=60°，则∠DAE=___． 2.如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 的长． 3.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°∠A<∠B ，CM 是斜边AB 的中线，将△ACM 沿直线CM 折叠，点A 落在D 处，如果CD 恰好与AB 垂直，那么∠A 等于_ ____． 4.如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，折痕交CD 于点E ，已知AB=8cm, BC=10cm ，求EC 的长． 5.如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，将BC 边折叠，使点B 与点D 重合，折痕经过点C ，若AD=2，AB=4，求∠BCE 的正切值． 6.如图，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将点A 沿过DE 的直线拆叠．（1）说明点A 的对应点A ＇一定落在BC 上；（2）当A ＇在BC 中点处时，求证：AB=AC ．

第7题图 7. 如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9cm ，宽AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别是多少？ 8. 如图是面积为1的正方形ABCD ，M 、N 分别为AD 、BC 边上的中点，将点C 折至MN 上，落在点P 位置，折痕为BQ ，连结PQ ．（1）求MP 的长；（2）求证：以PQ 为边长的正方形面积等于 1 3 ． 9. 把矩形ABCD 对折，设折痕为MN ，再把B 点叠在折痕上，得到Rt △ABE ，延长EB 交AD 于点F ，若矩形的宽CD=4．（1 ）求证：△AEF 是等边三角形；（2）求△ AEF 的面积．第8题图第9题图

初中数学专题折叠问题

专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形ABCD 中，将△ABF 沿BE 折叠至△FBE,可得何结论（1）基本图形练习：如图，将三角形纸片ABC 沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 上，折痕为AD ，展开纸片；再次折叠，使得A 和D 点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF 是等腰三角形，对吗（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使得A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （图1）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 边上的点D ’，折痕为EG （图2）,再展开纸片，求图（3）中角a 的大小。（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少模块精讲例1.（2014扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP ∽△PDA ； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME ⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．例2.（2013苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若=，则= 用含k 的代数式表示）．例3、（2013苏州）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm/s ，点G 的运动速度为s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F ．设点E 、F 、G 运动的时间为t （单位：s ）．（1）当t= s 时，四边形EBFB′为正方形；（2）若以点E 、B 、F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t ，使得点B′与点O 重合若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．例4、如图，已知矩形纸片ABCD ，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A 与边CD 上的点E 重合，折痕FG 分别与AB ，CD 交于点G ，F ，AE 与FG 交于点O ．结论：（1）全等；（2）垂直。 ★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。

初中数学之图形折叠练习题

初中数学之图形折叠一．填空题（共9小题） 1．（2003?昆明）已知：如图，把一张矩形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处，BE与AD 相交于点O，写出一组相等的线段_________（不包括AB=CD和AD=BC）． 2．（2006?荆门）如图，有一张面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC边的中点，将C点折叠至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ，则PQ=_________． 3．有一张矩形纸片ABCD，AB=5，AD=3，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CF的长为_________． 4．（2004?荆州）如图一张长方形纸片ABCD，其长AD为a，宽AB为b（a＞b），在BC边上选取一点M，将△ABM沿AM翻折后B至B′的位置，若B′为长方形纸片ABCD的对称中心，则的值为_________． 5．如图，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14．则AB=_________．

6．如图所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6、BC=8，则BF=_____ 7．如图，取一张长方形纸片，它的长AB=10cm，宽BC=cm，然后以虚线CE（E点在 AD上）为折痕，使D点落在AB边上，则AE=_________cm，∠DCE=_________． 8．（2008?莆田）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_________度． 9．一张长方形的纸片如图示折了一角，测得AD=30cm，BE=20cm，∠BEG=60°，则折痕EF的长为_________．二．选择题（共9小题） 10．如图，明明折叠一张长方形纸片，翻折AD，使点D落在BC边的点F处，量得AB=8cm，BC=10cm，则EC=（） A．3 B．4 C．5 D．6

初中数学中有关图形的折叠问题

专题复习图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1 三角形中的折叠问题 1.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D 、E 分别是边AB 、AC 上，将△ABC 沿着DE 折叠压平，A 与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【】 A ．150° B ．210° C ．105° D ．75° 2.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 3．(2014·德阳)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE 的度数为________． 4.如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________． 5.如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠(点E 在边DC 上)，折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，若点D 的坐标为(10，8)，则点E 的坐标为________． A D B E C 6.如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°．∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，点C 沿EF 折叠后与点O 重合，则∠CEF 的度数是． 7.如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A′处，连接A′C ，则∠B ． 8.如图，一次函数的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，将△AOB 沿直线AB 翻折，得 △ACB.若C(3/2，√3/2)，则该一次函数的解析式为________． 9.如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E ，F 分别在AC 和BC 上，则CE∶CF＝（） A.3/4 B.4/5 C.5/6 D.6/7 10.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：①∠AED ＝∠C ；②A 1D/DB=A 1E/EC ；③BC=2DE ；④ BD A E A C AD A E S S S ?'?''=+四形边。其中正确结论的个数是个。 11.如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD 的长为 .

初中七年级：数学教案-展开与折叠

新修订初中阶段原创精品配套教材数学教案－展开与折叠教材定制 / 提高课堂效率 /内容可修改 Math lesson plan-unfold and collapse 教师：风老师风顺第二中学编订：FoonShion教育

数学教案－展开与折叠展开与折叠教学目标： 1. 通过展开与折叠,感受立体图形与平面图形的关系; 2. 学生通过动手动脚实验,发挥想象,开展讨论等方式,认识立体图形与它们的平面展开图的关系; 3. 能正确判断平面展开图是哪个几何体的展开图. 教学重点：将立体图形展成平面展开图; 教学难点：按规定形状把正方体展成平面图形; 教学过程：一、引入：出示生活中的立体图形,提出问题:如果把正方体沿某些棱剪开,平面展开图会是什么样子的? 二.教学过程动手做一做活动1:

把圆柱，圆锥的侧面沿虚线剪开，观察:它的侧面展开图是什么几何图形?请画出它的侧面展开图结论：圆柱的侧面展开图是长方形; 圆锥的侧面展开图是扇形。活动2: 把无盖的的正方体纸盒按图中的红线剪开,并画出展开后的平面图形,把你的展开图与同学交流,你发现了什么? 结论:同一正方体按沿棱按同一方式剪开可以得到相同的平面展开图. 活动3: 自由发挥,尽显风采将正方体图形沿某些棱按你喜欢的方式剪开成一个平面图形.在与同学交流对比,你有什么发现? 结论:同一个正方体沿不同的棱剪开可以得到不同的图形. 活动4: 将正方体沿棱剪开成平面展开图,你能的到以下图形吗?请你试一试. 想一想:要将一个正方体展开成平面展开图要剪开多少条棱? 观察: 正方体的平面展开图有什么特点?

初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题监利县第一初级中学刘光杰折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24

(完整版)中考数学中的折叠问题

D E 中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。即对应角相等，对应线段相等。有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（） A 、85° B 、90° C 、95° D 、100° 分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ， ''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11 ()18022 BMC CMC ∠+∠=?°= 90°，故选B 。例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、 'D 。已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（） A 、31° B 、28° C 、24° D 、22° 分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。例3（河南省实验区中考题）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点'A 的位置，若1 tan 2 BOC ∠=，则点' A 的坐标为。分析与解答：本题考查了结合坐标系求解矩形折叠问题的能力。

初中数学折叠类型试题

初中数学图形折叠类型试题 1.(2016河北3分）如图，将沿对角线AC折叠，使点B落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠B 为（）A．66°B．104°C．114°D．124° 第1题图第2题图第3题图第4题图 2.（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（） A．30°B．45°C．60°D．75° 3. （2016·青海西宁·3分）将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠ABC= 4. （2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为_______． 5. （2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为（用含a的式子表示）． 6．（2016河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为．第6题图第7题图

7. （2016·江西·6分）（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥B C． 8、如图，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（） A．4B．3C．4D．8 9、如图，将矩形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（） A．6个B．5个C．4个D．3个第8题图第9题图第10题图第11题图 10、把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在'B M或'B M的延长线上，那么∠EMF的度数是（） A、85° B、90° C、95° D、100° 11、如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（） A、B C D、6 12、如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=6，D，E 分别在AB、AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（） A、B、2 C、3 D、4 13、如图，在Rt△ ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA 方向翻折过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（） A、B、5C、1053 -D、553 + 第12题图第13题图第14题图第15题图 14、如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．已知∠EFG＝58°，那么∠BEG=°． 15、如图，将纸片 △ ABC 沿 DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A= ____________度．

初中数学专题：折叠问题

初中数学专题：折叠问题 LELE was finally revised on the morning of December 16, 2020

初中几何图形折叠专题

【例1】如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是（）． A．1个B．2个C．3个D．4个【例2】已知如图，长方形ABCD，AB=8，BC=6，若将长方形顶点A、C重合折叠起来，则折痕PQ长为_________ 【例3】如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD 上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK。

（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数；（2）△MNK的面积能否小于？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。【例4】将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3），动点Q 从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）。（1）用含t的代数式表示OP=_______，OQ________；（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点 D的坐标；（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2，问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由。

初中数学53展开与折叠1

数学学科第五章第3节 5.3《展开与折叠1》学讲预案一、自主先学 1.⑴沿虚线剪开圆柱形纸筒的侧面，得到什么平面图形？小虫从A点绕圆柱爬到B点的最短路线是什么？请画出圆柱的侧面展开示意图和小虫爬行的最短路线. ⑵延虚线剪开圆锥形冰淇淋纸筒得到什么平面图形？请画出它的示意图. 二、合作助学 2.（1）下列图形中，哪些图形通过折叠可以围成一个棱柱？ ⑵请把这些图形用纸复制下来，然后沿虚线折叠，验证你的想法. ⑶观察制成的棱柱，共有多少条棱，哪些棱的长度相等？共有多少个面，它们分别是什么形状？哪些面的形状、大小完全相同？ ⑷不能围成棱柱的，如何变化图形使得它能围成四棱柱? （）（）（）（）（）（）（）（）三、拓展导学 4．下面两图形分别是哪种多面体的展开图？若不确定，做一做再回答.

⑴⑵（第5题） 5．如图所示是一多面体的展开图形，每个面都标有字母，请根据要求回答提问：（第6题）（1）如果面A 在多面体的底部，那么面在上面. （2）如果面F 在前面，从左面看是面B ，则面在上面. （3）从右面看是面C ，面D 在后面，面在上面. 6．如图所示图是长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么与字母 J 重合的点是哪几个？四、检测助学 7.下面每个图片都是6个大小相同的正方形组成的，其中不是正方体展开图的是（） 8.下列平面图形中不是棱柱展开图的是（） 9.将左边的正方体展开能得到的图形是（） 10. 马小虎准备制作一个封闭的正方体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如下图所示的拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在下图中帮助他用■画出来（第11题）五、反思悟学 11.一个正方体,六个面上分别写有六个连续的整数(如图所示),且每两个相对面上的数字和相等,本图所能看到的三个面所写的数字分别是3,6,7,问:与它们相对的三个面的数字各是多少?为什么? 6 3 7

展开与折叠——初中数学第一册教案

展开与折叠——初中数学第一册教案展开与折叠灵城一中蒙燕教学目标： 1。通过展开与折叠，感受立体图形与平面图形的关系; 2。学生通过动手动脚实验，发挥想象，开展讨论等方式，认识立体图形与它们的平面展开图的关系; 3。能正确判断平面展开图是哪个几何体的展开图。教学重点：将立体图形展成平面展开图; 教学难点：按规定形状把正方体展成平面图形; 教学过程：一、引入：出示生活中的立体图形，提出问题:如果把正方体沿某些棱剪开，平面展开图会是什么样子的? 二。教学过程动手做一做

活动1: 把圆柱，圆锥的侧面沿虚线剪开，观察:它的侧面展开图是什么几何图形?请画出它的侧面展开图结论：圆柱的侧面展开图是长方形; 圆锥的侧面展开图是扇形。活动2: 把无盖的的正方体纸盒按图中的红线剪开，并画出展开后的平面图形，把你的展开图与同学交流，你发现了什么? 结论:同一正方体按沿棱按同一方式剪开可以得到相同的平面展开图。活动3: 自由发挥，尽显风采将正方体图形沿某些棱按你喜欢的方式剪开成一个平面图形。在与同学交流对比，你有什么发现? 结论:同一个正方体沿不同的棱剪开可以得到不同的图形。活动4: 将正方体沿棱剪开成平面展开图，你能的到以下图形吗?请你试一试。

想一想:要将一个正方体展开成平面展开图要剪开多少条棱? 观察: 正方体的平面展开图有什么特点? 活动4: 将长方体沿棱剪开成平面展开图，与正方体的平面展开图比较，你发现他们有何异同? 三。练一练四。小结: 畅所欲言

1。你学会了什么? 2。你最喜欢的一个环节是什么? 3。你收获了什么? 五:布置作业小组合作探讨:将正方体沿棱展开成平面图形，到底回出现多少种不同的图形，剪一剪，试一试，把所得的图形在纸上画出展开与折叠灵城一中蒙燕教学目标： 1。通过展开与折叠，感受立体图形与平面图形的关系; 2。学生通过动手动脚实验，发挥想象，开展讨论等方式，认识立体图形与它们的平面展开图的关系; 3。能正确判断平面展开图是哪个几何体的展开图。教学重点：将立体图形展成平面展开图; 教学难点：

初中数学专题折叠问题

初中数学专题折叠问题集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

（3）折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm 的正方形ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，折痕为FH ，点C 落在Q 处，EQ 与BC 交于点G ，则△EBG 的周长是多少模块精讲例1.（2014扬州）已知矩形ABCD 的一条边AD=8ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连结AP 、OP 、OA ． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，求边AB 的长；（2）若图1中的点P 恰好是CD 边的中点，求∠OAB 的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO 、线段OP ，连结BP ．动点M 在线段AP 上（点M 与点P 、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN=PM ，连结MN 交PB 于点F ，作ME⊥BP 于点E ．试问当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF 的长度．例2.（2013苏州）如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若 =，则= 用含k 的代数式表示）．例3、（2013苏州）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm ，BC=12cm ，点E 、F 、G 分别从A 、B 、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E 的运动速度为1cm/s ，点F 的运动速度为3cm/s ，点G 的运动速度为s ，当点F 到达点C （即点F 与点C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上；第二步：设未知数，将未知数标在图

初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题一、矩形中的折叠 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度． 2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是． 3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 B A

7．如图，将矩形纸片ABCD 按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF （如图①）；延CG 折叠，使点B 落在EF 上的点B ′处，（如图②）；展平，得折痕GC （如图③）；沿GH 折叠，使点C 落在DH 上的点C ′处，（如图④）；沿GC ′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC ′，GH （如图 ⑥）．（1）求图 ②中∠BCB ′的大小；（2）图⑥中的△GCC ′是正三角形吗？请说明理由．理清在每一个折叠过程中的变与不变 8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等 9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等 10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B ’C ’与DN 交于P ． (1)连接BB ’，那么BB ’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM =y ，AB ’=x ，求y 与x 的函数关系式； (3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC ’B ’面积最小？并验证你的猜想． B C E

七年级数学折叠问题总结

折叠问题 1．常见图形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 2．折叠的本质是，折叠前后的对就应线段、对应角。 3．折痕是，对应点连线被对称轴。练习题 1．如图，DE ∥AB ，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处．若48CDE ∠=°，则APD ∠等于 2．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上E 处，折痕为CD ，则∠BDE 等于 3．在Rt ABC △中，903BAC AB M ∠==°，，为边BC 上的点，联结AM ．如果将ABM △沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是． 4．如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA ′=30°则∠BEA ′=_____ 5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为。 6．如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°，则∠AED ′ 等于。 7．矩形纸片ABCD 的边长AB =4，AD =2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为 8．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为． F E D C B A N M F E D C B A F E D C B A F E D C B A N M F E D C B A F E D C B A E D C B A N M F E D C B A F E D C B A P E D C B A P E D C B A E D C B A M C B A A B C D E A′A ′ G D B C A

中考数学折叠问题

中考数学折叠问题 1、如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=12，BC=5，点 E 在AB 上，将△DAE 沿DE 折叠，使点 A 落在对角线BD 上的点A′处，则AE 的长为________. 2、如图，在△ABC 中，AB=AC ，BC=8，tan ∠C=32 ，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为_________. 3、如图，在Rt △ABC 纸片中，∠C=90°，AC=BC=4，点P 在AC 上运动，将纸片沿PB 折叠，得到点C 的对应点D （P 在C 点时，点C 的对应点是本身），则折叠过程对应点D 的路径长是________. 4、如图，矩形ABCD 中，AB=1，E 、F 分别为AD 、CD 的中点，沿BE 将△ABE 折叠，若点A 恰好落在BF 上，则AD=_______. 5、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为_______. 6、如图，在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C 落在AB 边上的D 点处，折痕BE 与AC 交于点E ，若AD=BD ，则折痕BE 的长为_______． 7、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，沿AD 折叠，使点B 落在斜边AC 上，若AB=3，BC=4，则BD=________ 8、.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A′处，若∠A′BC=15°，则∠A′BD 的度数为_________. 9、如图，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A ′处，连接A ′C ，则∠BA ′C= _______. 第1题第3题第4题第2题第5题第6题第7题第9题第8题

初中数学中有关图形的折叠问题

与折叠有关的计算问题一．求角 1.已知，如图,Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过点B 的一条直线BE 折叠△ABC,使 C 恰好落在AB 边的中点D 处，则∠A=________. 2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点恰好落在BC 边上的F 处，如果 ∠BAF=70o,那么∠DAE=__________. 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，连接AE ，求证:AE ∥BD. 4. 如图2,将正方形纸片ABCD 折叠,使边AB,CB 均落在对角线BD 上 ,得折痕 BE,BF,则 ∠EBF= 5. 如图3,把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个内角为120o的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（） A.15o或30o B.30o或45o C.45o或60o D.30o或60o 6. 如图7，将正方形ABCD 沿BE 对折，使点A 落在对角线BD 上的A 1处，连接A 1C,则∠BA 1C= _________o 7.如图，在Rt △ABC 中,∠C=90o,沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 与AB 边上的一点D 重合,当∠A 满足什么条件时， D 恰好为AB 的中点？写出你认为适当的条件，并利用此条件证明 D 为AB 的中点. A D B E C A B F C E D F A B C D E 图3 图4 C B A M D B C 图2 图 B F E D A B C 图7A E A 1 B C D D C A D B

二．求边 1.(1)如图，沿AE 折叠长方形，使D 点落在BC 边上的F 处，已知AB=8,BC=10.求CE 的长. (2) 如图14所示，折叠长方形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm,BC=10cm,求折痕AE 的长。 2.(1)如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm.现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长. (2)如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在AB 上的点E 处.已知BC=12,∠B=30o,则DE=______. 3. 如图，折叠矩形的一边AD,使点D 落在BC 边上的F 处，已知AB=8cm, BC=10cm,则EC=______cm. 4.如图，矩形纸片ABCD 中,AB=6cm,BC=8cm,现将其沿AE 对折，使得B 点落在AD 上的点B 1处，折痕与BC 交于点E,则CE=_____. 5. 如图，将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH,EH=12 cm,EF=16cm,求AD 的长. 6.如图，将一长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在E 的位置上，AE 交DC 于点F,已知AB=8cm,BC=4cm,求线段CF 的长. A B F C E D C B E A F E C D B A B A E B 1 C D 图 21 B F C G E A D H B C A F D E B 30°D C E A 图14 A B F C E D

初中数学中的折叠问题

初中数学中的折叠问题对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠 1．将一长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD=度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2 AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24 对称轴垂直平分对应点的连线 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长． A' C D

由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌△A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可 4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5° 注意折叠前后角的对应关系 5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3 ∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD 设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x 在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2 ∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254 所以，阴影部分的面积S △FBD = 12FD ×AB = 12×254×6 = 754 cm 2 重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 6．将一矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1=度；△EFG 的形状三角形． ∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称 ∴∠2 = ∠3 = 64° 3 2 1 F E D C B A 51 3G D‘F C‘D A