高三数学等差数列测试题百度文库

一、等差数列选择题

1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =.定义数列{}n b 如下：

()*1

m m b m m

+∈N 是使不等式(

)

n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）

A ．25

B ．50

C ．75

D ．100

2．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大21

，则该数列的项数是（） A ．8 B ．4 C ．12 D ．16 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于（） A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

4．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72

B ．90

C ．36

D ．45

5．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（） A ．

825

两 B ．

845

两 C ．

865

两 D ．

885

两 6．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（） A ．1n -

B ．n

C ．21n -

D ．2n

7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列

D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列

8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24

B ．36

C ．48

D ．64

9．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且

77b a =，则3810b b b =（ )

A ．1

B ．8

C ．4

D ．2

10．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<，则n 的最大值为（） A ．2m

B ．21m +

C ．22m +

D ．23m +

11．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（）

A ．3(4)f x x =+

B ．2

()4f x x =

C ．3()4x

f x ??= ???

D ．4()log f x x =

12．已知数列{}n a 满足25111,,25

a a a ==且

*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19

B ．20

C ．21

D ．22

13．已知递减的等差数列{}n a 满足22

19a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（）

A ．4或5

B ．5或6

C ．4

D ．5

14．在数列{}n a 中，11a =，且11n

n n

a a na +=+，则其通项公式为n a =（） A ．

1n n -+

B ．2

2n n -+

C ．22

n n -+

D ．2

n n -+

15．若数列{}n a 满足121

()2

n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（） A ．1010 B ．1011 C ．2020

D ．2021

16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（） A ．6

B ．7

C ．8

D ．10

17．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（） A ．15

B ．30

C ．3

D ．64

18．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（） A ．

B ．

C ．2

D ．9

19．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（） A ．450a a +=

B ．560a a +=

C ．670a a +=

D ．890a a +=

20．已知数列{}n a 中，132a =

，且满足()*

1112,22

n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*

n N ∈，都有

n a n

≥成立，则实数λ的最小值是（） A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

二、多选题

21．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（） A ．7S 最小

B ．130S =

C ．49S S =

D ．70a =

22．设数列{}n a 的前n 项和为*

()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是

（）

A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列

B ．若2

n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列

C ．若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列

D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈也成等差数列23．题目文

件丢失！

24．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（） A ．0,2,n n a n ?=?

?为奇数

为偶数

B ．1(1)1n n a -=-+

C ．2sin

n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+

25．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且2

3n n n S a +=，则1

n n a a -的值不可能为

（） A ．2

B ．5

C ．3

D ．4

26．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）

A ．若100S =，则50a >，60a <；

B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；

C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；

D ．若89S S <，则78S S <.

27．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d > D ．数列

{}n

a 也是等差数列

28．定义11222n n

n a a a H n

-++

为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优

值”2n

n H =，前n 项和为n S ，则（）

A ．数列{}n a 为等差数列

B ．数列{}n a 为等比数列

C ．

20202023

20202

S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列

29．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S (

n N ∈，公差0d ≠，6

90S

=，7a 是3a 与9

a 的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．2d =-

B ．1

20a =-

C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值

D ．当0n

S <时，n 的最小值为22

30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S =

D ．15S 是最大值

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．B 【分析】

先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到2121

k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】

由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2

n S n =，可得21n a n =-，

因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12

m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1

m m b k m +=，即()()11212

m m m mk m b m m +===++，即2121

k k b --=

，从而()135191

13519502

b b b b ++++=

++++=.

故选：B. 2．A 【分析】

设项数为2n ，由题意可得()21

212

n d -?=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】

设等差数列{}n a 的项数为2n ，

末项比首项大

212

， ()212121;2

n a a n d ∴-=-?=① 24S =奇，30S =偶，

30246S S nd ∴-=-==奇偶②．

由①②，可得3

d =，4n =，即项数是8，故选：A. 3．C 【分析】

利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】 {a n }为等差数列，

S 3＝12，即1232312a a a a ++==，解得24a =. 由12a =，所以数列的公差21422d a a =-=-=，所以()()112212n a a n d n n =+-=+-=，所以62612a =?=. 故选：C 4．B 【分析】

由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2

444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】

由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，

∴2

444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，

∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，

∴99(229)

902

S ?+?=

=，

故选：B 【点睛】

思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2

k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()

n n n a a S +=

的应用.

5．C 【分析】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，数列{}n a 是等差数列，

8106

100

a S =??

=?利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】

设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =???两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，

则由题意得8106100a S =??=?，即1176109

101002a d a d +=??

??+=??，解得186585a d ?

=????=-??

. 所以长兄分得86

两银子. 故选：C. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得

()1,2,,10n a n =???两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和

前n 项和公式. 6．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】

因为3518a S +=，633a a =+，所以11

161218

523a d a d a d +=??

+=++?，

所以11

1a d =??=?，所以()111n a n n =+-?=，

故选：B. 7．D 【分析】

根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】

由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，

根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；

当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；

当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 8．B 【分析】

利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】

由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =

19592993622

a a a

S +=

?=?= 故选：B 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】

因为各项不为0的等差数列{}n a 满足2

6780a a a -+=，

所以2

7720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；

又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，

所以3

3810371178b b b b b b b ===.

故选：B. 10．C 【分析】

首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】

由21<，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++=

+，

()()()1232322323<02

m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()12222

12211>02

m m m m m a a S m a a ++++++==

++.

【点睛】

关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2

n n n S S n a S n --≥?=?

=?，判断数列的项的正负，

第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】

把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知

n n

x x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列．【详解】

对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于B ，函数2

()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝2

4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为

常数，

因此1n n y y +-＝()

2222

14441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于C ，函数3()4x

f x ??= ???上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝

133()()44

n n

x x +-＝33()()144n q x ??

-????

，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；

对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x

，由于{x n }是等比数列，所以

n n

x x +为常数，因此1n n y y +-＝11

444

4log log log log n n n n

x x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；

故选：D ．【点睛】方法点睛：

判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法.

【分析】

由等差数列的性质可得数列1n a ??

为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1n n a ，进

而可得1

n a n

=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为

*12121

0,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12

211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ??

???

为等差数列，设其公差为d ，由25111,25

a a a ==可得25112,115a a a ==?，所以11

1145d a d a a ?+=????+=???，解得1111

a d ?=???=?，

所以

()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n

=，

所以不等式100n n a a +≥即100

n a n

+≥对任意的*n N ∈恒成立，

又10020n n +

≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 13．A 【分析】

由22

19a a =，可得14a d =-，从而得2922

n d d S n n =

-，然后利用二次函数的性质求其最值即可【详解】

解：设递减的等差数列{}n a 的公差为d （0d <），

因为2219a a =，所以22

11(8)a a d =+，化简得14a d =-，

所以221(1)9422222

n n n d d d d

S na d dn n n n n -=+

=-+-=-，

对称轴为92

n =

，因为n ∈+N ，

<，所以当4n =或5n =时，n S 取最大值，故选：A 14．D 【分析】

先由11n n n a a na +=+得出111n n n a a +-=，再由累加法计算出212

n n n a -+=，进而求出n a .

【详解】解：11n

n n

a a na +=

+， ()11n n n a na a ++=∴，

化简得：11n n n n a a a a n ++=+，两边同时除以1n n a a +并整理得：

111

n n

n a a +-=，即2111

1a a -=，32112a a -=，43

113a a -=，…，1111(2,)n n n n n z a a --=-≥∈，将上述1n -个式子相加得：

213243111111+a a a a a a --+-+ (111)

123n n a a -+-=+++…1n +-，即111(1)

n n n a a --=， 2111(1)(1)2=1(2,)222

n n n n n n n n n z a a ---+∴=++=≥∈，又

1a =也满足上式， 212()2

n n n n z a -+∴=∈， 2

()2

n a n z n n ∴=

∈-+. 故选：D. 【点睛】易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现1n -，要注意检验首项是否符合.

15．B 【分析】

根据递推关系式求出数列的通项公式即可求解. 【详解】由121

()2n n a a n N *++=

∈，则11()2

n n a a n N *+=+∈，即11

n n a a +-=

，所以数列{}n a 是以1为首项，

为公差的等差数列，所以()()11111122

n n a a n d n +=+-=+-?=，所以2021a =20211

10112

+=. 故选：B 16．D 【分析】

由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】

解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则由542S S =，248a a +=，

得：111154435242238a d a d a d a d ???

?+=+ ??

?+++=?????

，

即

{

1132024

a d a d +-+=，解得：

{

123

a d =-=，

51424310a a d ∴=+=-+?=.

故选：D. 17．A 【分析】

设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，

12111a a d =+，即可求解.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，

则111681631a d a d a d +++=??+=?，即117831a d a d +=??+=? 解得：174

174d a ?=????=-??

，

所以12117760

111115444

a a d =+=-+?==，所以12a 的值是15，故选：A 18．A 【分析】

由2a 和4a 求出公差d ，再根据54a a d =+可求得结果. 【详解】

设公差为d ，则42363

4222a a d --=

==--，所以5433322

a a d =+=-=. 故选：A 19．B 【分析】

由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】

由等差数列的求和公式可得()

110101002

a a S +=

=，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 20．A 【分析】将11122

n n n a a -=

+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2

2n n n a +=，从而得

出()

22n

n n λ+≥，求出()max

22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】因为2n ≥时，111

n n n a a -=

+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{

}

n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n

n a n =+，从而2

2n n

n a +=

. 又因为

n a n λ

≥恒成立，即()22n

n n λ+≥恒成立，所以()max

22n n n λ+??≥????.

由()()()

()()()()

*121322,221122n n n

n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?

+-+?≥??N 得2n = 所以()()2

max

2222222n n n +?+??

==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A

二、多选题

21．BCD 【分析】

由{}n a 是等差数列及13522,a a S +=，求出1a 与d 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断. 【详解】

设等差数列数列{}n a 的公差为d .

由13522,a a S +=有()111254

2252

a a a d d ?+=++，即160a d += 所以70a =,则选项D 正确. 选项A. ()71176

773212

S a d a d d ?=+=+=-,无法判断其是否有最小值，故A 错误. 选项B. 113

137131302

a S a a +=

?==,故B 正确. 选项C. 9876579450a a a a S a a S -=++++==,所以49S S =，故C 正确. 故选：BCD 【点睛】

关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件

13522,a a S +=得到160a d +=，即70a =，然后由等差数列的性质和前n 项和公式判断,

属于中档题. 22．BCD 【分析】

利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】

选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:

2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;

选项C: ()11n

n S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==?-≥,当1n =时也成立，

12(1)n n a -∴=?-是等比数列，故对;

选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*

32()n n S S n N -∈是等差数

列，故对; 故选：BCD 【点睛】

熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.

23．无

24．BD 【分析】

根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】

解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；

选项B ：0

1(1)12,a =-+=1

2(1)10,a =-+=

23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；

选项C ：，12sin

2,2

a π

==22sin 0,a π==

332sin

a π

==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=

3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.

故选：BD. 【点睛】

本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 25．BD 【分析】利用递推关系可得12

n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵2

n n n S a +=

， ∴2n ≥时，1121

n n n n n n n a S S a a --++=-=

-，化为：112

111

n n a n a n n -+==+--，

由于数列21n ??

?-??

单调递减，可得：2n =时，

n -取得最大值2． ∴1

n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．ABD 【分析】

利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】

对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()

a a S +=

=，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，

所以561112894()0a a a a a a ++???++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +?=

==>，116891616()16()

022

a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为1158

15815()15215022

a a a S a +?=

==>，则80a >， 116891616()16()022

a a a a S ++=

==，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；

对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】

解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题. 27．AB

【分析】

根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】

依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，

1149249,2

a d a d =-=-

. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149

a d =-

，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ?

?=+-=-

+-=- ??

?，令0n a ≥得5151

0,22n n -

≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列

{}n

a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.

故选：AB 【点睛】

等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解. 28．AC 【分析】由题意可知112222n n n

n a a a H n

-++

+==，即112222n n n a a a n -+++=?，则2

n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数

列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误. 【详解】解：由112222n n n

n a a a H n

-++

+==，

得112222n n n a a a n -++

+=?，①

所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-?，②

得2n ≥时，()()1

112

21212n n n n n a n n n ---=?--?=+?，

即2n ≥时，1n a n =+，

当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．

所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()

n n n S +=

，所以2020202320202S =，故C 正确．

25S =，414S =，627S =，故D 错，

故选：AC ．【点睛】

本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 29．AD 【分析】

运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0n S <解不等式可判断D ．

【详解】

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即

12530a d +=，①

由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2

739a a a =，即()()()2

111628a d a d a d +=++，化为

1100a d +=，②

由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，

(20222)212

n S n n n n =+-=-，

由2

2144124n S n ??=--+ ??

?，可得10n =或11时，n S 取得最大值110；由2

102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22.

故选：AD 【点睛】

本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题. 30．CD 【分析】

根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】

1118S S =，∴0d <，

设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2

y Ax Bx =+上，

抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，

∴1514S S =且为n S 的最大值，

1118S S =12131815070a a a a ?+++=?=，

∴129291529()

2902

a a S a +=

==，故选：CD. 【点睛】

本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.