高三数学上学期期中试题 理2

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A

B =

A. {1}x x >

B. {23}x x <<

C. {13}x x <<

D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向

D. 平行且反向

3. 函数2

22

x x y =+的最小值为 A. 1

B. 2

C. 22

D. 4

4. 已知命题:p 0c ?>，方程20x x c -+= 有解，则p ?为 A. 0c ?>，方程20x x c -+=无解 B. c ?≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ?>，方程20x x c -+=无解 D. c ?≤0，方程20x x c -+=有解

5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则

A. a b c >>

B. a c b >>

C. c a b >>

D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0?>a b ”的 A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为

3

4

C.

π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2

（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ?为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为

A. 0

B. 1

C. 2

D. 大于2

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____. 10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____.

11. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ?=____.

12. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππ

sin()66y a b x =++（,a b 为常

数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.

13. 设函数2,1,

()(0log ,1,

x

a a x f x a x x ?-?=>?>??≤，且1)a ≠.

①若3

2

a =

，则函数()f x 的值域为______； ②若()f x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____.

14. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ?∈R ，若此函数同时满足：

①当0a b +=时，有()()0f a f b +=； ②当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数.

在下列函数中：

①sin y x x =+；②13()3x x y =-；③0,0,

1,0x y x x

=??

=?-≠??.

是Ω函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.

16.（本小题满分13分）

已知函数π

()cos(2)cos23

f x x x =--.

（Ⅰ）求π

()3

f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.

17.（本小题满分13分）

已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+.

（Ⅰ）已知直线l 是曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，且l 与曲线()y g x =相切，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()f x g x =有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.

18. （本小题满分13分）

如图，ABC ?是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =

,AD = （Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BAD ∠的值.

19. （本小题满分14分）

已知函数2()e ()x f x x ax a =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值.

20.（本小题满分14分）

已知数列{}n a 是无穷数列，满足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-（2,3,4,n =）.

（Ⅰ）若122,3a a ==，求345,,a a a 的值；

（Ⅱ）求证：“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充要

条件；

（Ⅲ）求证：在数列{}n a 中*()k a k ?∈N ,使得12k a <≤.

海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科）答案解析 2016.11

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一

项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A

B =

A. {1}x x >

B. {23}x x <<

C. {13}x x <<

D. {2x x >或1}x < 【考点】集合的运算，一元二次不等式。 解析：集合B ＝{x|1＜x ＜3}，所以，A

B ={23}x x <<，故选B 。

2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直

B. 不垂直也不平行

C. 平行且同向

D. 平行且反向

【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。

解析：因为2(1,2)2b a =--=-，所以，两个向量平行，且方向相反。选D 。 3. 函数2

22x x

y =+的最小值为 A. 1

B. 2

C. 22

D. 4

【考点】基本不等式，指数函数的性质。

解析：因为2x

＞0，所以，有222222222x

x x x y =+

≥=222x

x =，即12

x =时取得最小值。选C 。

4. 已知命题:p 0c ?>，方程20x x c -+= 有解，则p ?为

A. 0c ?>，方程20x x c -+=无解

B. c ?≤0，方程20x x c -+=有解

C. 0c ?>，方程20x x c -+=无解

D. c ?≤0，方程20x x c -+=有解 【考点】命题的否定。

解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A 。 5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则

A. a b c >>

B. a c b >>

C. c a b >>

D. c b a >>

【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。

解析：根据幂函数的性质，由图可知：0＜b ＜1，由指数函数图象的性质，知：1a >，又当x ＝1时，

1y a =＜2，所以，12a <<；

由对数函数图象的性质，知1c >，又x ＝2时，由图象可知：log 21c <， 所以，c ＞2，所以，选C 。

6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0?>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【考点】平面向量，充分必要条件。

解析：若||||a b a b +>-，则22

||||a b a b +>-，化简，可得：0a b >，反过来也成立，故选C 。

7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为

3

4

C.

π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2

（）内是减函数 【考点】三角函数的图象及其性质。

解析：由4

2

()cos ()sin ()()f x x x f x -=-+-=，知函数()f x 是偶函数，故A 正确。

所以，C 也正确，选D 。

8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ?为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为

A. 0

B. 1

C. 2

D. 大于2 【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。

解析：设A （,2x

x ），B （2,2x

x -），若ABC ?为等边三角形，则C （1

1,2x x --），

且AC ＝AB ＝2，即12

1(22

)x

x -+-＝2，即222x -＝3，又因为y ＝222x -单调递增，所以，方程有唯

一解。

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和31n

n S =+，则23a a +=_____. 【考点】数列的前n 项和。

解析：2331a a S S +=-＝（27＋1）－（3＋1）＝24。故填空24。 10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____. 【考点】三角函数的定义。

解析：角θ的终边过点(3,4)P -，所以，4sin 5θ=-

，sin(π)θ-=4sin 5θ-=，答案：45

11. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ?=____. 【考点】平面向量。

解析：以B 为原点，BC 向右方向为x 轴正方向，BA 向上方向为y 轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A （0,1），B （0,0），D （1,1），E （1，1

2

）， 所以，AE BD ＝（1，－12）（1,1）＝12，答案：12

12. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππ

sin()66y a b x =++（,a b 为常

数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.

【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。

解析：将（6,22），（12,4）代入函数，解得13,18a b ==-，所以，1318sin()66

y x π

π

=-+，

当x ＝8时，1318sin(

8)66

y π

π

=-?+＝31。填31。

13. 设函数2,1,

()(0log ,1,

x

a a x f x a x x ?-?=>?>??≤，且1)a ≠.

①若3

2

a =

，则函数()f x 的值域为______；

②若()f x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____. 【考点】分段函数，指数函数、对数函数的性质及运算。 解析：

答案：3

(,2

-

+∞） 14. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ?∈R ，若此函数同时满足：

（i ）当0a b +=时，有()()0f a f b +=； (ii)当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数. 在下列函数中：

①sin y x x =+；②13()3x x y =-；③0,0,

1,0x y x x

=??

=?-≠??.

是Ω函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号） 【考点】分函数的性质。

解析：由（i ），得：a b =-，()()f a f b =-，即：()()f b f b -=-，所以，函数()f x 是奇函数；由（ii ），得：a b >-，()()()f a f b f b >-=-，所以，函数()f x 是增函数。 对于①函数为奇函数，且'1cos y x =+≥0，原函数是增函数，符合；

对于②，3x

y =与1()3

x y =-都是增函数，且13()3x x y =-是奇函数，符合；

对于③0,0,

1,0x y x x

=??

=?-≠??是奇函数，但在R 上不单调，不符合。

答案： ①②

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 15.（本小题满分13分）

已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值. 【考点】等差数列的通项公式 解析：（I ）

（II ）