创新设计高中数学苏教选修21习题：第2章 圆锥曲线与方程 章末复习提升

1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质

椭圆

双曲线

抛物线

几何条件 与两个定点的距离的和等于常数

与两个定点的距离的差的绝对值等于常数 与一个定点和一条定直线的距离相等

标准方程

x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a >b >0) x 2a 2－y 2

b 2

＝1(a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)

图形

顶点坐标

(±a,0) (0，±b ) (±a,0) (0,0)

对称轴 x 轴，长轴长2a ； y 轴，短轴长2b

x 轴，实轴长2a ； y 轴，虚轴长2b

x 轴 焦点坐标 (±c,0) c ＝a 2－b 2 (±c,0) c ＝a 2＋b 2 (p

2，0) 离心率 0

e >1，e ＝c a

e ＝1 准线 x ＝±a 2c

x ＝±a 2c

x ＝－p 2

渐近线

y ＝±b a

x

2.曲线与方程

(1)曲线与方程：如果曲线C 上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．

(2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比是定值e ；当01时，圆锥曲线是双曲线；当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．

3．直线与圆锥曲线的位置关系

直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，

与圆锥曲线D 的方程联立?

????

Ax ＋By ＋C ＝0，

f (x ，y )＝0，可得(消去y )ax 2＋bx ＋c ＝0(*)．

(1)当a ≠0时，若关于x 的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切． (2)当a ＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个交点．

题型一 圆锥曲线定义与几何性质的应用

椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，往往体现在数学上的转化与化归思想．圆锥曲线的几何性质包括椭圆、双曲线、抛物线的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等内容，主要考查这些性质的理解记忆．

例1 如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为2

2，以该椭圆上的

点和椭圆的左，右焦点F 1，F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)；一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF 1和PF 2与椭圆的交点分别为A 、B 和C 、D . (1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明k 1·k 2＝1.

(1)解 由题意知，椭圆离心率为c a ＝2

2，得a ＝2c ，又由以椭圆上的点和椭圆的左，右焦点

F 1，F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)，结合椭圆定义得2a ＋2c ＝4(2＋1)，所以可解得a ＝22，c ＝2，故

b 2＝a 2－

c 2＝4，所以椭圆的标准方程为

x 28＋y 2

4

＝1. 易得椭圆的焦点坐标为(±2,0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双

曲线的标准方程为x 24－y 2

4

＝1.

(2)证明 设点P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2，所以k 1·k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20

x 20－4

，

又点P (x 0，y 0)在双曲线上，所以有x 204－y 204＝1，即y 20＝x 2

0－4，所以k 1·k 2＝y 20x 20－4

＝1.

跟踪演练1 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为

B ，O 为原点，P 为椭圆上任意一点．过F 、B 、

C 三点的圆的圆心坐标为(m ，n )． (1)当m ＋n ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；

(2)当(1)的条件下，椭圆的离心率最小时，若点D (b ＋1,0)，(PF →＋OD →)·PO →

的最小值为72，求椭

圆的方程．

解 (1)设半焦距为c .由题意得FC 、BC 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2、y －b 2＝a

b ???

?x －a 2， 于是圆心坐标为? ??

??

a －c 2，

b 2－a

c 2b .

所以m ＋n ＝a －c 2＋b 2－ac

2b ≤0，即ab －bc ＋b 2－ac ≤0，

即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ， 于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2， 所以

e 2＝

c 2a 2≥12，即2

2

≤e ＜1. (2)由(1)知e min ＝

2

2

，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2

c 2＝1，

设P (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，

所以(PF →＋OD →)·PO →＝12x 2

－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12.

当c ≥

22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝7

2

，得c ＝2； 当0＜c ＜22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2，即12(2c )2－2c ＋c 2＝7

2， 解得c ＝

2＋304，与0＜c ＜2

2

矛盾，舍去．

综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 2

4＝1.

题型二 与圆锥曲线有关的轨迹问题

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程； (2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程； (3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M (x ，y )取决于已知曲线C 上的点(x 0，y 0)的坐标变化，根据两者关系，得到x ，y ，x 0，y 0的关系式，用x ，y 表示x 0，y 0，代入曲线C 的方程． 例2 如图，已知线段AB ＝4，动圆O 1与线段AB 切于点C ，且AC －BC ＝22，过点A 、B 分别作圆O 1的切线，两切线交于点P ，且P 、O 1均在AB 的同侧，求动点P 的轨迹方程．

解 建立如图所示的直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，由切线长定理得 AC －BC ＝P A －PB ＝22<4，

∴点P 的轨迹是以点A 、B 为焦点的双曲线的右支(不包括顶点)． ∵a ＝2，c ＝2，∴b 2＝2.

∴动点P 的轨迹方程是x 2－y 2＝2 (x >2)．

跟踪演练2 若动圆P 过点N (－2,0)，且与另一圆M ：(x －2)2＋y 2＝8相外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．

解 设P (x ，y )，因为动圆P 过点N ， 所以PN 是该圆的半径， 又因为动圆P 与圆M 外切，

所以有PM ＝PN ＋22，即PM －PN ＝22，

故点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为22，焦距MN 为4的双曲线的左支， 即a ＝2，c ＝2，所以b ＝

c 2－a 2＝2，

从而动圆P 的圆心的轨迹方程为x 22－y 2

2＝1 (x ≤－2)．

题型三 圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线中定点、定值、最值、范围问题是圆锥曲线的综合问题，它是解析法的应用，它涉及数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥

曲线知识与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识的横向联系．解这类问题的分析思想与方法是可循的，重要的是要善于掌握圆锥曲线知识纵向、横向的联系，努力提高解题能力．

例3 如图，设A (a,0) (a >0)，B 、C 分别为x 轴、y 轴上的点，非零向量BP →

满足：BP →＝2BC →，BP →⊥AC →

.

(1)当点B 在x 轴上运动时，求点P 的轨迹E 的方程；

(2)设Q 是曲线E 上异于P 的点，且OP →·OQ →

＝0，求证：直线PQ 过定点． (1)解 设B (x 0,0)，C (0，y 0)，P (x ，y )． ∵BP →＝2BC →

，∴C 是BP 的中点，

∴?????

x 0＝－x ，y 0＝12y .

易知BC →＝(－x 0，y 0)，AC →

＝(－a ，y 0)， 由BP →⊥AC →，即BC →⊥AC →

，得ax 0＋y 20＝0， ∴－ax ＋1

4y 2＝0，即y 2＝4ax .

又BP →

＝(2x ，y )≠0，

∴P 点的轨迹方程是y 2＝4ax (a >0，x ≠0)． (2)证明 ∵OP →·OQ →

＝0，∴OP ⊥OQ ， 显然直线OP 的斜率存在，且不为0，

∴可设直线OP ：y ＝kx ，则直线OQ ：y ＝－1k

x ，

由?????

y 2＝4ax ，y ＝kx ，

得P ?

???

4a k 2，4a k ； 由?????

y 2＝4ax ，y ＝－1k x ，

得Q ＝(4ak 2，－4ak )． 当k ＝±1时，直线PQ 的方程为x ＝4a ，过定点(4a,0)；

当k ≠±1时，直线PQ 的方程为y －

4a k

－4ak －4a k ＝x －4a k

2

4ak 2

－4a k 2

，

整理得k (x －4a )＋(k 2－1)y ＝0， ∵k ≠0，∴过定点(4a,0)． 综上，直线PQ 必过定点(4a,0)．

跟踪演练3 如图，已知A (－3p,0) (p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB →·BQ →＝0，BC →＝12CQ →

.

(1)求动点Q 的轨迹方程；

(2)设过点A 的直线与Q 的轨迹交于E 、F 两点，A ′(3p,0)，求直线A ′E ，A ′F 的斜率之和．

解 (1)设Q (x ，y )，B (0，y 0)，C (x 0,0)， 则BC →＝(x 0，－y 0)，CQ →

＝(x －x 0，y )， ∵BC →＝12CQ →

，∴(x 0，－y 0)＝12(x －x 0，y )，

即x 0＝x 3，y 0＝－y

2.∴B ????0，－y 2，C ????x 3，0. 又A (－3p,0)，∴AB →＝????3p ，－y 2，BQ →

＝????x ，32y ， 由AB →·BQ →

＝0，得3px －34y 2＝0，

即y 2＝4px .

∴Q 点的轨迹方程为y 2＝4px (p >0)．

(2)设过点A 的直线方程为y ＝k (x ＋3p ) (k ≠0)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．

联立方程组?

????

y ＝k (x ＋3p )，

y 2＝4px

消去x ，得k

4p y 2－y ＋3kp ＝0.

∴y 1y 2＝12p 2， k A ′E ＋k A ′F ＝

y 1x 1－3p ＋y 2

x 2－3p

＝y1x2－3py1＋y2x1－3py2 (x1－3p)(x2－3p)

，

又y21＝4px1，y22＝4px2，

∴k A′E＋k A′F＝y1

y22

4p

－3py1＋y2y21

4p

－3py2 (x1－3p)(x2－3p)

.

由y1y2＝12p2，得k A′E＋k A′F＝0.

1．圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是高考考查圆锥曲线的一个重要命题点，在历年的高考试题中曾多次出现．

2．圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，高考对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一个是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查．

3．圆锥曲线的简单几何性质是圆锥曲线的重点内容，高考对此进行重点考查，主要考查椭圆与双曲线的离心率的求解、双曲线的渐近线方程的求解，试题一般以圆锥曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等为主进行交汇命题．

4．虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的

渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线．高考不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是填空题，也可以是解答题．

5．考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，高考对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义和待定系数法求圆锥曲线的方程，以直接法、代入法等方法求圆锥曲线的方程．

6．高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．