高中数学复习数列的极限

●知识梳理

1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限.

注：a 不一定是｛a n ｝中的项.

2.几个常用的极限：①∞

→n lim C =C （C 为常数）;②∞

→n lim

n

1

=0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）.

3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞

→n lim a n =a , ∞

→n lim b n =b 时，∞

→n lim （a n ±b n ）=a ±b ;

∞

→n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞

→n lim

n n b a =b

a

（b ≠0）. 特别提示

（1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个.

1.下列极限正确的个数是

①∞→n lim αn 1

=0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞

→n lim

n

n n n 3232+-=－1 ④∞

→n lim C =C （C 为常数）

A.2

B.3

C.4

D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B

2. ∞→n lim ［n （1－

31）（1－41）（1－51）…（1－21+n ）］等于

A.0

B.1

C.2

D.3

解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2

1

+n ）］

=∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2

1

++n n ］ =∞→n lim 22+n n

=2. 答案:C

3.下列四个命题中正确的是

A.若∞

→n lim a n 2＝A 2，则∞

→n lim a n ＝A

B.若a n ＞0，∞

→n lim a n ＝A ，则A ＞0

C.若∞

→n lim a n ＝A ，则∞

→n lim a n 2＝A 2

D.若∞

→n lim （a n －b ）＝0，则∞

→n lim a n ＝∞

→n lim b n

解析:排除法，取a n ＝（－１）n ，排除A ； 取a n ＝n

1

，排除Ｂ；取a n ＝b n ＝n ，排除D ． 答案:C

4.（2005年春季上海,2） ∞→n lim

n

n ++++ 212

=__________.

解析:原式=∞→n lim 2

)1(2

++n n n =∞→n lim 221212n

n n ++=0.

答案:0

5.（2005年春季北京,9） ∞→n lim 32222-+n n

n =____________.

解析:原式=∞→n lim

2

322

1n

n -+

=2

1. 答案:

21 思考讨论

●典例剖析

【例1】 求下列极限： （1）∞

→n lim

7

57222+++n n n ;（2） ∞

→n lim （n n +2－n ）;

（3）∞

→n lim （

22n +24n + (22)

n ）. 剖析:（1）因为分子分母都无极限，故不能直接运用商的极限运算法则，可通过变形分子分母同除以n 2后再求极限；（2）因n n +2与n 都没有极限，可先分子有理化再求极限；（3）因为极限的运算法则只适用于有限个数列，需先求和再求极限.

解:（1）∞

→n lim

7

57

222

+++n n n =∞→n lim 22

757

12n

n

n +++

=52.

（2）∞

→n lim （n n +2－n ）= ∞

→n lim

n

n n n ++2=∞

→n lim

1111++

n

=

2

1. （3）原式=∞

→n lim

22642n n ++++ =∞→n lim 2

)1(n n n +=∞→n lim （1+n 1）=1. 评述:对于（1）要避免下面两种错误：①原式=)

75(lim )

72(lim 22+++∞

→∞

→n n n n n =

∞

∞

=1,②∵∞→n lim （2n

2

+n +7）, ∞

→n lim （5n 2+7）不存在，∴原式无极限.对于（2）要避免出现下面两种错误：

①∞

→n lim （n n +2－n ）= ∞

→n lim

n n +2－∞

→n lim n =∞－∞=0;②原式=∞

→n lim

n n +2－∞

→n lim n =

∞－∞不存在.对于（3）要避免出现原式=∞

→n lim

22n +∞→n lim 2

4n +…+∞→n lim

22n n

=0+0+…+0=0这样的错误.

【例2】 已知数列｛a n ｝是由正数构成的数列，a 1＝3，且满足lg a n ＝lg a n －1＋lg c ，其中n 是大于1的整数，c 是正数．

（1）求数列｛a n ｝的通项公式及前n 和S n ；

（2）求∞

→n lim

1

122+-+-n n

n n a a 的值．

解:（1）由已知得a n ＝ｃ·a n －1,

∴｛a n ｝是以a 1＝3，公比为c 的等比数列，则a n ＝3·ｃn －

1.

∴S n ＝?

??

??≠>--=).

10(1)

1(3)1(3c c c

c c n n 且

（2） ∞

→n lim

1

122+-+-n n n n a a ＝∞→n lim n n n n c

c 32321

1+---. ①当c =2时，原式＝－

4

1

; ②当ｃ＞2时，原式＝∞→n lim c

c c n n 3)2(23

)2

(11+?---＝－c 1;

③当0＜ｃ＜2时，原式=∞→n lim 1

1

)2

(32)2(31--?+-n n c c c ＝21.

评述:求数列极限时要注意分类讨论思想的应用.

【例3】 已知直线l :x －ny =0（n ∈N *）,圆M :（x +1）2+（y +1）2=1,抛物线?:y =（x －1）

2

,又l 与M 交于点A 、B ，l 与?交于点C 、D ，求∞→n lim 2

2

||||CD AB .

剖析:要求∞→n lim 2

2

||||CD AB 的值，必须先求它与n 的关系.

解:设圆心M （－1,－1）到直线l 的距离为d ,则

d 2=

1

)1(2

2

+-n n . 又r =1,∴|AB |2=4（1－d 2）=

2

18n

n

+. 设点C （x 1,y 1）, D （x 2,y 2）， 由??

?-==-2

)

1(0x y ny x ?nx 2－（2n +1）x +n =0,

∴x 1+x 2=

n

n 1

2+, x 1·x 2=1. ∵（x 1－x 2）2=（x 1+x 2）2－4x 1x 2=214n n +,（y 1－y 2

）2=（n x 1－n x 2）2=4

14n n +, ∴|CD |2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2

=41

n

（4n +1）（n 2+1）. ∴∞→n lim 22||||CD AB =∞→n lim 225

)1)(14(8++n n n =∞

→n lim 2

)1

1)(14(8n

n ++=2.

评述:本题属于解析几何与数列极限的综合题.要求极限，需先求2

2

|

|||CD AB ,这就要求掌握求弦长的方法.

【例4】 若数列{a n }的首项为a 1=1,且对任意n ∈N *,a n 与a n +1恰为方程x 2－b n x +c n =0的两根,其中0＜|c |＜1,当∞

→n lim （b 1+b 2+…+b n ）≤3,求c 的取值范围.

解:首先,由题意对任意n ∈N *,a n ·a n +1=c n 恒成立.

∴121+++??n n n n a a a a =n n a a 2+=n n c

c 1+=c .又a 1·a 2=a 2=c .

∴a 1,a 3,a 5,…,a 2n －1,…是首项为1,公比为c 的等比数列,a 2,a 4,a 6,…,a 2n ,…是首项为c ,公比为

c 的等比数列.其次,由于对任意n ∈N *,a n +a n +1=b n 恒成立.

∴

n n b b 2+=1

3

2+++++n n n n a a a a =c .又b 1=a 1+a 2=1+c ,b 2=a 2+a 3=2c , ∴b 1,b 3,b 5,…,b 2n －1,…是首项为1+c ,公比为c 的等比数列,b 2,b 4,b 6,…,b 2n ,…是首项为2c ,公

比为c 的等比数列,

∴∞

→n lim （b 1+b 2+b 3+…+b n ）= ∞

→n lim （b 1+b 3+b 5+…）+ ∞

→n lim （b 2+b 4+…）=

c c -+11+c

c

-12≤3. 解得c ≤

31或c ＞1.∵0＜|c |＜1,∴0＜c ≤3

1

或－1＜c ＜0. 故c 的取值范围是（－1,0）∪（0,3

1

］.

评述:本题的关键在于将题设中的极限不等式转化为关于c 的不等式,即将{b n }的各项和表示为关于c 的解析式,显然“桥梁”应是一元二次方程根与系数的关系,故以根与系数的关系为突破口.

夯实基础

1.已知a 、b 、c 是实常数，且∞→n lim c bn c

an ++=2, ∞→n lim b cn c bn --22=3,则∞→n lim a

cn c an ++22的值是

A.2

B.3

C.2

1

D.6 解析:由∞

→n lim

c

bn c

an ++=2,得a =2b . 由∞→n lim b cn c bn --22=3,得b =3c ,∴c =3

1b . ∴

c

a =6. ∴∞→n lim a cn c an ++22

=∞→n lim

2

2n

a c n c a ++

=c

a =6. 答案:D

2.（2003年北京）若数列{a n }的通项公式是a n =2

)

23()1(23n n n n n ------++,n =1,2,…,

则∞

→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等于

A.

2411 B.2417 C.2419 D.24

25 解析:a n =???

?

???-++--+--------),

(2

2

323),

(2

)

23(23为偶数为奇数n n n n n

n n n n n

即a n =?????--).

3

),

(2(

为偶数为奇数n n n

n

∴a 1+a 2+…+a n =（2－

1+2－

3+2－

5+…）+（3－

2+3－

4+3－

6+…）.

∴∞

→n lim （a 1+a 2+…+a n ）=

4112

1313

2122

2

21-=-+

-----+9

1191

-

=.2419

答案:C

3.（2004年春季上海）在数列{a n }中，a 1=3，且对任意大于1的正整数n ,点（n a ,1-n a ）在直线x －y －3=0上，则∞

→n lim

2

)

1(+n a n =__________________.

解析:由题意得n a －1-n a =3 （n ≥2）. ∴{n a }是公差为3的等差数列，1a =3. ∴n a =3+（n －1）·3=3n . ∴a n =3n 2.

∴∞→n lim 2)1(+n a n

=∞→n lim 1

2322++n n n =∞

→n lim

2

1213

n

n ++=3.

答案:3

4.（2004年 上海,4）设等比数列{a n }（n ∈N ）的公比q =－

2

1

,且∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n

－1

）=

3

8

,则a 1=_________________. 解析:∵q =－2

1,∴∞→n lim （a 1+a 3+a 5+…+a 2n －1）=4

111-

a =38

.∴a 1=2.

答案:2

5.（2004年湖南,理8）数列{a n }中,a 1=51

,a n +a n +1=15

6+n ,n ∈N *,则∞→n lim （a 1+a 2+…+a n ）等

于

A.

52 B.72 C.41 D.254

解析:2（a 1+a 2+…+a n ）=a 1+［（a 1+a 2）+（a 2+a 3）+（a 3+a 4）+…+（a n －1+a n ）］

+a n =51

+[256+356+…+n 5

6]+a n .

∴原式=21［51+5

11256

-+∞→n lim a n ］=21（51+103

+∞

→n lim a n ）.

∵a n +a n +1=

1

56+n ,∴∞

→n lim a n +∞

→n lim a n +1=0.

∴∞

→n lim a n =0.

答案:C

6.已知数列｛a n ｝满足（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）且a 2=6,设b n =a n +n （n ∈N *）. （1）求{b n }的通项公式； （2）求∞

→n lim （

212-b +213-b +214-b +…+2

1

-n b ）的值. 解:（1）n =1时，由（n －1）a n +1=（n +1）（a n －1）,得a 1=1.

n =2时，a 2=6代入得a 3=15.同理a 4=28,再代入b n =a n +n ,有b 1=2,b 2=8,b 3=18,b 4=32,由此猜想b n =2n 2.

要证b n =2n 2,只需证a n =2n 2－n . ①当n =1时，a 1=2×12－1=1成立. ②假设当n =k 时，a k =2k 2－k 成立.

那么当n =k +1时，由（k －1）a k +1=（k +1）（a k －1）,得a k +1=1

1

-+k k （a k －1） =

11-+k k （2k 2－k －1）=1

1

-+k k （2k +1）（k －1）=（k +1）（2k +1）=2（k +1）2－（k +1）. ∴当n =k +1时，a n =2n 2－n 正确，从而b n =2n 2.

（2）∞

→n lim （

212-b +213-b +…+21-n b ）=∞→n lim （61+161

+…+2

212-n ）

=

21∞→n lim ［

311?+4

21

?+…+)1)(1(1+-n n ］ =

41∞→n lim ［1－31+21－41+…+

11-n －11

+n ］ =41∞→n lim ［1+21－n 1－11+n ］=83. 能力提高

7.已知数列{a n }、{b n }都是无穷等差数列,其中a 1=3,b 1=2,b 2是a 2与a 3的等差中项,且

∞

→n lim

n n b a =21,求极限∞→n lim （111b a +221b a +…+n

n b a 1）的值.

解:{a n }、{b n }的公差分别为d 1、d 2.

∵2b 2=a 2+a 3,即2（2+d 2）=（3+d 1）+（3+2d 1）, ∴2d 2－3d 1=2.

又∞

→n lim

n n b a =∞→n lim 21)1(2)1(3d n d n -+-+=21d d =2

1,即d 2=2d 1, ∴d 1=2,d 2=4.

∴a n =a 1+（n －1）d 1=2n +1,b n =b 1+（n －1）d 2=4n －2. ∴

n n b a 1=)24()12(1-?+n n =41（121-n －1

21+n ）. ∴原式=∞→n lim

41（1－121+n ）=4

1. 8.已知数列｛a n ｝、{b n }都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ,其中p ＞q 且p ≠

1,q ≠1,设c n =a n +b n ,S n 为数列{c n }的前n 项和，求∞

→n lim

1

-n n

S S . 解:S n =p p a n --1)1(1+q

q b n --1)1(1,

.1)

1(1)1(1)

1(1)1(1111111

q

q b p p a q q b p p a S S n n n n n n

--+

----+

--=--- 当p ＞1时，p ＞q ＞0,得0＜

p q ＜1,上式分子、分母同除以p n －

1，得 .1]

)(1

[1)11(1)1

(1)1

(11111111111

q

p q p

b p p a q p

q p b p p p a S S n n n n n

n n n n --+

----+

--=-------

∴∞

→n lim

1

-n n

S S =p . 当p ＜1时，0＜q ＜p ＜1, ∞

→n lim

1

-n n S S =q

b p a q b

p a -+

--+-11111

11

1=1. 探究创新

9.已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,a n =2

2

1--+n n a a ,求∞→n lim a n . 解:由a n =

2

2

1--+n n a a ,得

2a n +a n －1=2a n －1+a n －2,∴{2a n +a n －1}是常数列. ∵2a 2+a 1=2,∴2a n +a n －1=2.

∴a n －

32=－21（a n －1－32）. ∴{a n －32}是公比为－21,首项为－32

的等比数列.

∴a n －32=－32×（－21）n －

1.

∴a n =32－32×（－2

1）n －

1.

∴∞→n lim a n =32

.

教学点睛

1.数列极限的几种类型：∞－∞,∞∞,0－0,0

等形式，必须先化简成可求极限的类型再用

四则运算求极限，另外还有先求和，约分后再求极限，对含参数的题目一定要控制好难度，不要太难了.

拓展题例

【例题】 已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,且有∞

→n lim （

q a +11－q n ）=2

1

,求首项a 1

的取值范围.

解: ∞

→n lim （

q a +11－q n ）=2

1

, ∴∞

→n lim q n 一定存在.∴0＜|q |＜1或q =1.

当q =1时，

21a －1=2

1

,∴a 1=3. 当0＜|q |＜1时，由∞

→n lim （

q a +11－q n ）=21得q a +11=2

1

,∴2a 1－1=q . ∴0＜|2a 1－1|＜1.∴0＜a 1＜1且a 1≠2

1

. 综上,得0＜a 1＜1且a 1≠2

1

或a 1=3.