黄昆版固体物理学课后答案解析答案(1)
《固体物理学》习题解答
黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）
第一章 晶体结构
1.1、
解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc
nV
x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）
a=2r ， V=
3
r 3
4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r
34a r 34x 3
333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3
3
4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3
∴68.083)r 3
34(r 342a r 342x 3
3
3
3≈π=π⨯=π⨯
=
（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3
74.062)
r 22(r 344a r 344x 3
3
33≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62
60sin a a 6S ABO ⨯⨯
=⨯∆=2
a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3
8
a 233C S ==⨯=
⨯ n=1232
1
26112+⨯+⨯
=6个 74.062r
224r 346x 3
3
≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3
r 8a r 24a 3=
⇒⨯= n=8, Vc=a 3
34.063r 3
38r 348a r 348x 3
33
33≈π=π⨯=π⨯=
1.2、试证：六方密排堆积结构中
633.1)3
8(a c 2
/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.
即图中NABO 构成一个正四面体。…
1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。
证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a j k a a i k a a i j ⎧=+⎪⎪
⎪
=+⎨⎪
⎪=+⎪⎩
由倒格子基矢的定义：1232()b a a π
=
⨯Ω 3
1230,
,22
(),0,224
,,0
2
2
a a
a
a a a a a a a Ω=⋅⨯=
=，2
23,,,
0,()224,,0
2
2
i j k
a a a a a i j k a a ⨯==-++ 213422()()4a
b i j k i j k a a
π
π∴=⨯⨯-++=-++
同理可得：232()2()
b i j k a
b i j k a
π
π=
-+=+-即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。
所以，面心立方的倒格子是体心立方。
（2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2a a i j k a a i j k a a i j k ⎧=-++⎪⎪
⎪
=-+⎨⎪
⎪=+-⎪⎩
由倒格子基矢的定义：1232()b a a π
=
⨯Ω
3
123,,
222
(),,2222
,,222
a a a a a a a a a a a a a
-Ω=⋅⨯=-=
-
，223,,,,()2222,,222i j k a a a a a a j k a a a ⨯=-=+- 213222()()2a b j k j k a a
π
π∴=⨯⨯+=+
同理可得：232()2()
b i k a
b i j a
π
π=
+=+即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。
所以，体心立方的倒格子是面心立方。
1.5、证明倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
证明：
因为33121323
,a a
a a CA CB h h h h =
-=-，112233G h b h b h b =++ 利用2i j ij a b πδ⋅=，容易证明
12312300
h h h h h h G CA G CB ⋅=⋅=
所以，倒格子矢量112233G h b h b h b =++垂直于密勒指数为123()h h h 的晶面系。
1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,,)h k l 的晶面系，面间距d 满足：2
2
2
2
2
()d a h k l =++，其中a 为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。 解：简单立方晶格：123a a a ⊥⊥，123,,a ai a aj a ak === 由倒格子基矢的定义：2311232a a b a a a π
⨯=⋅⨯，3121232a a b a a a π⨯=⋅⨯，12
3123
2a a b a a a π⨯=⋅⨯
倒格子基矢：123222,,b i b j b k a a a
πππ=
== 倒格子矢量：123G hb kb lb =++，222G h
i k j l k a a a
πππ
=++ 晶面族()hkl 的面间距：2d G
π
=
2221
()()()h k l a a a
=++
2
2
222
()
a d h k l =++ 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。
1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。
解：(111)
1、(111)面与(100)面的交线的AB ，AB 平移，A 与O 点重合，B 点位矢：B R aj ak =-+， (111)面与(100)面的交线的晶向AB aj ak =-+，晶向指数[011]。
(111)
2、(111)面与(110)面的交线的AB ，将AB 平移，A 与原点O 重合，B 点位矢：B R ai aj =-+，(111)面与(110)面的交线的晶向AB ai aj =-+，晶向指数[110]。
第二章 固体结合
2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（2ln 2=α）和库仑相互作用能，设离子的总数为2N 。
＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用r 表示相邻离子间的距离，于是有
(1)1111
2[ (234)
ij r
r r r r r
α
±'
==-+-+∑ 前边的因子2是因为存在着两个相等距离i r 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求和后要乘2，马德隆常数为
2
34
(1) (34)
n x x x x x x +=-+-+
当X=1时，有111
1 (2234)
n -
+-+=
2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 ()m
n
u r r
r
α
β
=-
+
1112[1...]234α=-+-+22
n α∴=
试求：（1）平衡间距0r ；
（2）结合能W （单个原子的）； （3）体弹性模量；
（4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====，计算α及β的值。 解：（1）求平衡间距r 0
由
0)(0
==r r dr
r du ，有：
m
n n
m n m m n n m r r n r m --++⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⇒=-1
101
.0100αββαβ
α
结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量称为结合能（用w 表示）
（2）求结合能w （单个原子的）
题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元。
显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即U min
即：n m r
r
r U W 0
0)(β
α
-
+=-= （可代入r 0值，也可不代入）
（3）体弹性模量
由体弹性模量公式：0
220
2
09r r U V r k ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂=
（4）m = 2，n = 10，
A r 30=， w = 4eV ，求α、β
81
8
105210⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=αβαβr ① )5(54)(802
010
.
20
0代入α
β
αβ
α
=
-
=+
-
=r r r r
r U
eV r r U W 454)(2
0==
-=⇒α
② 将
A r 30=，J eV 19
10
602.11-⨯=代入①②
2
1152
3810459.910209.7m
N m N ⋅⨯=⋅⨯=⇒--βα （1）平衡间距r 0的计算 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ=
-+
平衡条件
0r r dU
dr
==，11000m n m n r r αβ++-+=，1
0(
)n m n r m βα
-
= （2）单个原子的结合能
01()2W u r =-，0
0()()m n r r u r r r αβ
==-+，1
0()n m n r m βα-= 1(1)()2m
n m m n W n m βαα
--=-
（3）体弹性模量0
202(
)V U
K V V ∂=⋅∂ 晶体的体积3
V NAr =，A 为常数，N 为原胞数目 晶体内能()()2m n N U r r r
αβ=
-+ U U r V r V ∂∂∂=∂∂∂1121
()23m n N m n r r NAr
αβ++=- 22112
1
[()]23m n U N r m n V V r r r NAr αβ++∂∂∂=-∂∂∂ 0
2222
200000
1[]29m n m n V V U N m n m n V V r r r r αβαβ=∂=-+-+∂ 由平衡条件
112
0001
()023m n V V U N m n V
r r NAr αβ++=∂=
-=∂，得0
0m n m n r r αβ= 0
222220001[]29m n V V U
N m n V V r r αβ=∂=-+∂ 0
22
2000
1[]29m n
V V U N m n m n V V r r αβ
=∂=
-+∂2000[]29m n N nm V r r αβ=--+ 000
()2m n N U r r αβ
=
-+ 0
202
2
()9V V U mn
U V V =∂=
-∂ 体弹性模量0
9mn
K U V = （4）若取02,10,3,4m n r A W eV ====
10()n m n r m βα-=，1(1)()2m
n m m n W n m βαα
--=-
10
02
W r β=
，20100[2]r W r βα=+
-95101.210eV m β=⨯⋅，1929.010eV m α-=⨯⋅
2.6、bcc 和fcc Ne 的结合能，用林纳德—琼斯(Lennard —Jones)势计算Ne 在bcc 和fcc 结构中的结合能之比值．
＜解＞12
612
61()4()(),()(4)()()2n l u r u r N A A r r r r σ
σσ
σεε⎡⎤
⎡
⎤
=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣
⎦
2
6
6612006
12()102
2r A A du r r u N r A A σε⎛⎫=⇒=⇒=- ⎪⎝⎭
220662
01212()12.25/9.11()/()0.957()14.45/12.13
bcc bcc fcc fcc u r A A u r A A ωω'===='
2.7、对于2H ，从气体的测量得到Lennard —Jones 参数为6
5010, 2.96.J A εσ-=⨯=计算fcc 结构的
2H 的结合能[以KJ/mol 单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ ／mo1，试
与计算值比较．
＜解＞ 以2H 为基团，组成fcc 结构的晶体，如略去动能，分子间按Lennard —Jones 势相互作用，则晶体的总相互作用能为：
126
1262.ij ij i j U N P P R R σσε--⎡⎤⎛⎫⎛⎫''=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
∑∑
61214.45392;
12.13188,ij
ij j
i
P P --''==∑
∑16235010, 2.96, 6.02210/.
erg A N mol εσ-=⨯==⨯()()12628
16
2.96 2.962602210/5010
12.1314.45 2.55/.
3.16 3.16U U mol erg KJ mol -⎡⎤
⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯⨯-≈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
0将R 代入得到平衡时的晶体总能量为。因此，计算得到的2H 晶体的结合能为2．55KJ ／mol ，远大于实验观察值0.75lKJ ／mo1．对于2H 的晶体，量子修正是很重要的，我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之
间巨大差别的原因．
第三章 固格振动与晶体的热学性质
3.1、已知一维单原子链，其中第j 个格波，在第n 个格点引起的位移为，
sin(_)nj j j j j a t naq μωσ=+，j σ为任意个相位因子，并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，
具体计算每个原子的平方平均位移。
＜解＞任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即
sin()n nj j j j j j
j
a t naq μμωσ==++∑∑ （1）
2
*2*
n
nj nj nj nj nj j j j
j j μμμμμμ''≠⎛⎫⎛⎫==+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑
由于nj nj μμ⋅数目非常大为数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2项与第一项相比是一小量，可以忽略不计。所以2
2n nj j
μμ=
∑ 由于nj μ是时间t 的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为
222
1
1sin()2
T j j j j j j a t naq dt a T μωσ=
++=
⎰
（2） 已知较高温度下的每个格波的能量为KT ，nj μ的动能时间平均值为
022222
00
0111sin()224L
T T nj j j nj j j j j j j d w a T dx dt L a t naq dt w La T dt T μρρωσρ⎡⎤⎛⎫=
=++=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎰
⎰
⎰ 其中L 是原子链的长度，ρ使质量密度，0T 为周期。 所以22
1142
nj j j T w La KT ρ=
= （3） 因此将此式代入（2）式有2
2nj j
KT
PL μω=
所以每个原子的平均位移为 2
2
22
1
n nj j
j
j j j
KT KT PL PL μμωω====∑∑∑
3.2、讨论N 个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a ），其2N 个格波解，当M = m 时与一维单原子链的结果一一对应。
解：质量为M 的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；质量为m 的原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
牛顿运动方程
2221212121222(2)(2)
n n n n n n n n m M μβμμμμβμμμ+-+++=---=---
N 个原胞，有2N 个独立的方程
设方程的解
[(2)]2[(21)]
21i t na q n i t n aq n Ae Be
ωωμμ--++==，代回方程中得到
2
2
(2)(2cos )0
(2cos )(2)0
m A aq B aq A M B βωβββω⎧--=⎪⎨-+-=⎪⎩
A 、
B 有非零解，22
22cos 02cos 2m aq
aq M βωβββω--=--，则
1
2
2
22
()4{1[1sin ]}()m M mM aq mM m M ωβ+=±-+ 两种不同的格波的色散关系
12
2
22
1
22
2
2
()4{1[1sin ]}()()4{1[1sin ]}()
m M mM aq mM m M m M mM aq mM m M ωβωβ
+-+=+-++=--+
一个q 对应有两支格波：一支声学波和一支光学波.总的格波数目为2N.
当M m =时
4cos 24sin 2
aq m aq m βωβω+-=
=
，
两种色散关系如图所示： 长波极限情况下0q →，sin(
)22
qa qa
≈， (2
)q m
β
ω-=与一维单原子晶格格波的色散关系一致.
3.3、考虑一双子链的晶格振动，链上最近邻原子间的力常数交错地为β和10β，两种原子质量相等，且最近邻原子间距为2a 。试求在0,q q a π==处的()q ω，并粗略画出色散关系曲线。此问题模拟如2H 这样的双原子分子晶体。
答：（1）
浅色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……；深色标记原子位于2n ， 2n+2， 2n+4 ……。
第2n 个原子和第2n ＋1个原子的运动方程：
212222112121122112222()()n n n n n n n n
m m μββμβμβμμββμβμβμ+-+++=-+++=-+++
体系N 个原胞，有2N 个独立的方程
方程的解：
1
[(2)]
221
[(21)]
2
21i t n aq n i t n aq n Ae
Be
ωωμμ--++==，令22
1122/,/m m ωβωβ==，将解代入上述方程得：
11222
222
2
1
2
1
2
112222
2221
2
12()()0
()()0
i aq i aq i aq i aq A e e
B e
e
A B ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-=
A 、
B 有非零的解，系数行列式满足：
11222
222
2
12
1
2
112222
2221
2
12(),()
0(),()i aq i aq i aq i aq e
e
e
e
ωωωωωωωωωω--+--+=+-+-
11112
222
22222222121212()()()0i aq i aq i aq i aq e e e e ωωωωωωω--+--++= 11112222
22222
2
2
2
1
2
1
2
1
2
()()()0i aq i aq i aq i aq e
e
e
e
ωωωωωωω--+--++=
因为1ββ=、210ββ=，令2
2
22
012010,10c c m m
ωωωω==
==得到 2224
00(11)(10120cos )0aq ωωω--+=
两种色散关系：22
0(1120cos 101)qa ωω=±+ 当0q =时，2
2
0(11121)ωω=±，
0220
ωωω+-==
当q a
π
=
时，2
2
(1181)ωω=±，
00
202ωωωω+-==
（2）色散关系图：
3.7、设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有2
0()q Aq ωω=-
求证：()1/2
023/2
1(),4V f A ωωωωωπ=
-<;0()0,f ωωω=>. ＜解＞()
112
2
2
2
00000()0,0Aq f Aq q A ωωωωωωωωωω>-=>=<⇒-=⇒=-时，
依据()3
()2,()()
2q q V
ds
q Aq f q ωωωπ∇=-=
∇⎰
，并带入上边结果有
()()()()()()()1/21/2
00331/2223/2
01142()222q V
ds V A V f A A
q ωπωωωωωππωωπ=⋅=⋅-=⋅-∇-
3.8、有N 个相同原子组成的面积为S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比与2T 。
证明：在k 到k dk +间的独立振动模式对应于平面中半径n 到n dn +间圆环的面积2ndn π，且
()22
532222L s ndn kdk kdk d v ρ
ω
πρωωπππ===即则 ()
()2
3
3220//2
22
22
333212121
m
D
D
B B x B B B B k T
k T x
D
D
d s k T s k T k T k T s
d x dx
E E v e
v e v e ωωωωρρρωωωω
πππ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
+==---⎰
⎰
⎰
， 20,(
)v s E
T E T C T T
∂→∝∴=∝∂3时，
3.9、写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限下，自由能为0q B n q
B F U k T
k T ω⎛⎫
≅+ ⎪⎝⎭
∑
证明:量子谐振子的自由能为112q
B q
k T
B n q B F U k T e k T ωω
-
⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=++
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
∑ 经典极限意味着（温度较高）BT g k ω
应用21...x e x x =-++ 所以2
1...q B q
q k T
B B e
k T k T ωωω-
⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
因此01
112q q q B n B n q q
B B F U k T
U k T k T k T ωωω⎛
⎫⎛⎫
≅++-+≅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑ 其中01
2q q
U U ω≅+∑
3.10、设晶体中每个振子的零点振动能为
1
2
ω，使用德拜模型求晶体的零点振动能。 证明:根据量子力学零点能是谐振子所固有的，与温度无关，故T=0K 时振动能0E 就是各振动模零点能之和。()()()0000
1
2
m
E E g d E ωωωωωω=
=
⎰
将和()22332s V g v ωωπ=代入积分有
4
023
39168m m s V E N v ωωπ=
=，由于098
m B D B D k E Nk ωθθ==得 一股晶体德拜温度为~2
10K ，可见零点振动能是相当大的，其量值可与温升数百度所需热能相比拟．
3.11、一维复式格子2415 1.6710,
4, 1.510/M
m g N m m
β-=⨯⨯==⨯4( 1.5110/),dyn cm ⨯即求（1），光学波00max min ,ωω，声学波max A
ω。
（2）相应声子能量是多少电子伏。 （3）在300k 时的平均声子数。
（4）与0
max ω相对应的电磁波波长在什么波段。
＜解＞（1），4131max
24
22 1.510/ 3.0010,45 1.6710
A
dyn cm s M βω
-⨯⨯===⨯⨯⨯⨯ ()()424131
max
2424
22 1.510455 1.6710/ 6.701045 1.67105 1.6710
o
M m dyn cm s Mm βω
-+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯===⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯
4131max
24
22 1.510/ 5.99105 1.6710
A
dyn cm s m βω
-⨯⨯===⨯⨯⨯ （2）
161312max 161312max 161312min 6.5810 5.9910 1.97106.5810 6.7010 4.41106.5810 3.0010 3.9510A o o s eV s eV s eV
ωωω---------=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯=⨯⨯⨯=⨯ （3）max max max
max
//110.873,0.2211
1
A O
B B A O
k T
k T
n
n
e
e
ωω=
==
=--
min min /10.2761
O
B O
k T
n e
ω=
=-
（4）228.1c
m πλμω
==
第四章 能带理论
4.1、根据k a
π
=±
状态简并微扰结果，求出与E -及E +相应的波函数ψ-及ψ+?，并说明它们的特
性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布2
ψ说明能隙的来源(假设n V =*
n V )。
＜解＞令k a
π
=+
，k a
π
'=-
，简并微扰波函数为00
()()k k A
x B x ψψψ=+
0*
()0n E k E A V B ⎡⎤-+=⎣⎦
()0
0n V A E
k E B '⎡⎤+-=⎣⎦ 取E E +=
带入上式，其中0()n E E k V +=+ V(x)<0,0n V <,从上式得到B= -A,于是
0()()n n i x i x a a k
k A
A x x e
e L
ππψψψ-'
+⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦
=2sin A n x a L π
取E E -=，0()n E E k V -=- ,n n V A V B A B =-=得到
0()()n n i x i x a a
k
k A
A x x e e L
ππψψψ-'
-⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
=2cos A n x a L π 由教材可知，+ψ及-ψ均为驻波． 在驻波状态下，电子的平均速度()k ν为零．产生驻波因为电子波矢n k a π=
时，电子波的波长22a
k n
πλ==，恰好满足布拉格发射条件，这时电子波发生全反射，并
与反射波形成驻波由于两驻波的电子分布不同，所以对应不同代入能量。
4.2、写出一维近自由电子近似，第n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数2k a
π
=
的0级波函数。
＜解＞2221()*24
1111()i mx i x i mx i m x ikx ikx a a a a
k
x e e e e e e
L L L L ππππψ+===⋅= 第一能带：*
2
10,0,()2i x a k
m m x e a L
π
π
ψ⋅===
第二能带：23*
2221,,1,()x i x a a k b b b b m m x e a a L
πππππψ''=→⋅=-=-∴=i i 2a 则即（e =e ）
第三能带：25*
222211,,1,()i x i x i x a a a k c c m m x e e e a a L L
πππ
ππψ'→⋅===⋅=即
4.3、电子在周期场中的势能．
2221
(),2
m b x na ω⎡⎤--⎣⎦ na b x na b -≤≤+当 ()V x = 0 ， x na b ≤≤-当(n-1)a+b
其中d ＝4b ，ω是常数．试画出此势能曲线，求其平均值及此晶体的第一个和第二个禁带度． ＜解＞(I)题设势能曲线如下图所示．
(2)势能的平均值：由图可见，()V x 是个以a 为周期的周期函数，所以
111()()()()a a b
L b b
V x V x V x dx V x dx L a a --===⎰⎰⎰
题设4a b =，故积分上限应为3a b b -=，但由于在[],3b b 区间内()0V x =，故只需在[],b b -区间内积分．这时，0n =，于是
2222
2
32
111()()223
6b b b b b
b
b b m m V V x dx b x dx b x x m b a a a
ωωω----⎡⎤==-=
-=⎢⎥⎣
⎦
⎰⎰。 （3），势能在[-2b,2b]区间是个偶函数，可以展开成傅立叶级数
200021()cos ,()cos ()cos 2222b b m m m m m m V x V V x V V x xdx V x xdx b b b b b
πππ∞
=-∞
'=+
==∑
⎰⎰112
2210
2,1()cos
2b
g g m x
E V m E b x dx b
b
ωπ===
-⎰
第一个禁带宽度以代入上式,
利用积分公式()2
232
cos sin 2cos sin u u mudu mu mu mu mu m m
=
+-⎡⎤⎣⎦⎰
得 2
23
16m b ωπ=
1g E 第二个禁带宽度222,2g E V m ==以代入上式,代入上式
22
2
2
()cos
b
g m x
E b x dx b
b
ωπ=
-⎰
再次利用积分公式有2
22
2m b ωπ
=
2g E
4.4、
解：我们求解面心立方，同学们做体心立方。
（1）如只计及最近邻的相互作用，按照紧束缚近似的结果，晶体中S 态电子的能量可表示成：
()0()()s ik R s s s Rs E k J J R e ε-⋅==--
∑
近邻
在面心立方中，有12个最近邻，若取0m R =，则这12个最近邻的坐标是：
①
(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0)2222a a a a
②
(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1),(0,1,1)2222a a a a
③
(1,0,1)(1,0,1),(1,0,1),(1,0,1)2222
a a a a
由于S 态波函数是球对称的，在各个方向重叠积分相同，因此()S J R 有相同的值，简单表示为J 1=()S J R 。又由于s 态波函数为偶宇称，即()()s s r r ϕϕ-=
∴在近邻重叠积分*
()()()()()s i s s i J R R U V R d ϕξξϕξξ⎡⎤-=--⎣⎦⎰
中，波函数的贡献为正 ∴J 1＞0。
于是，把近邻格矢S R 代入()s
S E R 表达式得到：
01
()s ik R s S Rs E k J J e ε-⋅==--∑
近邻
=()()()()2222
01x y x y x y x y a
a a a
i k k i k k i k k i k k S J J e e e e ε-+----+---⎡--+++⎢⎣
()()()()2
2
2
2
y z y z y z y z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---+++++()()()()2
2
2
2
x z x z x z x z a
a
a
a
i k k i k k i k k i k k e
e
e
e
-+----+---⎤+++⎥⎦
=012cos ()cos ()cos ()cos ()2222S
x y x y y z y z a a a a J J k k k k k k k k ε⎧⎡⎤⎤⎡
--++-+++-⎨⎢⎥⎥⎢⎦⎣⎣
⎦⎩
cos ()cos()2z x z x a k k k k ⎫
⎡⎤+++-⎬⎢⎥⎣⎦⎭
cos()cos()2cos cos αβαβαβ↓++-=
=014cos
cos cos cos cos cos 222222s x y y z z x a a a a a a J J k k k k k k ε⎡
⎤--++⎢⎥⎣⎦
（2）对于体心立方：有8个最近邻，这8个最近邻的坐标是：
(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a
(1,1,1),(1,1,1,),(1,1,1),(1,1,1)2222a a a a
01()8(cos cos cos )222
s s x y z a a a E k J J k k k ε=--
4.7、有一一维单原子链，间距为a ，总长度为N a 。求（1）用紧束缚近似求出原子s 态能级对应的能带E(k)函数。（2）求出其能态密度函数的表达式。（3）如果每个原子s 态只有一个电子，求等于T=0K
的费米能级0F E 及0
F E 处的能态密度。
＜解＞010101(1),()()2cos 2cos ika
ika s s E k J J e
e J J ka E J ka εε-=--+=--=-
0()()s ik R s E k E J J p e -⋅⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
∑ (2) ,1121()2222sin sin L dk Na N
N E dE J a ka J ka
πππ=⨯
⨯=⨯=
(3), 0
00
22()22222F
k F F F Nak Na N k dk k k a
πρππ=
⋅=⋅⋅=∴=⎰
00
11
1()2cos
,()2sin
2F F s F N
N
E E k E J a E N E a
J J a
a
π
π
ππ==-⋅==
=⋅
4.8、证明一个自由简单晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区一边中点大2倍．(b)对于一个简单立力晶格在第一布里渊区顶角上的一个自由电子动能比该区面心上大多少？(c)(b)的结果对于二价金属的电导率可能会产生什么影响7
＜解＞（a ）二维简单正方晶格的晶格常数为a ，倒格子晶格基矢22ˆˆ,A i B j a a
ππ== 第一布里渊区如图所示
()2
222ˆˆˆ,.,
2B x
y z i B K i j a a a K K K m
πππε⎛⎫⎛⎫=
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=
++A 区边中点的波矢为K 角顶点的波矢为自由电子能量2
2
2
2
2
2,222A x K m
m a m a ππε⎛⎫⎛⎫
=
=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
A 点能量
a
π
a
π-
()2222
2
222
2,222B x y K K m m a a m a πππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=
⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
B 点能量所以/2B A εε= b)简单立方晶格的晶格常数为a ，倒格子基矢为222ˆ
ˆˆ,,,A i B j C k a a a
π
ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第一布里渊区如图7—2所示．
2
2
;
2A m a πε⎛⎫
== ⎪⎝⎭
A 点能量()22222
2
2222
3,222B x y z K K K m m a a a m a ππππε⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
B 点能量 所以/3B A εε=
(c)如果二价金属具有简单立方品格结构，布里渊区如图7—2所示．根据自由电子理论，自由电子的能量为()2
2
222x
y z K K K m
ε=
++，FerM 面应为球面．由(b)可知，内切于4点的内切球的体
积
3
43
a π
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，于是在K 空间中，内切球内能容纳的电子数为
()3
3
42 1.0473
3
2V N N a ππππ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 其中3V Na = 二价金属每个原子可以提供2个自由电子，内切球内只能装下每原子 1.047个电子，余下的0.953个电子可填入其它状态中．如果布里渊区边界上存在大的能量间隙，则余下的电子只能填满第一区内余下的所有状态(包括B 点)．这样，晶体将只有绝缘体性质．然而由(b)可知，B 点的能员比A 点高很多，从能量上看，这种电子排列是不利的．事实上，对于二价金属，布里渊区边界上的能隙很小，对于三维晶体，可出现一区、二区能带重迭．这样，处于第一区角顶附近的高能态的电子可以“流向”第二区中的能量较低的状态，并形成横跨一、二区的球形Ferm 面．因此，一区中有空态存在，而二区中有电子存在，从而具有导电功能．实际上，多数的二价金届具有六角密堆和面心立方结构，能带出现重达，所以可以导电．
4.10、
解：设晶体中有N 个Cu 原子，向其中掺入x 个锌原子。则晶体中电子的总数为：
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第四章
4.1，根据 k 第四章 能带理论 = ± π 状态简并微扰结果，求出与 E ? 及 E +相应的波函数ψ ? 及ψ+?，并说明它 a 们的特性．说明它们都代表驻波，并比较两个电子云分布 ψ2 说明能隙的来源(假设V n =V n *)。 ＜解＞令 k = + π ， k ′ = ? π ，简并微扰波函数为ψ = A ψk ( ) + B ψk ( ) a * a ?E k ( ) ? E A V B n = 0 ( ) V A n + ?E k ? E B = 取 E E + 带入上式，其中 E + = E k 0( ) + V n V(x)<0,V n < 0 ,从上式得到 于是 A ? n π ? n π ? π ψ = A ?ψ 0( )?ψk 0′( )? = i x e a ? e i x a =2A sin n x + ? k ? L ? ? ? L a 取 E E ? ， E ?=E k 0( )? V n V A n = ?V B n ,得到A B A ? i n πx ?i n πx ? π ψ = A ?ψ 0( )?e a ? =2 A cos n x ? ? k ?? L ? L a 由教材可知，Ψ+及 Ψ ? ν ( ) 为零．产生 驻波因为电子波矢 n k π = 时，电子波的波长 a λ =2 π=2a k n 能量。 4.2,写出一维近自由电子近似，第 n 个能带(n=1，2，3)中，简约波数 k π
= 的0级波函数。 2a 1 1 r 2π 1 π2π 1 i2π 1 x i mx i x i mx(m+ ) ψ * ＜解＞( ) = ikx= e ikx a e e = e2a? e a= e a 4 k L ?π=L * L π 1 i2x L 第一能带：m0, m = 0,ψ( ) = e a 2a b b′则b′ →, k 2π ?= ? L 2π , m= ?1,i 2πx i π ∴ψ *( )= 1 3π i x e 第二能带：a a即（e a=e ）2a k L2a 2π2π 1 π2π 1 5π 第三能带：c′ →, ?= a a即m = , * 1,ψk( ) = L i x i x e2a?e a = L i x e2a 解答（初稿）作者季正华- 1 -
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第三章
黄昆固体物理习题解答 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移 为，μ= a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj) j j （1） μ2 n = ? ? ? ∑ μ j nj ? ? ? ? ? ? ∑ μ j * nj ? ? ? = ∑ μ j 2 nj + ∑ μ μnj*nj′ j j′ 由于μ μnj?nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项 μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2= ∑ μ 2 nj n j 由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j a j sin( t naq j j j)dt a =j （2） T 0 2 已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为 1 L T ? 1 ? d μ?2 ?ρw a2 T 1 = ∫ ∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w La nj T 0 0 0 ? 2 ?dt??2T 0 j j j j 4 j j 其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。 1221 所以T nj = ρ w La j j=KT（3） 4 2 μKT 因此将此式代入（2）式有 nj 2 = ρ ωL 2 j
固体物理教程答案
固体物理教程答案 【篇一：黄昆固体物理课后习题答案4】 >思考题 1.设晶体只有弗仑克尔缺陷, 填隙原子的振动频率、空位附近原子的振动频率与无缺陷时原子的振动频率有什么差异？ [解答] 正常格点的原子脱离晶格位置变成填隙原子, 同时原格点成为空位, 这种产生一个填隙原子将伴随产生一个空位的缺陷称为弗仑克尔缺陷. 填隙原子与相邻原子的距离要比正常格点原子间的距离小，填隙原子与相邻原子的力系数要比正常格点原子间的力系数大. 因为原子的振动频率与原子间力系数的开根近似成正比, 所以填隙原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要高. 空位附近原子与空位另一边原子的距离, 比正常格点原子间的距离大得多, 它们之间的力系数比正 常格点原子间的力系数小得多, 所以空位附近原子的振动频率比正常格点原子的振动频率要低. 2.热膨胀引起的晶体尺寸的相对变化量?l/l与x射线衍射测定的晶格常数相对变化量?a/a存在差异，是何原因？ [解答] la. 3.kcl晶体生长时，在kcl溶液中加入适量的cacl2溶液，生长的 kcl晶体的质量密度比理论值小，是何原因？ [解答] 2?2??由于ca离子的半径(0.99a)比k离子的半径(1.33a)小得不是 太多, 所以caoo 离子难以进入kcl晶体的间隙位置, 而只能取代k占据k离子的位置. 但ca 一价, 为了保持电中性(最小能量的约束), 占据k离子的一个 ca?2???2?比k高?将引起相邻的一个k?变成空位. 也就是说, 加入的cacl2越多, k?空位就越多. 又因为ca的原子量(40.08) ?与k的原子量(39.102)相近, 所以在kcl溶液中加入适量的cacl2 溶液引起k空位, 将导 致kcl晶体的质量密度比理论值小. 4.为什么形成一个肖特基缺陷所需能量比形成一个弗仑克尔缺陷所 需能量低?
东南大学固体物理习题解答-完整版
黄昆《固体物理》 习题解答
目录 第一章习题 (1) 第二章习题 (6) 第三章习题 (10) 第五章习题 (31) 第六章习题 (36) 第七章习题 (42)
ρ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b 2 b 3 第一章 习 题 1.1 如果将等体积球分别排列下列结构，设x 表示刚球所占体积与总体积之比，证明 结构 x 简单立方(书P2, 图1-2) π / 6 ≈ 0.52 体心立方(书P3, 图1-3) 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方(书P3, 图1-7) 2π / 6 ≈ 0.74 六方密排(书P4, 图1-6) 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石(书P5, 图1-8) 3π /16 ≈ 0.34 解 设n 为一个晶胞中的刚性原子数，r 表示刚性原子球半径，V 表示晶胞体积，则致 4π nr 3 密度为: = （设立方晶格的边长为a ） r 取原子球相切是的半径于是 3V 结构 r n V ρ 简单立方 a/2 1 a 3 π / 6 ≈ 0.52 体心立方 a/2 1 a 3 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 3a / 4 2 a 3 2π / 6 ≈ 0.74 六方密排 2a / 4 4 a 3 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 a/2 2 2a 3 3π /16 ≈ 0.34 c 3 1/ 2 1.2 证明理想的六角密堆积结构（hcp ）的轴比 = ≈ 1.633 2 8 c c 3 1/ 2 解 由1.1题，六角密排中h = a = 2 r - ，故 = ≈ 1.633 2 2 8 1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 ? 解 由倒格子定义b 1 = 2π ? ? a 2 a 3 ? ? ? a 1 a 2 a 3 ? = 2π ? ? a 3 a 1 ? ? ? a 1 a 2 a 3 ? = 2π ? ? a 1 a 2 ? ? ? a 1 a 2 a 3 ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? a ? ? ? 体心立方格子原胞基矢a 1 = 2 (-i + j + k ), a 2 = 2 (i - j + k ), a 3 = 2 (i - j + k ) ? ? ? ? π ? ? ? ? ? ? 倒格子基矢b = 2π a 2 a 3 = 2 ? a (i - j + k ) ? a (i + j - k ) 1 ? ? ? a 1 a 2 a 3 v 0 2 2 2 3 2 3
黄昆版固体物理学课后答案解析答案 (1)
《固体物理学》习题解答 黄昆 原着 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=?= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 3 3≈π=π?=π?= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=?= n=4，Vc=a 3 （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ??=??=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==?= ? n=1232 1 26112+?+? =6个 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ??= n=8, Vc=a 3 、试证：六方密排堆积结构中 633.1)3 8(a c 2 /1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO 构成一个正四面体。…
黄昆版固体物理学课后答案
黄昆版固体物理学课后答案 《固体物理学》习题解答 黄坤原著韩汝琦改编（陈志远答案，仅供参考） 第一章晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积v所得到的小球总体积nv与晶体原胞体积vc之比，即：晶体原胞的空间利用率，x?（1）对于简立方结构：（见教材p2图1-1） nvvc43？r、 vc=a3，n=134343？RR33∴十、0.526a38r3a=2r，v= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线bg=3a?4r?a?n=2,vc=a3 43x32？∴十、434? r2？？r33330.688a3433（R）3（3）对于面心立方：单元面对角线BC=2A？4r，？A.22rn=4，vc=a3 444??r34??r3233x0.74336a(22r)（4）对于六角密排：a=2r晶胞面积： s=6?s?abo?6?晶胞的体积： v=s?c?a?asin60332a=223328a?a?32a3?242r323n=1212?11?2??3=6个 6246??r323x0.7436242r（5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线 bg=3a?4?2r?a?8r3n=8,vc=a3 一 448??r38??r33?33x0.346a3833r33 c81。2.测试：在六角形紧密堆积结构中？()1/2? 一点六三三 a3证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球a、b、o的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球n位于球abo所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： na=nb=no=a=2r. 也就是说，图中的Nabo形成一个正四面体 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 A.a1？2（j？k）A.证明了：（1）面心立方的法向晶格基向量（固体物理的原胞基向量）：？a2？（i？k）
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章
黄昆 固体物理 习题解答 第二章 晶体的结合 2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n 解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这 样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相 邻离子间的距离，于是有 α = ∑ ′ ( 1) = 2[ 1 1 1 1 − + − + ...] r j r ij r 2r 3r 4r 前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面， i 1 1 1 故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为 2 3 4 α = 2[1− + − + ...] 2 3 4 x x x Ql n (1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有1 2 3 4 1 1 1 ... − + − + = l n 2 ∴ =α 2 2n 2 3 4 2.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响 （排斥势看作不变） α 2 e C 解： u r ( ) = − α 2 + r r n α2 nC 1 du e nC e nC 由 | = − = 0 解得 =+ r e −1 r 2 n +1 2 n 1 ( ) (= 2) n dr r r r r 0 nC 1 1 α e 于是当 e 变为 2e 时，有 r −1 = 4 −1 r e ( ) (2 ) (= 2) n n = − α 2 1 4α e 结合能为 u r ( ) e (1− ) 当 e 变为 2e 时，有 4 α e 2
《固体物理学》概念和习题答案
固体物理学概念和习题固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义.. 答：最小平行单元.. 2.给出维格纳-赛茨原胞的定义.. 答：以一个格点为原点;作原点与其它格点连接的中垂面或中垂线;由这些中垂面或中垂线所围成的最小体积或面积即是维格纳-赛茨原胞.. 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型.. 4. 请描述七大晶系的基本对称性.. 5. 请给出密勒指数的定义.. 6. 典型的晶体结构简单或复式格子;原胞;基矢;基元坐标.. 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义.. 8. 请给出晶体衍射的布喇格定律.. 9. 给出布里渊区的定义.. 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面为什么 11. 写出晶体衍射的结构因子.. 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式.. 13. 写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式;并简述各项的来源.. 14. 请写出晶格振动的波恩-卡曼边界条件.. 15. 请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点..晶体含N个原胞;每个原胞含p个原子;问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式
16. 给出声子的定义.. 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点.. 18. 在晶体热容的计算中;爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设.. 19. 简述晶体热膨胀的原因.. 20. 请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程.. 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布给出具体表达式 22. 请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义.. 23. 写出金属的电导率公式.. 24. 给出魏德曼-夫兰兹定律.. 25. 简述能隙的起因.. 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律.. 27. 请给出在一级近似下;布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系.. 28. 给出空穴概念.. 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万Langevin方程.. 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势.. 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体.. 32. 请说明本征半导体与掺杂半导体的区别.. 33. 请解释晶体中电子的有效质量的物理意义.. 34. 给出半导体的电导率.. 35. 说明半导体的霍尔效应与那些量有关..
固体物理学基础知识训练题及其参考答案
《固体物理》基础知识训练题与其参考答案 说明：本内容是以黄昆原著、韩汝琦改编的《固体物理学》为蓝本，重点训练读者在固体物理方面的基础知识，具体以19次作业的形式展开训练。 第一章 作业1： 1.固体物理的研究对象有那些？ 答：（1）固体的结构；（2）组成固体的粒子之间的相互作用与运动规律；（3）固体的性能与用途。 2.晶体与非晶体原子排列各有什么特点？ 答：晶体中原子排列是周期性的，即晶体中的原子排列具有长程有序性。非晶体中原子排列没有严格的周期性，即非晶体中的原子排列具有短程有序而长程无序的特性。 3.试说明体心立方晶格，面心立方晶格，六角密排晶格的原子排列各有何特点？试画图说明。有那些单质晶体分别属于以上三类。 答：体心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体的体心位置还有一个原子。常见的体心立方晶体有：Li，Na，K，Rb，Cs，Fe等。 面心立方晶格：除了在立方体的每个棱角位置上有1个原子以外，在该立方体每个表面的中心还都有1个原子。常见的面心立方晶体有：Cu, Ag, Au, Al等。 六角密排晶格：以ABAB形式排列，第一层原子单元是在
正六边形的每个角上分布1个原子，且在该正六边形的中心还有1个原子；第二层原子单元是由3个原子组成正三边形的角原子，且其中心在第一层原子平面上的投影位置在对应原子集合的最低凹陷处。常见的六角密排晶体有：Be，Mg，Zn，Cd等。 4.试说明, NaCl，金刚石，CsCl, ZnS晶格的粒子排列规律。 答：NaCl：先将两套相同的面心立方晶格，并让它们重合，然后，将一套晶格沿另一套晶格的棱边滑行1/2个棱长，就组成Nacl晶格； 金刚石：先将碳原子组成两套相同的面心立方体，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的空角对角线滑行1/4个对角线的长度，就组成金刚石晶格； Cscl:：先将组成两套相同的简单立方，并让它们重合，然后将一套晶格沿另一套晶格的体对角线滑行1/2个体对角线的长度，就组成Cscl晶格。 ZnS：类似于金刚石。 作业2： 1.什么叫原胞？ 解：原胞是指晶格内重复排列的最小体积单元。 2.简单立方晶格，体心立方晶格，面心立方晶格的基矢是什么？设对应的立方晶格的边长为a，以上三种晶格的体积是多少？ 解：简立方基矢：i a a 1面心立方基矢：
《固体物理学》概念和习题 答案
《固体物理学》概念和习题 固体物理基本概念和思考题： 1.给出原胞的定义。 答：最小平行单元。 2.给出维格纳—赛茨原胞的定义。 答:以一个格点为原点,作原点与其它格点连接的中垂面(或中垂线)，由这些中垂面（或中垂线)所围成的最小体积(或面积)即是维格纳—赛茨原胞。 3.二维布喇菲点阵类型和三维布喇菲点阵类型. 4。请描述七大晶系的基本对称性。 5。请给出密勒指数的定义。 6。典型的晶体结构（简单或复式格子,原胞，基矢，基元坐标）. 7. 给出三维、二维晶格倒易点阵的定义. 8。请给出晶体衍射的布喇格定律。 9。给出布里渊区的定义。 10. 晶体的解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？ 11. 写出晶体衍射的结构因子。 12. 请描述离子晶体、共价晶体、金属晶体、分子晶体的结合力形式。 13。写出分子晶体的雷纳德-琼斯势表达式，并简述各项的来源。 14. 请写出晶格振动的波恩—卡曼边界条件。
15。请给出晶体弹性波中光学支、声学支的数目与晶体原胞中基元原子数目之间的关系以及光学支、声学支各自的振动特点。（晶体含N个原胞,每个原胞含p个原子，问该晶体晶格振动谱中有多少个光学支、多少个声学支振动模式？） 16. 给出声子的定义。 17. 请描述金属、绝缘体热容随温度的变化特点。 18。在晶体热容的计算中，爱因斯坦和德拜分别做了哪些基本假设. 19。简述晶体热膨胀的原因。 20。请描述晶体中声子碰撞的正规过程和倒逆过程。固体物理学黄昆 21. 分别写出晶体中声子和电子分别服从哪种统计分布（给出具体表达式）？ 22。请给出费米面、费米能量、费米波矢、费米温度、费米速度的定义。 23. 写出金属的电导率公式。 24。给出魏德曼-夫兰兹定律。 25. 简述能隙的起因。 26. 请简述晶体周期势场中描述电子运动的布洛赫定律。 27. 请给出在一级近似下，布里渊区边界能隙的大小与相应周期势场的傅立叶分量之间的关系。 28。给出空穴概念。 29. 请写出描述晶体中电子和空穴运动的朗之万（Langevin）方程。 30. 描述金属、半导体、绝缘体电阻随温度的变化趋势。 31. 解释直接能隙和间接能隙晶体。 32。请说明本征半导体与掺杂半导体的区别。
黄昆版固体物理课后习题解答
《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 （志远解答，仅供参考） 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， Vc nV x = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r ， V= 3 r 3 4π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r 34a r 34x 3 333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 3 3 4a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3 ∴68.083)r 3 34(r 342a r 342x 3 3 33≈π=π⨯=π⨯= （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 3 74.062) r 22(r 344a r 344x 3 3 33≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=62 60sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2 a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 3 8 a 233C S ==⨯= ⨯ n=1232 1 26112+⨯+⨯ =6个 74.062r 224r 346x 3 3 ≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3 r 8a r 24a 3= ⇒⨯= n=8, Vc=a 3