九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第八讲二次函数综合问题(含答案)

第八讲二次函数综合问丿

趣题引路】

今有网球从斜坡0点处抛去，网球的抛物路线方程是y = 4x—丄疋，斜坡的方程是〉，=丄X,英中），

2 2

是垂直髙度（m） , x是与0点的水平距离（m）,如图8-1.

（1）网球落地时撞击斜坡的落点为A,写岀A点的垂直高度，以及A点与0点的水平距离：

（2）在图象中，求标志网球所能达到的最髙点B的坐标，并求0B与水平线Ox之间夹角的正切.

解析：（1）由方程组]

v = -x

解得A点坐标为（7, 3.5）,即可求得A点的垂直髙度为3.5m, A点与O点水平距离为加.

（2）由y = 4x--x2 =-- x-4'4-8 知，最高点B 的坐标为（4, 8）,且tan a. = - = 2 （记2 2 4 ZBOx = a）.

点评：本题是香港考题，在日常情境中，本题运用了许多数学知识，如方程组，一元二次方程，二次函数的画图及求二次函数的极值.

知识延伸】

例1 设“、b、c、d是任意实数，且满足a + b + c2>2 a2+b2+c2 +4",求证：不等式

ab+bc + ca 23d.

证明：将已知不等式化简整理，得

c2—2 a-\-b c-\- a2 -{-b2—2ab 4-4jj <0 ,①

设y = / x =X2-2d+” A-+ a2 +b2 -2db+4〃，则①式表明/（c）兰0,故抛物线（开口向上）

与x轴有交点，则

△ = 4 a + b $ — 4 / +b‘ — 2ab + 4d >0 ,

即“ +>0

化简，得abed,②

由于此题关于“、b、c是对称的，故用同样的方法可证得bc>d ,③

ca,④

②、③、④相加得证.

() 点评：此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数，利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法?例2已知抛物线y = —”+2x + 8与x轴交于B、C两点，点D平分BC ?若在兀轴上方的人点为抛物线上的动点，且^BAC为锐角，求AD的取值范用.

2

???抛物线顶点为川仃，9儿对称轴为*/? 抛物线与X 轴的交点为B (-2, 0) , C (4, 0).

如图8-2,分別以BC, DA 呐直径作OD 、OE,可求得其与抛物线均交于P 1 —2血,1和0 1 + JI1 ?

根据直径所对的圆周角为宜角，圆外角为锐角，圆内角为钝角，可知点A 在不含端点的抛物线PA'Q h 时,

NBAC<90。,

又 V DP 2

= 1一1 + 2血2+1=9

DP=DQ = 3, DA' = 9 ：.3

点评：此题应用于圆内角，圆外角，直径的有关性质，是几何、代数综合以及数形结合的能力题，其关键 是为什么作两圆.(请多思考).

好题妙解】

佳题新题品味

例1要使二次方程仮2 一 d + 1 X-4 =0的一根在J 和0之间，另一根在2和3之间，试求整数“的值. 解析:令f X =cuc 2

— d + 1 x —4, ?.了 (x) =0在(-1, 0)之间有一根，

??? /(-1)-/(0)=(2

V/ (x) =0在(2, 3)之间有一根，

:.f (2)f (3) = (2a-b) (6a-7) <0 ?.

解不等式组 2a-3>0

a —3 6a —1 <0

得討<3

??I 为整数

???“=2时，二次方程aF —

a + 1兀_4 = 0的两个根分别在(?1, 0)和(2, 3丿之间.

点评：如果用方程的知识来解，由求根公式，须解下列不等式组: .a 4- \—Ja 2

+18^+1

门

-1 < ------------- ---------------- < 0

2a 2 < d +1 + // +1 &，+1 < 3 2a 的范隔

中考真题欣赏

例1 （长沙市中考试题）设抛物线C 的解析式为y = x 2

-2kx+ A /3-I-A; k, k 为实数.

（1） 求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k 表示）：

（2） 任意给泄￡的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标，试说明当￡变化时，抛物线C 的

顶点在一条定直线厶上，求出直线厶的解析式并画岀图象：

（3） 在第一象限有任意两圆O?相外切，且都与x 轴和（2）中的直线厶相切，设两圆在尤轴上的切 OA

点分别为A 、B （OA

（2）设顶点为 久”，则y=?,消去代得直线厶的解析式为y=y/3x,如图8-3 （1）所示. 1=1, 2, 3得三个对应顶点坐标为（1,巧），（2,2巧），（3,3巧）.

(3) 在y=>]3x 上任取一点(a,仮J,设直线与x 轴成角为a (0。<<7<90。)，则tana = -^ = V3 , a = 60° .由切线长定理可知，00(平分Za , ZO,OA = 30°,如图8-3 (1)所示，即q 0=20", 00、= 2O 、B 又佗一001=002=0^ + 00 = 2 O^-O^A , A O X A :O 2B = \:3 ?

?这较难解出―利用函数的观点，根据根的分布和符号性质较易求出d

(4) 如图8-3(2)要使该直线与抛物线C 中任意一条相截且截得线段长都为

6,则该直线必平行于y = y/3x. 设其为y = y/5x + b,考虑其与y = x 2相交，贝IJ ：

又

=32,

12

9=1 心一勺 1，= ￡+勺「一4心心=3 + 4/? 3

3

:.b = -,即厶为 y 二 A /3X + -

点评：(2)中消去参数R 求x, y 的函数关系应掌握：(4)抛物线C 的顶点轨迹为直线y = >/3x,若直 线厶与抛物线截得的线段等长，则厶必与y = V3x 平行，在利用截线段长为6时，只须考虑一种最简单 的解析式y = X 2与

y = y/3x 的联立方程组即可.

竞赛样题展示

例1 (1997年太原市初中数学竞赛试题)对于x 的二次三项式aF+加+论>0),

(1) 当cvO 时，求函数y = -2lax 2 +bx^c\-\的最大值：

(2) 若不论￡为任何实数，直线y = k(x-\)-—与抛物线y"F+加+ C 有且只有一个公共点，求⑴h.

c 的值.

解析（1） ?: u>0, C <0 ???/异一 4心 >0 故 laF+bx + cl 的最小值为 0, y = -21 ax 2

+加+ el-l 值的最大

值为J ；

(2)欲使直线尸心-1)-匚与抛物线〉1宀加+ C 只有一个交点，则方程组

只有一组解，消去y 得到关于x 的二次方程ax 2

^(b-k)x^ — + k+c = O.

整理，得关于*的二次方程

(1 一a*? — 2(2”+ 〃* + /” -4nc = 0 (*)

1一心0

又因为此方程对任意实数k 都成立，故- 2(2“ + 〃) = 0 ,

b 1 - 4a

c = 0

点评：根据题意，(*)对任意实数*都成立，说明关于k 的各项系数都为0? 例2 （1997年天津市初中数学竞赛试题）已知函数y = F-IM-12的图象与x 轴交于相异两点A, B,另一 抛物线〉，=川+加+ c 过点儿B,顶点为P,且zMPB 是等腰直角三角形?求心b, c.

?即x 2-^v-/?>0,设此方程两根为心，心

“ =1 b = -2 c = 1

解析:考虑方程”-1x1-12 = 0,

当Q0时，”一入一12 = 0,解得A1=4,勺=一3 （舍去）：

当xvO时，F+x-12 = 0,解得坷=-4, X2=3（舍去）?

??.A、B两点的坐标是（4, 0） , （-4, 0）.

T y = +bx + c过A、B 两点,即过（4, 0） , （-4, 0）,

/.可设y = ax1 + bx + c 为y=a （x?4 ）（x+4 ）①

???△APB为等腰直角三角形，而A、B为顶点，

??.AB可为斜边，也可为直角边.

当AB为斜边时，可求得P点坐标为（0, 4）或（0, -4）；当为直角边时，这种情况不满足题设条件. 将P （0, 4丿代人①得“=-丄，则①变为

4

v = -—（X2 -16）=-—x2 +4 ,

4' ' 4

故冇“=-丄.b = 0、c = 4?

4

将P （09 -4）代入①得“=丄，则①变为y = —（A2 -16）=—x2 -4

4 4 4

故冇"=丄，b=0, c = -4?

4

点评：求仏B两点的坐标时，应注意分两种情况去绝对值；条件厶朋。为等腰直角三角形应分情况讨论.

过关检测】

A级

1.已知抛物线y = -?与直线y=x+k有交点，求k的取值范困,

3

2?如图8-4, P是抛物线y = F上第一象限内的一个点，A点的坐标是（3, 0）?

_/ 7 / / / / 71

（1）令P点坐标为 * ",求ZkOPA的而积S；

（2）S是y的什么函数？

（3）S是x的什么函数？

（4 ）当S=6时，求点P的坐标：

（5）在抛物线y = F上求一点PS使AOPA的两边P'O = P'A?

3. 抛物线y = aF+/x + c的顶点位于直线尸Q和的交点上，且与直线y=4x?4有唯一交点，试求函数表达式.

4. 已知实数pvq,抛物线” =x2-px^2q与乃二” -（八+ 2“在；v轴上有相同的交点A?

（1）求A点坐标；

（2）求p+q的值.

5. 已知抛物线y = F+kx+ — l?

（1）求证：无论代是什么实数，抛物线经过X轴上一个定点：

（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A（x”O）, B（.r2,0）两点，且满足：曲 <勺，1.勺1<1勺I, S^BC = 6 , 问：过A、B. C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点，试说明理由，如果有，求出其坐标.

6?要用成一个如图8-5的猪舍三间，它们是一排大小相等的三个长方形，一而利用旧墙，其他各墙（包括中间隔墙）都是木料.已知现有木料可m 24m的墙，问每间猪舍的长x为多少米时，猪舍总而积最大，这时总而积为多少？

B级

1. 现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从

上而均匀下漏，经过5”?加漏完，H是沙漏而下降的髙度, 则H与下落时间t （min）的函数关系用图象表示

应是（）（如图8-6）

2 ?如图8-7,在直角坐标系my中，二次函数y =丄/+』处+ 2-川的图象与x轴交于儿B两点，与y轴? 2 4

-

交于C点，其中，点A在点B的左边，若ZACB=90°,—+ —= 1.

AO CO

（1）求点c的坐标及这个二次函数的解析式：

（2）设计两种方案，作一条与y轴不重合，与AABC两条边相交的直线，使截得的三角形与AABC相似, 并且而积为AAOC而积的丄，求所截得的三角形三个顶点的坐标.

3

3?如图8-8,已知抛物线y = aF+/x + c（aHO）经过x轴上的两点人（召,0）, B（X2,O）和y轴上的点C 0,-亍OP的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b = m AB = 2羽.

（1）求抛物线的解析式；

（2）D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否过圆心P?并说明理由：（3）设直线BD交0P于另一点E,求经过E的0P的切线的解析式

4. (1)画函数y=l.v2-2V3x+ll 的图象：

(2)为使方程4远+嗨+有四个不同的实根，求b的变化范围.

5?要使二次方程nF-(a + lk-4 = 0的一根在-1和0之间，另一根在2和3之间，试求整数"的值:

第八讲二次函数综合问题

1.由题意知,方程组厂亍'有实数解，即方程討帰实数解，整理,得》-3一3—0,

r a；-. 3

.?.A=9 —4-x2x ( — 3A:)^0，/. ky —g?

2. (l)S=|y,^S=^%2；(2)正比例匪数；⑶二次函数；(4)P(2,4)$

■ ?

(5)P"(于,鲁). ；二二、疔,:：?、

4. (1)X( -1,0)；(2)p+q=-2.，⑴，厶!'

5；.(1)(歸,0)；, (2)过札8、C三点的圆与抛物线有第四个交点/??—BIG屯l,G 融St人轴上, 点C不是抛右线的顶点.由于拋物級都是轴对称图形，过三点的圆韦鞭嬲加伸帖称图形,

所以；过的圆与抛物线第四个交点与c是对称点???? ％严-KO^,帀pi.即%2 >1, - A>1,.-. k <0. V Sgc=6,??. y-ll -k\? (1 + 11-屈)=6* (L*)' + (l j) M 铉舉机養湄1-人=-4 或1 - A =3

“ =-2 或A=5(舍去). , '' /. y=?-2x-3其对称轴为“1,据对称性,/>点坐标为(2,?3). 八；“：

6. S =24x -4x2 = -4(% -3)2 +36.

当每间猪舍长"3m时『猪舍总面积36 /为最尢??「和：

1 ?观察沙漏，由其规格可知，沙子减少是由慢到快的过程，又不规则，故选B. 宀学」

I g

2.(1)设A(a,Q)/(0,O),由乙"￡=90。知以<00>0,则出色是方釋耳是扛J■巴+ 2壬￡±0的两

■

? 9 ???I ???????*?

"f*? i Wi ?- J ??? u ? I ? i ■ u ? ???i . . r\i h I- ??? . ■ ?AO ? BO= I al ? 1/91 = - ajB = 2(m -2). :.心；

，/. - 其电!2 T a =寺>0,抛物线y = -^-x2 +-^-nx +2 -m 与％轴有两个交点

A CO = 12 -ml =m -2f

v乙4CB=W,C0丄朋于点0.

△AOC"W埸三需，- ................................. .... ................................................................

??? CO2=40 ? ￡O,(m-2)2 =2(m-2)

解得m{ =2^ =4.

当m=2时,2=/n= 0不合题意；.

当m=4时,2_m<0符合题意.

.?.当m =4时,二次函数化为y = y%2 +-^-fiz-2①

???点4在"轴负半轴上,??? 4( -4,0).

把4( -4,0)代人①得“2,得厂卜2 +券亠设C 的坐捺为(0,刃代入厂詳+占-2即得C 点 坐标? ? (2)方案一:分别取A0.AC 中点D 、D,连结DD,则为所求?点的坐标分别为：D( -2,0), 刃-2,-1)； 方案二;在CA 上截取CE,使CE = C0=2；在GB 上截取CF,使CF = B^= 1，连结EF,则ZkCEF 为所求； 方案三:在AG 上截取AG,使”二CO =2；在佔上戡取AH,便AH = BC 二万，连结GH,则为所求. W 寺+爭弓"

…

?

-

(2) 直线BD 经过圆心P ；

?

I

(3) 经过E 点的OF 的切线的解析式是屈.2*

4. (1"=1子-2应+ 11 = 1(”-再严?21的图象如图8所示.(点A 、B 的 坐栃分别为(4■-念0),(4+Q,0))；

..

(2、)方卷的实数根就是函数y=Ix 2-2 7^ + 11与函数y =^t + 6的图象 交点的横坐标.：

.

..

由图可知，当/介于人与耳之间时，该直线y =^c + 6与函数厂1/ - 275x*ll 的图象有四个交点.

.............

b 过丘点(相切?)，即方程[? 一(%" -2-/ix +1)]-=吉％ + b 有唯一解.A =

0,"醫，由此可见上的变化范围是:咎1<6电

5. 令/■(%) =ax 2 + (a+l)x-4,v /(x) =0 在(-1,0)之间有一根，

/( -1) ?/(0) =(2a-3)-(?4) <0 ① ???/&)士0 在(2；3)之间有 1 根，?? 一：：?…. 一八：. ??? /(2) - /{3) = (2a-6)(6a ?7) <0? ②

——亠s (2a ?3>o, 3 解不等式组八心补c -^-

l(a ?3)(6a-7) >0. 2

T a 为整数,???a =2时■二次方程ax 2-(a + l)x-4=0的两根分别在(-1,0)和(2,3)之间.

()

人过P 点，即“0，/-2#x + l =0的较小根为Q ?Q,,代△直线方程得6 = .rr^.

1)0)=