导数的单调性练习题
导数单调性练习题
1．函数f(x)＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )
A ．a≤0
B ．a ＜1
C ．a ＜0
D ．a≤1
2．函数x x x f ln )(=，则（ ）
（A ）在),0(∞上递增； （B ）在),0(∞上递减；
（C ）在)1,0(e 上递增； （D ）在)1,0(e
上递减
3．设函数()y f x =的图像如左图，则导函数'()y f x =的图像可能是下图中的（）
4．若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值围是（ ）
（A ）(],2-∞- （B ）(],1-∞- （C ）[)2,+∞ （D ）[)1,+∞
5．若函数1ln 2
1)(2+-=x x x f 在其定义域的一个子区间)1,1(+-k k 不是单调函数，则实数k 的取值围 （ ）
A ．[)+∞,1
B ．??????23,1
C ．[)2,1+
D ．??
????2,23 6．函数)(x f y =的图象如下图所示，则导函数)('x f y =的图象的大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．若方程330x x m -+=在[0,2]上有解，则实数m 的取值围是（ ）
A ．[2,2]-
B ．[0,2]
C ．[2,0]-
D ．(,2)-∞-∪(2,)+∞
8．已知函数32()f x x bx cx =++的图象如图所示，则2
221x x +等于（ ） A ．32 B ．34 C ．38 D ．3
16 9．已知3)2(3
123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值围是( ） A ．12b b ≤-≥或 B ．21≤≤-b C ．21<<-b D ．12b b <->或
10．设)(x f ，)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0
A ．(3,0)
(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-
11．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =,当0x >时，有
2'()()0xf x f x x -<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集为 （ ）
A ．(2,0)
(2,)-+∞ B ．(2,0)(0,2)- C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-
12．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）
A ．(),2012-∞-
B ．()20120-，
C ．(),2016-∞-
D ．()20160-，
13．（本小题满分12分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=．
（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当1x >时，()0k f x x
+<恒成立，数k 的取值围；
14．已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y
f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．
（1）求a ；
（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．
15．已知函数23ln 4)(--+=
x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 2
1=
. （1）求a 的值； （2）求函数)(x f 的单调区间与极值.
16．设函数()ln f x x ax =-.
（1）当0a >时，求函数()f x 在区间[]1,e 的最大值；
（2）当1a =-时，方程()2
2mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：当0=a 时,x x f -=)( 在R 上为减函数,成立;
当0≠a 时, )(x f 的导函数为13)(2-='ax x f ,根据题意可知, 013)(2≤-='ax x f 在
R 上恒成立,所以0a <且0?≤,可得0a <.
综上可知0≤a .
考点：导数法判断函数的单调性;二次函数恒成立.
2．D
【解析】
试题分析：因为函数x x x f ln )(=，所以()f x '=lnx+1, ()f x '>0,解得x>
1e
,则函数的单调递增区间为1(,)e +∞，又()f x '<0,解得0 考点：导数与函数的单调性. 3．D 【解析】 试题分析：由()y f x =图象知，函数先增，再减，再增，对应的导数值，应该是先大于零，再小于零，最后大于0.故选D. 考点：导数与函数的单调性. 4．D 【解析】 试题分析：'1()f x k x =- ，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x ≥，因为1x >，所以101x <<，故k 的取值围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性． 5．B 【解析】 试题分析：函数的定义域为),0(+∞，所以01≥-k 即1≥k ， x x x x x f 214212)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x 或2 1-=x （不在定义域舍），由于函数在区间（k-1，k+1）不是单调函数，所以 )1,1(21+-∈k k 即1211+<<-k k ，解得2 321<<-k ，综上得231<≤k ，答案选B. 考点：函数的单调性与导数 6．D ． 【解析】 试题分析：根据图象可知，函数()f x 先单调递减，后单调递增，后为常数，因此'()f x 对应的变化规律为先负，后正，后为零，故选D ． 考点：导数的运用． 7．A 【解析】 试题分析：方程330x x m -+=在[0,2]上有解，等价于33m x x =-在[0,2]上有解，故m 的取值围即为函数3()3f x x x =-在[0,2]上的值域，求导可得22'()333(1)f x x x =-=-，令'()0f x >可知()f x 在(1,1)-上单调递增，在(,1)(1,)-∞-+∞上单调递减，故当[0,2]x ∈时max ()(1)2f x f ==，{}min ()min (0),(2)2f x f f ==-，故m 的取值围[2,2]-. 考点：1、函数单调性，值域；2、导数. 8．C 【解析】 试题分析：由图象可知f （x ）的图象过点（1，0）与（2，0），21,x x 是函数f （x ）的极值点，因此01=++c b ，0248=++c b ，解得3-=b ，2=c ，所以x x x x f 23)(2 3+-=，所以263)(2+-='x x x f ，21,x x 是方程0263)(2 =+-='x x x f 的两根，因此221=+x x ， 3221=?x x ，所以383442)(212212221=-=?-+=+x x x x x x ，答案选C. 考点：导数与极值 9．B 【解析】 试题分析：先求出函数为递增时b 的围，∵已知3)2(3123++++= x b bx x y ∴y′=x 2+2bx+b+2，∵f （x ）是R 上的单调增函数，∴x 2+2bx+b+2≥0恒成立，∴△≤0，即b2 b 2≤0，则b 的取值是 1≤b≤2，故选B. 考点：函数的单调性与导数的关系．. 10．D. 【解析】 试题分析：先根据'()()()'()0f x g x f x g x +>可确定[]0)()(' >x g x f ，进而可得到)()(x g x f 在0 解集为)3,0()3,(?--∞，故选D ． 考点：利用导数研究函数的单调性． 11．D ． 【解析】 试题分析：令()()(0)f x g x x x = >，∴2'()()'()0xf x f x g x x -=<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减， ∴当02x <<时，()(2)0f x f >=，再由奇函数的性质可知当2x <-时，()0f x <， ∴不等式2()0x f x >的解集为(,2)(0,2)-∞-． 考点：1．奇函数的性质；2．利用导数判断函数的单调性． 12．C 【解析】 试题分析：由22()()f x xf x x '+>，0x <得： 232()()xf x x f x x '+<，即23 [()]0x f x x '<<，令2()()F x x f x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，2(2014)(2014)(2014)F x x f x +=++ ，(2)4(2)F f -=-，(2014)(2)0F x F +-->， ()F x 在(,0)-∞是减函数， 所以由(2014)(2)F x F +>-得，20142x +<-，即2016x <-，故选C 考点：1求导；2用导数研究函数的单调性。 13．（Ⅰ）()ln 2x f x x =- ；（Ⅱ）1(,]2-∞． 【解析】 试题分析：（Ⅰ）求导数得()a f x b x '=+，由导数几何意义得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为'1(1)2k f ==，且1(1)2 f =-，联立求11,2a b ==-，从而确定)(x f 的解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式等价于ln 02x k x x -+<，参变分离为2 ln 2x k x x <-，利用导数求右侧函数的最小值即可． 试题解析：（Ⅰ）∵()ln f x a x bx =+， ∴()a f x b x '=+． ∵直线220x y --=的斜率为12，且曲线()y f x =过点1(1,)2 -， ∴()()11,211,2f f ?=-????'=??即1,21,2 b a b ?=-????+=??解得11,2a b ==-． 所以 ()ln 2 x f x x =- 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得当1x >时，()0k f x x + <恒成立即 ln 02x k x x -+<，等价于2 ln 2 x k x x <-． 令()2 ln 2 x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--． 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x -'=-=． 当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=． 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增， 故()()112 g x g >=． 因此，当1x >时，2 ln 2x k x x <-恒成立，则12 k ≤． ∴ k 的取值围是1(,]2 -∞． 12分 考点：1、导数几何意义；2、利用导数求函数的极值、最值． 14．（1）1a =；（2）详见解析． 【解析】 试题分析：（1）2'(x)3x 6x a f =-+，由导数的几何意义得'(0)k f a ==，故切线方程为 y 2ax =+，将点-2,0（） 代入求a ；（2）曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点转化为函数32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与x 轴只有一个交点．本题 首先入手点为1k <， 当0x ≤时，'()0g x >，且g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．只需说明当0x >时无根即可，因为(1k)x 0->，故只需说明32()340h x x x =-+>，进而转化为求函数()h x 的最小值问题处理． （1）2'(x)3x 6x a f =-+，'(0)f a =．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为y 2ax =+．由题设得，22a - =-，所以1a =． （2）由（1）得，32()32f x x x x =-++．设32()()kx 23(1k)4g x f x x x x =-+=-+-+．由 题设得1k 0->．当0x ≤时，2 '()3610g x x x k =-+->，g()x 单调递增，g(1)k 10-=-<，g(0)4=，所以g()0x =在(,0)-∞有唯一实根．当0x >时，令32()34h x x x =-+，则()()(1k)x ()g x h x h x =+->．2'()3x h x =-63(x 2)x x =-，()h x 在(0,2)单调递减；在(2,)+∞单调递增．所以()()(2)0g x h x h >≥=．所以()=0g x 在(0,)+∞没有实根，综上，()=0g x 在R 上有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值． 15．（1）54 a = ；（2）单调递增区间()5,+∞，单调递减区间()0,5，()=f x 极小()5ln5f =- 【解析】 试题分析：（1）由()2311()ln 424x a a f x x f x x x x '= +--?=--， 而曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=，所以()12f '=-，解方程可得a 的值； （2）由（1）的结果知()2225315145()ln 442444x x x f x x f x x x x x --'=+--?=--=于是可用导函数求()f x 的单调区间； 试题解析： 解：（1）对()f x 求导得()2114a f x x x '=--，由()f x 在点()()1,1f 处切线垂直于直线12y x =知()32,4f x a '=--=-解得54 a =； （2）由（1）知53()ln 442 x f x x x =+--，则()22215145,444x x f x x x x --'=--= 令()0f x '=，解得1x =-或5x =.因1x =-不在()f x 的定义域()0,+∞，故舍去. 当()0,5x ∈时，()0,f x '<故()f x 在()0,5为减函数； 当()5,x ∈+∞时，()0,f x '>故()f x 在()5,+∞为增函数； 由此知函数()f x 在5x =时取得极小值()5ln5f =-. 考点：1、导数的求法；2、导数的几何意义；3、导数在研究函数性质中的应用. 16．（1）详见解析；（2） 12 . 【解析】 试题分析：（1）先求出导数方程()0f x '=的根，对此根与区间[]1,e 的位置关系进行分类讨论，确定函数在区间[]1,e 上的单调性，从而求出函数()f x 在区间[]1,e 上的最大值；（2）构造函数()()22g x x mf x =-， 利用导数求出函数()g x 的极值点2x =，并确定函数()g x 的单调性，得到()()2200 g x g x '=???=??，消去22x 并化简得到222ln 10x x +-=，通过构造函数()2ln 1h x x x =+-并利用导数研究函数()h x 的单调性并结合()10h =， 得到12 m +=，从而求出m 的值. （1）()11ax f x a x x -'=-=，0x >， 令()0f x '=得1x a =. 因为10,x a ??∈ ???时，()0f x '>，1,x a ??∈+∞ ??? 时，()0f x '<， 所以()f x 在10, a ?? ???递增，在1,a ??+∞ ???递减； ①当101a <≤时，即1a ≥时，()f x 在[]1,e 上递减， 所以1x =时()f x 取最大值()1f a =-； ②当11e a <<时，即11a e <<时，()f x 在11,a ?? ???递增，在1,e a ?? ??? 递减， 所以1x a =时，()f x 取最大值1ln 1f a a ??=-- ??? ； ③当1e a ≥即10a e <≤时，()f x 在()1,e 递增， 所以x e =时()f x 取最大值()1f e ae =-； （2）因为方程()2 2mf x x =有唯一实数解，即22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()2 2ln 2g x x m x mx =--，则()2222x mx m g x x --'=， 令()0g x '=，20x mx m --=，因为0m >，0x >， 所以102m x -=<（舍去） ，22 m x +=， 当()20,x x ∈时，()0g x '<，()g x 在()20,x 上单调递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在()2,x +∞上单调递增， 所以()g x 最小值为()2g x ， 则()() 2200g x g x =???'=??，即2222222ln 200x m x mx x mx m ?--=?--=?， 所以222ln 0m x mx m +-=，即222ln 10x x +-=， 设()()2ln 10h x x x x =+->，()210h x x '=+> )0(1ln 2)(>-+=x x x x h ，()210h x x =+>恒成立，故()h x 在()0,+∞单调递增， ()0h x =至多有一解， 又()10h =，所以21x = ，即12m +=，解得12 m =. 考点：1.分类讨论；2.函数的最值；3.函数的零点