九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案(吐血推荐)

相似三角形的性质及应用

【学习目标】

1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；

2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】

要点一、相似三角形的性质

1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.

相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比

∽

，则

由比例性质可得：

4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽

，则

分别作出

与

的高

和，则

211

22=1122

ABC A B C BC AD k B C k A D S k S B C A D B C A D '''''''????=='''''''''??△△

要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 要点二、相似三角形的应用 1.测量高度

测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.

要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：

平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法

2.测量距离

测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.

2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：

1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;

4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】

类型一、相似三角形的性质

1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

【答案】

设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm

或cm，cm三种可能.

2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC

上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵ AD⊥BC，

∴ AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形两邻边之比为1：2，

设EF=xcm，则EH=2xcm.

由相似三角形对应高的比等于相似比，得，

∴，

∴，

∴.

∴ EF=6cm，EH=12cm.

∴

举一反三

1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.

【答案】在和中，

，

.

又∵

∽，相似比为.

的周长为，的面积是.

2、有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.

3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）

A. 2：5 B．14:25 C．16:25 D. 4:21

【答案】B.

【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x, 则CE=8-x,

在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,

由△ADE∽△ACB得，

S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.

4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.

【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，

∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，

∴∠ADB=∠CEB=90°，

又∵∠B=∠B，

∴Rt△ADB∽Rt△CEB,

∴

,BD AB BD BE

BE CB AB CB

==即, 且∠B=∠B ， ∴△EBD ∽△CBA,

∴2

21189

BED BCA

DE AC S S

??

=== ?

??△△, ∴

1

3

DE AC =, 又∵DE=2， ∴AC=6， ∴

1

1862

ABC AC BF S =

?=∴△，BF=. 5、已知：如图，在△ABC 与△CAD 中，DA ∥BC ，CD 与AB 相交于E 点，

且AE ︰EB=1︰2，EF ∥BC 交AC 于F 点，△ADE 的面积为1，求△BCE 和△AEF 的面积．

【答案】∵DA ∥BC ， ∴△ADE ∽△BCE ． ∴S △ADE :S △BCE =AE 2:BE 2．

∵AE ︰BE=1:2， ∴S △ADE :S △BCE =1:4． ∵S △ADE =1， ∴S △BCE =4．

∵S △ABC :S △BCE =AB:BE=3:2， ∴S △ABC =6． ∵EF ∥BC ， ∴△AEF ∽△ABC ．

∵AE:AB=1:3， ∴S △AEF :S △ABC =AE 2:AB 2=1:9． ∴S △AEF ==

． 6、如图，已知中，，

，

，

，点

在

上， (与

点不重合)，点在

上.

(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长. (2)当

的周长与四边形

的周长相等时，求

的长.

【答案】 (1)∵

，

∽

.

(2)∵的周长与四边形的周长相等.

=6，

∽

.

类型二、相似三角形的应用

3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？

【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC.

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

即河宽为85m．

4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【答案】(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，

∴

∴DE=16m

即古塔的高度为16m。

举一反三

1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？

【答案】

如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,

根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，

∠BAP=∠DCP=90°，

∴△ABP∽△CDP,

∴AB AP DC PC

=,

即1.82

7 DC

=,

∴DC=6.3米.

即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.

2、在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）

A.24m

B.22m

C.20m

D.18m

【答案】 A.

【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则

1.6

0.8

2

DN

DE

==,DN=14.4，

又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6

∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选A.

3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.

∵AD∥BE，∴

又∵，

∴，∴.

∵AB∥EF， AD∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∴EF=AB=1.8m. ∴m.

【巩固练习一】

一、选择题

1．如图1所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) A． B．

C．D．

（图1）（图2）

2. 如图2, 在△ABC中, D、E两点分别在AB、AC边上, DE∥BC. 若AD:DB = 2:1, 则S△ADE: S△ABC为( )

A. 9:4

B. 4:9

C. 1:4

D. 3:2

3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则

另一块草坪的周长是（）．

A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米

4. 图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB// DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=( )

A．3 B．7 C．12 D．15

5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光

线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）

A．6米 B．8米 C．18米D．24米

6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增

大到原来的（）倍.

A.2

B.4

C.2

D.64

二、填空题

7. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD ＝2m 的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一条直线上，如果测得BD ＝20m ，FD ＝4m ，EF ＝1.8m ，则树AB 的高度为______m ．

8. 已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为

______.

9．如图，小明为了测量一座楼MN 的高，在离点N 为20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到点C ，正好从镜中看到楼顶M ，若AC ＝1.5m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m ）

10. 梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC ，BD 交于点O ,若AOD S △=4， OC S △B =9，S 梯形ABCD =________. 11.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD 交于点F ，则::DEF EF BAF S S S △△B △________________.

12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的

2

1

倍，那么边长应缩小到原来的________倍. 三、解答题

13. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得树高是多少？

14. 如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端

DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．

（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）．（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m．求（1）中的点C到胜利街口的距离．

15. 在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，

交正方形一边所在直线于点.

(1)找出与相似的三角形.

(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为

多少？

【答案与解析】

一．选择题

1．【答案】D．

【解析】提示：相似比为1:3．

2．【答案】B．

【解析】提示：面积比等于相似比的平方．

3．【答案】C.

4．【答案】B.

5．【答案】B.

【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．

6．【答案】C．

【解析】提示：面积比等于相似比的平方．

二．填空题

7．【答案】3.

8．【答案】45cm2.

9．【答案】21.3m．

10．【答案】25.

【解析】∵ AD ∥BC ，∴ △AOD ∽△COB ，∴ 2

A O D

B O C

49S AO CO S ??

== ?

??△△，∴ AO :CO ＝2:3，

又∵

AOD DOC 2

3

S AO S OC ==△△，∴ COD 6S =△，又 C O D A O B S S =△△

，

∴ ABCD 492625S =++?=梯形．

11.【答案】4:10:25

【解析】∵ 平行四边形ABCD ，∴△DEF ∽△BAF,∴2

DEF AEB S DE S AB ??

= ???

△△，

∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴D E F

BAF S S △△∵△DEF 与△BEF 是同高的三角形，∴

DEF BEF S S △△24

.510

==

12．

【答案】

2

. 三.综合题 13．【解析】作CE ∥DA 交AB 于E ，设树高是xm ， ∵ 长为1m 的竹竿影长0.9m ∴

1 1.2

0.9 2.7

x -=

即 x ＝4.

2m

14．【解析】(1)如图1所示，CP 为视线，点C 为所求位置． (2)∵ AB ∥PQ ，MN ⊥AB 于M ，

∴ ∠CMD ＝∠PND ＝90°． 又∵ ∠CDM ＝∠PDN ， ∴ △CDM ∽△PDN ，

∴

C M

D M

P N D N

= ∵ MN ＝30m ，MD ＝12m ， ∴ ND ＝18m ．

∴

12

3618

CM = ∴ CM ＝24(m )．

∴ 点C 到胜利街口的距离CM 为24m ．

15．【解析】(1)与△BPC 相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况： △PDE ∽△BCP ，△PCE ∽△BCP ，△BPE ∽△BCP ．

(2)①如图(1)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与AD 交于点E ， 则

1

2

PD BC = ∵ △PDE ∽△BCP

∴ △PDE 与△BCP 的周长比是1:2 ∴ △BCP 的周长是2a ． ②如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E

时，

则

1

2

PC BC =， ∵ △PCE ∽△BCP

∴ △PCE 与△BCP 的周长比是1:2 ∴ △BCP 的周长是2a ． ③如图(2)，当点P 位于CD 的中点时，若另一直角边与BC 延长线交于点E

时，

∴

BP BC =∵ △BPE ∽△BCP

∴ △BPE 与△BCP 2，

∴ △BCP 的周长是

5

a ．

【巩固练习二】

一、选择题

1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）

A．只有1个 B．可以有2个C．有2个以上，但有限 D．有无数个

2. 若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（）．

A．1.8 B．5 C．6或4 D．8或2

3. 如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且

那么等于（）

A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2

4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E 两点，直线BG与AC交于 F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=( ) A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2

5. 如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）

A.1︰2︰3︰4

B.2︰3︰4︰5

C.1︰3︰5︰7

D.3︰5︰7︰9

6．.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则

S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( )

A.4：10：25

B.4：9：25

C.2：3：5

D.2：5：25

二、填空题

7.如图，梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD相交于点E，

1

,

2

DEC

S

S

△

△CEB

DEC

S

S

△

△AEB

=___________.

8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.

9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB 的度数是

_______________.

10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且S△EFC=3S△EFD，则S△ADE：S△ABC=______________.

11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________

12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，

则AC边上的高为______________.

三、解答题

13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？

14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，

∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．

……

（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．

15. 已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t ≤6．

（1）当t为多少时，DE=2DF；

（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．

一．选择题 1.【答案】B.

【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边. 2.【答案】A. 3.【答案】B. 4.【答案】D. 5.【答案】C.

【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由

，

所以

，又由，可得，下略．

6.【答案】 A.

【解析】 □ABCD 中，AB ∥DC ，△DEF ∽△ABF ，

(△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A. 二、填空题 7.【答案】

14

. 【解析】∵

1

,2DEC ECB S S =△△且△DEC 与△CEB 是同高不同底的两个三角形，即1.2

DE EB =因为AB ∥CD,

所以△DEC ∽△BEA,所以

DEC AEB

S S △△=22

1124

DE EB ????== ? ????? 8.【答案】3.

【解析】 ∵∠ADC=∠ACB ，∠DAC=∠BAC,∴△ACD ∽△ABC,∴

,AC AD AB AC =AB=22

241

AC AD ==， ∴BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】120°.

【解析】∵ △BPM ∽△PAN ，∴ ∠BPM ＝∠A ，

∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN ＝60°，即∠APN+∠BPM ＝60°， ∴ ∠APB ＝∠BPM+∠MPN+∠APN ＝60°+60°=120°．

【解析】∵EFC S △=3EFD S △，∴FC:DF=3:1，又∵DE ∥BC,∴△BFC ∽△EFD,即BC ：DE=FC:FD=3:1，

由△ADE ∽△ABC ，即ADE S △：ABC S △=1:9.

11.【答案】30m. 12.【答案】 6.

三、解答题

13.14.【解析】（1）补全证明过程:

∵ FG ⊥BC ，DC ⊥BC ， ∴ FG ∥DC ．