高考数学考点归纳之对数函数
高考数学考点归纳之对数函数
一、基础知识
1.对数函数的概念
函数y=log a x(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
y=log a x的3个特征
(1)底数a>0,且a≠1;
(2)自变量x>0;
(3)函数值域为R.
2.对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象与性质
3.反函数
指数函数y =a x (a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.
二、常用结论
对数函数图象的特点
(1)对数函数的图象恒过点(1,0),(a,1),????1a ,-1,依据这三点的坐标可得到对数函数的大致图象.
(2)函数y =log a x 与y =log 1a
x (a >0,且a ≠1)的图象关于x 轴对称.
(3)当a >1时,对数函数的图象呈上升趋势;当0 考点一 对数函数的图象及应用 [典例] (1)函数y =lg|x -1|的图象是( ) (2)已知当0 4 时,有x [解析] (1)因为y =lg|x -1|=? ???? lg (x -1),x >1, lg (1-x ),x <1. 当x =1时,函数无意义,故排除B 、D. 又当x =2或0时,y =0,所以A 项符合题意. (2)若x 4时成立,则0 由图象知 14 , 所以????? 16 即实数a 的取值范围是????116,1. [答案] (1)A (2)????116,1 [变透练清] 1.[变条件]若本例(1)函数变为f (x )=2log 4(1-x ),则函数f (x )的大致图象是( ) 解析:选C 函数f (x )=2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A 、B ;函数f (x )=2log 4(1-x )在定义域上单调递减,排除D.故选C. 2.已知函数f (x )=? ???? log 2x ,x >0, 3x ,x ≤0,关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则 实数a 的取值范围是________. 解析:问题等价于函数y =f (x )与y =-x +a 的图象有且只有一个交点,结合函数图象可知a >1. 答案:(1,+∞) 3.[变条件]若本例(2)变为不等式x 2 2恒成立,求实数a 的取值范围. 解:设f 1(x )=x 2,f 2(x )=log a x ,要使x ∈????0,1 2时,不等式x 2 ?0,1 2上的图象在f 2(x )=log a x 图象的下方即可.当a >1时,显然不成立; 当0 要使x 2 2, 所以有????122≤log a 12,解得a ≥116,所以1 16≤a <1. 即实数a 的取值范围是????1 16,1. 考点二 对数函数的性质及应用 考法(一) 比较对数值的大小 [典例] (2018·天津高考)已知a =log 2e ,b =ln 2,c =log 12 1 3 ,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .b >a >c C .c >b >a D .c >a >b [解析] 因为c =log 12 1 3 =log 23>log 2e =a , 所以c >a . 因为b =ln 2=1 log 2e <1<log 2e =a ,所以a >b . 所以c >a >b . [答案] D 考法(二) 解简单对数不等式 [典例] 已知不等式log x (2x 2+1) [解析] 原不等式?????? 0 x >1,2x 2+1<3x <1 ②,解不等式组①得13 2,不 等式组②无解,所以实数x 的取值范围是???? 13,12. [答案] ???? 13,12 考法(三) 对数型函数性质的综合问题 [典例] 已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3),若f (1)=1,求f (x )的单调区间. [解] 因为f (1)=1,所以log 4(a +5)=1, 因此a +5=4,a =-1, 这时f (x )=log 4(-x 2+2x +3). 由-x 2+2x +3>0,得-1 则g (x )在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又y =log 4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以f (x )的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). [题组训练] 1.已知a =2-13 ,b =log 213,c =log 12 1 3 ,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a >b >c B .a >c >b C .c >a >b D .c >b >a 解析:选C 0 -1 3 <20=1,b =log 213 1 3 =log 23>1,∴c >a >b . 2.若定义在区间(-1,0)内的函数f (x )=log 2a (x +1)满足f (x )>0,则实数a 的取值范围是( ) A.????0,1 2 B.????0,1 2 C.??? ?1 2,+∞ D .(0,+∞) 解析:选A ∵-1 2 . 3.已知a >0,若函数f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是________. 解析:要使f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增,则y =ax 2-x 在[3,4]上单调递增,且y =ax 2-x >0恒成立,即????? 12a ≤3,9a -3>0, 解得a >1 3 . 答案:????13,+∞ [课时跟踪检测] A 级 1.函数y =log 3(2x -1)+1的定义域是( ) A .[1,2] B .[1,2) C.??? ?2 3,+∞ D.??? ?2 3,+∞ 解析:选C 由? ???? log 3(2x -1)+1≥0, 2x -1>0, 即??? log 3(2x -1)≥log 313 , x >1 2, 解得x ≥2 3 . 2.若函数y =f (x )是函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数,且f (2)=1,则f (x )=( ) A .log2x B.12x C .log 12 x D .2x - 2 解析:选A 由题意知f (x )=log a x (a >0,且a ≠1). ∵f (2)=1,∴log a 2=1.∴a =2.∴f (x )=log 2x . 3.如果log 12 x y <0,那么( ) A .y B .x C .1 D .1 解析:选D ∵log 12 x y 1,∴x >y >1. 4.(2019·海南三市联考)函数f (x )=|log a (x +1)|(a >0,且a ≠1)的大致图象是( ) 解析:选C 函数f (x )=|log a (x +1)|的定义域为{x |x >-1},且对任意的x ,均有f (x )≥0,结合对数函数的图象可知选C. 5.(2018·惠州调研)若a =20.5,b =log π3,c =log 2sin 2π 5 ,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .b >c >a B .b >a >c C .c >a >b D .a >b >c 解析:选D 依题意,得a >1,0 5<1,2>1,得c <0,故 a > b > c . 6.设函数f (x )=log a |x |(a >0,且a ≠1)在(-∞,0)上单调递增,则f (a +1)与f (2)的大小关系是( ) A .f (a +1)>f (2) B .f (a +1) C .f (a +1)=f (2) D .不能确定 解析:选A 由已知得0f (2). 7.已知a >0,且a ≠1,函数y =log a (2x -3)+2的图象恒过点P .若点P 也在幂函数f (x )的图象上,则f (x )=________. 解析:设幂函数为f (x )=x α,因为函数y =log a (2x -3)+2的图象恒过点P (2,2),则2α =2,所以α=1 2 ,故幂函数为f (x )=x 1 2. 答案:x 12 8.已知函数f (x )=log a (x +b )(a >0,且a ≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1),则log b a =________. 解析:f (x )的图象过两点(-1,0)和(0,1). 则f (-1)=log a (-1+b )=0, 且f (0)=log a (0+b )=1, 所以????? b -1=1,b =a ,即????? b =2,a =2. 所以log b a =1. 答案:1 9.(2019·武汉调研)函数f (x )=log a (x 2-4x -5)(a >1)的单调递增区间是________. 解析:由函数f (x )=log a (x 2-4x -5),得x 2-4x -5>0,得x <-1或x >5.令m (x )=x 2-4x -5,则m (x )=(x -2)2-9,m (x )在[2,+∞)上单调递增,又由a >1及复合函数的单调性可知函数f (x )的单调递增区间为(5,+∞). 答案:(5,+∞) 10.设函数f (x )=????? log 2 x ,x >0,log 1 2 (-x ),x <0,若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是 ________________. 解析:由f (a )>f (-a )得????? a >0,log 2a >log 12a 或???? ? a <0,log 1 2 (-a )>log 2(-a ), 即????? a >0,log 2a >-log 2a 或????? a <0, -log 2(-a )>log 2(-a ). 解得a >1或-1<a <0. 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 11.求函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值. 解:显然x >0,∴f (x )=log 2x ·log 2(2x )= 12log 2x ·log 2(4x 2)=1 2 log 2x ·(log 24+2log 2x )=log 2x +(log 2x )2=????log 2x +122-14≥-14,当且仅当x =22时,有f (x )min =-1 4 . 12.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,且a ≠1),且f (1)=2. (1)求a 的值及f (x )的定义域; (2)求f (x )在区间??? ?0,3 2上的最大值. 解:(1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,且a ≠1),∴a =2. 由? ???? 1+x >0, 3-x >0,得-1<x <3, ∴函数f (x )的定义域为(-1,3). (2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x ) =log 2[(1+x )(3-x )]=log 2[-(x -1)2+4], ∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数; 当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数, 故函数f (x )在??? ?0,3 2上的最大值是f (1)=log 24=2. B 级 1.已知函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)满足f ????2a >f ????3a ,则f ????1-1x >0的解集为( ) A .(0,1) B .(-∞,1) C .(1,+∞) D .(0,+∞) 解析:选C 因为函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在(0,+∞)上为单调函数,而2a <3 a 且 f ????2a >f ????3a ,所以f (x )=lo g a x 在(0,+∞)上单调递减,即00,得0<1-1 x <1,所以x >1,故选C. 2.若函数f (x )=log a ????x 2+32x (a >0,且a ≠1)在区间????1 2,+∞内恒有f (x )>0,则f (x )的单调递增区间为________. 解析:令M =x 2+3 2x ,当x ∈????12,+∞时,M ∈(1,+∞),f (x )>0,所以a >1,所以函数y =log a M 为增函数, 又M =????x +342-9 16 , 因此M 的单调递增区间为????-3 4,+∞. 又x 2+32x >0,所以x >0或x <-3 2, 所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞). 答案:(0,+∞) 3.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 12 x . (1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (x 2-1)>-2. 解:(1)当x <0时,-x >0,则f (-x )=log 12 (-x ). 因为函数f (x )是偶函数, 所以f (x )=f (-x )=log 12 (-x ), 所以函数f (x )的解析式为f (x )=? ?? log 12x ,x >0, 0,x =0, log 12 (-x ),x <0. (2)因为f (4)=log 12 4=-2,f (x )是偶函数, 所以不等式f (x 2-1)>-2转化为f (|x 2-1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0,+∞)上是减函数, 所以|x 2-1|<4,解得-5