高斯公式在第二类曲面积分计算中的应用_朱根林

曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1）若积分曲线L 关于y 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f x f x y ds f x y ds f x ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P x P x y dx P x y dy P x ??=?????对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L Q x Q x y dy Q x y dy Q x ??=?????对为偶函数 对为奇函数 其中1L 是L 在右半平面部分. 若积分曲线L 关于x 轴对称，则 1 (,)2(,)L L f y f x y ds f x y ds f y ??=? ??? ?对为奇函数对为偶函数 1 0 (,)2(,)L L P y P x y dx P x y dy P y ??=?????对为偶函数 对为奇函数 1 0 (,)2(,)L L Q y Q x y dy Q x y dy Q y ??=?????对为奇函数 对为偶函数 其中1L 是L 在上半平面部分.

（2）若空间积分曲线L 关于平面=y x 对称，则 ()()=??L L f x ds f y ds . （3）若积分曲面∑关于xOy 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f z f x y z dS R x y z dS f z ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)R z R x y z dxdy R x y z dxdy R z ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在xOy 面上方部分. 若积分曲面∑关于yOz 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f x f x y z dS R x y z dS f x ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)P x P x y z dydz P x y z dydz P x ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在yOz 面前方部分. 若积分曲面∑关于zOx 面对称，则 1 0 (,,)2(,,)f y f x y z dS R x y z dS f y ∑ ∑?? =????? ??对为奇函数 对为偶函数 1 0 (,,)2(,,)Q y Q x y z dzdx Q x y z dzdx Q y ∑∑?? =???????对为偶函数对为奇函数 其中1∑是∑在zOx 面右方部分. （4）若曲线弧() :()()αβ=?≤≤?=? x x t L t y y t ，则 [ (,)(),()()β α αβ=

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法

第二型曲线积分与曲面积分的计算方法 摘 要： 本文主要利用化为参数的定积分法，格林公式，积分与路径无关的方法解答第二型曲线积分的题目；以及利用曲面积分的联系，分面投影法，合一投影法，高斯公式解答第二型曲面积分的题目. 关键词： 曲面积分；曲线积分 1 引 言 第二型曲线积分与曲面积分是数学分析中的重要知识章节，是整本教材的 重点和难点.掌握其基本的计算方法具有很大的难度，给不少学习者带来了困难.本文通过针对近年来考研试题中常见的第二型曲线积分与曲面积分的计算题目进行了认真分析，并结合具体实例以及教材总结出其特点，得出具体的计算方法.对广大学生学习第二型曲线积分与第二型曲面积分具有重要的指导意义. 2 第二型曲线积分 例1 求()()()sin cos x x I e y b x y dx e y ax dy =-++-?，其中a ，b 为正的常数，L 为从点A （2a ，0）沿曲线 o （0，0） 的弧. 方法一：利用格林公式法 L D Q P Pdx Qdy dxdy x y ?? ??+=- ????????，P(x ，y)，Q （x ，y ）以及它们的一阶偏导数在D 上连续，L 是域D 的边界曲线，L 是按正向取定的. 解：添加从点o （0，0）沿y=0到点A （2a,0）的有向直线段1L , ()()()()()()1 1 sin cos sin cos x x L L x x L I e y b x y dx e y ax dy e y b x y dx e y ax dy =-++---++-?? 记为12I I I =- ， 则由格林公式得：()1cos cos x x D D Q P I dxdy e y a e y b dxdy x y ??????=-=---- ??????????? ()()22 D b a dxdy a b a π =-= -?? 其中D 为1L L 所围成的半圆域，直接计算2I ,因为在1L 时，0y =，所以dy =0

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林 张纬纬 摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++ , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 cos .S v S v n θΦ==?? 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积.

曲线积分与曲面积分习题及答案

第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x c o s =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中， 必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二 型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌 握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题 型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说 明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第 一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系， 让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的 应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念

2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++v v v v , ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++v v v v 则 若∑为曲面，流速v v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =v v 和单位法向量i n v 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义

第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算 方法 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过 程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧. 由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知 识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在 求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种 方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分， 并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重 积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第 二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识 2．1第二型曲面积分的概念 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 定义 .S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时, z .S xy i i i S xoy S z ?在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时, .S xy i i xoy S ?他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,) i i i ξηζ. 若 lim 1 T n i P →=∑,(,)i i i ξηζyz i S ?0 lim 1 T n i Q →=+ ∑,(,)i i i ξηζzx i S ?0 lim 1 T n i R →=+ ∑,(,)i i i ξηζxy i S ?存在， 或者

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α )()())(),((22 对弧长的曲线积分 (,,) ((),()L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式= ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 22 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===??? 22 =2(0)L x y y +≥为上半圆周

二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ?? ?==) () (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z d x Q x y z d y R x y z d z ++? () :()()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积

§3 高斯公式与斯托克斯公式 答案

§3 高斯公式与斯托克斯公式 1.应用高斯公式计算下列曲面积分; (1),S yzdydz zxdzdx xydxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (2)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是立方体0,,x y z a ≤≤表面的外侧; (3)222,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是锥面222x y z +=与平面z h =所围空间区域(0z h ≤≤)的表面,方向取外侧; (4)333,S x dydz y dzdx z dxdy ++??ò其中S 是单位球面2221x y z ++=的外侧; (5),S xdydz ydzdx zdxdy ++??ò其中S 是上半球面z =.

3.应用斯托克斯公式计算下列曲线积分: (1)222222()()(),L y z dx x z dy x y dz +++++??其中L 为1x y z ++=与三坐标面的交线,它的走向使所围平面区域上侧在曲线的左侧; (2)23,L x y dx dy zdz ++??其中L 为221,y z x y +==所交的椭圆的正向; (3)()()(),L z y dx x z dy y x dz -+-+-??其中L 为以(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B a C a 为 顶点的三角形沿ABCA 的. 4.求下列全微分的原函数: (1);yzdx xzdy xydz ++

(2)222(2)(2)(2).x yz dx y xz dy z xy dz -+-+- 5.验证下列线积分与路线无关,并计算其值: (1)(2,3,4)23(1,1,1);xdx y dy z dz -+-? (2)222 111(,,)(,,) x y z x y z ?其中()()111222,,,,x y z x y z 在球面2222x y z a ++=上.

曲面积分与高斯公式

曲面积分与高斯公式 1、第一类曲面积分 (１）问题得提出 设有一块光滑得金属曲面Ｓ 。它得密度就是不均匀得。在其点(ｘ,y ，z)处密度为f(x,y,z),并设ｆ在Ｓ上连续,则金属曲面S 得质量M 说明: 第一类曲面积分与曲面得方向(侧）无关 (2）第一类曲面积分得计算 （代入法）设S 就是一个光滑曲面, S 得方程就是Z=f(x,y) , 当 ｆ1时可得空间曲面面积得计算公式,即 例1.I=，S 就是半球面（)。 解:, , ??????-=--+=+πθ2002222222221R D s rdr r R r d R dxdy y x R R y x ds y x ＝ ２、 第二类曲面积分 (1）问题得提出 磁通量问题。表示 说明:第二类曲面积分与方向(侧）有关,改变方向,积分变号 (２)计算（代入法) 用带入法计算时，一般应分成三个计算： ①(如果曲面积分取得上侧取号,如果曲面积分取得下侧取-号)、 类似有 ②(如果曲面积分取得前侧取号,如果曲面积分取得后侧取-号)。 ③(如果曲面积分取得右侧取号,如果曲面积分取得左侧取-号)、

例２：计算曲面积分,其中就是圆面下侧。 分析： 由于在上， ,所以 π22)2()2(2)(2??????-=-=-=-+++∑∑D dxdy dxdy z dxdy z xydzdx dydz x z 评论：本题展示得化简积分得方法就是非常重要得。 例3:计算曲面积分,其中就是旋转抛物面介于平面及之间得下侧 分析: 可直接代公式计算, 而需要分成前后两部分分别计算、 解:(略) (3)高斯公式 设 Ｄ 就是Ｒ内得一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成,方向就是外侧(相对于区域Ｄ而言）。又设函数P ，Ｑ，Ｒ都在D 内关于 x,ｙ,z 有连续偏导数,则下列高斯公式成立： 由Gau ｓs 公式可计算某些空间立体积分 V= 例４ 计算, 式中Ｓ为球面得内侧 解 由高斯公式 知 = 例5：计算曲面积分 其中为曲面得上侧。 【分析】(补面法)本题曲面不封闭,可考虑先添加一平面域使其封闭,在封闭曲面所围成得区域内用高斯公式,而在添加得平面域上直接投影即可。 【详解】 补充曲面：，取下侧、 则 ＝

第二类曲线积分的计算22749

第二类曲线积分的计算 作者：钟家伟 指导老师：张伟伟 摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性， 参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。 关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分 1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。 1.1 第二类曲线积分的概念 介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 2.1第二类曲线积分的物理学背景 力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功 一质点受变力()y x F , 的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F , 所做功W . 大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F 所做功为 W =AB F ? . 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢? 为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点 ,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割

第二类曲面积分的计算方法定稿版

第二类曲面积分的计算 方法 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

第二类曲面积分的计算方法 赵海林张纬纬 摘要利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公 式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词第二类曲面积分定义法参数法投影法高斯公式 Stokes公式向量计算形 式 1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程 中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面 广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用. 2 预备知识

2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景) 设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为 (,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++, ∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量 cos cos cos n i j k αβ=++ 则 若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ. (1) 分割 将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ?=?…,),同时代表其面积. (2) 近似 (,,)i i i i i M S ξηζ?∈?，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替 i S ?上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ?指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限

曲面积分精解

第一节 第一类曲面积分 内容要点 一、 第一类曲面积分的概念与性质 定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ?(i S ?同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ?上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积 ),,2,1(),,(n i S f i i i i =??ζηξ 并作和,),,(1 ∑=??n i i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在 ∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为 ∑ ?? =→∑ ?=n i i i i i S f dS z y x f 1 ),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法 .),(),(1)],(,,[),,(2 2?? ?? ++= ∑ xy D y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3) 例题选讲 例1 计算曲面积分,?? ∑ z dS 其中∑ 是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --= ∑在xOy 面上的投影区域:xy D {} .),(2 222h a y x y x -≤+ 又,12 2 2 2 2y x a a z z y x --= ++利用极坐标 故有???? -= ∑ xy D r a adxdy z dS 2 2 2 2 20 2 2 2 2r a rdr d a r a ardrd h a D xy -=-= ? ? ?? -θ θπ 2 20 22)(212h a r a In a -? ?????--=π .2h a aIn π= 例2（E01）计算,)(??∑ ++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面252 2=+y x 所截得的部分. 解 积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({2 2≤+=y x y x D xy ,2)1(0112 2 2 dxdy dxdy dxdy z z dS y x = -++= ++= 故 ??????+= -++= ++∑ xy xy D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)( .2125 )cos 5(25 20 πθθπ =+= ?? rdr r d 例3（E02）计算,??∑ xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.

曲线积分与曲面积分备课教案

第十章曲线积分与曲面积分 一、教学目标及基本要求： 1、理解二类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。 2、会计算两类曲线积分 3、掌握（Green）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。 4、了解两类曲面积分的概念及高斯（Grass）公式和斯托克斯（Stokes）公式并会计算两类曲面积分。 5、了解通量，散度，旋度的概念及其计算方法。 6、会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、功、流量等）。 二、教学内容及学时分配： 第一节对弧长的曲线积分2学时 第二节对坐标的曲线积分2学时 第三节格林公式及其应用4学时 第四节对面积的曲面积分2学时 第五节对坐标的曲面积分2学时 第六节高斯公式通量与散度2学时 第七节斯托克斯公式环流量与旋度2学时 三、教学内容的重点及难点： 1、二类曲线积分的概念及其计算方法 2、二类曲面积分的概念及其计算方法 3、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式 4、曲线积分及曲面积分的物理应用和几何应用也是本章重点。 5、两类曲线积分的关系和区别 6、两类曲面积分的关系和区别 7、曲线积分和曲面积分的物理应用及几何应用 五、思考题与习题 第一节习题10—1 131页：3（单数）、4、5 第二节习题10-2 141页：3（单数）、4、5、7（单数） 第三节习题10-3 153页：1、2、3、4（单数）、5（单数）6（单数）、7 第四节习题10-4 158页：4、5、6（单数）、7、8 第五节习题10-5 167页：3（单数）、4 第六节习题10-6 174页：1（单数）、2（单数）、3（单数） 第七节习题10-7 183页：1（单数）、2、3、4 第一节对弧长的曲线积分 一、内容要点 由例子引入对弧长的曲线积分的定义给出性质，然后介绍将对弧长的曲线积分化为定积分的计算方法。 1、引例：求曲线形构件的质量

曲面积分与高斯公式

曲面积分与高斯公式 1.第一类曲面积分 (1)问题的提出 设有一块光滑的金属曲面S 。它的密度是不均匀的。在其点(x,y,z)s ∈处密度为f （x,y,z ），并设f 在S 上连续,则金属曲面S 的质量M ??=S ds z y x f ),,( 说明: 第一类曲面积分与曲面的方向(侧)无关 (2)第一类曲面积分的计算 (代入法)设S 是一个光滑曲面， S 的方程是Z=f(x,y) , dxdy z z y x z y x f ds z y x f D y x s ???? ++=2 21)),(,,(),,( 当 f ≡1时可得空间曲面面积的计算公式，即dxdy z z S D y x ??++=2 21 例1．I=ds y x s ??+22,S 是半球面2222R z y x =++（0≥z ）。 解：222y x R z --=,222:,),(R y x D D y x ≤+∈ 2 2 2 y x R x x z ---=??, 2 2 2 y x R y y z ---=?? 2 2222)()( 1y x R R y z x z --=??+??+ ? ????? -=--+=+πθ20 2 2 2 2 2 2 2221R D s rdr r R r d R dxdy y x R R y x ds y x = 2 3 2R π 2. 第二类曲面积分 (1)问题的提出 磁通量问题。表示??∑ ++Rdxdy Qdzdx Pdydz 说明:第二类曲面积分与方向(侧)有关，改变方向，积分变号 (2)计算(代入法)

??∑ ++Rdxdy Qdzdx Pdydz 用带入法计算时,一般应分成三个计算: ①????±=∑ xy D dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[(),,(（如果曲面积分取∑的上侧取+ 号，如果曲面积分取∑的下侧取-号）. 类似有 ②????±=∑ xy D dydz z y z y x P dydz z y x P )],),,([(),,(（如果曲面积分取∑的前侧取+ 号，如果曲面积分取∑的后侧取-号）。 ③????±=∑ xy D dzdx z x z y x R dzdx z y x Q ]),,(,[(),,(（如果曲面积分取∑的右侧取+ 号，如果曲面积分取∑的左侧取-号）. 例2:计算曲面积分??∑ -++zdxdy xydzdx dydz x z 2)(2，其中∑是圆面 0,122=≤+z y x 下侧。 分析: 由于在∑上，0,0==dz z 进而 ，所以 π22)2()2(2)(2??????-=-=-=-+++∑ ∑ D dxdy dxdy z dxdy z xydzdx dydz x z 评论：本题展示的化简积分的方法是非常重要的。 例3:计算曲面积分??∑ -+zdxdy dydz x z )(2，其中∑是旋转抛物面 )(2 122 y x z += 介于平面0=z 及2=z 之间的下侧 分析: ??????∑ ∑ ∑ -+=-+zdxdy dydz x z zdxdy dydz x z )()(22 ??∑ zdxdy 可直接代公式计算, 而??∑ +dydz x z )(2需要分成前后两部分分别计算. 解:（略） (3)高斯公式 设 D 是R 3 内的一个有界闭区域，其边界由光滑曲面或逐片光滑曲面组成，

应用高斯公式计算下列曲面积分

1. 应用高斯公式计算下列曲面积分： （1）??++S xydxdy zxdzdx yzdydz ，其中S 是单位球面1222 =++z y x 的外侧； （2）?? ++S dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是立方体a z y x ≤≤,,0表面的外侧； （3） ??++S dxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 是锥面222z y x =+与平面z=h 所围空间区域)0(h z ≤≤的表面，方向取外侧； （4） ??++S dxdy z dzdx y dydz x 33 3，其中S 是单位球面1222=++z y x 的外侧； （5） ??++S zdxdy ydzdx xdydz ，其中S 是单位球面222y x a z +-= 的外侧。 分析：记住高斯公式 d d d P Q R x y z x y z Ω?????++ ????????? d d d d d d S P y z Q z x R x y =++??， 其中S 取外侧． 解： （1）因为(,,)P x y z yz =，(,,)Q x y z zx =，(,,)R x y z xy =， 所以 d d d d d d S yz y z zx z x xy x y ++?? d d d V P Q R x y z x y z ?? ???=++ ?????????0d d d 0 V x y z ==??? （2） 4 3202 00 2 223)(2]2 )[(2)(2)(2a dx a x a dy a a y x dx dz z y x dy dx dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x a a a a a a V S =+=++=++=++=++??????????? （3） ?????++=++V S dxdydz z y x dxdy z dzdx y dydz x )(222 ，由柱面坐标变换 ) ,0,20(,sin ,cos h z r h r z z r y r x ≤≤≤≤≤≤===πθθθ 知 原式40 20 2 )sin cos (2h rdz z r r dr d h r h π θθθπ = ++=??? （4）

第二类曲面积分的五种求法

万方数据

万方数据

第二类曲面积分的五种求法 作者：吴燕 作者单位：东南大学,吴健雄学院,江苏,南京,210018 刊名： 考试周刊 英文刊名：KAOSHI ZHOUKAN 年，卷(期)：2009，""(33) 被引用次数：0次 参考文献(2条) 1.严子谦数学分析 2004 2.同济大学数学教研室高等数学 2001 相似文献(6条) 1.期刊论文甘泉第二型曲面积分的参数形式计算 -高等数学研究2010,13(1) 给出"第二型曲面积分"的一种计算方法,即在曲面的参数形式下直接将曲面积分转化成参数区域上的一个二重积分,由此可使"第二型曲面积分"的计算问题得到简化.此法是对菲赫金哥尔茨<微积分学教程>所给"第二型曲面积分的参数形式计算"的一个改进. 2.期刊论文陈定元.王业庆.CHEN Ding-yuan.WANG Ye-qing一种有效计算第二型曲面积分的方法-安庆师范学院学报(自然科学版)2008,14(1) 第二型曲面积分的计算是高等数学中的一个难点.利用二重积分和高斯公式计算第二型曲面积分不是很方便,借助第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系,得出了一种有效计算第二型曲面积分的方法:向量形式计算法,该方法避免了传统计算方法对曲面侧面的判定和高斯公式条件的限定,物理意义明确,计算过程简单. 3.学位论文邓乐斌黎曼积分中的问题和反例2007 20世纪初期，勒贝格(Lebesgue)测度与积分理论的发展奠定了近代分析数学的基础，而这一变革和发展的根基就是经典的黎曼(Riemann)积分。因而Riemann积分的概念和理论是十分重要的．在数学分析的教学中，Riemann积分占据了主导内容，同时也是学习数学分析的后续课程一常微分方程、复变函数论、实变函数论、概率论以及力学课程的重要基础。 本文主要分析探究了高等数学和数学分析教材中的积分计算和积分证明中出现的错误，总结了正确解决这些问题所需要注意的问题，事实证明正确理解Riemann积分的相关概念和性质是关键。 本文具体由以下六章构成： 第一章介绍了相关背景和本文选题的动机和意义。 第二章述叙了不定积分、定积分、第二型曲面积分的有关定义、性质和计算方法。 第三章给出了现行的高等数学教材中出现的不定积分中的常见错误。 第四章总结了定积分证明或计算中出现的常见错误。 第五章分析了第二型曲面积分计算中的错误以及应该注意的问题。 第六章对Riemann积分中容易出现的错误进行了小结，并指出正确理解Riemann积分的概念是正确解题的基础。 4.期刊论文杨孝先.殷保群计算第二型曲面积分的实例分析-高等数学研究2001,4(1) 今以同济大学数学教研室编<高等数学>(第四版)下册,总习题十的第3题第(4)小题为例,介绍几种计算曲面积分的方法,并简单地给出了该小题的正确解答. 5.期刊论文尹水仿关于对称性在积分计算中的应用补遗-高等数学研究2002,5(1) <高等数学研究>杂志第4卷第1期介绍了对称性在二重积分、三重积分、第一型曲线积分和第一型曲面积分计算中的应用,其方法可参见该期杂志P24-27.除以上应用外,本文还要介绍对称性在第二型曲线积分和第二型曲面积分计算中的应用. 6.期刊论文梁存利高数考研中有关曲面积分问题的求解方法-考试周刊2009,""(46) 最近几年考研高等数学试题中所出现的有关曲面积分的问题主要有第一型曲面积分、第二型曲面积分的计算,以及有关性质的考查.本文以考研高等数学试题为例探讨了曲面积分问题的主要的求解方法,即利用公式转化为二重积分的方法、利用对称性求曲面积分的方法、高斯公式法,以及利用两种曲面间的关系法等. 本文链接：https://www.360docs.net/doc/441038799.html,/Periodical_kszk200933061.aspx 授权使用：铁道学院(tdxy)，授权号：5e3ab8ec-76cb-4f51-a35f-9da5014bbc6f，下载时间：2010年6月30日

第11章曲面积分,高斯公式与斯托克斯公式

第十一章 习题二 曲面积分，高斯公式与斯托克斯公式 一．选择题 1．设∑：2222a z y x =++（0≥z ），1∑为∑在第一卦限的部分，则有（ C ） （A ）????∑ ∑=1 4xdS xdS ； （B ）????∑ ∑=1 4xdS ydS ； （C ）????∑ ∑=1 4xdS zdS ； （D ）????∑ ∑=1 4xyzdS xyzdS ． 2．设∑：2222a z y x =++（0≥z ），取下侧，1∑为∑在第一卦限的部分，则有（ C ） （A ）????∑ ∑=1 4xdxdy xdxdy ； （B ）????∑ ∑=1 4ydxdy ydxdy ； （C ）????∑ ∑=1 4zdxdy zdxdy ； （D ）????∑ ∑=1 4xyzdxdy xyzdxdy ． 3．设∑是旋转抛物面2 2y x z +=（1≤z ） 的下侧，xy D 是xOy 平面上圆域122≤+y x ，则??∑ =zdydz （ A ） （A ）??+xy D xdxdy y x 2)(22； （B ）??-+xy D dxdy x y x )2)((22； （C ）??+xy D ydxdy y x 2)(22； （D ）??+xy D dxdy y x )(22． 4．已知函数k z j y i x F ρρρρ33 3++=，则在点)1,0,1(-处F ρdiv 为（ A ） （A ）6； （B ）0； （C ）6； （D ）23． 二．填空题 1．设∑：2222a z y x =++（0>a ），则=??∑ dS x 2344a π． 2．设∑：1222=++z y x （0≥x 、0≥y ），取外侧，则??∑ =dxdy xyz 20． 3．设),,(z y x f 在∑：132=-+z y x （10≤≤x ，10≤≤y ）上连续，1∑为∑的上侧， ??∑ =a dS z y x f ),,(，则=++??∑1 ))(,,(dxdy dzdx dydz z y x f 0 ． 三．计算题 1．计算?? ∑ dS z 3 1，∑：2 222R z y x =++被平面h z =（R h <<0）截出的球冠． 解：∑：222y x R z --=，∈),(y x D xy ：2222h R y x -≤+．

曲面积分总结

多元函数积分学 一、主要内容 1、重积分的概念与性质. 2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标. 3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 4、重积分的应用：几何应用、物理应用. 5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质. 6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）. 7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质. 8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）. 9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用. 10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度. 二、学习要求 1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。 2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。 3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。 4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用） 5、掌握曲线（面）积分与积分曲线（面）无关的条件，会将二元、三元函数的全微分求积。 6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。 三、疑难解答 1、问：曲线积分，曲面积分都有两种类型，定积分、重积分是否可分类型？两类积分的本质区别是什么？ 答 曲线积分或曲面积分的两种类型，主要根据积分曲线（或曲面）是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分，但最主要的还是根据积分曲线（或曲面）是否有向来区分。由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。所有无向积分的性质同于a ＜b 时定积分dx x f b a ?)(，所有有向积分的性质，同于定积分dx x f b a ?)(。 积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。 两类积分的本质差异导致了在将重积分、第一类曲线积分化为定积分计算时，每次定积分的下限必须小于上限；而将第二类曲线积分化为定积分计算时，积分的下限是曲线起点参数，上限是终点参数；将第二类曲面积分化为二重积分计算时，根据曲面的侧，二重积分前要加相应的正负号。 2、问：何种积分可以利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算，具体做法如何？