实验二 用MATLAB处理连续系统

单位冲击信号δ(t)

实验二 用MATLAB 处理连续系统

数学模型

一、实验目的

1. 学会LTI 系统模型的建立；

2. 掌握相关函数的调用格式及作用；

3. 掌握连续信号的基本运算。

二、实验设备

计算机一台，装有MATLAB 软件

三、实验原理及基本操作

1.典型信号 （1）阶跃信号

10

()00

t u t t >?=?

0; plot(t,f);

axis([-1,3,-0.2,1.2]); 注：参见函数Heaviside

(2)单位冲激信号

定义冲激函数

function chongji(t1,t2,t0) dt=0.01; t=t1:dt:t2;

n=length(t); x=zeros(1,n); x(1,(t0-t1)/dt+1)=1/dt; stairs(t,x);

axis([t1,t2,0,1.2/dt])

title('单位冲击信号δ(t)')

图中调用的是chongji（-1，5，0）；可以试着给别的t1,t2,t0，可以得到δ(t-t0)的波形。

注：参见函数dirac

2．连续信号的时域基本运算

相加、相乘、移位、反折、尺度变换、倒相

已知信号

)]

2

(

)2

(

[

)

2

1(

)(-

-

+

?

+

=t

t

t

t

fε

ε

，用matlab求f(t+2),f(t-2),f(-t),f(2t),-f(t),

并绘出时域波形。

syms t

f=sym('(t/2+1)*(heaviside(t+2)-heaviside(t-2))') subplot(2,3,1);

ezplot(f,[-3,3])

title('f(t)')

y1=subs(f,t,t+2)

subplot(2,3,2),ezplot(y1,[-5,1])

title('f(t+2)')

y2=subs(f,t,t-2)

subplot(2,3,3),ezplot(y2,[-1,5])

title('f(t-2)')

y3=subs(f,t,-t)

subplot(2,3,4),ezplot(y3,[-3,3])

title('f(-t)')

y4=subs(f,t,2*t)

subplot(2,3,5),ezplot(y4,[-2,2])

title('f(2t)')

y5=-f

subplot(2,3,6),ezplot(y5,[-3,3])

title('-f')

x=exp(t)

y=x(-t)

-2

02

0.51

1.52t f(t)

-4

-20

0.51

1.52t f(t+2)

24

0.51

1.52t f(t-2)

-2

02

0.51

1.52t

f(-t)

-2

02

00.51

1.52t

f(2t)

-2

02

-2

-1.5-1-0.50t

-f

注：

Matlab 提供了函数fliplr()实现信号的左右翻转，其调用格式为y=fliplr(x)。 如：

t=-5:0.001:5;

x=exp(t);

y=fliplr(x); figure subplot(211)

plot(t,x) title('x=exp(t)'); subplot(212) plot(t,y); title('y=x(-t) ');

3. 卷积运算

卷积是信号与系统中一个最基本、也是最重要的概念之一。在时域中，对于LTI 连续时间系统，其零状态响应等于输入信号与系统冲激响应的卷积；

MATLAB 信号处理工具箱提供了一个计算两个离散序列卷积和的函数conv 。设向量a 、b 代表待卷积的两个序列，则c = conv(a, b)就是a 与b 卷积后得到的新序列。

两个序列卷积以后，一般而言所得新序列的时间范围、序列长度都会发生变化。例如设f1(n)长度为5，－3≤n≤1；f2(n)长度为7，2≤n≤8；则卷积后得到的新序列长度为11，－1≤n≤9。但是用conv函数求出卷积后没有给出新序列所对应的时间变量。为此，要根据被卷积序列的时间变量产生一个对应新序列的时间变量。

对于连续卷积，我们用离散卷积来代替连续卷积，只要取样时间间隔足够小时，就可得到满意的效果。

，令（为整数），则

(*)

由(*)

式，连续卷积积分可由离散卷积和近似代替，只要取样时间间隔足够小，就可以得

到高精度卷积积分的数值计算。例：求f1(t)与f2(t)的卷积

clear

t1=0:0.01:1;

f1=2*ones(1,length(t1)); t2=0:0.01:2;

f2=t2;

y=0.01*conv(f1,f2);

t=0:0.01:3;

figure

plot(t,y)

grid

4. 系统模型的建立

t y

(

t

)

Matalb 提供了函数tf （）来建立LTI 系统的传递函数模型，例：由一阶微分方程描述的系统为1010'()()'()()a r t a r t b e t b e t +=+，则调用函数：sys=tf(b,a)可以得到该系统的

传递函数模型，其中10[,]a a a =，10[,]b b b =。

例1：(3)

()2''()2'()3()2''()'()()r

t r t r t r t e t e t e t +++=++，求其传递函数模型

键入：b=[2 1 1];

a=[1 2 2 3]; sys=tf(b,a);

结果： Transfer function:

2 s^2 + s + 1 --------------------- s^

3 + 2 s^2 + 2 s + 3

5. 传递函数的化简

建立零极点的系统传递函数，Matlab 利用zpk(z,p,k)函数。Z,p,k 分别为零点、极点矩阵和常系数。化简零极点传递函数用tf(Fs)函数， Fs 为零极点函数表达式。 例：将 (1)(2)

()8

(3)(4)(5)

s s F s s s s s ++=+++ 用Matlab 语言表示出来，并用tf(Fs)函数化简。

键入：z=[-1 -2]; p=[0 -3 -4 -5]; k=8;

Fs=zpk(z,p,k); tf(Fs); 则运行结果为：

Zero/pole/gain:

8 (s+1) (s+2) ------------------- s (s+3) (s+4) (s+5)

Transfer function:

8 s^2 + 24 s + 16 ---------------------------- s^4 + 12 s^3 + 47 s^2 + 60 s

6. 多项式运算

多项式求根用 roots(p)函数； 由根创建多项式用poly(r)函数；

多项式相乘用conv(p,q)函数；求多项式的值可用函数polyval(n,s)。 这里p 、q 、n 为多项式系数，r 为多项式的根。

例：求多项式43)(2

3

++=s s s p 的根，再由根重新构建多项式。 p=[1 3 0 4];

r=roots(p) 运行结果：r=

-3.3553

0.1777+1.0773i 1.7777-1.0773i

键入 p=ploy(r)

运行结果： p=1.0000 3.0000 0.0000 4.0000 7. 系统结构图的串连、并联、反馈化简

Matlab 利用函数 sys=series(sys1,sys2)来实现两个子系统 sys1,sys2的串连。 Matlab 利用函数 sys=parallel(sys1,sys2)来实现两个子系统 sys1,sys2的并连。

四、实验内容与步骤

1. 运行讲义中的例子，掌握子函数的定义和调用方法。

2. 已知信号f(t)的波形如图所示：求出f(t-2)、f(3t-2)、f(0.5t+2)、f(-3t-2)、-f(t)的波形。（教

材例1-1）

3. 编程实现如下图所示的两个波形；并计算这两个信号的卷积、画出卷积后的波形。

4. 已知微分方程(3)

(2)(1)()7()16()12()()r

t r t r t r t e t +++=，用Matlab 语言求其特征根

和零极点传递函数并化简。

5. 化简)76)(125(2

+-+s s s ，并求s=3时多项式的值。

6. 已知2

578

(),()129

s G s H s s s S +=

=+++分别求两系统串连、并联时输出传递函数。 五、注意事项

1. 实验前复习相关理论知识。

2. 理解各子函数输入输出参数的意义，调用时注意传递参数的匹配。

附加练习：

1. 线性时不变 (LTI) 连续时间系统用常系数线性微分方程进行描述，系统的零状态响应就是在系统初始状态为零条件下微分方程的解。MATLAB 控制系统工具箱提供了一个lsim 函数来求解连续时间系统的零状态响应。设系统方程为：

(3)(2)(1)(3)(2)(1)32103210()()()()()()()()a r t a r t a r t a r t b e t b e t b e t b e t +++=+++

该方程左边、右边的系数向量分别为，3210[,,,]a a a a a =，3210[,,,]b b b b b =，所对应的系统模型sys 可借助MATLAB 中的tf 函数得到：sys = tf(b, a) . 这样，系统的零状态响应为：r = lsim(sys, e, t) ，其中e 是输入信号向量，t 是与e 对应的时间变量。

例1：22()3()2()()3()d d d

r t r t r t e t e t dt dt dt

++=+，()()e t u t =（教材P83，2-6（1））

通过计算得到其零状态响应为：213

()222

t

t zs r t e e --=-++，t>0 若用Matlab 函数实现，则程序为： clear a=[1 3 2]; b=[1 3]; sys=tf(b,a) t=0:0.1:5; e=ones(size(t)); r=lsim(sys,e,t);

画出理论计算结果与仿真结果曲线进行比较： figure plot(t,r,'r-o') hold on

rzs=-2*exp(-t)+0.5*exp(-2*t)+1.5; plot(t,rzs,'b-*')

legend('仿真结果','计算结果')

零状态响应

2. 连续系统的冲激响应、阶跃响应分别是输入信号为()t 和()u t 所对应的零状态响应。MATLAB 控制系统工具箱专门提供了两个函数求解连续系统的冲激响应和阶跃响应。 冲激响应：r = impulse(sys, t) ; 阶跃响应：r = step(sys, t) . 其中sys, t 的含义同上。