用空间向量解决立体几何中的平行问题
§3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题
学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题．
知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置
(2)用向量表示平面的位置
①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定：
②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定：
(3)直线的方向向量和平面的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法
在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；
(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)；
(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
n ·
a ＝0，n ·
b ＝0；
(4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系
设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则
.
(1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√)
(2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√)
类型一 求平面的法向量
例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量．
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC →
＝(1，－1,0)．
则有⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AB →＝0，n ·
BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧
－2x ＋y ＋3z ＝0，
x －y ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3z ，
x ＝y .令z ＝1，则x ＝y ＝3.
故平面ABC 的一个法向量为n ＝(3,3,1)．
反思与感悟 利用方程的思想求解平面的法向量，注意一个平面的法向量不是唯一的，它有无数个，它们是共线的．
跟踪训练1 如图所示，在四棱锥S －ABCD 中，底面是直角梯形，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，且SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，建立适当的
空间直角坐标系，求平面SCD 与平面SBA 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
解 以A 为坐标原点，AD ，AB ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A (0,0,0)，D ⎝⎛⎭⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)， 则DC →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DS →
＝⎝⎛⎭⎫－12，0，1. 向量AD →
＝⎝⎛⎭⎫12，0，0是平面SAB 的一个法向量． 设n ＝(x ，y ，z )为平面SDC 的一个法向量，
则⎩⎨⎧
n ·DC →＝12
x ＋y ＝0，
n ·DS →
＝－12x ＋z ＝0，
即⎩⎨⎧
y ＝－12
x ，
z ＝1
2x .
取x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，
故平面SDC 的一个法向量为(2，－1,1)．
类型二 利用空间向量证明平行问题
例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
证明 (1)以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz ，则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1-→＝(0,2,1)，DA →＝(2,0,0)，AE →
＝(0,2,1)． 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA →，n 1⊥AE →
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
n 1·DA →＝2x 1＝0，n 1·
AE →＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，z 1＝－2y 1，
令z 1＝2，则y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1-→·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1-→
⊥n 1.
又因为FC 1⊄平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .
(2)因为C 1B 1-→＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥FC 1-→，n 2⊥C 1B 1-→
， 得⎩⎪⎨⎪⎧
n 2·FC 1-→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·
C 1B 1-→＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)，
因为n 1＝n 2，
所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
反思与感悟 利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝1
2AD ＝1，问在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，
求出E 点的位置；若不存在，请说明理由． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量
解 存在点E 使CE ∥平面P AB .
以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Axyz ， ∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)， 设E (0，y ，z )，则PE →
＝(0，y ，z －1)， PD →
＝(0,2，－1)，
∵PE →∥PD →
，∴y (－1)－2(z －1)＝0，① ∵AD →
＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量， 又CE →
＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE →⊥AD →
，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0. ∴y ＝1，代入①得z ＝12，
∴E 是PD 的中点，
∴存在E 点，当点E 为PD 中点时，CE ∥平面P AB .
1．已知l 1的方向向量为v 1＝(1,2,3)，l 2的方向向量为v 2＝(λ，4,6)，若l 1∥l 2，则λ等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 B
解析 由l 1∥l 2，得v 1∥v 2，得1λ＝24＝3
6
，故λ＝2.
2．已知直线l 1，l 2的方向向量分别为a ，b ，且a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若l 1∥l 2，则λ与μ的值可以分别是( )
A ．2，12
B ．－13，1
2 C ．－3,2 D ．2,2
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量
答案 A
解析 由题意知⎩⎨⎧
λ＋16
＝22λ，
2μ－1＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－3，μ＝12.
3．若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A ．(1,2,3) B ．(1,3,2) C ．(2,1,3)
D ．(3,2,1)
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A
解析 因为AB →＝(2,4,6)，所以与AB →
共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量． 4．若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，1
2，2，则m 为( ) A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ．8 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 C
解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝⎛⎭
⎫1，1
2，2， ∴(2，m,1)·⎝⎛⎭
⎫1，12，2＝0， ∴2＋1
2
m ＋2＝0，∴m ＝－8.
5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一个法向量为________． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 (1,1,1)(答案不唯一)
解析 不妨设正方体的棱长为1，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，
设平面ACD 1的一个法向量a ＝(x ，y ，z )， 则a ·AC →＝0, a ·AD 1-→＝0.
因为AC →＝(－1,1,0)，AD 1-→
＝(－1,0,1)，
所以 ⎩⎪⎨⎪⎧
(－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·
x ＋0·y ＋1·z ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝y ，
x ＝z ，
不妨取x ＝1，
则a ＝(1,1,1)．
(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)
1．应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线．
(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示．即用平面向量基本定理证明线面平行．
2．证明面面平行的方法
设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．
一、选择题
1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为μ，则能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，μ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，μ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，μ＝(－1,0,1) D ．a ＝(1，－1,3)，μ＝(0,3,1)
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D
解析 由l ∥α，故a ⊥μ，即a ·μ＝0，故选D.
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若两直线l 1∥l 2，则x ，y 的值分别是( ) A ．6和－10 B ．－6和10 C ．－6和－10
D ．6和10
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 A
解析 由两直线l 1∥l 2，得两向量a ，b 平行，即2－4＝－3x ＝5
y ，所以x ，y 的值分别是6和－
10.
3．直线l 的方向向量s ＝(－1,1,1)，平面α的一个法向量为n ＝(2，x 2＋x ，－x )，若直线l ∥α，则x 的值为( )
A ．－2
B ．－ 2 C. 2 D ．±2 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D
解析 依题意得，－1×2＋1×(x 2＋x )＋1×(－x )＝0， 解得x ＝±2.
4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( ) A.⎝⎛
⎭⎫
33
，33，－
33 B.⎝⎛
⎭⎫
33
，－33，
33 C.⎝
⎛⎭
⎫
－
33，33，
33 D.⎝
⎛⎭
⎫
－
33，－33，－
33 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D
解析 AB →＝(－1,1,0)，AC →
＝(－1,0,1)． 设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．
∵⎩⎪⎨⎪⎧
AB →·n ＝0，AC →·
n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.
令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)， 单位法向量为⎝⎛
⎭⎫33，33，
33或⎝⎛⎭⎫－33
，－33，－3
3. 5．设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为b ，若a ·b ＝0，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊂α C ．l ⊥α
D ．l ⊂α或l ∥α
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量 答案 D
解析 当a ·b ＝0时，l ⊂α或l ∥α.
6．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是( )
A ．－103
B ．6
C ．－6 D.10
3
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 B
解析 ∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行． ∴24＝3λ＝－1
－2
，∴λ＝6. 7．已知平面α内两向量a ＝(1,1,1)，b ＝(0,2，－1)且c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)．若c 为平面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ．－1,2 B ．1，－2 C ．1,2
D ．－1，－2
考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 A
解析 c ＝m a ＋n b ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，
由c 为平面α的法向量，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ·a ＝0，c ·b ＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧ 3m ＋n ＋1＝0，m ＋5n －9＝0， 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
m ＝－1，n ＝2. 二、填空题
8．若A ⎝⎛⎭⎫0，2，198，B ⎝⎛⎭⎫1，－1，58，C ⎝
⎛⎭⎫－2，1，58是平面α内三点，设平面α的法向量为a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 2∶3∶(－4)
解析 由已知得，AB →＝⎝
⎛⎭⎫1，－3，－74， AC →＝⎝
⎛⎭⎫－2，－1，－74， ∵a 是平面α的一个法向量，∴a ·AB →＝0，a ·AC →＝0， 即⎩⎨⎧ x －3y －74z ＝0，－2x －y －74z ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝23y ，z ＝－43y ，
∴x ∶y ∶z ＝23
y ∶y ∶⎝⎛⎭⎫－43y ＝2∶3∶(－4)． 9．已知l ∥α，且l 的方向向量为m ＝(2，－8,1)，平面α的法向量为n ＝(1，y,2)，则y ＝________. 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 12
解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量m ＝(2，－8,1)与平面α的法向量n ＝(1，y,2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y ＝12
. 10．设平面α的法向量为m ＝(1,2，－2)，平面β的法向量为n ＝(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝________.
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 4
解析 由α∥β得1－2＝2－4＝－2k
，解得k ＝4. 三、解答题
11．已知平面α经过点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，
∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．
设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，
依题意有⎩⎪⎨⎪⎧
n ·AC →＝0，n ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4y －3z ＝0
，
x －2y －4z ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧ z ＝0，
x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2， ∴平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．
12.如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，
E 为PD 的中点．AB ＝AP ＝1，AD ＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，
求平面ACE 的一个法向量．
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
解 因为P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，
所以AB ，AD ，AP 两两垂直．
如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z
轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0，3，0)，
E ⎝⎛⎭
⎫0，32，12，B (1,0,0)， C (1，3，0)，
于是AE →＝⎝
⎛⎭⎫0，32，12，AC →＝(1，3，0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，
所以⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3y ，z ＝－3y ，
令y ＝－1，则x ＝z ＝ 3.
所以平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，－1，3)．
13．已知空间四边形ABCD ，P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心，求证：PQ ∥平面ACD . 考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
证明 如图，连接AP 并延长交BC 于点E ，连接ED ，易知Q 在线段ED 上，
∵P ，Q 分别是△ABC 和△BCD 的重心， ∴PQ →＝EQ →－EP →
＝13ED →－13EA →＝13(ED →－EA →)＝13
AD →， ∴PQ →∥AD →，即PQ ∥AD ，
又AD ⊂平面ACD ，PQ ⊄平面ACD ，
∴PQ ∥平面ACD .
四、探究与拓展
14．已知直线l 过点P (1,0，－1)且平行于向量a ＝(2,1,1)，平面α过直线l 与点M (1,2,3)，则平面α的法向量不可能是( )
A ．(1，－4,2)
B.⎝⎛⎭⎫14，－1，12
C.⎝⎛⎭⎫－14，1，－12 D ．(0，－1,1)
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
答案 D
解析 因为PM →＝(0,2,4)，直线l 平行于向量a ，若n 是平面α的一个法向量，则必须满足
⎩⎪⎨⎪⎧
n ·a ＝0，n ·
PM →＝0，把选项代入验证，只有选项D 不满足，故选D. 15.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AA 1＝4，AD ＝5.求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C .
考点 直线的方向向量与平面的法向量
题点 求平面的法向量
证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x
轴，y 轴，
z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz ，
则D (0,0,0)，A 1(5,0,4)，
B (5,3,0)，D 1(0,0,4)，
B 1(5,3,4)，
C (0,3,0)，
∴A 1D -→＝(－5,0，－4)，
A 1
B -→＝(0,3，－4)，
D 1C -→＝(0,3，－4)，B 1C -→＝(－5,0，－4)．
设平面A 1BD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥A 1D -→，m ⊥A 1B -→，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1D -→＝－5x －4z ＝0，m ·
A 1
B -→＝3y －4z ＝0. 取z ＝1，得x ＝－45，y ＝43
，则m ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. 设平面B 1D 1C 的一个法向量为n ＝(a ，b ，c )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·D 1C -→＝0，n ·B 1
C -→＝0，得n ＝⎝⎛⎭⎫－45，43，1. ∵m ＝n ，即m ∥n ，∴平面A 1B
D ∥平面B 1D 1C .
2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(提高)含答案
专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行 【学习目标】 1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题； 2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法； 3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力. 【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则为直线l 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. 要点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量. （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算. 2. 平面的法向量定义： 已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量. 要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法： （1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i ）设出平面的法向量为n =（x y z ，，）； （ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）； （iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程. AB AB αl α⊥l a α⊥a a α0 n a n b ⋅=⎧⎨ ⋅=⎩
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义
3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
专题08 利用空间向量证明平行、垂直(解析版)
2020年高考数学立体几何突破性讲练 08利用空间向量证明平行、垂直 一、考点传真： 能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系 二、知识点梳理： 证明平行、垂直问题的思路 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．?3?其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可. 三、例题： 例1. （2019江苏卷）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC． 求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E． 【解析】证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点， 所以ED∥AB. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A 1B 1∥ED . 又因为ED ?平面DEC 1，A 1B 1?平面DEC 1， 所以A 1B 1∥平面DEC 1. （2）因为AB =BC ，E 为AC 的中点，所以BE ⊥AC . 因为三棱柱ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以CC 1⊥平面ABC . 又因为BE ?平面ABC ，所以CC 1⊥BE . 因为C 1C ?平面A 1ACC 1，AC ?平面A 1ACC 1，C 1C ∩AC =C ， 所以BE ⊥平面A 1ACC 1. 因为C 1E ?平面A 1ACC 1，所以BE ⊥C 1E . 例2.（2016年北京卷） 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ， PA PD ⊥， PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =， AC CD == （1）求证：PD ⊥平面PAB ； （2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值； （3）在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求 AM AP 的值；若不存在，说明理由. 【解析】(1)∵面PAD 面 ABCD AD = ，面PAD ⊥面ABCD ， ∵AB ⊥AD ，AB ?面ABCD ，∴AB ⊥面PAD ， ∵PD ?面PAD ， ∴AB ⊥PD ，
空间向量巧解平行、垂直关系
高中数学空间向量巧解平行、垂直关系 编稿老师刘咏霞一校黄楠二校杨雪审核郑建彬知识点课标要求题型说明 空间向量巧解 平行、垂直关系 1. 能够运用向量的坐标判断两个向 量的平行或垂直。 2. 理解直线的方向向量与平面的法 向量。 3. 能用向量方法解决线面、面面的 垂直与平行问题，体会向量方法在 立体几何中的作用。 选择题 填空题 解答题 注意用向量方 法解决平行和垂直 问题中坐标系的建 立以及法向量的求 法。 二、重难点提示 重点：用向量方法判断有关直线和平面的平行和垂直关系问题。 难点：用向量语言证明立体几何中有关平行和垂直关系的问题。 考点一：直线的方向向量与平面的法向量 1. 直线l上的向量a或与a共线的向量叫作直线l的方向向量。 2. 如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α，此时向量a叫作平面α的法向量。 【核心归纳】 ①一条直线的方向向量有无数多个，一个平面的法向量也有无数多个，且它们是共线的。 ②在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一确定的。 【随堂练习】
已知A（1，1，0），B（1，0，1），C（0，1，1），则平面ABC的一个法向量的单位向量是（） A. （1，1，1） B. ( 333 C. 111 (,,) 333 D. () 333 - 思路分析：设出法向量坐标，列方程组求解。 答案：设平面ABC的一个法向量为n＝（x，y，z），AB＝（0，－1，1），BC＝（－ 1，1，0），AC＝（－1，0，1），则 ·0 ·0 ·0 AB y z BC x y AC x z ⎧=-+= ⎪⎪ =-+= ⎨ ⎪ =-+= ⎪⎩ n n n ，∴x＝y＝z， 又∵单位向量的模为1，故只有B正确。 技巧点拨：一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： （1）设出平面的法向量为n＝（x，y，z）。 （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量a＝（a1，b1，c1），b＝（a2，b2，c2）。 （3）根据法向量的定义建立关于x，y，z的方程组 ·0·0. =⎧ ⎨ =⎩ n a n b （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量。 【核心突破】 ①用向量法解决立体几何问题是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想。 ②用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
利用空间向量解立体几何(完整版)
向量法解立体几何 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为 PQ =u u u r 2.点线距离
求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
8.7空间向量在立体几何中的应用——证明平行与垂直
1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)给定一个定点A 和一个向量a ，再任给一个实数t ，以A 为起点作向量AP → ＝t a ，则此向量方程叫做直线l 以t 为参数的参数方程.向量a 称为该直线的方向向量. (2)对空间任一确定的点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在唯一的实数t ，满足等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB → ，叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的.( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的.( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行.( × )
§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
§3.2立体几何中的向量方法(一) ——空间向量与平行关系 课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系． 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个． 2．平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________． 3．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m?______________?__________?________________________. (2)线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?________?__________?________________________. (3)面面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?__________?__________?________________________. 一、选择题 1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是() A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为() A．(1,2,3) B．(1,3,2) C．(2,1,3) D．(3,2,1) 3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1) C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1) 4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17) C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31) 5. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是() A．相交B．平行 C．垂直D．不能确定 6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系
用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系 编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅 目标认知 学习目标： 1．理解直线的方向向量与平面的法向量. 2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系. 3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 重点： 空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。 难点： 空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题. 学习策略： 直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。 对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 知识要点梳理 知识点一：基本定理 线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。 线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。 面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件
若，，则 ①，， ② 知识点三：直线的方向向量和平面的法向量 1．直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。 2．平面的法向量： 如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。 知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系. 设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则： ①线线平行： 或与重合 即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。 ②线线垂直： 即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行 不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系
不可忽视的利用空间向量处理垂直与平行关系问题 关于空间向量在几何体中的应用,同学们在学习中注重的往往是两用空间向量解决求角球距离的问题,却忽视了利用空间向量处理垂直与平行关系问题.这样的做法往往导致了一旦遇到几何体中的垂直与平行关系问题要处理,而几何方法又无法解决时,可能就会束手无策,坐以待毙了.而实际上,利用空间向量处理垂直与平行关系问题同样会带来直观、运算量小、减少空间想象的力度等优点. 一. 利用空间向量处理垂直关系问题 例1.ABC-C 11B A 是各棱长均相等的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点. 求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1 . [分析]:线与线、线与面、面与面的垂直平行关系是历年高考命题的热点，请注意各种关系的相互转化并最终转化到平面问题或比较简单、具体的问题而加以解决。若用空间向量法则证明垂直问题主要是用好平面的法向量。 [解法一]取AB 1的中点M ，AB 中点N ，连结DM ，MN ，CN MN ∥ 21BB 1∥CD 且MN =2 1 BB 1=CD D M A1 B1 B N A C C 1 ∴ DM ∥CN 且 DM=CN 由已知可得 CN ⊥AA 1,且CN ⊥AB ∴CN ⊥面AB B 1A 1, DM ⊥面AB B 1A 1,且 DM ⊂面AB 1D, ∴面AB 1D ⊥面AB B 1A 1 [回顾]面面垂直的判定定理“l ⊥α , l ⊂α ⇒ α ⊥β ”中，首先，L 应是β内垂直于交线的直线。 将一个向量表示成几个便于计算的向量相加（首尾相接）在证线与线垂直中常用。
于是有下面的证法二。 [证法二] DM ·1AA =(DC +CA +2 1 1AB )·1AA =(DC +CA + 211AA +2 1 11B A )·1AA =-21a 2+0+2 1 a 2+0 (a 为棱长) 同样 DM ·AB =·AB +CA ·AB +211AA ·AB +2 1 11B A ·AB =0- 21a 2+0+2 1 a 2=0 ∴DM ⊥相交直线AB. AA 1, ∴DM ⊥平面AB B 1A 1 且 DM 平面AB 1D ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1. 本题也可以建立直角坐标系,利用向量坐标证明或证明面AB 1D 与面ABC 的法向量数量积为0. [证法三]以AB 的中点O 为原点，射线OB ，OC ，OM （M 是AB 1的中点）分别为x 轴,y 轴、z 轴正向建立空间直角坐标系.如图，设所有的棱长均为2，则A （-1，0，0），B （1，0，0） D （0,3 ,1） , B(1,0,2) x y 设平面AB 1D 的法向量为=（x,y,z ） 由·=（x,y,z ）（1，3，1）=x+3y+z=0和·1AB =（x,y,z ）（2，0，2）=2x+2z=0 ,取n =（-1,0,1）.而平面AB B 1A 1的法向量为OC =（0, 3,0） ·=（-1,0,1）·（0, 3,0）=0+0+0=0 ∴⊥ ∴平面AB 1D ⊥平面AB B 1A 1. [回顾]:向量坐标法解题时注意；（1）点坐标，向量坐标，向量关系三大步的运算要准确，（2）将题意转化为相应的向量计算。（3）有些法向量是已知的，不
空间向量在立体几何中的应用和习题含答案
空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； ④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ⋅= ><⋅| |||| ||,cos |212121v v v v v v ②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角． 设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然 ]2 π,0[∈θ，则⋅= ><⋅| |||| ||,cos |v u v u v u ③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l －β 在二面角的棱上任取一点O ，在两个半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α －l －β 的平面角． 利用向量求二面角的平面角有两种方法： 方法一： 如图，若AB ，CD 分别是二面角α －l －β 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角α －l －β
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2第1课时用空间向量解决立体几何中的平行问题课时跟踪训练含解析
学习资料 高中数学第三章空间向量与立 体几何3.2第1课时用空间向 量解决立体几何中的平行问题 课时跟踪训练含解析新人教A 版选修2 班级：科目：
用空间向量解决立体几何中的平行问题 ［A组学业达标］ 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2,－2)，b＝（－3，－6，6）,则（） A．l1∥l2B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直D．不能确定 解析：∵a＝(1,2，－2），b＝(－3,－6,6）， ∴b＝－3a， ∴l1∥l2。 答案：A 2.在如图所示的坐标系中，ABCD.A1B1C1D1是棱长为1个单位长度 的正方体,给出下列结论: ①直线DD1的一个方向向量为(0,0，1）． ②直线BC1的一个方向向量为（0，1,1）． ③平面ABB1A1的一个法向量为(0,1，0）． ④平面B1CD的一个法向量为（1，1，1）． 其中正确的个数为（) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：DD1∥AA1，错误!＝（0，0,1）; BC1∥AD1，错误!＝(0,1，1)， 直线AD⊥平面ABB1A1，错误!＝(0,1，0)； C1点坐标为(1,1,1),错误!与平面B1CD不垂直， ∴④错． 答案：C 3．若两个不同平面α,β的法向量分别为u＝(1，2，－1），v＝（－4，－8,4),则（) A．α∥βB．α⊥β C．α，β相交但不垂直D．以上均不正确 解析：∵u＝－错误!v， ∴α∥β。 答案：A 4．在菱形ABCD中，若错误!是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是(）A。错误!·错误!＝0 B.错误!·错误!＝0
C.错误!·错误!＝0 D 。错误!·错误!＝0 解析:∵P A ⊥平面ABCD , ∴BD ⊥P A . 又AC ⊥BD ， ∴PC ⊥BD . 故选项B 正确，选项A 和D 显然成立．故选C 。 答案:C 5．已知线段AB 的两端点坐标为A （9，－3,4），B (9,2，1），则线段AB 与坐标平面（ ) A ．xOy 平行 B ．xOz 平行 C ．yOz 平行 D ．yOz 相交 解析：因为AB → ＝(9,2,1）－(9，－3,4）＝(0，5，－3)， 所以AB ∥平面yOz 。 答案：C 6．已知l ∥α,且l 的方向向量为(2，m,1），平面α的法向量为错误!,则m ＝________. 解析：∵l ∥α， ∴(2,m,1)·错误!＝0， 即2＋错误!m ＋2＝0， ∴m ＝－8. 答案：－8 7．已知α，β为两个不重合的平面,设平面α与向量a ＝(－1，2，－4）垂直，平面β与向量b ＝（－2，4，－8）垂直，则平面α与β的位置关系是________． 解析：∵b ＝2a ，∴a ∥b .∵平面α与向量a 垂直，所以平面α与向量b 也垂直．而平面β与向量b 垂直，∴α∥β。 答案：平行 8．在直三棱柱ABC .A 1B 1C 1中,以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________(填序号）． ①错误!；②错误!；③错误!；④错误!. 答案:②③ 9.如图,四棱锥P 。ABCD 中,底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1,AD ＝错误!。试建立恰当的空间直角坐标系,求平面ACE 的一个法向量． 解析：∵P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，∴AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，错误!的方向为x 轴的正方向，错误!的方向为y 轴的正方向，错误!
近年高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54空间向量的应用(一)平行与垂直理(2021年整理)
2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮总复习第八章立体几何题组训练54 空间向量的应用（一）平行与垂直理的全部内容。
题组训练54 空间向量的应用（一)平行与垂直 1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝错误!＋错误!＋错误!，向量b＝错误!＋错误!－错误!，则与a，b不能构成空间基底的向量是（) A.错误!B。错误! C.错误! D.错误!或错误! 答案C 解析根据题意得错误!＝错误!(a－b），∴错误!，a，b共面． 2．有4个命题: ①若p＝x a＋y b，则p与a，b共面； ②若p与a，b共面,则p＝x a＋y b； ③若错误!＝x错误!＋y错误!，则P，M，A，B共面； ④若P，M，A，B共面，则错误!＝x错误!＋y错误!. 其中真命题的个数是( ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案B 解析①正确，②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝x a＋y b就不成立．③正确．④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则错误!＝x错误!＋y错误!不正确． 3．从点A（2,－1，7）沿向量a＝（8,9，－12）的方向取线段长｜AB｜＝34，则B点坐标为( ) A．(18,17，－17）B．(－14，－19，17) C．（6，错误!，1）D．（－2，－错误!，13) 答案A 解析设B点坐标为（x,y，z），则错误!＝λa（λ>0），即(x－2,y＋1，z－7）＝λ(8，9，－12）． 由|错误!｜＝34,即错误!＝34，得λ＝2。 ∴x＝18,y＝17，z＝－17.
课题：利用空间向量解决立体几何中的探索性问题
课题：利用空间向量解决立体几何中的探索性问题 课题说明 立体几何中，平行、垂直、距离和角的问题是主要问题，而以它们为背景的探索性问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点. 由于此类问题涉及的点具有不确定性，所以用传统的解法难度较大，若用向量方法处理，则思路简单，操作方便。 一、温故而知新 问题一：利用空间向量解决立体几何中的平行、垂直、距离和角问题常见有那几种方法？ （一）平行问题 线线平行： 线面平行： 面面平行： （二）垂直问题 线线垂直： 线面垂直： 面面垂直： （三）角问题 线线角： 线面角： 面面角： （四）距离问题 点面距离： 二、例题分析 在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长为1，E 是棱1BB 的中点 （1）在棱11C B 上是否存在一点F ，使F D 1∥面DE A 1。 （2）在平面1111D C B A 内是否存在一点M ，使AM ⊥平面DE A 1。 （3）在棱1DD 上是否存在一点N ，使BN 与平面DE A 1所成角的正弦值为 1935。 （4）在棱11C D 上是否存在一点P ，使点P 到平面DE A 1的距离为4 3。 问题二：你要求解的是什么？ 问题三：探索性问题常见有哪几种方法？ 方案一： 方案二： 问题四：题目给你提供了什么几何体？它能为你提供什么信息？
问题五：点在棱上或在面内，坐标怎么设？ （1）点F 在棱B 1C 1上： （2）点M 在面1111D C B A 内： （3）点N 在棱1DD 上： （4）点P 在棱11C D 上： 问题六：F D 1∥面DE A 1这个条件怎么用？ 问题七：AM 平面DE A 1这个条件怎么用？ 问题八：BN 与平面DE A 1所成角的正弦值为1935这个条件怎么用？ 问题九：点P 到平面DE A 1的距离为43这个条件怎么用？ A A A A A
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.8 共面与平行(含解析)1数学教案
3．8共面与平行 [读教材·填要点] 1．共面 (1)如果若干个图形在同一个平面内，就称这些图形共面． (2)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n (其中n 为平面ABC 的法向量)． 2．直线与平面共面或平行的判定 一般地，设n 是平面α的一个法向量，v 是直线l 的方向向量，则v ⊥n ⇔l ∥α或l ⊂α. 如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∈α，则l ⊂α. 如果v ⊥n 且l 上至少有一点A ∉α，则l ∥α. [小问题·大思维] 若直线l 的方向向量为u ＝(－3,4,2)，平面α的一个法向量为v ＝(2,2，－1)，那l 与α的位置关系是什么？ 提示：∵u ·v ＝(－3,4,2)·(2,2，－1)＝－6＋8－2＝0， ∴u ⊥v . ∴l ∥α或l ⊂α. 四点共面问题 判断A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)四 点是否共面，并说明理由． [自主解答] ∵A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)， ∴AB ―→＝(3,4,5)，AC ―→＝(1,2,2)
设平面ABC 的法向量n ＝(x ，y ，z )， 则n ·AB ―→＝0，且n ·AC ―→＝0， 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 3x ＋4y ＋5z ＝0，x ＋2y ＋2z ＝0，∴x ＋z ＝0. 令x ＝1，则z ＝－1，y ＝12 ， ∴n ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1，1 2，－1. 又∵D (10,14,17)，∴AD ―→＝(9,14,16)， ∴AD ―→·n ＝(9,14,16)·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1，12，－1 ＝9×1＋14×1 2－16＝0， ∴n ⊥AD ―→. 又∵A ∈平面ABC ， ∴AD ⊂平面ABC ，∴A ，B ，C ，D 四点共面． (1)A ，B ，C ，D 共面⇔直线AD 在平面ABC 内⇔AD ―→⊥n . (2)(共面向量定理)如果A ，B ，C 三点不共线，则点M 在平面ABC 内的充分必要条件是，存在一对实数x ，y ，使向量表达式AM ―→＝x AB ―→＋y AC ―→成立． 1．空间直角坐标系中，已知A (3,0,0)，B (0,4,0)，C (0,0,2)， P (x ，y ，z )是平面ABC 内任意一点，试求x ，y ，z 满足的方程．
利用空间向量证明线面平行问题
利用空间向量证明线面平行问题 姚伟力余姚八中数学组315430 向量是高中数学的新增内容，是一个具有代数与几何双重属性的量，为我们用代数方法研究几何问题提供了强有力的工具。线面平行是立体几何的一个重要内容，是面面平行等内容的基础，也是学生学习的一个难点和重点，若我们能充分应用好向量这个工具的特点，发挥它的双重属性，能起到事半功倍的效果。 一、应用空间共线向量定理：由平面外的一条直线和平面内一条直线共线，得到线面平行。 例1 、（2004年天津）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD 底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点。证明：PA//平面EDB。 证明：如图所示建立空间直角坐标系D为坐标原点，设DC=a，连结AC，AC交BD于G，
连结EG 。 依题意得A （a ，0，0），P （0，0，a ），E （0， 2a ，2 a ）。 底面ABCD 是正方形，G 是此正方形的中心，则点G 的坐标为（2a ，2a ，0），∴PA =（a ，0，-a ），EG =（2 a ，0，-2a ）∴PA =2EG ， P ∉EG ，∴PA//EG ，而EG ⊂平面EDB ，PA ⊄平面EDB ，∴PA//平面EDB 。 二、应用向量平行于平面和空间向量共面定理，我们可得到如下的性质：如图，已知直线L 不在平面α内，取直线L 上的任一非零向量n ，平面α中存在两个不共线向量a ，b ，若存在唯一的实数对λ1，λ2，使得n =λ1a +λ2b ，则L//α。 证明：由n =λ1a +λ2b 知n ，a 与b 共面，因此n //α，由直线L 不在平面α内得到L//α。 例2 、已知平行四边形ABCD ，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别为PC ，PB 的中点；求证：MN//面PAB 。 D
用空间向量解决立体几何中的平行问题
§3.2 立体几何中的向量方法 第1课时 用空间向量解决立体几何中的平行问题 学习目标 1.了解空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义，并会求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一 直线的方向向量与平面的法向量 (1)用向量表示直线的位置 (2)用向量表示平面的位置 ①通过平面α上的一个定点O 和两个向量a 和b 来确定： ②通过平面α上的一个定点A 和法向量来确定： (3)直线的方向向量和平面的法向量
知识点二 平面的法向量及其求法 在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤： (1)设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )； (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)； (3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩ ⎪⎨⎪⎧ n · a ＝0，n · b ＝0； (4)解方程组，取其中的一组解，即得平面的一个法向量． 知识点三 用空间向量处理平行关系 设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则 . (1)若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相反．(√) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行；两直线的方向向量垂直，则两直线垂直．(×) (3)若向量n 1，n 2为平面的法向量，则以这两个向量为方向向量的直线一定平行．(×) (4)若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行．(√) (5)若直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，则l 1⊥l 2.(√) 类型一 求平面的法向量 例1 已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)，试求出平面ABC 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 解 设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (2,1,0)，B (0,2,3)，C (1,1,3)， ∴AB →＝(－2,1,3)，BC → ＝(1，－1,0)．
立体几何中的向量方法——平行问题
【自主解答】 以A 为坐标原点建立空间直角坐标系． 设正三棱柱的底面边长为a (a >0)，侧棱长为b (b >0)， 则A (0,0,0)，B ( 32a ，a 2，0)，B 1(32a ，a 2，b )，C 1(0，a ，b )，D (0，a 2 ，0)， ∴AB 1→＝(32a ，a 2，b )，BD →＝(－32a,0,0)，DC 1→ ＝(0，a 2，b )． 设平面DBC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则 错误!∴错误! 不妨令y ＝2b ，则n ＝(0,2b ，－a )．由于AB 1→ ·n ＝ab －ab ＝ 0，因此AB 1→ ⊥ n . 又AB 1⊄平面DBC 1，∴ AB 1∥平面DBC 1. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．求证：CE ∥平面C 1E 1F . 【证明】 以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图． 设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1(1，1 2 ，2)． 设平面C 1E 1F 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵C 1E 1→＝(1，－12 ，0)，FC 1→ ＝(－1,0,1)，
⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n · FC 1→＝0，即 ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12y ， x ＝z ， 取n ＝(1,2,1)． ∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE → ＝1－2＋1＝0， ∴CE →⊥n ，且CE → ⊄平面C 1E 1F .∴CE ∥平面C 1E 1F . 例2：(12分)如图3－2－6，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF ⊥FB ，AB ＝2EF ，∠BFC ＝90°，BF ＝FC ，H 为BC 的中点． 求证：FH ∥平面EDB . 【思路点拨】 先通过推理证明FH ⊥平面ABCD ，建立空间直角坐标系，再设证明HF →、BE →、BD → 共面． 图3－2－6 【规范解答】 ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ⊥BC ，又EF ∥AB ，∴EF ⊥BC . 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC .∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥分 又BF ＝FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC . ∴FH ⊥平面ABC . 以H 为坐标原点，HB →为x 轴正方向，HF → 为z 轴正方向． 建立如图所示的空间直角坐标系． 设BH ＝1，则B (1,0,0)，D (－1，－2,0)，E (0，－1,1)，F (0,0,1).6分 ∴HF →＝(0,0,1)，BE →＝(－1，－1,1)，BD → ＝(－2，－2，0)， 设HF →＝λ·BE →＋μ·BD →＝λ·(－1，－1,1)＋μ(－2，－2,0)＝(－λ－2μ，－λ－2μ，λ)8分
专题 7用向量法证明平行与垂直2021届高考数学核心素养大秘籍(解析版)
第七篇 立体几何与空间向量 专题7.05 用向量法证明平行与垂直 【考纲要求】 1.理解直线的方向向量与平面法向量的意义． 2.能用向量语言表达直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系． 3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理). 【命题趋势】 空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 【核心素养】 本讲内容主要考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 【素养清单•基础知识】 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量 的方程组为⎩⎪⎨ ⎪⎧ n·a ＝0，n· b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔ v 1∥v 2 . (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔ 存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2 . (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔ v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β ⇔ u 1∥u 2 . 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2， 则l 1⊥l 2⇔ v 1⊥v 2 ⇔ v 1· v 2＝0 . (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ， 则l ⊥α⇔ v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β ⇔ u 1⊥u 2 ⇔ u 1·u 2＝0 .
空间向量在立体几何中的应用
空间向量在立体几何中的应用 【考纲说明】 1. 能够利用共线向量、共面向量、空间向量基本定理证明共线、共面、平行及垂直问题； 2. 会利用空间向量的坐标运算、两点间的距离公式、夹角公式等解决平行、垂直、长度、角、距离等问题； 3. 培养用向量的相关知识思考问题和解决问题的能力； 知识梳理】 、空间向量的运算 1、向量的几何运算 1）向量的数量积： 已知向量，则叫做的数量积，记作 空间向量数量积的性质：① ； ②； ③ ． 2）向量共线定理：向量a r a r r r r 0 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使b 2、向量的坐标运算 （1）若，，则． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 2）若，，则 ，， 3）夹角公式：
（4）两点间的距离公式：若，，则 二、空间向量在立体几何中的应用 2. 利用空间向量证明平行问题 对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 3. 利用空间向量证明垂直问题 对于垂直问题，一般是利用进行证明； 4. 利用空间向量求角度 1）线线角的求法： 设直线AB、CD对应的方向向量分别 为 a、b，则直线AB与CD所成的角为（线线角的范围[0 0,90 0]）2）线面角的求法： （3）二面角的求法：设n1， n2 分别是二面角其补角的大小 （如图） 5. 利用空间向量求距离 1）平面的法向量的求法： 设n=（x,y,z），利用n 与平面 内的两个不共线的向a， b 垂 直，其数量积为零，列出两个三 元一次方程，联立后取 设n 是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）就是二面角的平面角或 的两个面