第九讲有趣地数阵图(一)
第九讲有趣的数阵图（一）
大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.
先看例题.
例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？
分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.
经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、
D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.
那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.
这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.
在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.
所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设
B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，
B+D=3+2=5=H，恰
好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；
综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？
分析I的值有三种不同的获得方式：
I=A+B+C+D=E+F=G+H.
3I=A+B+C+D+E+F+G+H，
而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.
3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.
现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.
例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x所代表的数.
分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：
（26+18）÷2=22.
（30+26）÷2=28.
（24+30）÷2=27.
解：x+18=17×2
x=16.
经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.
例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）
分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：
1+2+3+…+7+2x=3S
即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）
借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，
得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；
由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.
此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.
注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.
分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x
同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.
①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19
②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21
③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23
④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25
读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.
解：（A）图：
中心数可以为1、4、7，有三种填法，请读者补充其他两种解法. （B）图：
中心数可以为1、4、7、10.有四种填法，请你补充其他三种填法. （C）图：
中心数可以为1、5、9.有三种填法，请你补充其他两种填法. （D）图：
中心数可以为1、6、11.有3种填法，请你补充其他两种填法.
例4在下左图的七个圆圈内各填上一个数，要求每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现在已填好两个数，求x是多少？
分析为了便于说明问题，我们用字母表示各个圆圈内所表示的数，如上右图所示：
根据题意，我们观察：因为每一条直线上的三个数中，当中的数是两边的两个数的平均数.所以可以得出：D=（13+17）÷2=15.还可以得出以下三式：
C=（B+15）÷2 （1）
A=（13+B）÷2 （2）
C=（A+17）÷2 （3）
将上述三个算式进行变形，成下面三个算式：
2C=B+15 （4）
2A=13+B （5）
2C=A+17 （6）
用（4）式减去（5）式得出：2C-2A=2
C-A=1
C=A+1
将C=A+1代入（6）式得到：2（A+1）=A+17，A=15.
x=19.
即：
解：（略）
例5 如下左图有5个圆，它们相交后相互分成几个区域，现在两个区域里已分别填上数字10、6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9七个数字，使每个圈内的数的和都是15.
分析为了便于说明，我们用字母表示其他的7个区域.如上右图.
根据题意可以得出：A=5、G=9，九个区域中数的总和为：
（2+3+4+5+6+7+9）+10+6=52，而每个圆圈内数的和是15，五个圆圈内数的总和为：15×5=75，又75-52=23，由此得出重叠的部分的四个数A、C、E、G的和是23.由于A=5和G=9已经填好，因此，余下的两个部分C+E的和是：23-5-9=9，此时9只有两种分解的可能：
2+7=9、3+6=9.在E、F、G这个圆圈内，∵G=9，∴E不能填6、7.也不能填3（否则F也等于3），只能填2，这样，E=2，C=7.
解：
例6如下左图所示4个小三角形的顶点处共有6个圆圈.如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三顶点上的数之和相等，问这6个质数的积是多少？
分析为了叙述方便，我们用字母表示图中圆圈里的数.如上右图所示.通过观察，我们不难发现，小三角形A1B2C2和小三角形A2B2C2有两个共同的顶点B2，C2，而这两个小三角形顶点上数字的和相等.因此
A1=A2.同理有B1=B2，C1=C2，所以，此图只能填A、B、C三个质数（两个A、两个B、两个C.以下：A1=A2记为A，B1=B2记为B，C1=C2记为C）
∵6个圆圈中的6个质数之和为20，即：
2×（A+B+C）=20
A+B+C=10.
∴10分成三个质数之和只能是10=2+3+5.这样，A、B、C分别是2、3、5.这时所填6个数的积是：2×2×3×3×5×5=900.
解：
例7能否将自然数1～10填入五角星各交点的“○”内使每条直线上的4个数字之和都相等？
分析与解答不能，用反证法.
假设可以填成数阵图，观察发现：
十个点中的每一个点恰好是两条直线的公共点.因而全部直线（共5条）上数字总和，应该等于全部点上数字总和的2倍.记每条直线上数字和为S，则有
5S=（1+2+3+…+10）×2，
从而解出S=22.
10和1必同在某一直线上.不然，如含有10的两条直线都不含有1，这样，这两条线上8个数字（10自然被计上两次）之和（本应为2S）大于等于
2×10+2+3+4+5+6+7=47＞44=2S.
形成矛盾.所以10、1必处同一直线.
此外，有三个数字与10不同线，不妨记为x、y、z.
显然x+y+z=｛10数总和｝-｛其余七个数和｝而这｛其余七个数和｝恰好为2S-10.所以x+y+z=55-2×22+10=21.已推出10，1共线.进一步看出，1无论在什么位置都与x、y、z三数中的两个共线.
设1与x、y共线，此线上另一数设为v.
则有1+x+y+v=22，从而x+y+v=21.前已证x+y+z=21，因而导致v=z的矛盾.其他情况推证类似，所以没有题设的填法.
四年级 数学试题 奥数第20讲 幻方与数阵图扩展 苏教版(2014秋) 无答案
第20讲幻方与数阵图扩展 内容概述 掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题. 典型问题 兴趣篇 1. 把1，2，…，9填人图20-1中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和都相等． 2. (1)如图20-2，在3×3的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等． (2)如图20-3，在4×4的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号“。”的方格内所填的数是多少? 4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方． 5．请将图20-6所示的5×5方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5个数中，l、2、3、4、5恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”
的方格中所填的数分别是什么?
6．请将1至9这9个数填入图20-7中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的填法共有多少种? 7．请在图20-8所示的8个小圆圈内，分别填入1至8这8个数字，使得图中用线段连接的两个小圆圈内所填的数的差(大减小)恰好是1、2、3、4、5、6、7． 8．将1至5这5个数字填入图20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和都相等．
数阵图(一)(含详细解析)
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 模块一、封闭型数阵图 【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，3年级，第6题 【解析】 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-1.数阵图
8 7 6 5 43 2 1 【答案】 8 7 6 5 43 2 1 【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数 字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？ （1） 【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式： （2）h g f e d c b a a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3） a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28， d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8. 又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8 若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1， 4，7，8中，不行.
小学奥数16数阵图讲解学习
小学奥数16数阵图
1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。
解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。 例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。 解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，则a被重复使用了2
次。即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。 （28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3 其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a＝4、a＝7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各○中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心数为a，a被重复使用了两次，
奥数知识点 简单数阵图
简 单 数阵图 一、辐射型数阵图 从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。先求重叠数。 数总和+中心数×重复次数＝公共的和×线数 重叠部分=线总和-数总和 / 线总和 = 公共的和×线数 数和：指所有要填的数字加起来的和 中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数） 重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1 公共的和：指每条直线上几个数的和 线数：指算公共和的线条数 例 1、 把1-5 这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数与竖列三数之和都等于9。 例2、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以： 总和数=(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。
例 3、 把1~5 这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等 例4、将1~7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线三数之和×2， 每条直线上三数之和=(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。 若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为8。 若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为9。 若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为10。 分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到 (1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。 重叠数=[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。 剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7； 3，6；4，5。可得右上图的填法。 例5、将 10~20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上三个数字之和都相等。 总结：辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”-1，即m-1。对于辐射型数 阵图，有已知各数之和+重叠数×重叠次数 =直线上各数之和×直线条数。 (1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于(直线上各数之和×直线条数-已知各数之 和)÷重叠次数。（如例1、例4） (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已 知各数之和+重叠数×重叠次数)÷直线条数。 如例2、例5。 (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知 道，则要从重叠数的可能取值分析，如例3。 分析与解：与例2类似，中间○内的15是重 叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个 数字之和等于[(10+11+…+20)+15×4]÷5=45。 剩下的十个数中，两两之和等于(45-15=)30的 有10，20；11，19；12，18；13，17；14，16。 于是得到右上图的填法。
趣味数学—数阵图与幻方
. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不
再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。
重点小学奥数数阵图
第十七周数阵图 数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的 9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等， 小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。 【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18； 第二行中间的数是：18-8-4=6； 第三行中间的数是：18-7-9=2； 第一行第一个数是：18-4-9=5； 第一行中间的数是：18-3-5=10； 【举一反三1】 （第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。 【银牌例题】
（第十四届中环杯初赛真题）将0～9填入下图圆圈中，每个数字只能使用一次， 使得，每条线段上的数字和都是13。 【答案】 【解析】 如右图，a-h被算了3次，x被算了4次，y被算了2 次 则10×13=3×（0+1+2+……+9）+x-y→y-x=5 由于a+g+b=c+x+y=h+e+d=13→f=6 所以c+d=a+h=b+x=7→f=6 所以，a,b,c,d,x,h分别为0、2、3、4、5、7 所以e,g,y分别为1、8、9 又y-x=5，所以y=8或9
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方 知识集锦 数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。 在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合 例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。 练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。 例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。
练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。 例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。 练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字 之和都相等。 例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。 练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6
例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。 例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 求x的值。 练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。 例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。 练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
一上奥数数阵填数填符搭配路线排队
1.数阵图类型 发射型： 封闭型 2.突破方法： ①找数字出现最多的线，用加减法去算 ②头中尾，填中间，大小大小手拉手 3.数阵图歌 数阵图，真有趣，每条线，和相等 数越多，先找他，头中尾，中间填 1.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于10. 2.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 3.在图中空格里填上一个数，使得横行、竖行的三个数的和等于9. 4.把4、5、7、8四个数填在四个空格里，使得横行、竖行三个数相加等于18. 5.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于10. 6.在正方形中填上合适的数，使横行、竖行、斜行上的三个数相加都等于18. 7.把数字1、2、3、4、6、7、8、9分别填入下面八个圆圈中，使每条线上的三个数字的和等于15. 8.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都相等. 9.把1、2、3、4、5这五个数填入图中的方格中，使横行、竖行三个数的和都等于9. 10.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加都相等. 11.把1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数相加和都等于14. 12.把2、3、4、5、6、7、8这七个数填入下面的圆中，使每条线上的三个数和都等于15. 13.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 8简单数阵 知识点： 课堂共同学习
14.把5、5、7、7、9、9分别填在下面的圆圈里，使每条边上都有5、7、9. 1.填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 2.在圆圈里填上合适的数，使每条线上三个数的和都等于8. 3.要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 4.在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于1 5. 5.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12. 6.把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 7.把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 8.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为 20. 9.把4、6、9、11这四个数分别填入下图的圆圈中，使每条线上及大圆圈上的各数相加和都相等. 10.在每个方格内，只能填1、2、3三个数字，使横行、竖行的三个数相加都相等，但每一横行、竖行的三个数字互不相同. 5 4、6 3 4和8,5和7随便填 1.相邻数加法和减法的特征： ①加法特征：大小、大小和相等，是横式变形的根本. ②减法特征：相邻两数相减，差永远是1.（减法相等的依据） 课后自我提升 9横式填数 知识点：
幻方和数阵图
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 数阵图与幻方 ● 数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这一类问题可以按以下步骤解决问题： 第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和交叉点（方格） 第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算各个点与该点被重复计算次数之积的和的代数式，即数阵图关系线（关系区域）上和的总和，这个和是关系线（关系区域）的个数的整数倍. 第三步：判断少数关键点上可以填入的数的余数性质，并得出相应的数阵图关系线（关系区域）和. 第四步：运用已经得到的信息进行尝试： 数阵图还有一类题型比较少见，解决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系，找出问题关键. ● 三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻得两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2倍 1. 将1～6填入左下图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k ，请指出k 的取值范围. 2将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。 1+2+3+4+5+6+7+8=36
公主坟68221211 天行建51921885 中关村62560719 北 大62638951 2. 小猴聪聪有一天捡到像左下图的模具，它试着将1～10分别填入图中，使得每个小三角形3个顶点 上的数字之和为图中所表示的数值，你能做到吗？ 3. 小兔子在森林玩耍，遇到一个画着奇怪图形的树桩，上面写着：把10至20这11个数分别填入下图 的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法，小兔子发了愁，你能帮它吗？ 4. 海豚是很聪明的动物，它能将1～9填入右下图的九个○内，并且使得每 个圆周和每条直线上的三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上，你能做到吗？ 5. 在下图中的10个○内填入0～9这10个数字，使得循环式成立： + = = = = = ----
学而思三年级奥数第 讲 数阵图进阶
把8，9，10，11，12，14，16这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于46． 把1，2，4，5，6，8，10这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上4个数的和都等于20． 数阵图进阶 第九讲 第4级下·提高班·学生版
第4级下·提高班·学生版 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于19． 将5，9，13，14，17，21，25这7个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都等于44．
第4级下·提高班·学生版 将5，6，9，11，14，15这6个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上4个数的和都等于40． 把1，5，9，10，16，21这6个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于36．
第4级下·提高班·学生版 1． 把5，6，7，8，9这5个数分别填在下图的 内，使横行、竖列3个数的和都等于( )中的 数． 把1，3，4，5，6，8，11，15这8个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上5个数的和都等于33．
第4级下·提高班·学生版 2. 把3，5，7，9，11，13，15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数的和都等于 27． 3. 把2，4，6，8，10，12，14，16，18这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数 的和都等于24．
4.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之和都等于21． 5.把1，2，4，5，6，11这6个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于22． 第4级下·提高班·学生版
一年级奥数巧填数阵图
第十二讲巧填数阵图 数学乐园 晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?. 小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不 是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！ 基础篇 使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现.
拓展练习 (1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15. 在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18. 要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？ 拓展练习 在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.
把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等. 提高篇 把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15. 拓展练习 把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2. 把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.
把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12. 拓展练习 把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15. 把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等19. 拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等21，又应该怎样填？
小学奥数四年级幻方与数阵图
幻方与数阵图扩展 [内容概述] 本讲有两部分主要内容： 1、 幻方的概念和性质，简单幻方的编制； 2、 把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，叫做数阵图。大致分为三类：封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 幻方的概念： 所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。 幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。 幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，反作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到1至9这九个数，恰组成一个三阶幻方。 幻方问题主要方法： 一、 累加法：利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起， 再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。 二、 求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵图的过程中注意从特 殊的数字和位置入手。 三、 比较法：利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关 系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。 四、 掌握好3阶幻方中的规律。 本讲还有一部分内容是数阵图拓展，也就是在三年级数阵图初步的基础上继续学习数阵图问题的解题方法。数阵图问题方法多样且特殊，我们将在例题中详细讲解。其实这些方法和幻方是一致的，大家可以在下面的学习中体会到这一点。 [思考题] 我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。 1. 如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你 一共可以得到多少种填法？ 「分析」首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道， 第1题
小学奥数16数阵图
1.10.5数阵图 1.10.5.1基础知识 数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。幻方一般均为正方形。图中纵、横、对角线数字和相等。数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。变幻多姿，奇趣迷人。一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。 数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。 它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1. 求出条件中若干已知数字的和。 2. 根据“和相等”，列出关系式，找出关键数一一重复使用的数。 3. 确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 1.10.5.2辐射型数阵 例1将1?5五个数字，分别填入下图的五个O中，使横、竖线上的三个数字和都是10。 解：已给出的五个数字和是： 1 + 2 + 3 + 4+ 5= 15 题中要求横、竖每条线上数字和都是10,两条线合起来便是20 了。20- 15 = 5,怎样 才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。只有5连加两次才能使五个数字的和增 加5,关键找到了，中心数必须填5。确定中心数后，按余下的1、2、3、4,分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。
解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a,贝U a被重复使用了2次。即，1 + 2+ 3 + 4+ 5+ 6+ 7+ 2a= 28+ 2a, 28+ 2a应能被3 整除。 (28 + 2a)弓=28弓 + 2a弓 其中28完=9…余1,所以2a弓应余2。由此，便可推得a只能是1、4、7三数。 当a= 1时，28 + 2a= 30 30七=10,其他两数的和是10—1 = 9,只要把余下的2、3、4、5、6、乙按和为9分成三组填入两端即可。同理可求得a= 4、a= 7两端应填入的数。 例3将从1开始的连续自然数填入各O中，使每条线上的数字和相等。 解：图中共有三条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。设中心 数为a, a被重复使用了两次，即: 1 + 2+ 3+……+ 10+ 2a= 55 + 2a, 55 + 2a应能被3整除。 (55 + 2a)七=55^3 + 2a七 其中，55^3= 18余1，所以2a七应余2。由此，可推知a只能在1、4、7中挑选。在a =1时，55 + 2a= 57, 57+3= 19,即中心数若填1,各条线上的数字和应为19。但是除掉中 心数1,在其余九个数字中，只有两组可满足这一条件，即：9 + 7+ 2= 18, 8 + 6+ 4= 18, 7+ 5 + 3= 15所以，a不能填1。经试验，a= 7时，余下的数组合为12 ( 19 —7= 12),也不能满足条件。因此，确定a只能填4。 例4将1?9九个数字，填入下图各O中，使纵、横两条线上的数字和相等。
小学数学培优之 数阵图(三)
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点( 一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 数阵图与数论 【例 1】 把0— 9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数． 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-3.数阵图
【例3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下 去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法． 【例4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。 【例5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A +++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d ??=___________． 【例6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。请问这样的填法存在吗?如存在，请给出一种填法；如不存在，请说明理由。
趣味数学—数阵图与幻方
三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：
9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个
小学奥数数阵图教学提纲
小学奥数数阵图
第十七周数阵图 【解题技巧】 数阵的分类： 封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。（1—6） 辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。 复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。 解数阵问题的一般思路是： 1.求出条件中若干已知数字的和。 2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。 3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。 【铜牌例题】 将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中 的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相 等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填 入。
【答案】 【解析】 先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。 3+8+7=18； 第二行中间的数是：18-8-4=6； 第三行中间的数是：18-7-9=2； 第一行第一个数是：18-4-9=5； 第一行中间的数是：18-3-5=10； 【举一反三1】 （第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入
小学奥数 5-1-3-3 数阵图(三).教师版
. 5-1-3-3.数阵图 教学目标 1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 知识点拨 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关 键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方 法的综合运用． 例题精讲 数阵图与数论 【例 1】 把 0—9 这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为 55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【考点】数阵图与数论 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第 8 题 【解析】设顶点分别为 A 、B 、C 、D 、E ，有 45+A +B +C +D +E =55，所以 A +B +C +D +E =10，所以 A 、B 、C 、 D 、 E 分别只能是 0-4 中的一个数字.则除之外的另外 5 个数（即边上的）为 45-10=35.设所形成的等 差数列的首项为 a 1，公差为 d .利用求和公式 5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得 a 1+2d =11，故大于等 于 0+1+5=6，且为奇数，只能取 7、9 或 11，而对应的公差 d 分别为 2、1 和 0.经试验都能填出来 所以共有 3 中情况，公差分别为 2、1、0. 【答案】 2 种可能
小学一年级奥数 简单的数阵图
简单的数阵图 课前活动套tào 圈quān 游yóu 戏 xì 仔zǐ细xì观guān 察chá，聪cōng 明míng 的de 小xiǎo 朋péng 友yǒu ，你nǐ知zhī道dào 小xiǎo 象xiàng 套tào 中zhōng 了le 哪nǎ几jǐ个gè数shù吗ma ？请qǐng 将jiāng 套tào 中zhōng 的de 这zhè几jǐ个gè数shù填tián 在zài 下xià面mian 左zuǒ图tú中zhōng 的de 圆yuán 圈quān 里lǐ，使shǐ每měi 行háng 、每měi 列liè的de 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú15，你nǐ能néng 做zuò到dào 吗ma ？ 【例1】(★★) 请qǐng 你nǐ用yòng 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9填tián 空kòng ，使shǐ得dé每měi 一yí道dào 题tí中zhōng ， 同tóng 一yī个gè数shù字zì不bù能néng 重chóng 复fù出chū现xiàn 。 【例2】(★★★) 将jiāng 1～16这zhè十shí六liù个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 方fāng 框kuàng 中zhōng ，使shǐ横héng 行xíng 、竖shù行háng 、斜xié行háng 的de 和hé都dōu 相xiāng 等děng 。【例3】(★★★) 请qǐng 把bǎ2，3，4，5，6这zhè五wǔ个gè数shù分fēn 别bié填tián 入rù下xià面mian 的de 空kòng 格gé中zhōng ， 使shǐ每měi 条tiáo 线xiàn 上shàng 三sān 个gè数shù相xiāng 加jiā的de 和hé都dōu 等děng 于yú 12。