《核反应堆物理分析》公式定理汇总整编

第1章—核反应堆物理分析

中子按能量分为三类: 快中子(E ﹥0.1 MeV),中能中子(1eV ﹤E ﹤0.1 MeV),热中子(E ﹤1eV).

共振弹性散射 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A Z X + 01n 势散射 A Z X + 01n → A Z X + 01n 辐射俘获是最常见的吸收反应.反应式为 A Z X + 01n → [A+1Z X]* → A+1Z X + γ

235U

裂变反应的反应式 23592U + 01n → [23692U]* → A1Z1X + A2Z2X +ν01n

微观截面 ΔI=-σIN Δx /I I I

IN x N x

σ-?-?=

=

?? 宏观截面 Σ= σN 单位体积内的原子核数 0N N A

ρ=

中子穿过x 长的路程未发生核反应，而在x 和 x+dx 之间发生首次核反应的概率

P(x)dx= e -Σ

x Σdx

核反应率定义为 R nv =∑ 单位是 中子∕m 3?s 中子通量密度

nv ?=

总的中子通量密度Φ 0

()()()n E v E dE E dE ?∞

∞

Φ==??

平均宏观截面或平均截面为 ()()()E

E

E E dE

R

E dE

????∑∑==

Φ

?

?

辐射俘获截面和裂变截面之比称为俘获--裂变之比用α表示 f

γ

σασ=

有效裂变中子数 1f f a f γνσνσν

ησσσα

===

++ 有效增殖因数 eff k =

+系统内中子的产生率

系统内中子的总消失（吸收泄漏）率

四因子公式 s d

eff n pf k k n

εη∞ΛΛ=

=Λ k pf εη∞=

中子的不泄露概率 Λ=

+系统内中子的吸收率

系统内中子的吸收率系统内中子的泄露率

热中子利用系数 f =燃料吸收的热中子

被吸收的热中子总数

第2章-中子慢化和慢化能谱

2

11A A α-??= ?+??

在L 系中，散射中子能量分布函数 []'1

(1)(1)cos 2

c E E ααθ=

++- 能量分布函数与散射角分布函数一一对应 (')'()c c

f E E dE f d θθ→=

在C 系内碰撞后中子散射角在θc 附近d θc 内的概率:

2d 2(sin )sin d ()42

c c r r

d f d r θπθθθθ

θθπ=

==对应圆环面积球面积

能量均布定律 ()(1)dE f E E dE E

α'

''→=-

-

平均对数能降 2(1)11ln 1ln 121A A A A αξαα-+??

=+=- ?--??

当A>10时可采用以下近似 22

3

A ξ≈

+

L 系内的平均散射角余弦0μ

00

1223c c d A

π

μθθ==

?

慢化剂的慢化能力 ξ∑s 慢化比 ξ∑s /∑a 由E 0慢化到E th 所需的慢化时间t S

()th

E s s E E dE t v E λλξ?

=-

=-?

热中子平均寿命为 00

()

11

()()a d a a E t E v

E v v λ=

=

=∑∑（吸收截面满足1/v 律的介质）

中子的平均寿命 s d l t t =+ 慢化密度 0

(,)(,)()(,)s E

E

q r E dE r E f E E r E dE ?∞

''''=

∑→?

?

(,)(,)(,)(,)(,)(1)(1)E

E E

a

s s E

E E r E r E dE E E q r E dE r E r E dE E E

αα?α?αα''''

∑-''''

==∑''--?

?? 稳态无限介质内的中子慢化方程为 ()()()()()()E

t s E E E E f E E dE S E ??∞

''''∑=

∑→+?

无吸收单核素无限介质情况 ()()

()()(1)E

s t E

E E E E dE E

α

??α''∑'∑='-?

无限介质弱吸收情况

dE 内被吸收的中子数 ()()()a dq q E q E dE E dE ?=--=∑

0()exp()E a E

s dE q E S E ξ'∑=-'∑?

逃脱共振俘获概率00

()()()exp()E a

E s E q E dE p E S E ξ'∑==-'∑?

第j 个共振峰的有效共振积分 ,*() ()j

j A

E I E E dE γ

σφ≡

?

逃脱共振俘获概率i p 等于 1exp A i

A i i s s N I N p I ξξ??=-=-??∑∑??

整个共振区的有效共振积分 ()()i a E

i

I I E E dE σ??=

=∑?

热中子能谱具有麦克斯韦谱的分布形式 /1/2

3/2

2()()

n E kT n N E e E kT ππ-=

中子温度 ()

(1)a M n M S

kT T T C

ξ∑=+∑ 核反应率守恒原则，热中子平均截面为 0

()()()()()()c

c

c c E E E E E N E vdE

E N E EdE

N E vdE

N E EdE

σσσ=

=

???

?

若吸收截面a 服从“1/v”律

()(0.0253)0.0253a a E E σσ=若吸收截面不服从“1/v ”变化，须引入一个修正因子n g

(0.0253)293

1.128

a a n n

g T σσ=

第3章-中子扩散理论

菲克定律 J D φ=-?u r 3s D λ= 01s tr λλμ=- 02

3A

μ=

01()4

6z s J z ??-?=

+

∑? 001()46z s J z ???=∑?＋－ 01()3z z z s J J J z

φ+-

?=-=-∑? 33

s s x y z J J i J j J k grad λλ

φφ=++=-=-?u r r r r

中子数守恒（中子数平衡） (,)(S)(L)(A)V d

n r t dV dt

=--?产生率泄漏率吸收率 中子连续方程 (,)

(,)(,)(,)a n r t S r t r t divJ r t t

??=-∑-?

如果斐克定律成立，得单能中子扩散方程 21(,)

(,)(,)(,)a r t S r t D r t r t v t

????=+?-∑?

设中子通量密度不随时间变化，得稳态单能中子扩散方程 2

()()()0a D r r S r ???-∑+=

直线外推距离 tr

d 0.7104l = 扩散长度 2

20011

363(1)3(1)a tr a s a a s D L r λλλλμμ=

====∑-∑∑-

慢化长度L1 22

2

1

111112

110

1

00ln 3th a tr E D D L L E ????ξ?-∑=?-

=→=

=∑∑∑ L 21 称为中子年龄，用τth 表示， 即为慢化长度。 中子的年龄 0

()()()()()E E

s s D E dE D E dE

E d E E E E

ττξξ=

→=∑∑?

当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于

,0a a a ∑=∑ M2称为徙动面积，而M 称为徙动长度 22222

11()66

th s d M

M L r r r τ=+=+=

第4章-均匀反应堆临界理论

无外源无限平板反应堆单群扩散方程 21(,)

(,)(,)(,)a a x t D x t x t k x t t

????υ∞?=?-∑+∑?

(21)()cos cos n n n n n x A B x A x a π

φ-== 2222222

/(1)(1)1a n n n n

D l L l D L B D L B L B υυ∞∑===+++ 22

1n n k k L B ∞=+ (21)1,2,3,n n B n a

π

-==L (1)/'1

(21)(,)cos n n k t l n

n n x t A x e a π?∞

-=-??

=????

∑ 裸堆单群近似的临界条件为 122

111k k L B ∞

=

=+

稳态反应堆的中子通量密度空间分布满足波动方程 2

2

()()0g r B r ???+=

不泄漏概率 222

11a V

g

a g V

V

dV L B dV DB dV ???∑Λ===++∑+???中子吸收率中子吸收率中子泄漏率 裸堆单群近似的临界条件可写为 11k k ∞=Λ=

球形反应堆 22

2

()2()()0g d r d r B r dr r dr ???++= 有限高圆柱体反应堆 22222

(,)1(,)(,)(,)0g r z r z r z B r z r r r z

???????+++=??? 反应堆功率可表示为 ()f

f V

P E r dV ?=∑?

材料曲率

2

2

1

m k B L ∞-= 临界条件可写为 B m 2= B g 2 22

1eff g

k k L B ∞

=

+ 单群理论的修正 12211g k k M B ∞=

=+ 2

2

1m k B M

∞-= 芯部稳态单群扩散方程 (角标 c) 2

()()()0c c ac c ac c D r r k r ???∞?-∑+∑=

引入一个特征参数k 来进行调整使其达到临界 2()()()0c c ac c ac c k D r r r k

???∞

?-∑+

∑= 反射层稳态单群扩散方程 （角标为 r ） 22

()()0r r r r k r ???-=

热中子通量密度分布不均匀系数/功率峰因子 max

1()H V

K r dV

V

??=

?

第5章分群理论 与能量相关的中子扩散方程 (,,)

n r E t t

?=--?产生率泄漏率损失率

'

'

'

'

'''0

''''

()()()

(,,)(,)()(,,)(,)(,,)(,,)()()(,)(,,)s f s s s f f S Q Q Q r E t r E f E E r E t dE r E E r E t dE Q r E t E E r E r E t dE ??χν?∞

∞

∞

=++=∑→=∑→=∑???产生率外源散射源裂变源

(,,)(,)(,,)(,,)divJ r E t divD r E grad r E t D r E t ??==-=-???泄漏率

a s (,)(,,)(,)(,,)(,)(,,)t r E r E t r E r E t r E r E t ???=+=∑+∑=∑损失率吸收损失率散射损失率

与能量相关的中子扩散方程

'''

0''''0

1(,,)

(,,)(,)(,,)(,)(,,)()()(,)(,,)(,,)

t s f r E t D r E t r E r E t r E E r E t dE t E E r E r E t dE S r E t ????υχν?∞∞

?=???-∑+∑→?+∑+??

稳态无外源中子扩散方程

'''''''

(,)(,)(,)(,)(,)()()(,)(,)t s f D r E r E r E r E E r E dE E E r E r E dE ???χν?∞∞

-???-∑=∑→+∑??任意系统稳态中子扩散方程

'''

''''

()

(,)(,)(,)(,)(,)()(,)(,)t s f eff

E D r E r E r E r E E r E dE E r E r E dE k χ???ν?∞

∞

-???+∑=∑→+

∑??

在每一个能量区间对稳态中子扩散方程进行积分，可得G 个不含能量变量E 的扩散方程，

其中第g 群扩散方程为

'''

''''0

(,)(,)(,)(,)(,)(,)1()()(,)(,),1,,g

g

g

g

t s E E E f E eff

D r

E r E dE r E r E dE dE r E E r E dE E dE E r E r E dE g G

k ???χν?∞

???∞?-???+∑=∑→+

∑=??

?

??

?L

引入关于能群g 的相关物理量的定义

g 群中子通量密度

1

()(,)g g

E g E r r E dE ??-=?

g 群总截面 1

,1

(,)(,)g g

E t g t E g

r E r E dE ??-∑=

∑?

g 群扩散系数 1

1(,)(,)(,)g g

g g

E E g E E D r E r E dE

D r

E dE

??--?=

??

?

或者 1

1

(,)(,)g g

E g E g

D D r

E r E dE ??-=

?

群转移截面 ∑g’ →g '''

'''1

(,)(,)g

g

s g g E E g

dE r E E r E dE ??→??∑=

∑→?

?

散射源项

''''''

'

'

'

'

'

1

1

(,)(,)(,)(,)()g

g

g

G

G

s s g g g E E E g g dE r E E r E dE dE r E E r E dE r ???∞

→???==∑→=∑→=∑∑

∑?

??

?

g 群中子产生截面 1

()()(,)(,)g

f g f E g

E r E r E dE νν???∑=

∑?

g 群中子裂变谱 ()g

g E E dE χχ?=?

根据以上定义的物理量，得多群扩散方程

'''''

'

,1

1

()()()()()1,2,,G

G

g

g g t g g f

g g g g g g g eff

D r r r r g G

k χ???ν?→==-???+∑=∑+

∑

=∑∑L

,,,,,x g

n

n g

x g

n n g

x a f ??

∈∈∑∑=

=∑∑L ''

''

''

''

n n

n n g n g g g

n n g ??

→∈∈→→∑∑=

∑∑∑

一侧有反射层的双区均匀反应堆 芯部双群方程

()

()21,1,,1,1,2,1,2,22,2,2,2,12,1,1()()()()()()()

c c r c c f c f c c c

eff

c c a c c c c D r r r r k D r r r ??ν?ν????→?

?-?+∑=

∑+∑??-?+∑=∑

反射层的双群方程

21,1,,1,2

2,2,2,2,12,1,()()0

()()()

r r r r r r r a r r r r D r r D r r r ?????→-?+∑=-?+∑=∑

第七章 反应性随时间的变化

核燃料中重同位素的燃耗方程

11,,1

(,)(,)((,))(,)G

i i i i a g i g i i g dN r t N r t r t N r t F dt βλσφ--==-++∑v v v v

11,,11(,)

i G

i g i g g r t γλβσφ---=??=???

∑v ,,,(,),(,)G

i i i f g i g i g i i F r t N r t γσφ''''''==∑∑v v

对于给定的燃耗区，给定的燃耗步长内，燃耗方程为

11()

()i i i i i i dN t N t N F dt

σβ--=-++ ,i a i i I σλ=+ ,,,1G

a i

a g i g g I σφ==∑ 1

1,1

i i i I γλβ---?=??

裂变产物中毒：由于裂变产物的存在，吸收中子而引起的反应性变化

P P

a a F M

a a a k k

k ρ'-∑∑-?=≈=-'∑+∑∑ 135

Xe 的产生与衰变过程：-

-

-

-

6135

135

135

135

β

β

β

β

13519.2s

6.58h

92h

2.310a

Te I Xe Cs Ba ????→???→??→????→

忽略其中半衰期短的过程，简化为：Xe

I

135135

135I Xe Cs λλ

??

→??→

135

I 和135Xe 的浓度随时间变化的方程式

I I f I I ()

()dN t N t dt γφλ=∑- Xe Xe Xe f I I Xe a Xe ()()()()dN t N t N t dt

γφλλσφ=∑+-+

135

I 和

135

Xe 的平衡浓度

I f I I ()N γφ

λ∑∞=

I Xe f Xe Xe Xe a ()()N γγφλσφ

+∑∞=+ 平衡氙中毒 ()f Xe Xe Xe a a Xe

a γφ

ρλφ

σ∑∑?∞≈-=-

∑∑+ 最大氙浓度发生时间 I max I Xe Xe 1

ln 11.3h t λλλλ??=

≈??-??

149

Sm 的裂变产物链-

-

Nd 149

149

149

β

β

=0.0113

2h

54h

Nd Pm Sm γ????→??→??→ (,)40800b a n γσ=

150

Sm

平衡浓度 Pm f Pm Pm ()N γφλ∑∞=

Pm f

Sm Sm

a ()N t γσ∑= 平衡钐中毒 Sm

Sm a Pm f Sm a a

()()N σγρ∞∑

?∞=-∑∑

燃耗深度表示方法 u

()/MW d/t T

BU P t dt dW =

??

100%B F F W W α=

? kg/t B U U

W

W α= 核燃料的转换与增殖 铀-钚循环 -

-

239

239

239

(n,)

β

β

238

23min

2.3d

U U Np Pu γ???→

???→???→ 钍-钚循环 --

233

233

233

(n,)

β

β

232

22min

27d

Th Th Pa U γ???→

???→??→

第九章—核反应堆动力学

考虑缓发中子后的扩散方程为

6

2

1

1(,)(,)(,)(1)(,)(,)

a a i i i r t D r t r t k r t C r t v t φφφβφλ∞=?=?-∑+-∑+?∑r r r r r

(,)(,)(,)

i i a i i C r t k r t C r t t

βφλ∞?=∑-?r r r

反应堆点堆动力学方程

6

(1)1

()()()eff i i i

k dn t n t C t dt l βλ--=+∑ ()()()i i i i dC t k

n t C t dt l

βλ=-

61

()()()()i i i dn t t n t C t dt ρβ

λ=-=+Λ∑ ()()()1,2,....6i i

i i dC t n t C t i dt βλ=-=Λ

反应性方程

6

1i i i ωβρωωλ==Λ++∑ 61111i i i

l l l βω

ωρωωωλ==++++∑ 中子代时间Λ eff

l k Λ=

7127

012701

()(...)j t

t

t

t

j j n t n A e

A e A e n A e

ωωωω==++=∑

ρ?为正，6个负根一个正根

0.01820.01360.05980.183 1.0050 2.87555.6()[1.4460.03590.1400.06370.02050.007670.179]

t t t t t t

t

n t n e e e e e e

e

------=------

反应堆周期 1

1

T ω=

、

中子密度的相对变化率来定义反应堆周期 ()

n t T dn dt

=