圆球体积的计算公式

一个棱长5CM的正方体，削成一个最大的球体，问削去那部分的体积？请写明过程和用到的公式，

解：a=5cm，正方体体积V=a3=125cm3。

削出的最大球球半径R=2.5cm，球体体积v=4πR3/3=(62.5π/3)cm3。

削掉的体积ΔV=V-v=125cm3-(500π/3)cm3≈59.55cm3。

外接球半径常见的求法

多面体外接球半径常见求法知识回顾：定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。球心到截面的距离d 与球半径R 及截面的半径r 有以下关系：．球面被经过球心的平面截得的圆叫．被不经过球心的平面截得的圆叫球的表面积表面积S ＝；球的体积V ＝．球与棱柱的组合体问题 1．正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为a ，球半径为R 。如图3，截面图为正方形EFGH 的内切圆，得2 a R =； 2．与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O 为正方形EFGH 的外接圆，易得a R 2 2=。 3．正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面1AA 作截面图得，圆O 为矩形C C AA 11的外接圆，易得a O A R 2 31==。一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 图3 图4 图5

二、多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是 A.16π B.20π C.24π D.32π 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的. 三、补形法例3 ，则其外接球的表面积是 . 小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2R = 变式1：三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直，且22OA OB OC a ===，则三棱锥O ABC -外接球的表面积为（） A ．26a π B ．29a π C ．212a π D ．2 24a π 四、寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD - S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 . 而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习. 变式1：求棱长为 a 的正四面体 P – ABC 的外接球的表面积 C D A B S O 1图3

圆柱体体积的计算

圆柱体体积的计算》教学设计库伦旗三道洼中心校——杜秀文概述《圆柱体的体积计算》是小学数学人教版第十二册中第二单元中的一课时内容。本节课，主要是利用旧知识的迁移，充分利用资源、学具等有效手段来进行教与学，培养学生积极的小组合作学习习惯，提高探究圆柱体体积的公式推导的兴趣，掌握圆柱体体积公式的推导过程，理解并掌握计算公式，并能根据公式解决生活中的实际问题，本节课的学习为学习圆锥体的体积计算奠定基础。教学目标分析一、知识技能： 1．理解圆柱体体积公式的推导过程，掌握计算公式． 2．会运用公式计算圆柱的体积，解决生活中的实际问题。二、过程与方法：通过学生的小组合作学习，充分利用资源、学具等去探究推导圆柱体体积的计算公式。三、情感态度价值观： 1、充分利用资源、学具，，通过小组合作学习以及采用与课情、班情相匹配的激励机制，激励和培养学生的学习兴趣，求知欲望。 2、培养学生动手操作、实验、观察等良好的学习态度和良好的科学素养。学习者特征分析 1、这是乡村六年级学生，是布局调整时，从各村小、初小、教学点汇集到一起后，进行分班，从而产生的班集体。 2、乡村学生的知识面窄，动手能力差，积累也少。 3、学生在五年级时学习过了长方体的体积计算，得出：“底面积×高＝长方体体积”的结论，学生知道了只要知道底面积和高就可以求体积。 4、学生的学具准备充分，便于动手操作。 5、学生小组合作、探究、交流、观察、汇报的习惯已经养成。 6、学生的实际情况是师经过长期的作业评价、课堂情况反馈以及学生表现出来的学习习惯等来分析学生的总体特征。教学策略选择与设计本节课，以“三维”目标为依据，以学生的原有学习状况为基础，主要是利用旧知识的迁移，充分利用资源、学具等有效手段来进行教与学，培养学生积极的小组合作学习习惯，提高探究圆柱体体积的公式推导的兴趣，掌握圆柱体体积公式的推导过程，理解并掌握计算公式，并能根据公式解决生活中的实际问题。基于本节课的具体情况，我采用“支架式”、“先行组织者策略”、“演示法”、“示范－模仿法”、“操练－反馈法”等教学策略。教学资源与工具设计 1、教学资源：多媒体课件（自制课件）、圆柱体教具。 2、学具：圆柱体模型教学重点圆柱体体积的计算．教学难点理解圆柱体体积公式的推导过程．教学过程一、复习准备（一）教师提问（课件出示）

小学数学所有图形计算公式

小学数学图形计算公式 1 正方形 C周长S面积a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 正方体 V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 长方形 C周长S面积a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 长方体 V:体积s:面积a:长b: 宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积a底h高面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积a底h高面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积a上底b下底h高面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 S面积C周长∏ d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径 C=∏d=2∏r

(2)面积=半径×半径×∏ 9 圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数和倍问题和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下株数＝段数＝全长÷株距全长＝株距×株数株距＝全长÷株数盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

圆柱体积和面积计算公式

圆柱体体积计算公式xx方形的周xx=（xx+宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 直径=半径×2半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （xx×宽+xx×高＋宽×高）×2 长方体的体积=长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3

长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－xxxx h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC＝＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 菱形a－边长

α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线xxS＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线xxS＝(a+b)h/2 ＝mh 圆r－半径 d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝扇形r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数S＝-sinα)＝＝- b/2·＝r(l-b)/2 + bh/2 ≈2bh/3

各种图形面积计算公式

各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h 18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式平面图形名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C＝4a S＝a2 2、长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D－对角线长

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式

图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式一、球体面积球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形

如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六）例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡二、球体体积设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等

分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。

则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡

各种图形体积计算公式_1_教学文案

按“外放2米的中心线×2=外放2米面积”与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点： ①、划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差。 ②、2米的中心线计算起来较麻烦，不好计算。 ③、外放2米后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。（2）、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。大开挖土方 1、开挖土方计算规则（1）、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。（2）、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。 2、开挖土方计算方法仅供学习与参考

（1）、清单规则： ①、计算挖土方底面积：方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算（按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线×外放长度”计算。）方法二、分块计算垫层外边线的面积（同分块计算建筑面积）。 ②、计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积*挖土深度。（2）、定额规则： ①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×(S上+ 4×S中+ S下)计算土方体积（其中，S上为上底面积，S中为中截面面积，S下为下底面面积）。如下图 S下＝底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积（包括工作面、排水沟、放坡等）。用同样的方法计算S中和S下 3、挖土方计算的难点仅供学习与参考

各种图形体积计算公式

土建工程工程量计算规则公式汇总平整场地: 建筑物场地厚度在±30cm以内的挖、填、运、找平. 1、平整场地计算规则（1）清单规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。（2）定额规则：按设计图示尺寸以建筑物首层面积计算。 2、平整场地计算方法（1）清单规则的平整场地面积：清单规则的平整场地面积＝首层建筑面积（2）定额规则的平整场地面积：定额规则的平整场地面积＝首层建筑面积 3、注意事项（1）、有的地区定额规则的平整场地面积：按外墙外皮线外放2米计算。计算时按外墙外边线外放2米的图形分块计算，然后与底层建筑面积合并计算；或者按“外放2米的中心线×2=外放2米面积”与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点： ①、划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差。 ②、2米的中心线计算起来较麻烦，不好计算。 ③、外放2米后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。（2）、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。大开挖土方 1、开挖土方计算规则（1）、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。（2）、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。

2、开挖土方计算方法（1）、清单规则： ①、计算挖土方底面积：方法一、利用底层的建筑面积+外墙外皮到垫层外皮的面积。外墙外边线到垫层外边线的面积计算（按外墙外边线外放图形分块计算或者按“外放图形的中心线×外放长度”计算。）方法二、分块计算垫层外边线的面积（同分块计算建筑面积）。 ②、计算挖土方的体积：土方体积＝挖土方的底面积*挖土深度。（2）、定额规则： ①、利用棱台体积公式计算挖土方的上下底面积。 V=1/6×H×(S上+ 4×S中+ S下)计算土方体积（其中，S上为上底面积，S中为中截面面积，S下为下底面面积）。如下图 S下＝底层的建筑面积+外墙外皮到挖土底边线的面积（包括工作面、排水沟、放坡等）。用同样的方法计算S中和S下 3、挖土方计算的难点 ⑴、计算挖土方上中下底面积时候需要计算“各自边线到外墙外边线图”部分的中心线，中心线计算起来比较麻烦（同平整场地）。 ⑵、中截面面积不好计算。 ⑶、重叠地方不好处理（同平整场地）。 ⑷、如果出现某些边放坡系数不一致，难以处理。 4、大开挖与基槽开挖、基坑开挖的关系槽底宽度在3m以内且长度是宽度三倍以外者或槽底面积在20m2以内者为地槽，其余为挖土方。满堂基础垫层 1、满堂基础垫层工程量：

圆柱体的体积计算

圆柱体的体积计算 1，一个半径为4㎝，高为6㎝的圆柱它的体积是多少？ 2，一个直径为6㎝，高为8㎝的圆柱它的体积是多少？ 3，一个底周长为12.56㎝，高为5㎝的圆柱体积是多少？ 4，一个侧面积为125.6 C㎡高为10㎝的圆柱它的体积是多少？ 5，一个侧面积为188.4 C㎡，高为10㎝的圆柱它的体积是多少？ 6，一个侧面积为251.2 C㎡半径为2㎝的圆柱它的体积是多少？ 7，一个侧面积为376.8 C㎡，直径为12㎝的圆柱它的体积是多少？ 8，一个侧面积为502.4 C㎡，底面周长为25.12㎝的圆柱它的体积是多少？9，一个棱长为4dm的正方体加工成最大的圆柱，它体积是多少？ 10，一个棱长为6㎝的正方体木料车成一个最大的圆柱，它的体积是多少？11，一个棱长314㎝的正方体铁块锻造成一个圆柱，它的体积是多少？ 12，一个长为31.4㎝，宽为20㎝，高为10㎝长方体的铁块熔铸成一个圆柱，它的体积是多少？ 13，一个长30㎝，宽为20㎝，高为10㎝的长方体木料加工成最大的圆柱它的体积是多少？ 14，一个长20㎝，宽为10㎝，高为10㎝的长方体木料加工成最大的圆柱它的体积是多少？ 15，一个装满水的长方体容器里面长31.4㎝，宽20㎝，高10㎝，将里面的水倒入一个底面半径为30㎝的圆柱体容器里，水高是多少？ 16，一个长20㎝，高15㎝，宽10㎝的容器里装一些水，将一块铁放进容器里水上升了2㎝，铁块的体积是多少？ 17，将一个石头放进一个装有水的底面半为20㎝的圆柱体容器里，水面上升了5㎝，这个石头的体积是多少？

18，一个底面半径为10㎝，高为8㎝的容器里装满豆浆，若这些豆浆分给4人喝够吗？ 19，一个装满牛奶的容器的底面直径为6㎝，高为9㎝的牛奶倒在底面半径3㎝，高2㎝的水杯里分给小明和3个小朋友，每人一杯够吗？ 20，小芳家来了三个小朋友，妈妈冲了1000ml果汁，倒入底面直径6㎝，高10㎝圆柱形杯子分给小芳和三个小朋友每人一杯够吗？ 21，两个底面相等的圆柱，一个高是24㎝，体积是1200 cm3，另一个高是36㎝，它的体积是多少？ 22，一个圆柱高30dm,若截成两个圆柱表积增加40 c㎡,这个圆柱的体积是多少？ 23，一个圆柱高20㎝，若高增加4㎝，表面积增加37.68 C㎡，这个圆柱的体积是多少？ 24，一个圆柱的高为40㎝，若将高减少8㎝，表面积减少100.48 C㎡，这个圆柱的体积是多少？ 25，若将一个高8㎝的圆柱沿直径切成两个半圆柱，表面积增加80 C㎡，则这个圆柱的体积是多少？ 26，若将一个圆柱沿直径截成两个半圆柱，截面是边长10㎝的正方形，则这个圆柱的体积是多少？ 27，一个底面半径为3dm，高20dm圆柱形水桶，这个水桶可装多少水？ 28，一个底面直径为2m,高为1.5m圆柱形粮囤，若每立方米稻谷重550千克，这个粮囤可装多少千克稻谷？ 29，一个水库的放水管的内直径是1.2m，若水流速是每分钟50m,一小时要放多少方水？ 30，一个钢管的内直径为4㎝，外直径为10㎝，长30㎝，这个钢管的体积是多少？ 31，一个水泥管的内直径是40㎝，外直径为8㎝，长20㎝，它的体积是多少？ 32，一个边长为31.4㎝方钢，长20m要做一个底面半径为20㎝，高10的圆柱，需要多长的方钢？ 33，一个钢管的内直径为6㎝，外直径为8㎝，长15m的钢管，若每立方分米铁重7.8千克，这个钢管重多少千克？

积分求圆球面积和体积

积分法求圆球的表面积与体积方法一: 如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体从X 负半轴到X 正半轴将直径2R 等分n 份 )(∞→n 每份长为x ? 球体也同时被垂直分成n 份薄片每片的半径为22x R r -= 每片分得弧长为l d 如图:当无限等分后 (1)CE d l ≈弧 (2)CE OC ⊥ (3)x EH ?= 易证CEH OCX ?∝? CX OC EH CE =?CX EH OC CE ?= x x R R l ?-=??22弧薄片的球面面积x x R R x R l r S ?--=?=?22222)2(ππ x R S ?=?π2 球面面积??+-+-==R R R R Rx Rdx ππ22=2 4R π 方法二: 如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕X 轴旋转一周,得到一个圆球体沿X 轴正方向到X 轴负方向将圆心角等分n 份 )(∞→n 每份为θ?,),0(πθ∈ 球体也同时被垂直分割成n 份薄片每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θsin R r = 当0→?θ时

(1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OB ⊥ 薄片周长θπsin 2R L = 薄片的(宽))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(sin 2θθπ??=?R R S )sin(sin 22 θθπ?=R θθπ?=sin 22R 200224cos 2sin 2R R R S πθπθθπππ=-=?=?? 方法三: 如图圆O 的方程为222R y x =+, 22x R y -= 将圆O 绕Y 轴旋转一周,得到一个圆球体沿Y 轴负方向到Y 轴正方向将圆心角等分n 份)(∞→n 每份为θ?,)2 ,2(ππθ-∈ 球体也同时被水平分割成n 份薄片每片弧长相等对应圆心角为θ? 每片对应的半径为θcos R r = 如图取OC oB →这一份进行研究当0→?θ时 (1)θ?=∠BOC (2)CB CB 弧弦≈ (3)CB OC ⊥ 薄片周长θπcos 2R L = 薄片的厚(高))sin(θ?=R h 薄片外围面积)sin(cos 2θθπ??=?R R S )sin(cos 22θθπ?=R 由极限:当0→x 时1sin =x x ? 当 0→x 时x x =sin 故 )sin(cos 22θθπ?=?R S θθπ?=cos 22R 22222 2 24sin 2cos 2R R R S πθπθθππ πππ==?=??--

各种体积计算公式

圆台体积 V=(S1+S2+根号下S1*S2)÷3*H 圆柱体积 V=π*R2*h 球缺体积 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径 V＝πh(3a2+h2)/6 V＝πh2(3r-h)/3 a2＝h(2r-h)

圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：体积=长×宽×高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：V长=abc 正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a3 锥体的体积=底面面积×高÷3 V 圆锥＝S底×h÷3 台体体积公式:V=[ S上+√(S上S下)+S下]h÷3 圆台体积公式:V= V=(S1+S2+根号下S1*S2)÷3*H 球缺体积公式＝πh2(3R-h)÷3 球体积公式：V＝4πR3/3 棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l （l为侧棱长,h为高) 棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1*S2）〕／3*h 注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。 ------ 几何体的表面积计算公式圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体:

表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形名称符号周长C和面积S 正方形a—边长C＝4a S＝a2 长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα 菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα 梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4 d－短轴

图形各面积、体积计算公式大全

长方形的周长=（长+ 宽）×2 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=（上底+ 下底）×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径圆的周长=圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= （长×宽长×高＋宽×高）×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6 正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高

平面图形名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角其中s＝(a b c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长 α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα平行四边形 a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角 S＝ah ＝absinα 菱形 a－边长

α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长 S＝Dd/2 ＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长 S＝(a b)h/2 ＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2 ＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 b－弦长 h－矢高 r－半径 α－圆心角的度数 S＝r2/2·(πα/180-sinα) ＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2

圆柱体的计算公式如下

圆柱体的计算公式如下: 圆柱体侧面积公式：侧面积=底面周长×高S侧＝C底×h 圆柱体的表面积公式：表面积=2πr2+底面周长×高S表＝S底+C底×h 圆柱体的体积公式：体积=底面积×高V圆柱＝S底×h 长方体的体积公式：长方体的体积=长X宽X高如果用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高则公式为：V长=abh 正方体的表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6 S正＝a＾2×6 正方体的体积公式：正方体的体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为v正＝a·a·a＝a ＾3 圆锥体的体积=1/3×底面面积×高 V圆锥＝1/3×S底×h边坡坡度1：0.5 应是垂距（1）比水平距（0.5）。深是多少？什么结构的？地下室？还是普通的基础挖土？算不了可以告诉你个公式

S1是基础底面积S1=（基础底边长+工作面）*（基础底边宽+工作面） S2是基础顶面积S2=（基础底边长+工作面+高*0.5*2）*（基础底边宽+工作面+高*0.5*2） V=（S1+S2+S1 *S2的开平方）*H/3 H是深也就是高相当于直角三角形较短的一条直角边是3，较长的一条直角边是4，那么角度（较大的那个角）是arctan(4/3),用计算器算出为53.13010235度！坡度的表示方法有百分比法、度数法、密位法和分数法四种，其中以百分比法和度数法较为常用。 (1) 百分比法表示坡度最为常用的方法，即两点的高程差与其水平距离的百分比，其计算公式如下：坡度＝(高程差/水平距离)ｘ100% 使用百分比表示时，即：i=h/l×100％例如：坡度3% 是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降) 3米；1%是指水平距离每100米,垂直方向上升(下降)1米。以次类推！ (2) 度数法用度数来表示坡度，利用反三角函数计算而得，其公式如下： tanα(坡度)＝高程差/水平距离所以α(坡度)＝tan-1 (高程差/水平距离) 不同角度的正切及正弦坡度角度正切正弦

球体积公式的极限法推导

成果集锦球体积公式的极限法推导本文的目的在于使学生明白，球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法。定理半径为R的球，其体积V=4/3πR3．证明：考虑半球，将其大圆弧分为2n等份（如图），过分点作球大圆的平行截面，设第i个截面（自下而上）的半径为r I，其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θi=iπ/2n，i=0，…，n（ro=R，r n=0）．第i-1与第i个截面间的距 n 离为h i，以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖi，则可以证明Ｖ＝２lim∑Ｖi. n→∞=1 我们来计算V i．由于r i=Rcosθi，r i-1= Rcosθi-1，h i=R(sinθi-sinθi-1)，应用圆台的体积公式，有 V i=1/3π(r i2+r i-12+ r i r i-1)h i cos3θi－cos3θi-1 =1/3πR3 (sinθi-sinθi-1) cosθi－cosθi-1 把θi的值代入，经适当的三角变换，得 1 13(2i-1) 3π (2i-1)π 3π V i= —πR3[—cos sin +cos (sin + 3 2 4n 4n 4n 4n 3 π —sin )] 24n n sin2nθ 应用公式∑cos(2k-1)θ=，将上式两边关于i由1到n求和，得 k=1 sinθ

3π sin n 1 1 4n ∑V i=—πR3（—+ ）。 i=1 3 2 2sinπ 4n 3π sin 由于lim sinx =1，则lim 4n = 3 x→0 x n→∞2sin π2 4n 上式两边对n→∞取极限，即知 n 1134 Ｖ=2lim∑Ｖi ＝2·—πR3(—+ —)= —πR3． n→∞i=1 3 2 2 3 （湖北省黄石市二中杨志明）（发表于《中学数学教学参考》2000年第3期）

圆柱体的体积设计

课题:圆柱的体积(北师大六年级下册数学第一单元）教学目标:探索并掌握圆柱的体积计算公式，会运用公式计算圆柱的体积，体会转化的思想方法。教学重点:掌握圆柱的体积公式，并能运用其解决简单实际问题。教学难点:理解圆柱体积公式的推导过程。教具准备:希沃课件教学过程：【复习导入】打开希沃课件出示圆的面积的转化求法。（1）怎样求圆的面积？圆的面积公式是什么？（2）圆的面积公式是怎样推导的?在学生回忆的基础上，概括出“转化图形——建立联系——推导公式”的方法。【引入新课】我们在推导圆的面积公式时，是把它转化成近似的长方形，找到这个长方形与圆各部分之间的联系，由长方形的面积公式推导出了圆的面积公式。今天，我们能不能也用这个思路研究圆柱体积的计算问题呢？教师板书:圆柱的体积（1）。【新课讲授】 1.教学圆柱体积公式的推导。（1）希沃课件演示。把圆柱的底面分成16个相等的扇形，再按照这些扇形沿着圆柱的高把圆柱切开，这样就得到了16块体积相等，底面是扇形的立体图形。 (2)学生利用学具操作。 (3)启发学生思考、讨论： ①圆柱切开后可以拼成一个什么立体图形？ ②通过刚才的实验你发现了什么？教师：拼成的近似长方体和圆柱相比，体积大小变了没有？形状呢？（4）学生根据圆的面积公式推导过程，进行猜想：（5）启发学生说出：通过以上的观察，发现了什么？ ①平均分的份数越多，拼起来的形状越接近长方体。 ②平均分的份数越多，每份扇形的面积就越小，弧就越短，拼起来的长方体的长就越接近一条线段，这样整个立体形状就越接近长方体。 (6)推导圆柱的体积公式。 ①学生分组讨论:圆柱的体积怎样计算？ ②学生汇报讨论结果，并说明理由。教师：因为长方体的体积等于底面积乘高，而近似长方体的体积等于圆柱的体积，近似长方体的底面积等于圆柱的底面积,近似长方体的高等于圆柱的高，所以圆柱的体积=底面积×高。【相关练习】见课件

各种图形体积计算公式-1-

或者按“外放2米的中心线×2=外放2米面积”与底层建筑面积合并计算。这样的话计算时会出现如下难点： ①、划分块比较麻烦，弧线部分不好处理，容易出现误差。 ②、2米的中心线计算起来较麻烦，不好计算。 ③、外放2米后可能出现重叠部分，到底应该扣除多少不好计算。（2）、清单环境下投标人报价时候可能需要根据现场的实际情况计算平整场地的工程量，每边外放的长度不一样。大开挖土方 1、开挖土方计算规则（1）、清单规则：挖基础土方按设计图示尺寸以基础垫层底面积乘挖土深度计算。（2）、定额规则：人工或机械挖土方的体积应按槽底面积乘以挖土深度计算。槽底面积应以槽底的长乘以槽底的宽，槽底长和宽是指混凝土垫层外边线加工作面，如有排水沟者应算至排水沟外边线。排水沟的体积应纳入总土方量内。当需要放坡时，应将放坡的土方量合并于总土方量中。 2、开挖土方计算方法

球的体积和表面积公式具体推导过程精编版

1..3.2球的体积和表面积（1）设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面就是“小圆片”的下底面。由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ）第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π，（i ＝1,2,3，···，n ）半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ）＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π

圆柱体积计算公式练习题

圆柱体积进阶练习（A）组 1.【题文】一个圆柱形铁皮油桶的底面半径为3分米，如果里面的油深2分米，这个油箱里装油（）升。 A．18.84 B.37.68 C.56.52 【答案】C 【解析】根据圆柱形油桶的底面半径为3分米，可以求出油桶的底面积，再运用圆柱的体积公式V=sh求出所装油的容积。解：3.14×32×2=56.52（升） 2.【题文】一根圆柱形木料长4米，沿横截面切成三段后表面积增加了 2.4平方分米，这根木料原来的体积是（）立方分米。 A.16 B.24 C.2.4 D.36 【答案】B 【解析】圆柱形木料截成3段后，表面积比原来增加了4个圆柱的底面积，由此先求出木料的底面积，再利用圆柱的体积公式V=sh，求出木料原来的体积。解：4米=40分米 2.4÷[2×（3-1）]×40 =0.6×40 =24（立方分米） 3.【题文】圆柱的高扩大2倍，底面半径也扩大2倍，圆柱的体积就扩大( )倍。 A.2倍 B.4倍 C.8倍【答案】C 【解析】利用圆柱的体积公式分别求得扩大前、后的体积，再进行比较即可选出正确答案。解：扩大前的体积：V=πr2h，

扩大后的体积：V=π（r×2）2×（h×2）=8πr2h，所以圆柱的体积就扩大了8倍。 4.【题文】如图，一个圆柱高8厘米，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积将增加2 5.12平方厘米，原来圆柱的体积是_____立方厘米。 A．401.92 B.100.48 C.40.96 D.200.96 【答案】B 【解析】可以通过高增加2厘米，表面积将增加25.12平方厘米，先求出圆柱的半径，然后再运用圆柱的体积公式V=Sh=πr2h,求出原来圆柱的体积。解：圆柱的底面圆的半径：25.12÷2÷3.14÷2=2（厘米）原来圆柱的体积：3.14×22×8=100.48（立方厘米） 5.【题文】一段圆柱形铝合金材料长2.5米，横截面的半径是2厘米，已知每立方厘米的铝合金材料重3克，这段铝合金材料重（）千克。 A．9.42 B.10.48 C.9420 D.200.96 【答案】A 【解析】先利用圆柱的体积公式V=sh=πr2h求出它的体积，再求出这段钢材重多少千克即可。解：2.5米=250厘米 3.14×22×250×3 =3.14×1000×3 =9420（克） 9420克=9.42千克

各种图形计算公式

圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高) 圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高, 平面图形名称符号周长C和面积S 正方形 a—边长 C＝4a S＝a2 长方形 a和b－边长 C＝2(a+b) S＝ab 三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中 s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝ a2sinBsinC/(2sinA) 四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα 菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα 梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝(a+b)h/2＝mh 圆 r－半径 d－直径 C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4 扇形 r—扇形半径 a—圆心角度数 C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360) 弓形 l－弧长 S＝r2/2·(πα/180-sinα) b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2 h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2 r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2 α－圆心角的度数≈2bh/3 圆环 R－外圆半径 S＝π(R2-r2) r－内圆半径＝π(D2-d2)/4 D－外圆直径 d－内圆直径椭圆 D－长轴 S＝πDd/4 d－短轴二维图形