综合除法(1)
综合除法与余数定理
一、知识提要与典型例题
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。
（一）、综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式：
)()()()(x r x q x g x f +?=。
其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。
例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。
解： 余式商的各项的系数
826322
4
1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用32-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
∴Q=542-+x x ， R=6。
下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
例3、用综合除法求)23()4101173(2234-+÷-+-+x x x x x x 的商Q 和余式R 。 解：231232
32
34
66
94101173-++-++-+--+--+-+
∴Q=5232+-x x ， R=23-x 。
（二）、余数定理
余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式)(x f 除以a x -所得的余数等于)(a f 。
略证：设R a x x Q x f +-?=)()()(
将x=a 代入得R a f =)(。
例4、确定m 的值使多项式m x x x x x f +++-=1183)(345能够被x-1整除。 解：依题意)(x f 含有因式x-1，故0)1(=f 。
∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。
求一个关于x 的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。
解：设b ax x x f +==2)(
∵)(x f 被3-x 除余1，∴139)3(=++=b a f ①
∵)(x f 被1-x 除和2-x 除所得的余数相同，∴
b a b a f f ++=++=241)2()1(即 ②
由②得3-=a ，代入①得1=b
∴13)(2+-=x x x f 。
注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。 即：1))(3())(2())(1(2++-≡++-≡++-≡++p x x R n x x R m x x b ax x 由R n x x R m x x ++-≡++-))(2())(1(，可得1,2-=-=n m 再由1))(3()1)(2(++-≡+--p x x R x x ，解得0=p 。 ∴13)(2+-=x x x f 。
综合除法与余数定理
学科：奥数 教学内容：综合除法与余数定理 【内容综述】 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 【要点讲解】 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得 （此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下 规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（） 分析 把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算 （1 ）； （2 ） 解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用 除 ，只需先以 除， 再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以， 所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时 余28，它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。 解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；
六年级数学《分数除法》和《比和按比例分配》测试题
六年级数学《分数除法》和《比和按比例分配》测试题 学校 姓名 学号 满分：100分 时间：80分钟 一、填一填，我能行！（每空1分，共28分，第9题为每空分） 1、5 2 的倒数是（ ） 3的倒数是（ ） 22 1的倒数是（ ） 的倒数是( ) 2、?=÷5 3653（ ）=（ ） ?=÷ 7 3 14373（ ）=（ ） 3、一个数的85是120，这个数是（ ），120的8 5 是（ ） 4、10是5的（ ）倍，21是8 1 的（ ）倍 5、一辆小轿车每行6千米耗油 3 5 千克，平均每千克汽油可以行驶（ ）千米，行1千 米要耗油（ ）千克。 6、观察下面各组数，分别找出它们的变化规律，再按照规律填写两个数。 （1）2 1 ， 43，85，167，32 9，（ ）（ ）…… 7、43小时=（ ）分，25 4 米=（ ）厘米。 8、六一班有学生50人，其中男生20人，男生与女生人数的比是（ ），女生与总人数的比是（ ）
9、某厂男、女工人数比是7 ：8，那么男工人数相当于女工的（ ） （ ） ；女工人数 占全厂总人数的（ ） （ ） 。 10、一个长方形的周长为42厘米，长和宽的比是4∶3，这个长方形的面积是（ ）平方厘米。 11、甲数是乙数的 4 3 ，甲数与乙数的比是（ ） 12、单独行完同一段路，甲车用5小时，乙车用3小时。甲、乙两车的时间比是（ ： ），速度比是（ ： ）。 13、 16 与 58 的比值是（ ） 。 1 3 吨 ：60千克化成最简整数比是（ ）。 二、仔细判断（5分） 1、一个数的倒数一定小于这个数。 （ ） 2、馒头的个数是包子个数的 11 7 ，是把馒头的个数看着单位“1”。（ ） 3、71272=÷ 566 5=÷ （ ） 4、一杯盐水，盐占盐水的7 3 ，盐和水的比3：4。 （ ） 5、在2：3里如果前项加上4，要使比值不变，后项要加上4。（ ） 三、精挑细选（每题2分，共12分） 1、83 与（ ）的乘积是1。 A 、 83 B 、 3 8 C 、8
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理Revised on November 25, 2020
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 ∴Q=542-+x x ， R=6。 下面我们将综合除法做进一步的推广，使除式为二次或者二次以上的多项式时也能够利用综合除法来求商和余式。
分数除法和比的综合应用
分数除法和比的综合应用 1、甲铁块重65吨，相当于乙铁块的12 5 。乙铁块重多少吨 2、小林九月份电话费24元，相当于八月份的7 6 ，八月份电话费多少元 、 4、五一班男生人数比女生多6 1 ，女生30人，全班多少人 8、食堂运来一批大米，已经吃去600千克，正好吃去4 3 ，这批大米共多少千克 } 9、小兰的邮票比小军多24枚，这个数目正好是小军的5 1 。小兰和小军各有多少枚 邮票
10、一种电脑现在比原价降低 15 2 ，正好降低800元，这种电脑原价多少元 11、学校足球队有35人，篮球队人数足球队的54，又是排球队的8 7 。排球队有多 少人 & 12、妈妈今年40岁，小明年龄是妈妈的103，又是外婆年龄的6 1 。外婆今年多少岁 13、一条路已经修了 6 1 ，再修复600米正好修完一半。这条路长多少米 ^ 15、一件上衣现在是150元，比原价降低了5 2 ，这件上衣原价多少元 , 16、小明家八月份用水20吨，比七月份节约了5 1 ，小明家七月份用水多少吨
17、一个工厂计划八月份生产电视机3000台，实际超产5 1 ，八月份实际生产多少 台电视机 12、从甲地到乙地，行了120千米，比剩下的路程多5 1 ，甲地到乙地有多少千米 % 12、修一条公路，已修的是未修的4 3 。已经修了120米，这条路全长多少米 13、一批货物原来要装40箱，现在改用新箱子装，每只新箱子的容量是老箱子的5 4 ， 问现在要用新箱子几只 ， 14、甲、乙两个同学的分数比是5 ：4，如果甲少得分，乙多得分，那么他们的分数比是5 ：7，问甲、乙两人原来各得多少分
初中数学竞赛——余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
7.综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 41264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同 -7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面， 同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，
六年级上册数学《分数除法》比和比的应用_知识点整理
比和比的应用 一、本节学习指导 本节知识点比较多，不过“比”还算好理解，学习节时 需和分数除法联系起来。除外我们还要明白“比”的意义和 实际运用，平时多做练习。本节有配套免费学习视频。 二、知识要点 （一）、比的意义 1、比的意义：两个数相除又叫做两个数的比。 2、在两个数的比中，比号“：”前面的数叫做比的前项，比 号“：”后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的 商，叫做比值。比的后项不能为0，因为比的后项相当于除 法中的 除数，除数不能为0。 例如 15 ： 10 = 15÷10= 23 （比值通常用分数表示， 也可以用小数或整数表示） ∶ ∶ ∶ ∶ 前项 比号 后项 比值
3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程÷速度=时间。 4、求比值的方法：用比的前项除以比的后项。 5、区分比和比值 比：表示两个数的倍数关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。有比的前项和比的后项 比值：相当于商，是一个数，是一个结果，可以是整数，分数，也可以是小数。 6、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形 式。例如3：2也可以写成3 2 ，仍读作“3:2”。 7、比和除法、分数的联系： 比前项比号“：”后项比值 除法被除数除号 “÷” 除数商
分数分子分数线 “—” 分母分数值 8、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。 9、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为0。注：体育比赛中出现两队的分是2：0等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。 （二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系： 商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0除外），分数值不变。 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外)，比值不变。
初中数学竞赛余数定理和综合除法
第1讲 余数定理和综合除法 知识总结归纳 一．除法定理： ()f x 和()g x 是两个一元多项式，且()0g x ≠，则恰好有两个多项式()q x 及()r x ，使 ()()()()f x q x g x r x =?+，其中()0r x =，或者()r x 比()g x 次数小。 这里()f x 称为被除式，()g x 称为除式，()q x 称为商式，()r x 称为余式. 二．余数定理： 对于一元n 次多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L ，用一元多项式x c -去除()f x ，那么余式是一个数。设这时商为多项式()g x ，则有 ()()()()f x x c g x f c =-+ 也就是说，x c -去除()f x 时，所得的余数是()f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果()0f c =，那么x c -是()f x 的一个因式.反过来，如果x c -是()f x 的一个因式，那么()0f c =。 四．试根法的应用： 假定1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++L 是整系数多项式，又设有理数p c q =是()f x 的根（p q 、是互质的两个整数），则p 是常数项0a 的因数，q 是首项系数n a 的因数. 特别的，如果1n a =，即()f x 是首1多项式，这个时候1q =，有理根都是整数根。 典型例题 一. 多项式的除法 【例1】 已知32()4523f x x x x =+--，2()21g x x x =++，试求()f x 除以()g x 所得的商式()Q x 和余式 ()R x .
综合除法与余数定理修订版
综合除法与余数定理修 订版 IBMT standardization office【IBMT5AB-IBMT08-IBMT2C-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是 )(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++-
∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
综合除法与余数定理含答案
综合除法与余数定理 数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。 1、综合除法 在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可 以推得（此处用表示关于x的多项式）除以的商式系数和余数有如 下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数 乘以b加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 例1 计算（） 分析把除式变成形式用综合除法， 解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意： （1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足； （2）除式要变成的形式（b可以是负数） 例2用综合除法计算 （1）； （2） 解：（1） ∴商式为，余式为-3 （2）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。
∴商式为，余式为。 说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以 ，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理 若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则 当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。 余数定理多项式除以()所得的余数等于。 特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。 由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式 的值。 余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算 复杂时也可以用综合法求。 例3一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28， 它还可被整除，求。 解：设由题意得 解得 a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设 ，再由，，列出a,b的方程求解。 例4利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。 分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断 能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。
综合除法(1)
综合除法与余数定理 一、知识提要与典型例题 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 （一）、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
最新综合除法与余数定理
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。 （2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
人教版六年级数学上册分数除法和比测试题
人教版六年级数学上册：分数除法和比 一、填空题. 1、（ ）：（ ）=2.5=（） 5.1=（ ）：0.4 2、甲、乙两数的比是4:5,甲数是20,乙数是（ ）. 3、把2 1千克平均分成两份,每份是（ ）千克. 4、 24的85是（ ）,一个数的85是25,这个数是（ ）；（ ）的53是15；（ ）的5 4 和0.75的倒数相等. 5、在○里填上“＞”“＜”或“＝”. 125÷31○125 54×33○54 41÷23○4 1 6、一项工程计划10天完成,那么平均每天完成这项工程的（） （）,（ ）天能完成这项工程的53. 7、一根绳子的3 1是6米,这根绳子长（ ）米. 8、一辆轿车每行驶6km 耗油5 3L,平均每升汽油可行驶（ ）km,行驶1km 耗油（ ）L. 9、要配制一种药水,12.5g 的药剂,需要200g 的水,药剂质量与水质量的最简整数比是（ ）：（ ） 10、把一张纸的5 4平均分成3份,每份是这张纸的几分之几？在下面画图表示平均分的过程. 列式是： 二、选择题. 1、一种钢材5 4m 重251t,每米钢材重多少吨?列式正确的为（ ） A 、5 4÷251 B 、251×54 C 、251÷54 2、一个大于0的数除以5 1,就是把这个数（ ） A 、缩小5倍 B 、扩大5倍 C 、缩小5 1 3、在通常情况下,体积相等的冰的质量比水的质量少10 1.现有一块重10kg 的冰,水的质量是多少？列式正确的为（ ） A 、10×（1-101） B 、10÷（1-101） C 、10×（1＋10 1） 4、a 是一个不等于0的自然数.下面算式,得数最大的是（ ） A 、a ÷52 B 、a ×5 2 C 、a 5、甲数比乙数多4 1,甲数与乙数的比是（ ） A 、5:4 B 、4:5 C 、1:4 三、计算题. 1、直接写出得数. 76÷3＝ 1÷51＝ 71－81＝ 31÷43＝ 94÷3 2＝
2-2 综合除法、大除法.讲义学生版
板块一 综合除法、多项式除法 记号()f x 关于x 的代数式常用记号()f x 或()g x 等表示，例如，用()f x 表示代数式223x x +-，则可记为 ()223f x x x =+-． 这时()1f 就表示1x =时，代数式223x x +-的值，即()2121130f =?+-=，同样地，有 ()2020033f =?+-=-；()()()2 121132f -=?-+--=-等等． 用()f x 可以代表关于x 的各种不同的代数式，但在同一个问题中，不同的代数式要用不同的字母表示，如()f x ，()g x ，()q x ，()r x 等． 综合除法 在学习多项式除法时，我们有带余除法： ()()()()f x g x q x r x =?+ （1） 其中()f x 表示被除式，()g x 表示除式，()q x 表示商式，()r x 表示余式，且余式()r x 的次数小于除式()g x 的次数． 如果()g x 是一次式x a -，则()r x 的次数小于1，因此，()r x 只能为常数（0或非零常数）．这时，余式也叫余数，记为r ，即有 ()()()f x x a q x r =-?+ （2） 当一个多项式除以一个形如x a -的一次式时，有一种简便的运算方法——综合除法，我们用一个例子来说明，如求()2357f x x x =+-除以2x +所得的商式和余式． 解析：先用一般的竖式除法计算 2231 23573672 5 x x x x x x x x -++-+---- 所以，商式为31x -，余数为5-． 从运算中我们可以发现上述运算实际上是它们系数之间的运算，所以我们可以省去字母，将上面的除法用下面的简便方式来表示． 3 5 72 6 2 3 1 5 +----- 商式为31x -，余数为5-． 这种简便的除法，称为综合除法，其演算过程如下： ⑴被除式按x 的降幂排列好，依次写出各项的系数，遇到缺项，必须用“0”补足． ⑵把除式x a -的常数项的相反数a 写在各项系数的左边，彼此用竖线隔开． 例题精讲 综合除法和余数定理
分数除法与比的联系与区别
分数除法与比的联系与区别 1、分数除法的意义与计算方法 2、比、除法和分数间的联系和区别 3、求比值和化简比的联系与区别 4、什么是最简整数比 比的前项和后项都是整数，并且互质。 5、什么是最简分数 分数的分子和分母是互质的真分数或带分数。 5、化简比的具体方法 （1）整数比整数：用前项和后项同时除以它们的最大公约数。
如：48：12＝（48÷12）：（12÷12） ＝4：1 （2）分数比分数：用前项和后项同时乘以这两个分数分母的最小公倍数，使这 个比变成整数比整数的形式，然后按照整数比整数的方法去化简。 如：2412：3621＝（2412×72）：（3621×72） ＝（12×3）：（21×2） ＝36：42 ＝（36÷6）：（42÷6） ＝6：7 （3）小数比小数：先把前项和后项同时扩大相同的倍数，让它变成整数比整数 的形式，再按照整数比整数的方法化简。 如：：＝（×100）：（×100） =12:120 =（12÷12）：（120÷12） =1:10 （4）整数与分数的比：前项和后项同时乘以分数的分母。如果还不是最简比， 就按照整数比的方法继续化简。 如：8：31＝（8×3）：（3 1 ×3） ＝24：1 8：64＝（8×6）：（6 4 ×6） ＝48：4 ＝（48÷4）：（4÷4） ＝12：1 （5）小数与分数的比：先把小数变化成分数形式，然后按照分数比分数的方法 化简。 如：：43＝10012：4 3 ＝（10012×100）：（4 3 ×100） ＝12：75 ＝（12÷3）：（75÷3） ＝4：25 （6）整数与小数的比：按照小数与小数比的形式化简。 如：5：＝（5×10）：（×10） ＝50：2 ＝（50÷2）：（2÷2） ＝25：1
分数除法与比的应用题
六年级数学分数与比得应用练习一 1.芳芳将长得丝带剪成同样长得8段,每段丝带有多长？ 2.把橙汁分装在容量就是得小瓶里,可以装几瓶？ 3.我们平时瞧到得电影画面实际上就是由许多连续拍摄得照片以每张秒得速度连 续播放得。请您算一算:半秒可以播放多少张照片？1分钟呢? 4.老爷爷跑步锻炼身体,每天跑6圈,跑半圈大约用了2分钟,照这个速度,老爷爷每 天跑步要用多少时间？ 5.某居民楼一共有1５层,高４2m。小萍家住6楼,小萍家得地板到地面有多高？ 6.某篇论文,李叔叔3小时录入了论文得,照这样得速度,李叔叔工作８小时,可以录 入这篇论文得几分之几？还剩几分之几没完成? 7.一共有240ｋg得水果糖,每袋装。工人们才装完全部水果糖得。她们已经装完了 多少袋? 8.一盏60瓦得灯1小时耗电千瓦时,某个传达室除了一盏6０瓦得灯外,没有别得电 器、这个传达室上个月得用电量就是６千瓦时,这盏灯上个月共使用多少小时? 9.某种手机得自动化生产线在手机机板上插入每个零件得时间仅为秒。3分钟可以 插入多少个零件?
10.一盒药共12片,每次吃半片,每天吃3次。问这盒药可以吃几天？ 11.学校有科普读物320本,占全部图书得。科普读物相当于故事书得。(1)图书馆共 有多少本书？( 2 )图书馆有多少本故事书？ 12.小莉在周末瞧了一本课外读物,瞧到3５页正好就是这本课外读物得。这本课外读 物一共有多少页？ 13.一杯约250ml得鲜牛奶大约含有得钙质,占一个成年人一天所需钙质得。一个成 年人一天大约需要多少钙质? 14.人造地球卫星得速度就是８千米/秒,相当于宇宙飞船速度得。宇宙飞船得速度就 是多少? 15.在通常情况下,体积相等得冰得质量比水得质量少。现有一块９千克得冰,如果有 一桶水得体积与这块冰得体积相等,这桶水有多重? 16.爸爸每月工资就是1５00元,妈妈每月工资就是1000元。家里每月开支大约占爸 爸妈妈工资得。家里每月开支大约就是多少元?
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式)(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3 474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数 826322 4 1264414072++--+--++-444344421 ∴)2()74142(34 -÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用32- x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 541615 -123332 10 8216231033-++++-+++-+ )()()(1)()()()(11x r x aq x g a x r x q x g x f +?=+?= ∴Q=542-+x x ， R=6。 显然，上式是等式，所以可以对未知数赋值，然后解方程求得各个系数。
综合除法、余数定理
综合除法、余数定理 内容讲解 一般地，多项式f（x）除以一次多项式（x-a）?的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是f（x）（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以b后再加上f（x）的第二项系数就得商的次商为次项系数，如此类推最后得余数，这种方法叫做综合除法． 余数定理：多项式f（x）除以（x-a）所得的余数等于f（a）．如果f（x）能被（x-a）?整除，也就是（x-a）是f（x）的因式．反之，如果（x-a）是f（x）的因式，那么f（x）?能被（x-a）整除．因此，由余数定理，容易得出： 因式定理：如果f（a）=0，那么（x-a）是f（x）的因式，反之，如果（x-a）是f（x）?的因式，那么f（a）=0． 例题剖析 例1 用综合除法求（3x3+5x2-2）除以（x+3）的商式和余数． 分析：整式的除法我们可以用竖式法和分离系数法，这里我们主要是熟悉综合除法． 解：把除式变成（x-a）形为x-（-3）． 如右式所示： 所以商式＝3x2-4x+12． 余数＝－38． 评注：在用综合除法时，①被除式和除式均按降幂排列，其缺项要用“0?”补项．②除式一定要变成（x-a）的形式．③若f（x）的除式为px-q形（p≠0），?可先变除式为：p（x- ）。再用综合除法求出除以（x- ）的商式Q′（x）和余数k′，则f（?x）?÷（px-q）的商式为Q （x）= Q′（x），余数R=R′． 例2 分解因式x4+2x3-9x2-2x+8． 分析：原式可能有x±1，x±2，x±4，x±8因式，由于f（1）=0，f（-1）=0，?所以由因式定理，原多项式含有（x-1）（x+1）这两个因式，然后用综合除法即可求解． 解：∵f（1）=0，f（-1）=0，∴原式中含有（x-1）和（x+1）这两个因式．?由综合除法得： 原式＝（x-1）（x+1）（x-2）（x+4） 评注：（1）如果多项式f（x）中各项系数的和等于零，那么f（x）有一次因式（x-1）；若奇次项的系数的和等于偶次项系数的和，则f（x）有一次因式（x+1），记住这个结论很有用． （2）本题用分组分解也较简单，请同学们自己求解． 例3 已知x2+x-6是多项式2x4+x3-ax2+6x+a+b-1的因式，求a，b的值． 分析：此题如果用以前的方法求解，就显得特别的繁琐，?但用因式定理就比较简单．
新人教版分数除法和比的测试题.doc
分数除法测试题 姓名 班级 家长签名 一．填空题。（20分） 1、把10 34352=?，改写成两道除法算式（ ）、（ ）。 2、35分=（ ）时 200 7吨=（ ）千克 3、( )千米的87是14千米；（ ）吨的4 1是3吨。 4、11的倒数是（ ）；一个数的倒数是45 ，这个数是（ ）。 5、一个数的31是76，这个数是（ ）；24千克的4 3是（ ）千克。 6、9:27=（ ）÷（ ）=()() 7、23∶4的比值是（ ），要使比值不变，如果前项乘3，后项应扩大为原来的（ ） 倍 8、加工同一种零件，甲工人每小时加145个，乙工人每小时加工54个，甲乙两个工人工作效率的最简比是（ ） 9、12∶23 化成最简整数比是（ ），比值是（ ） 10、把10克糖放入90克水中，糖和糖水的质量比是（ ）。 二．判断题（对的打“√”，错的打“×”）。（5分） 1、真分数的倒数一定大于1。 （ ） 2、比的前项和后项同时乘以一个数，比值不变。 （ ） 3、两个分数相除，商一定大于被除数。 （ ） 4、在500克的水中放入25克的盐，则盐和盐水的比是1∶20. （ ） 5、4÷（20+ 54）=4÷20+4÷54=51+5=55 1。 （ ） 三、选择题（5分） 1、因为23 ×32 =1，所以 （ ） A 、23 是倒数 B 、32 是倒数 C 、23 和32 互为倒数 2、 与12÷45 相等的式子是（ ） （1）12÷5×4 （2）12÷4×5 （3）12×0.4
3、两个数的比值是 35，这两个数同时扩大3倍，它们的比值是（ ） A 、35 B 、不变 C 、无法确定 4、在10克的水中放入5克糖，则糖与糖水的比是（ ）。 A 、5∶10 B 、1∶2 C 、1∶3 D 、3∶1 5、学校买来380本图书，其中科技图书76，绘画图书114本，其余为故事书，它们的比应该是（ ） A 、2∶3∶5 B 、2∶3∶4 C 、1∶2∶3 四、计算（40分） 1、直接写出得数：（4分） 1 1 54÷= 123÷= 216735÷= 14 1545÷= 11114?= 11 45-= 104÷= 510 1421÷= 2、计算下列各题（12分） 1 1544÷+ 135717138 ?+÷ 441 421÷?- ??? ???++74435154 3、解方程（8分） 1 1 5 346χχ-= 4 215χ÷= 4、把下列各比化成最简比的整数比（8分） 45:40 0.12:0.3 52 :63 7 3 :128
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-
第七节 综合除法与余数定理 综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 )(x f 除以除式)0)((),(≠x g x g 得商式)(x q 及余式)(x r 时，就有下列等式： )()()()(x r x q x g x f +?=。 其中)(x r 的次数小于)(x g 的次数，或者0)(=x r 。当0)(=x r 时，就是)(x f 能被)(x g 整除。 下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算——综合除法。 例1、用综合除法求3474142x x x -++除以2-x 所得的商和余式。 解： 余式商的各项的系数826322 4 1264414072++--+--++- ∴)2()74142(34-÷-++x x x x 的商是263223+--x x x ，余式是8。 上述综合除法的步骤是： （1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。 （3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 （4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 （5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 （6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 （7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢 例2、求)23()1623103(23-÷+-+x x x x 的商式Q 和余式R 。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用3 2-x 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
综合除法与余数定理
综合除法与余数定理是中学数学中十分重要的内容，它们是研究多项式除 法的有力工具。综合除法和余数定理在整个中学数学中有着极为广泛的应用。 本节我们将作一些初步介绍。 一、综合除法 一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式 f(x) 除以除式g(x),(g(x) 0)得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f (x) g(x) q(x) r(x)。 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x) 0。当r(x) 0时，就是f(x)能 被g(x)整除。 F 面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算一一综合 除法。 ? ?? (2x 4 14x 4 7x 3) (x 2)的商是 2x 3 3x 2 6x 2，余式是 & 上述综合除法的步骤是: (1) 把被除式按降幕排好，缺项补零。 (2) 把除式的第二项-2变成2,写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开 第七节 综合除法与余数定理 例1、 14x 4 7x 3除以x 2所得的商和余式。 2 7 0 14 4 2 4 6 12 4 2 3 6 商的各项的系数 2 8 余式 解: 用综合除法求2x 4
(3)把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。 (4)用2乘商的第一项的系数2,得4,写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。 (5)用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0 的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。 (6)用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14 的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。 (7)用2乘商的常数项2,得4,写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式& 前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式， 但一次项系数不是1,能不能利用综合除法计算呢？ 例2、求(3x3 10x2 23x 16) (3x 2)的商式Q和余式R。 解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用x Z去 3 除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。 2 3 3 10 23 16- 3 2 8 10 3 3 12 15 L 6 1 4 5 ?I Q=x2 4x 5, R=6b