因式分解概念

因式分解（1）案例分析

李超北京市海淀区教师进修学校附属实验学校

1．因式分解的主题简介

《数学课程标准（2011版）》明确指出：数学教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。因式分解这一节是解析式的一种恒等变形，这种恒等变形与小学学习的分解质因数在概念、原理、作用等方面有极大的相似性。这部分的学习是学生体会从数到式、发展学生数感、符号意识的重要载体，也是理解运算法则和运算律等算理，培养运算能力的有效载体。《数学课程标准（2011版）》还强调：在课程设计和教学活动中，应同时兼顾知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的目标。在知识技能目标方面，学生在利用提公因式法、公式法进行因式分解的过程中，巩固必要的运算技能；在问题解决方面，学生经历归纳因式分解概念的过程，尝试从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性；在情感态度方面，在运用数学表达和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨、应用广泛的特点，体会数学学习的特点。

2．因式分解的内容分析

《因式分解》是人教版八年级上第14章《整式的乘除与因式分解》第3节的内容。它是学生学习经历了整式的乘除后，安排的一节教学内容。从内容上看，因式分解是整式乘法的一种相反的变形，这是因式分解的概念和各类因式分解的基础，并由此推导出来。从学习方法来看，学生可以类比分解质因数，从数到整式，从具体、简单的问题出发，经历归纳、总结出因式分解的概念，然后再用归纳得出的因式分解的概念，进一步指导因式分解的方法，这种学习循序渐进的方法，符合现阶段学生的认识水平。从思想方法来看，因式分解是整式乘法的一种逆变形，这种逆向变形，学生虽然经历了加与减、乘与除、乘方与开方等类经历，但是这种逆向变形的技巧和思考问题的方法本身对学生来说是一个难点，同时它的变化技巧较高，对学生来说具有较大的挑战。从后续学习来看，因式分解是分式和二次根式、方程、函数等知识的基础，也是有式的变形、计算等基本问题解决的基础，对数学、物理、化学等学科学习的有重要意义。

3．学习因式分解的学情分析

从知识上看， 在小学期间，已经学习过分解质因数的相关知识，在简便计算的过程中，已经有类似的变形经历；在初中阶段，学生经历了有理数、整式运算的的学习过程，对式的变形有一定的认识；在学法上，可以迁移分解质因数的方法，结合整式乘法的学习经验，类比、归纳得到因式分解的方法；但是学生对于这部分的学习还存在一些困难，特别是对因式分解的概念和整式乘法的关系的 理解，缺少从逆用整式乘法法则和乘法公式的角度思考问题的意识。

4．学习目标

基于以上关于因式分解的主题、教学内容、学情分析，确定本节课的学习目标是：

1．学生通过多种背景的问题解决，体会因式分解必要性与重要性，归纳出因式分解的概念；

2．学生逆用分配律、整式乘法运算性质得出提公因式法，体会因式分解是整式乘法的一种逆变形。

5．学习重点、难点

重点： 因式分解的概念；

难点：因式分解是整式乘法的逆变形的理解。

6．教学过程设计

环节1 从数到式，归纳得出因式分解的感念

引言：前面我们已经学习了整式的乘除，大家看看下面的问题的解决，思考与你已有的哪些知识之间，有什么关系?

问题1：

（1）分解质因数:78？

（2）99993-是哪些数的倍数；

（3）求值：

)7(3)7(42+-+x x a ，其中5-=a ，3=x

师生活动：老师提出问题，学生在回答问题（1）的过程，回顾分解质因数的概

念和方法，体会分解因数的关键点是把整数化为几个整数乘积的过程，作用是可以确定某个数的因数；在回答问题（1）的过程中，思考式子变形如何变形和变形的依据，具体变形有下面几种：

（1） 直接计算99993

-的值是970200，再思考这个是哪些数的倍数，但是学生会发现这

个数比较大，解决起来并不容易；

（2） 99993- )199(992-?=……逆用乘法分配率

)199()199(99-?+?=……逆用乘法乘法公式

9810099??=

学生在解决的过程中，观察式子进行第(1)的变形,但是第(2)变形对部分学生来说,还存在一定的困难、学生引导才能联想得到。另外，为了让学生体会这是乘法的一种逆变形，每步都会通过提问来强化，增强学生逆变形的认识。另外学生还提出，问题（2）的真正解决，还需要继续分解到质因数，这都便于学生进一步理解分解因式作了很好的铺垫。

问题（3）的解决的方法主要有以下三种：

（1） 直接带入数值求；

（2） 利用整式的乘法运算，先化简在求值；

（3） 把式子化为整式乘积的形式，再带人求值

通过这三种不同的解法，体会因式分解的重要作用及式子变形是根据运算需求而进行的变形。最后通过以上的式子，归纳得到因式分解概念。

设计意图：学生通过分解质因数、倍数问题、计算等多种背景的问题解决，体会因式分解必要性与重要性，归纳出因式分解的概念，为下面的因式分解的理解和 方法的得出都作了很扎实的铺垫。

环节2 探究因式分解 总结方法

问题2： 请依据因式分解的概念，尝试对下列式子进行因式分解：

(1)x x 1822-； （2） cm bm am ++ （3）c ab b a 323128+

（4）)2()2(6x x x -+- (5) )(3)(2c b c b a +-+

(6) )2()126(2x x x -+-; (7) c b ac ab 3322--+

师生活动：学生先独立尝试、然后师生互动、评析。在评析的过程中，依据因式分解的概念，判断每个步骤的变形进行是否是因式分解，并说出变形的依据，探索、归纳得出提公因式法。

在问题2中，聚焦下面两个问题：

1．如何进行因式分解？

2．变形的依据是什么？

通过问题2中的练习(1) 、（2）、（3），总结出提公因式法进行因式分解方法，体会提公因式法进行因式分解的本质就是逆用乘法分配律，关键是如何确定公因式，难点是公因式是不是最大公因式；其次练习（4）、（5）、（6）（7），从不同角度巩固和提高学生对公因式理解和的认识。最后，学生举出因式分解的例子评估学生对因式分解的理解。

设计意图：通过依据因式分解的概念，尝试进行式的变形，在已有的知识框架的基础上构建提公因式法的方法；通过不同层次的问题解决，逐步感悟公因式的概念，为进一步理解因式分解是整式乘法的一种逆变形提供载体。

环节3 归纳小结

教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请同学回答以下问题：

（1） 本节课学习了哪些主要内容？

（2） 你是怎样理解因式分解的？

设计意图：引导学生从知识内容和学习过程两个方面总结自己的收获，把握本节课的核心内容----因式分解和提公因式法，进一步体会数式通性和因式分解的概念与作用，总结应用提公因式法因式分解的步骤，建立知识间的联系，促进学生数学思维的发展。

6．核心活动课堂教学实录及点评分析

课堂片断1

引课 在前面我们已经学习过整式的乘除，下面我们继续学习。首先，请先看活动1，现在给2分钟，思考PPT 中的问题。

师：问题（1）：分解质因数:78？

生：78可以除以2，得：78÷2=39，所以78=2×39；

师：学生知道分解质因数，需要把数分解成几个整数乘积的形式，你认为这是最终结果吗？

生：不是，39可以拆成3×13，所以78=2×39=2×3×13

点评：刚才这个回答可以看出，分解质因数，不仅需要分解成乘积形式，还需要分解成质因数。

师：大家思考一下第一个分解形式与第二个分解形式有什么不同？

生：第一个还可以继续分，第二个不能在分解，分解到了质因数的形式。 师：那么分解成质因数有什么好处呢？

生：分解质因数把因数拆成了最小化，对解决一些问题会有帮助，比如，下面问：是哪些数的倍数，就可以用这些质因数组合，比如：2×3、2×13、3×13等。 点评：在这个追问环节，帮助学生理解为什么需要分解成质因数，为因式分解不彻底做好铺垫，学生可以从分解质因数类比得到分解因式。

课堂片断2

师：问题（2）99993-是哪些数的倍数；

生：提取公因数99，再利用平分差公式，

99993-

)199(992-= ........ 提取公因数99

)199)(199(99-+=...............利用平分差公式

师: 那么什么是平方差公式?

生: 是22))((b a b a b a -=-+

师：大家观察这个变形是否是应用平方差公式，有没有区别？

))(b a b a -+，而这里是22b a -的形式，这里是逆用。 )((a b a -+

生：乘法分配律

(a m +

点评：在讲析的过程中，通过从形式的不同，体会因式分解是整式的乘法的关系，突出本节课的学习重点和思维难点。

7．持续性评价设计

《数学课程标准（2011版）》在评价建议中强调：评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发生发展；不仅需要关注基础知识和基本技能的评价，也要关注数学思考和问题解决的评价，要求体现评价主体的多元化和评价方式的多样性。

基于以上关于评价的建议，本节课的评价主体包括：教师、同学及学生本人，评价方式包括课堂独立思考、口头回答问题、课堂收获反馈、书面检测。具体要求如下：

1．检查、评估课堂记录情况；

2．学生课堂回答问题和提出问题的情况；

3．结合本节课，学生独立完成的课堂收获反馈，可以从学习过程、知识发展、最大感受等角度，选择对你最有启发的点，进行简单阐释；

4．书面检测（附）

8．教学反思

因式分解本节课，是学生学习完整式的乘除之后安排学习的一个内容，从形式上看，好像是在重复前面学习的知识，但是从式的变形的角度来看，确实完全不同的两个方向，这种相似性，既是学生学习的支撑点，又是学生理解的节点。本节课的设计重点突出了以下两点：

1．教学设计注重所学知识的持续性。

以往的教学设计，容易把这节课设计成因式分解的习题课，老师告知概念，学生照猫画虎，通过一些辨析、练习等形式来学习。这样的设计，学生会感觉概念突兀、容易混淆，被老师牵着走，因式分解的方法，更多的是训练，学生在模仿、试错，再构建，澄清误解的过程中实现。而新课程标准的基本理念强调：数学课程的学习，不仅仅是数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法。这给我提出了很大的挑战，我也尝试换一个角度来设计这个课程。

在这一节课的设计的基本理念是：因式分解从形式上看，好像是已经学习过的内容，那么我们就需要思考为什么会产生这样的认识，我们又需要利用这种相

似性，来设计这节课。首先，从形式看，因式分解是一种整式的变形，它是整式乘法的逆向变形的过程，这一点也是学生理解因式分解的重点，这是因为这是因式分解的理论基础，各种因式分解的方法都由此作为基础而推导出来的；同时也是一个难点，这是因为同学会忽视或混淆他们之间的区别的心理认识。其次，从式子变形的作用来看，因式分解的作用与分解质因数在计算或其他问题解决中的作用及其相似，可以类比分解质因数学习因式分解。基于以上两点的思考，本节课的设计突出了下面的特点：从分解质因数类比学习，通过整除、简便计算等多种背景的问题解决，体会因式分解必要性与重要性，归纳出因式分解的概念。2．教学设计体现数学知识的形成过程、重视问题解决的能力培养与发展新课标要求：在设计一些新知识的学习活动时，应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础，通过任务引导，注重知识的生发过程，引发学生的数学思考，调动学生的积极性，鼓励他们的创造性思维。在环节2中，通过设计任务型问题引导学生充分调动已有知识、尝试、探究、提升、最后总结出提公因式法进行因式分解的一般方法与步骤，通过问题的不同层级从系数、字母、系数等角度体会公因式确定需要考虑的因素，最后还设计了不同类型的、利用整体思想，更加广泛意义的提取公因式的方法进行因式分解。这样的设计避免了老师的告知，更多的是在自己已有的经验、知识体系中，构建因式分解这种变形的方法，同时这个过程也是更好的理解因式分解概念的有效载体，并且能充分体会数式通性和运算律在整式变形中的作用。

最后，这节课在设计与实施过程中还存在一些需要进一步改善的地方。比如，对于数学学习，同学之间在理解和应用已有知识存在着较大的差异，而这一节的引入和问题解决需要调用学生已有知识的信息较多，对于那些已由知识不太扎实的学习者来说，会增加他们思考问题的思维量，那么这样，会不会影响他们的学习这部分知识的效果，有没有更加普适的方法可以借鉴。还有，这一节课，学生注重师生互动，更多的是关注到回答问题的同学的思维过程，那么对于没有及时回答问题的同学，如何更进有效他们的思考问题的程度，了解他们的思维节点，评价他们的学习效果，这些问题也值得思考和研究。这就是我对这一节课的一些思考，请各位专家批评、指正，并给以指导。

附：书面检测

1．下列变形中是分解因式的是（）

1)1(1)(2+-=+-x x x x A )2)(3(6)(2-+=-+m m m m B

16)4)(4)((2-=-+a a a C ))(()(22y x y x y x D -+=+ 设计意图：考查学生对因式分解概念的理解。

2．因式分解

（1）c ab ab 24914- （2）())(62n m n n m m -+- 设计意图：考查学生对应用提公因式进行因式分解的掌握。

3． 已知3=-y x 、7=+y x ，求()()x y y y x x ---的值.

设计意图：考查学生对运用提公因式进行因式分解，并进行代数运算的掌握。