利用导数研究函数的图像及零点问题(提高)

利用导数研究函数的图像及零点问题

【复习指导】

本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．

双基自测

1．已知曲线C ：x 2＋y 2＝9(x ≥0，y ≥0)与函数y ＝ln x 及函数y ＝e x 的图像分别交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2212x x +的值为 ．9

2．[10浙江]已知0x 是函数1()21x f x x

=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(,)x x ∈+∞，则1()f x ，2()f x 的符号分别______________．解：负；正；

3．已知函数()ln x f x e x -=+(e 是自然对数的底数)，若实数0x 是方程()0f x =的解，且1020x x x <<<，则1()f x 2()f x (填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”)．

4．已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+???+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-???-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则1x ，2x 所在的区间

为 ．1(1,0)x ∈-，2(1,2)x ∈

考点一 函数的图像问题

【例1】对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠．定义：设''()f x 是函数

()y f x =的导数'()y f x =的导数，

若方程''()0f x =有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数()y f x =的“拐点”；已知函数32()654f x x x x =-++，请回答下列问题； ⑴．求函数()y f x =的“拐点”A 的坐标；

⑵．检验函数()y f x =的图像是否关于“拐点”A 对称，对于任意的三

次函数写出一个有关“拐点”的结论；

⑶．写出一个三次函数()y G x =，使得它的“拐点”是(1,3)(不要过程)．

【解】⑴．依题意得：'2()3125f x x x =-+，故''()6120f x x =-=得，x ＝2，故拐点坐标是(2，－2)．

⑵．【法一】由⑴知，“拐点”坐标是(2，－2)，而f (2＋x )＋f (2－x )＝－4＝2f (2)，故f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋2关于点(2，－2)对称．

【法二】设(x 1，y 1)与(x ，y )关于 (2，－2)中心对称，并且(x 1，y 1)在f (x )的

图象上，故114,4x x y y

=-??=--?，由321111654y x x x =-++得，－4－y ＝(4－x )3－6(4－x )2＋5(4－x )＋4，化简得：y ＝x 3－6x 2＋5x ＋4，故点(x ，y )也在y ＝f (x )上，故y ＝f (x )关于点(2，－2)对称．

一般地，三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的“拐点”是(,())33b b f a a --，它就是函数y ＝f (x )的对称中心(或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数)都可以给分．

⑶．G (x )＝a (x －1)3＋b (x －1)2＋3(a ≠0)，或写出一个具体函数，如G (x )＝x 3－3x 2＋3x ＋2，或G (x )＝x 3－3x 2＋5x ，实质：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；且任何一个三次函数的“拐点”就是它的对称中心，即：(,())33b b f a a

--． 【练习1】[优质试题南通考前押题卷]对于定义在R 上的函数()y f x =，可证明点(,)A m n 是()y f x =图像的一个对称点的充要条件是()()2f m x f m x n -++=，R x ∈．

⑴．求函数233)(x x x f +=图像的一个对称点；

⑵．函数32()(2)f x ax b x =+-在R 上是奇函数，求a ，b 满足的条件；并讨论在区间[1,1]-上是否存在常数a ，使得2()42f x x x ≥-+-恒成立？ ⑶．试写出函数()y f x =的图像关于直线x m =对称的充要条件(不用证明)；利用所学知识，研究函数32()(,)f x ax bx a b R =+∈图像的对称性．

【解】⑴．设(,)A m n 为函数233)(x x x f +=图像的一个对称点，则()()2f m x f m x n -++=对于x R ∈恒成立．即

3232()3()()3()2m x m x m x m x n -+-++++=对于x R ∈恒成立，故

232

(66)(262)0m x m m n +++-=，由32660,2620m m m n +=??+-=?，解得1,2m n =-??=?，故函数()y f x =图像的一个对称点为(1,2)-．

⑵．a R ∈，2b =时，()y f x =是奇函数．不存在常数a 使2()42([1,1])f x x x x ≥-+-∈-恒成立．依题意，此时3()f x ax =，令2()42([1,1])g x x x x =-+-∈-，故()[7,1]g x ∈-，若0a =，()0f x =，不合题；若0a >，3()f x ax =，此时为单调增函数，min ()f x a =-．若存在a 合题意，则1a -≥，与0a >矛盾．若0a <，3()f x ax =此时为单调减函数，min ()f x a =，若存在a 合题，则1a ≥，与0a <矛盾．综上可知，符合条件的a 不存在． ⑶．函数()y f x =的图像关于直线x m =对称的充要条件是()()f m x f m x +=-， ①0a b ==时，()0()f x x R =∈，其图像关于x 轴上任意一点成中心对称；关于平行于y 轴的任意一条直线成轴对称图形；

②0a =，0b ≠时，2()()f x bx x R =∈，其图像关于y 轴对称图形； ③0a ≠，0b =时，3()f x ax =，其图像关于原点中心对称；

④0a ≠，0b ≠时，32()f x ax bx =+的图像不可能是轴对称图形．设(,)A m n 为函数()f x =32ax bx +图像的一个对称点，则()()2f m x f m x n -++=对于x R ∈恒

成立．即3()a m x -+232()()()2b m x a m x b m x n -++++=对于R x ∈恒成立，

232(3)()0am b x am bm n +++-=，由3230,0am b am bm n +=??+-=?得，32,3227b m a b

n a ?=-????=??

，故函数()y f x =图像的一个对称点为3

22(,)327b b a a

-． 【例2】[镇江市2010届高三第一次调研]已知二次函数2()f x ax bx c =++和“伪二次函数”2()ln (0)g x ax bx c x abc =++≠．

⑴．证明：只要0a <，无论b 取何值，函数()g x 在定义域内不可能总为增函数；

⑵．同一函数图像上任意取不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 中点为0(,0)C x ，记直线AB 的斜率为k ，

①．对于二次函数2()f x ax bx c =++，求证：0()k f x '=；

②．对于“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++，是否有○1同样的性质?证明你的结论．

【解】⑴．如果0,()x g x >为增函数，则22()20c ax bx c g x ax b x x

++'=++=>①恒成立，当0x >时恒成立，220ax bx c ++>②，因0a <，由二次函数的性质，②不可能恒成立．则函数()g x 不可能总为增函数．

⑵．对于二次函数:2221212102121()()()()2f x f x a x x b x x k ax b x x x x --+-===+--．由()2f x a x b '=+，

故00()2f x ax b '=+，则0()k f x '=．不妨设21x x >，对于“伪二次函数”:

2()ln ()ln g x ax bx c x f x c x c =++=+-．故2212112121()()ln ()()x f x f x c g x g x x k x x x x -+-==--，如

果有○1

的性质，则0()g x k '=， 故21210ln x c x c x x x =-，又0c ≠，即：212112ln 2x x x x x x =-+，令21, 1x t t x =>，即ln 211t t t =-+，设22 ()ln 1

t s t t t -=-+，则2

22

12(1)2(1)(1)()0(1)(1)t t t s t t t t t +---'=-=>++，故()s t 在(1,)+∞上递增，故()(1)0s t s >=．故0()g x k '≠．故“伪二次函数”2()ln g x ax bx c x =++不具有○

1的性质． 【练习2】泰州中学2012-2013学年度第一学期学情诊断2012．10．8 设t ＞0，已知函数f (x )＝x 2(x －t )的图象与x 轴交于A 、B 两点． ⑴．求函数f (x )的单调区间；

⑵．设函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率为k ，当x 0∈(0，1]

时，k ≥－12恒成立，求t 的最大值；

⑶．有一条平行于x 轴的直线l 恰好．．

与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．

【解】⑴．f ′(x )＝x (3x －2t )＞0，因t ＞0，故当x ＞2t 3或x ＜0时，f ′(x )＞0，

故(－∞，0)和(2t 3，＋∞)为函数f (x )的单调增区间；当0＜x ＜2t 3时，f ′(x )＜0，故(0，2t 3)为函数f (x )的单调减区间．

⑵．因k ＝3x 02－2tx 0≥－12恒成立，故2t ≤3x 0＋12x 0

恒成立，因x 0∈（0，1]，故3x 0＋12x 0≥23x 0×12x 0＝6，即3x 0＋12x 0

≥6，当且仅当x 0＝66时取

等号．故2t ≤6，即t 的最大值为62．

⑶．由⑴得，函数f (x )在x ＝0处取得极大值0，在x ＝2t 3处取得极小值－

4t 3

27．因平行于x 轴的直线l 恰好

．．与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，故直线l 的方程为y ＝－4t 327．令f (x )＝－4t 327，故x 2(x －t )＝－4t 327，解得x ＝2t 3

或x ＝－t 3．故C (2t 3，－4t 327)，D (－t 3，－4t 3

27)．因A (0，0)，B (t ，0)．易知四边形ABCD 为平行四边形．AD ＝(－t 3)2＋(－4t 327)2，且AD ＝AB ＝t ，故

(－t 3)2＋(－4t 327)2＝t ，解得：t ＝3482．

考点二 函数的零点问题

【例3】已知函数3()||()f x ax x a a R =+-∈．

⑴．给出一个实数a ，使得函数()y f x =在]0,(-∞上单调减，在),0[+∞上单调增．

⑵．若10<

2=a ，求函数()y f x =在]1,1[-上的最大值； ⑶．求证：对任意的实数a ，存在0x ，恒有0)(0≠x f ，并求出符合该特征的0x 的取值范围．若4)(x x g =，试求方程)()(x g x f =的解．

【解】⑴．当0=a 时，||)(x x f =符合要求；

⑵．若10<

ax x a x a f x ax x a x a ?-+<=?+-≥?，当a x <时，13)(2-='ax x f ，

2()310f x ax '=-=

，x =a x >时，13)(2+='ax x f ， ①当31

0≤

，此时()y f x =在],1[a -上单调减，在]1,[a 上单调增，则在]1,1[-上1)1()1()(max ==-=f f x f ； ②当33131≤

-上单调减，在]1,[a 上单调增，由于)1()1()31(f f a f =->-

，则在]1,1[-

上max ()(f x f a ==+

③当1313

<

上单调减，在]a 上单调增，在]1,[a 上递增，则在]1,1[-上a

a a f x f 3132)31()(max +=-=； 综合①②③有：当310≤

a a a a x f 9323132)(m a x +=+=． 结合上述讨论，32=a 时，33222,()333()222,()3

33x x x f x x x x ?-+

2[上单调增，由于)1()1()22(f f f =->-，则在]1,1[-上322)22()(max +=-

=f x f ． ⑶．①当0=a 时，||)(x x f =，方程0||)(==x x f 只有0根；

②当0>a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 没有0根和正根，当0>a ，0

a x ax x f +-=3)(，由方程0)(3=+-=a x ax x f 得13+=x x a ，则3001x x a x ?+?

，即310x +<得，1-

③当0x 时，

a x ax x f -+=3)(，由方程0)(3=-+=a x ax x f 得13--=x x a ，则3001x x a x >???=-

，310x ->得，1>x ；综上可知，对任意的实数a ，存在]1,0()0,1[0 -∈x ，恒有0)(0≠x f ．

注：本题也可以用数形结合的思想来做．

当0=a 时，||)(x x f =，方程0||)(==x x f 只有0根；当0>a 时，方程0||)(3=-+=a x ax x f 要有解也只能是负解，0)(3=+-=a x ax x f 即x a x 113=+，用数形结合(图1)寻找负解，发现二曲线交点横坐标1-

x 113-=-，用数形结合(图2)寻找正解，发现二曲线交点横坐标1>x ；以下同上

图

1 图2

若4)(x x g =，方程)()(x g x f =即43||x a x ax =-+，即)(||3a x x a x -?=-，a x =显然是方程的解；若a x >，则13=x ，得1=x ；若a x <，则13-=x ，得1-=x ． 综上可知，①．若1-=a 或1=a ，方程的解集是}1,1{-；②．若1-a ，方程的解集是}1,{-a ．

【例4】已知函数2()()f x x x a =-，2()(1)g x x a x a =-+-+(其中a 为常数)； ⑴．如果函数()y f x =和()y g x =有相同的极值点，求a 的值； ⑵．设0a >，问是否存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，若存在，请求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．

⑶．记函数()[()1][()1]H x f x g x =-?-，若函数()y H x =有5个不同的零点，求实数a 的取值范围．

【解】⑴．2322()()2f x x x a x ax a x =-=-+，则()(3)()

f x x a x a '=--，令()0f x '=，得x a =或3a ，而()y

g x =在12a x -=处有极大值，故112

a a a -=?=-，或1323

a a a -=?=；综上：3a =或1a =-． ⑵．假设存在，即存在(1,)3

a x ∈-，使得22()()()[(1)]f x g x x x a x a x a -=---+-+ 2()()(1)x x a x a x =-+-+2()[(1)1]0x a x a x =-+-+>，当(1,)3

a x ∈-时，又0a >，故0x a -<，则存在(1,)3

a x ∈-，使得2(1)10x a x +-+<， 1当123a a ->即3a >时，2()(1)()1033a a a +-+<得，332

a a ><-或，故3a >； 2当1123

a a --≤≤即03a <≤时，24(1)04a --<得13a a <->或，故无解； 综上：3a >．

【法一】存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，即存在0(1,)3

a x ∈-，使得

00()()0f x g x ->，即存在0(1,)3

a x ∈-，使得m a x [()()]0f x g x ->，设2()()()()[(1)1]h x f x g x x a x a x =-=---+，则'22()32(21)(1)h x x a x a a =--+-+，其判别式为4(1)(2)a a ?=+-，

⑴．当02a <≤时，0?≤，那么'()0h x ≥恒成立，即()y h x =在(1,)3

a -上单调递增，要使得存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，则须使得

2()(23)(3)0327a a h a a =+->，则3a >，与02a <≤矛盾，故这种情况不成立； ⑵．当2a >时，0?>，令'()0h x =，可得

12212133

a a x x ---+==， ①．当23a <≤时，13

a x ≥，则()y h x =在(1,)3

a

-上单调递增，则要使得存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，则须使得()03a h >，则3a >，与23a <≤矛盾，故这种情况不成立；

②．当3a >时，13a x <且23a x >，要使得存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，

则须使得1()0h x >，即21111()()[(1)1]0h x x a x a x =---+>即可，即211(1)10

x a x --+<(*)，又213x - 212(21)(1)0a x a a -+-+=(**)，由(**)得，

22111[2(21)(1)]3x a x a a =---+，将其代入(*)，得21(1)(2)0a x a a +---<，即12a x ->，

5a >-，若5a ≥，显然成立，若5a <，可解得3a >，即35a <<．综上可得，3a >． 【法二】存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >的反面是对于任意的0(1,)3

a x ∈-，00()()f x g x ≤恒成立，即2()()()(1)0f x g x x a x ax x -=--++≤对于任意的(1,)3a x ∈-恒成立，容易知道，0x a -≤，故问题转化为对于任意的(1,)3a x ∈-，210x ax x -++≥恒成立．则

⑴．当2(1)40a ?=--≤时，即13a -≤≤；

⑵．当2(1)40a ?=-->时，要使得对于任意的(1,)3

a x ∈-，210x ax x -++≥恒

成立．则11,2(1)1110a h a -?≤-???-=+-+≥?，解得1a =-，或21,23()(1)10393a a a a a h a -?≥????=--+≥??解得3a =，由⑴⑵及已知条件可知，03a <≤，故原问题的解为3a >． 【法三】存在0(1,)3a x ∈-，使得00()()f x g x >，则(1)(1)f g ->-或()()33

a a f g >，而(1)(1)f g ->-无解，由()()33a a f g >可解得3a >．

⑶．据题意有()10f x -=有3个不同的实根，()10g x -=有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等．

(i)．()10g x -=有2个不同的实根，只需满足1(

)12a g ->，则1a >或3a <-； (ii)．()10f x -=有3个不同的实根， 1当3a a >即0a <时，()y f x =在x a =处取得极大值，而()0f a =，不符合题意，舍； 2当3

a a =即0a =时，不符合题意，舍； 3当3a a <即0a >时，()y f x =在3a x =处取得极大值，()13

a f >

得，2a >

故2a >；因(i)(ii)

要同时满足，故2a >；(注：34

3>a 也对)下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在0x 使得0()10f x -=和0()10g x -=同时成立；若存在0x 使得00()()1f x g x ==，由00()()f x g x =，即220000()(1)x x a x a x a -=-+-+，得20000()(1)0x a x ax x --++=，当0x a =时，00()()0f x g x ==，不符合，舍去；当

0x a ≠时，既有200010x ax x -++=①；又由0()1g x =，即200(1)1x a x a -+-+=②；

联立①②式得，0a =；而当0a =时，()[()1][()1]H x f x g x =-?-= 32(1)(1)0x x x ----=没有5个不同的零点，故舍去，故这5个实根两两不相等．

综上，当2

a >时，函数()y H x =有5个不同的零点． 【练习4】[江苏]若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．已知a ，

b 是实数，1和－1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点．

⑴．求a 和b 的值；

⑵．设函数()y g x =的导函数'()()2g x f x =+，求()y g x =的极值点； ⑶．设()[()]h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数．

【解】⑴．由32()f x x ax bx =++得，'2()32f x x ax b =++．又1和－1是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，故'(1)320f a b =++=，'(1)320f a b -=-+=解得，0a =，3b =-．

⑵．由⑴得，3()3f x x x =-，故'2()()2(1)(2)g x f x x x =+=-+解得，121x x ==，32x =-．当2x <-时，'()0g x <；当21x -<<时，'()0g x >，即32x =-是()

y g x =的极值点．又当21x -<<或1x >时，'()0g x >，故1x =不是()y g x =的极值点．故

()y g x =的极值点是－2．

⑶．令()f x t =，则()()h x f t c =-．先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况:由[2,2]d ∈-，当||2d =时，由⑵可知，()2f x =-的两个不同的根为1和－2，注意到()y f x =是奇函数，故()2f x =的两个不同的根为－1和2．当||2d <时，因(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)f - (2)20d f d d =--=--<，故－2，－1，

1，2都不是()f x d =的根．由⑴知，'()3(1)(1)f x x x =+-．

①．当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，于是()y f x =是单调增函数，从而()(2)2f x f >=．此时()f x d =在(2,)+∞无实根．

②．当x ∈(1，2)时，'()0f x >，于是()y f x =是单调增函数．又(1)0f d -<，(2)0f d ->，又函数()y f x d =-的图象不间断，故()f x d =在(1,2)内有唯一实根．同理，()f x d =在(－2，－1)内有唯一实根．

③．当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，于是()y f x =是单调减两数．又(1)0f d -->，(1)0f d -<，又函数()y f x d =-的图象不间断，故()f x d =在(－1，1)内有唯一实根．故当||2d =时，()f x d =有两个不同的根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的根x 3，x 4，x 5，满足||2i x <，i ＝3，4，5． 现考虑函数()y h x =的零点:

①．当||2c =时，()f t c =有两个根t 1，t 2，满足1||1t =，2||2t =．而1()f t t =有三个不同的根，2()f t t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点． ②．当||2c <时，()f t c =有三个不同的根t 3，t 4，t 5，满足||2i t <，i ＝3，4，5．而()i f x t = (i ＝3，4，5)有三个不同的根，故()y h x =有9个零点． 综上所述，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点．

【例5】设函数23()1(1)23n n

n x x x f x x n =-+-++-，n N *∈． ⑴．试确定3()y f x =和4()y f x =的单调区间及相应区间上的单调性； ⑵．说明方程0)(4=x f 是否有解，并且对正整数n ，给出关于x 的方程0)(=x f n 的解的一个一般结论，并加以证明．

【解】⑴．3

21)(323x x x x f -+-=，23()(1)0f x x x '=--+<，)(3x f y =为R 上的减函数，1)(4323x x x x x f +-+-=，24()(1)(1)f x x x '=-+，

)(4x f y =)1,(-∞),1(+∞

⑵．由⑴可知，4min 45()(1)012f x f ==

>，故0)(4=x f 无解．猜想n 为偶数时，0)(=x f n 无解．

证明：当n 为偶数时，设)(2*∈=N k k n 则

2341()1(1)(1)n n n f x x x x x x x -'=-+-+-+

+-=-? 2422(1)k x x x -++++在)1,(-∞上

减，在),1(+∞上增，min 11()(1)1123

n n f x f ==-+-++ 2111111111(1)()()()()022*********k k k k k k

-=-+-++-+>>--，故n 为偶数时，0)(=x f n 无解．猜想n 为奇数时，0)(=x f n 有唯一解． 证明：设)(12*∈+=N k k n ，2341

1[1()]()1(1)1()n n n n x f x x x x x x x --?--'=-+-+-++-==--- 21

101k x x

++<+；故)(x f y n =为减函数，而0)1(>f ，2111()(1)()(231n n f n n n n n -=-+-++-- )0n n <，故方程有唯一解．

【例6】已知二次函数1)(2++=bx ax x f 和函数b

x a bx x g 21)(2+-=． ⑴．若()y f x =为偶函数，试判断()y g x =的奇偶性；

⑵．若方程()g x x =有两个不等的实根1x ，212()x x x <，则

①．证明函数()y f x =在(1,1)-上是单调增函数；

②．若方程0)(=x f 的两实根为3x ，434()x x x <，求使4213x x x x <<<成立的a 的取值范围．

【解】⑴．因()y f x =为偶函数，故()()f x f x -=，故0bx =，故0b =，故21()g x a x

=-，故函数()y g x =为奇函数；

⑵．①由x b

x a bx x g =+-=21)(2得方程(*)0122=++bx x a 有不等实根，故△0422>-=a b 及0≠a 得||12b a >，即1122b b a a

-<-->或，又)(x f 的对称轴(1,1)2b x a

=-?-，故()y f x =在(1,1)-上是单调函数； ②1x ，2x 是方程(*)的根，故011212=++bx x a ，故12121--=x a bx ，同理，

12222--=x a bx ，故222222111111()1()f x ax bx ax a x a a x =++=-=-，同理，

2222()()f x a a x =-，要使4213x x x x <<<，只需??

???<<>0)(0)(021x f x f a ，即???<->002a a a ，故1>a ，或??

???>><0)(0)(021x f x f a ，即???>-<002a a a ，解集为φ，故a 的取值范围1>a ． 【练习6】[10浙江理]已知a 是给定的实常数，设函数2()()(),x f x x a x b R e b =-+∈，x a =是()y f x =的一个极大值点． ⑴．求b 的取值范围；

⑵．设1x ，2x ，3x 是()y f x =的3个极值点，问是否存在实数b ，可找到

4x R ∈，使得1x ，

2x ，3x ，4x 的某种排列1i x ，2i x ，3i x ，4i x (其中1234{,,,}{1,2,3,4}i i i i =)依次成等差数列？若存在，求所有的b 及相应的4x ；若不存在，说明理由．

【解】⑴．'2()()[(3)2]x f x e x a x a b x b ab a =-+-++--，令2()(3)2g x x a b x b =+-++- ab a -，则2(1)80a b ?=+-+>，于是，假设1x ，2x 是()0g x =的两个实数根，且12x x <．

(i)．当1x a =或2x a =时，则x a =不是()y f x =的极值点，此时不合题意． (ii)．当1x a ≠且2x a ≠时，由于x a =是()y f x =的极大值点，故12x a x <<，即()0g a <．即2(3)20a a b a b ab a +-++--<．故b a <-，故b 的取值范围是(,)a -∞-．

⑵．由⑴可知，假设存在b 及4x 满足题意，则

(i)．当21x a a x -=-时，则422x x a =-或412x x a =-，于是1223a x x a b =+=--．即

3b a =--．此时4223x x a a b a a =-=--=+或

422x x a a b =-=- 3a a -=-．

(ii)．当21x a a x -≠-时，则212()x a a x -=-或122()a x x a -=-．

①．若212()x a a x -=-，则242a x x +=，故123(3)322

a b a x x --=+=

3(3)a b =-++，于是1a b +-=

．此时242a x x +==

2(3)3(3)34a a b a b b a +---++=--=+．

②．若122()a x x a -=-，则142a x x +=，故2132a x x =+=

即3(3)a b =++，于是9312a b -+-=，此时142a x x +==

2(3)3(3)1342

a a

b a b b a +---++-=--=+．综上所述，存在b 满足题意，当

3b a =--时，4x a =±当b a =--4x a =；当b a =--

时，4x a =+ 【例7】设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ． ⑴．求a ，b 的值，并写出切线l 的方程；

⑵．若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0，x 1，x 2，其中x 1

【解】⑴．2()34f x x ax b '=++，()23g x x '=-，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线，故有(2)(2)0f g ==，(2)(2)1f g ''==，由此得

8820,1281a b a a b +++=??++=?，解得2,5a b =-??=?，故2a =-，5b =，切线l 的方程为20x y --=；

⑵．由⑴得，32()452f x x x x =-+-，故32()()32f x g x x x x +=-+，依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程2320x x m -+-=的两相异的实根．故140m ?=+>，即14m >-，又对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-成立，特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立得，0m <．由韦达定理得，1230x x +=>，1220x x m =->，故120x x <<，对任意的12[,]x x x ∈有20x x -≤，10x x -≥，0x >，则

12()()()()0f x g x mx x x x x x +-=--≤，又111()()0f x g x mx +-=，故函数

()()f x g x mx +-在12[,]x x x ∈的最大值为0．

于是当0m <时，对任意的12[,]x x x ∈，()()(1)f x g x m x +<-恒成立，综上，m 的取值范围是1(,0)4

-． 练习

1．已知函数sin ()x f x x =

，下列命题正确的是____________．(写出所有正确命题的序号)

①．()f x 是奇函数； ②．对定义域内任意x ，()1f x <恒成立； ③．当32x π= 时，()f x 取得极小值； ④．(2)(3)f f >； ⑤．当x >0时，若方程|()f x |＝k 有且仅有两个不同的实数解α，β(α>β)，则β·cos α＝－sin β．【答案】②④⑤

2．设f 1(x )＝cos x ，定义f n ＋1(x )为f n (x )的导数，即f n ＋1(x )＝'()n f x ，n ∈N *，若

△ABC 的内角A 满足12

2013()()()0f A f A f A +++=，则sin A ＝

__________________．【答案】1

南通市2010届高三第二次调研

3．设函数421()4f x x bx cx d =+++，当1x t =时，()y f x =有极小值． ⑴．若6b =-时，函数()y f x =有极大值，求实数c 的取值范围； ⑵．在⑴的条件下，若存在实数c ，使函数()f x 在闭区间[2,2]m m -+上单调递增，求实数m 的取值范围；

⑶．若函数()y f x =只有一个极值点，且存在211(,1)t t t ∈+，使'2()0f t =，证明：函数()g x = 211()2f x x t x -+在区间12(,)t t 内最多有一个零点． 【解】⑴．因421()4f x x bx cx d =+++，故'3()()12h x f x x x c ==-+．由题设，方程()0h x =有三个互异的实根．考察函数3()12h x x x c =-+，则由'()0h x =，得2x =±．

故160,160c c +>??--，即2(2)(4)0x x -+>(*)在区间[2,2]m m -+上恒成立．故[2,2]m m -+是不等式(*)解集的子集．即24,22

m m ->-??+，即20m -<<，或4m >． ⑶．由题设，可得存在,R αβ∈，使得'321()2()()f x x bx c x t x x αβ=++=-++，且2x x α++ 0β≥恒成立．又'2()0f t =，且在2x t =两侧同号，故