2020年高考文科数学原创专题卷：《圆锥曲线与方程》
原创文科数学专题卷 专题 圆锥曲线与方程
考点39：椭圆及其性质(1-5题，13,14题) 考点40：双曲线及其性质（6-10题，15题） 考点41：抛物线及其性质（11,12题）
考点42：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点43：圆锥曲线的综合问题（16题，17-22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I 卷（选择题）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试 考点39 易
椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为（ ）
A. 2212x +=
B. 22
12x y += C. 22142x y += D. 22142y x += 2．【2017课标3，理10】 考点39 易
已知椭圆C ：22
2
21x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的
圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D ．13
3．【来源】重庆市第一中学2016-2017学年高二月考 考点39 中难
已知椭圆
2
21(0)1
x y m m +=>+的两个焦点是12,F F ， E 是直线2y x =+与椭圆的一个公共点，当12EF EF +取得最小值时椭圆的离心率为（ ）
A.
2
3
4．【来源】湖南省湘潭市2017第三次高考模拟 考点39 难
如图， 12,A A 为椭圆22
195
x y +=长轴的左、右端点， O 为坐标原点， ,,S Q T 为椭圆上不同于12,A A 的三点，直线12,,,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ，则
22
OS OT
+=（）
A. 14
B. 12
C. 9
D. 7
5．【来源】山西省三区八校2017届高三第二次模拟考试考点39难
已知椭圆的左焦点为
1
F，有一小球A从
1
F处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无
论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到
1
F时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）
A.
1
3
51
-
C.
3
5
D.
2
3
6．【来源】河北省五个一联盟2017届高三上学期第一次模拟考试考点40易
设椭圆
22
22
1
x y
m n
+=，双曲线
22
22
1
x y
m n
-=，（其中0
m n
>>）的离心率分别为
12
,e e，则（）
A.
12
,1
e e> B.
12
,1
e e< C.
12
,1
e e= D.
12
,e e与1大小不确定
7．【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点40易
已知双曲线
22
1
259
x y
-=上有一点M到右焦点
1
F的距离为18，则点M到左焦点
2
F的距离
是（）
A. 8
B. 28
C. 12
D. 8或28
8．【2017课标II】考点40 易
若双曲线C:
22
22
1
x y
a b
-=
（0
a>，0
b>）的一条渐近线被圆()22
24
x y
-+=
所截得的弦长为2，则C的离心率为（）
A．2 B．
3 C．2 D．
23 9．【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点40中难
A、F分别是双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左顶点和右焦点，A、F在双曲线的一
条渐近线上的射影分别为B 、Q ， O 为坐标原点， ABO ?与FQO ?的面积之比为12
，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B.
1
2
C. 2
10．【来源】江西南昌十所省重点中学2017届高三第二次模拟 考点40 难
已知12,F F 是双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的左、右焦点，设双曲线的离心率为e ．若
在双曲线的右支上存在点M ，满足212MF F F =，且12sin 1e MF F ∠=，则该双曲线的离心率e 等于( )
A.
54 B. 535
2
11．【2017课标1，理10】 考点41 中难
已知F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、
B 两点，直线l 2与
C 交于
D 、
E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
12．【来源】河北省石家庄市高三一模考试 考点41 难
已知过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A , B 两点,且3AF FB =u u u r u u u r
,
抛物线的准线l 与x 轴交于点C , 1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF 的面积为,则准线l 的方程为( )
A. x =x =- C. 2x =- D. 1x =-
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。） 13．【来源】2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中 考点39 中难
设1F 、2F 分别是椭圆116
252
2=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为)4,6(，则|PM |＋|1PF |的最大值为_______
14．【来源】2017届湖南长沙长郡中学高三上第三次月考 考点39 难
21,F F 分别为椭圆1273622=+y x 的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且)(211OF +=，
)(2
1
2OF OA OC +=
，则=+|||| . 15．【2017课标1】 考点40 中难
已知双曲线C ：22
2
21x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A
与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________. 16．【2017课标II 】 考点41 难
已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。若M
为FN 的中点，则
FN =
。
三、解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（本题满分10分）【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点42 考点43 中
难
已知O 为坐标原点， 12,F F 为椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，其离心率
2
e =
， M 为椭圆C 上的动点， 12MF F ?的周长为4+. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知椭圆的右顶点为A ，点,B C （C 在第一象限）都在椭圆上，若OC BA λ=u u u r u u u r
，且·0OC OB =u u u r u u u r ，求实数λ的值.
18．（本题满分12分） 【来源】山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟考试 考点42 考点43中难
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 过点1,
2??
? ???
1A ， 2A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y 轴正半轴上的顶点. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）是否存在经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向
量OP OQ +u u u r u u u r 与2A B u u u
u r 共线？如果存在，求出直线方程；如果不存在，请说明理由.
19．（本题满分12分）
【来源】湖北省六校联合体2017届高三4月联考考点42 考点43中难
如图，已知圆()2
2
:14
E x y
+-=经过椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的左右焦点
12
,
F F，与椭圆C在第一象限的交点为A，且1F，E，A三点共线.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与直线OA（O为原点）平行的直线交椭圆C于,
M N两点，当AMN
?的面积取最大值时，求直线l的方程.
20．（本题满分12分）【2017课标1，理20】考点42 考点43中难
已知椭圆C：
22
22
=1
x y
a b
+
（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
3
2），P
4（1，
3
2）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
21．（本题满分12分）
【来源】2017届湖南省长沙市高三上学期统一模拟考试考点42 考点43中难
已知过()
0,2
A的动圆恒与x轴相切，设切点为,B AC是该圆的直径．
（Ⅰ）求C点轨迹E的方程；
（Ⅱ）当AC不在y轴上时，设直线AC与曲线E交于另一点P，该曲线在P处的切线与直线BC交于Q点．求证: PQC
?恒为直角三角形．
22．（本题满分12分）
【来源】福建省2017届高三4月单科质量检测 考点42 考点43 难
已知点()1,0F ，直线:1l x =-，直线l '垂直l 于点P ，线段PF 的垂直平分线交l '于点Q . （1）求点Q 的轨迹C 的方程；
（2）已知点()1,2H ，过F 且与x 轴不垂直的直线交C 于,A B 两点，直线,AH BH 分别交l 于点,M N ，求证：以MN 为直径的圆必过定点.
参考答案
1．C
【解析】由条件可知2
b c
==，2
a=，所以椭圆方程为
22
1
42
x y
+=，故选C. 2．【答案】A
【解析】
3．D
【解析】解：联立直线与椭圆的方程整理可得：()()()
2
241310
m x m x m
+++++=，满足题意时：2
)1
)(
2
(
12
)1
(
162≥
?
≥
+
+
-
+
=
?m
m
m
m2
0≥
∴
>m
m
Θ，
当2
m=时，椭圆的离心率取得最小值
6
3
.
4．A
【解析】设()()()
1122
,,,,,
Q x y T x y S x y，
12
,
QA QA斜率分别为
12
,k k，则,
OT OS的斜
率为
12
,k k，且
2
122
5
3399
y y y
k k
x x x
=?==-
+--
，所以
()21
222222
111112
1
451
59
k
OT x y x k x
k
+
=+=+=
+
，同理
()22
2
2
2
451
59
k
OS
k
+
=
+
，因此()()()
2222
221211
222
121
2
1
25
451
45145145181
25
5959595
9
k k k k
OS OT
k k k
k
??
+
?
+++??
+=+=+
++++
()222
111
222
111
451812512670
14
595959
k k k
k k k
+++
=+==
+++
.故选A．
5．D
【解析】因为左焦点到左顶点的距离最近，到右顶点的距离最大，所以由题设可得
()
546
a c a c a c
+=-?=，即
42
63 e=
=，应选答案D 。
6．B
【解析】在椭圆
22
22
1
x y
m n
+=中，22
1
c m n
=-，∴
22
1
1
c m n
e
m m
-
==，
在双曲线
22
22
1
x y
m n
-=中，22
2
c m n
=+，∴
22
2
2
c m n
e
m
+
==，
∴
4
222244
124
11
m n m n m n n
e e
m m m m
-+-??
?=?==-<
?
??
，故选B.
7．D
【解析】根据双曲线的定义可知点M到两焦点的距离的差的绝对值为2a，即12
210,
MF MF a
-==又
1
18,
MF=则
2
828
MF=或.故选 D.
8．【答案】A
【解析】
9．D
【解析】~
ABO FQO
??，所以
22
22
1
2
ABO
FQO
S OA a
S OF c
?
?
===，所以椭圆的离心率2
c
e
a
==，故选D.
10．B
【解析】依题设，
212
2
MF F F c
==，
∵
12sin 1e MF F ∠=， ∴1212sin 2a
MF F e c
∠=
=， ∴等腰三角形12MF F ?底边上的高为2a ， ∴底边1MF 的长为4b ， 由双曲线的定义可得422b c a -=，∴2b a c =+，
∴()2
24b a c =+，即22242b a ac c =++， ∴23250e e --=，解得53
e =
. 11．【答案】A
12．A
【解析】由题意，知,02p F ??
???
，直线l 的方程为2p x =-．设()()1122,,,A x y B x y ，则
11,2p AF x y ??=-- ???u u u r ， 22,2p FB x y ??=- ???u u u r ．由3AF BF =u u u r u u u r ，得12322p p x x ?
?-=- ??
?，即
()211
23x p x =
- ①．设直线AB 的方程为2p y k x ??=- ??
?，代入抛物线方程消去y ，得
(
)
222
2
2
204k p k x k p p x -++=，所以2124p x x = ②．联立①②，得132x p =或12
p
x =（舍
去），所以13y =．因为1AA CF S ＝
1121232
p y x p ?
?++
?
??=，将11
,x y 的值代入解得
2p =l 的方程为2x =A ．
13．15
【解析】由椭圆方程可知2
2
2
25,1695,3a b c a c ==∴=∴==，两焦点坐标()3,0±，由
椭圆定义可得122210PM PF PM a PF PM PF +=+-=-+，结合三角形三边关系可知225PM PF MF -≤=，所以21015PM PF -+≤，最大值为15 14．6
【解析】由椭圆方程127362
2=+y x ,得6=a ,由椭圆定义可得12221==+a AF AF ,因为()121OF OA OB +=
,所以B 为1AF 的中点,()
22
1
OF OA OC +=,所以C 为2AF 中点,因为O 为21F F 中点,所以1
22
1
,21AF OC AF OB ==,所以()62
1
21=+=+AF AF OC OB .
15．【答案】23
【解析】
16．【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点'F ，做MB l ⊥与点B ，NA l ⊥与点A ，
17．（1）2214
x y +=；（2）3
λ=【解析】（1）因为12MF F ?的周长为423+ 所以22423a c +=+，①，
由题意c
e a
==
=②，
联立①②解得2,a c ==1b =，
所以椭圆的方程为2
214
x y +=； （2）设直线OC 的斜率为k ，则直线OC 方程为y kx =，
代入椭圆方程2
214
x y +=并整理得()
22144k x +=，
∴C x =
C ?
?，
由22
1
4x y +=知A （2,0），因为
OC BA λ=u u u r u u u r ，所以k k AB OC AB =∴//
所以直线AB 的方程为()2y k x =-，
代入椭圆方程并整理得()
222214161640k x k x k +-+-=，
∵22164
2,14A A B k x x x k -==+，∴2222282824,,141414B k k k x B k k k ??---= ?+++??
，
因为·0OC OB =u u u r u u u r
224·014k k -+=+，
所以21
2
k =
，因为C 在第一象限，所以0k >
，∴k =
因为OC ??
=u u u r ， ()
222222414442,0,14141414k k k BA k k k k ??--??
?=--= ? ?++++????
u u u r ，
由OC BA λ=u u u r u u u r
，得λ=
∵2k =
，∴2
λ=. 18．（1）2
212
x y +=（2）不存在 【解析】（1）设椭圆的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
.
依题意得22222,
{
,21112a b c c a a b
=+=+=解得22a =， 21b =. 所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （2
）假设存在过点(且斜率为k 的直线l 适合题意，则因为直线l 的方程为：
y kx =+
2
2{1
2
y kx x y =+?+=
221102k x ??
+++= ???.
由直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q 知，
221842k k ??
?=-+= ???
2420k ->， 212k ∴>.
令()11,P x y ， ()22,Q x y ， ()1212,OP OQ x x y y ∴+=++u u u r u u u r
，
12212x x k +=-
+Q ， (
)1212y y k x x +=++
2
12k
=+，
OP OQ ?∴+= ??
u u u r u u u r
()22,112k k =-+，
由题知)
2
A ， ()0,1
B ， )1,2(2-=→
B A .
从而，根据向量OP OQ +u u u r u u u r
与B A →2
共线，可得2k =
2k =
，这与21
2
k >矛盾. 故不存在符合题意的直线l .
19．(1)
22196
x y +=;(2) 23
3y x =±. 【解析】 (1)∵1F ， E ， A 三点共线，∴1F A 为圆E 的直径，且14AF =， ∴
212
AF F F ⊥.由
()2
2014x +-=，得3x =±，∴3
c =，∵
2
2
2
211216124AF AF F F =-=-=， ∴22AF =， ∴1226a AF AF =+=， 3a =. ∵2
2
2
a b c =+，∴2
6b =，∴椭圆C 的方程为22
196
x y +=. (2)由（1）知，点A 的坐标为
(
)
3,2，∴直线OA 的斜率为
2
33
，故设直线l 的方程为23y x m =+，将l 方程代入22
196x y +=消去y 得： 226433180x mx m ++-=， 设()11,,M x y ()22,,N x y ∴12233x x m +=-
， 2121
32
x x m =-， 2248724320m m ?=-+>，∴
3232m -<<
又2
211MN k
x =+-()
2
2
121241414283
9
x x x x m +
+-=-
，∵点A 到直线l 的距离
21
7
d =
，
∴
2111421282297
AMN S MN d m ?=
?=- 22211428149m m ??=
-? ???
42
211428149m m =-+ 2136314≤=， 当且仅当228
91429m =-
=???- ???
，即3m =±时等号成立，
此时直线l 的方程为23
3y x =
±. 20．解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由
2222
1113
4a b a b
+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.
因此2
221
11314b a
b ?=????+=??，解得2
241a b ?=??=??.
故C 的方程为2
214
x y +=.
21．(1) 2
8x y =；(2) 证明见解析．
【解析】(Ⅰ) 设C 点坐标为(),x y ，则B 点坐标为,02x ??
???
． 因为AC 是直径，所以BA BC ⊥，或C 、B 均在坐标原点．
因此0BA BC ?=u u u r u u u r ,而,22x BA ??=- ???
u u u r ， ,2x BC y ??
= ???u u u r ，
故有2
204
x y -+=，即28x y =， 另一方面，设2
00,8x C x ?? ??
?是曲线2
8x y =上一点，
则有20168x AC +==
， AC 中点纵坐标为
2
02
02168216
x x ++=， 故以AC 为直径的圆与x 轴相切．
综上可知C 点轨迹E 的方程为2
8x y =． (Ⅱ)设直线AC 的方程为2y kx =+，
由22
{8y kx x y
=+=得： 28160x kx --=
设 ()()1122,,,C x y P x y ，则有1216x x =-．
由28x y =对x 求导知4
x y '=，
从而曲线E 在P 处的切线斜率2
24
x k =
， 直线BC 的斜率211
11184
2
x x k x x =
=
-
， 于是 121216
11616
x x k k -=
==-． 因此QC PQ ⊥ ．
所以PQC ?恒为直角三角形． 22．（1）2
4y x =；（2）详见解析.
【解析】（1）依题意得QP QF =，即Q 到直线:1l x =-的距离与到点F 的距离相等， 所以点Q 的轨迹是以F 为焦点， l 为准线的抛物线.
设抛物线方程为22(0)
y px p
=>，则2
p=，即点Q的轨迹C的方程是24
y x
=. （2）
由题意可设直线()
:10
AB x my m
=+≠，代入24
y x
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又以MN 为直径的圆的方程为： ()()()2
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2·10M N M N y y y y y y x -++++=，即224
230x x y y m
+-++=， 令22
{
230
y x x y =+-+=，解得3x =-或1x =， 从而以MN 为直径的圆恒过定点()3,0-和()1,0.
高考文科数学解答题专项训练(含解析)
20XX届高考文科数学---解答题专项训练 中档题满分练(一) 1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， c.已知cos B＝ 3 3，sin (A＋B)＝ 6 9，ac＝23，求sin A和c的值． 2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c. (1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率； (2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形． (1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1； (2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论． 4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式； (2) 当d>1时，记c n＝a n b n，求数列{ c n}的前n项和T n.
中档题满分练(二) 1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π. (1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程； (2)若f (α)＝4 3，求sin ? ????4α＋π6的值． 2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”． (1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值； (2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．
(完整版)高三文科数学数列专题.doc
高三文科数学数列专题 高三文科数学复习资料 ——《数列》专题 1. 等差数列{ a n}的前n项和记为S n，已知a1030, a2050 . （ 1）求通项a n； （ 2）若S n242 ，求 n ； （ 3）若b n a n20 ，求数列 { b n } 的前 n 项和 T n的最小值. 2. 等差数列{ a n}中，S n为前n项和，已知S77, S1575 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）若b n S n，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n. n 3. 已知数列{ a n}满足a1 1 a n 1 ( n 1) ，记 b n 1 ， a n . 1 2a n 1 a n （1）求证 : 数列{ b n}为等差数列； （2）求数列{ a n}的通项公式 . 4. 在数列a n 中， a n 0 ， a1 1 ，且当 n 2 时，a n 2S n S n 1 0 . 2 （ 1）求证数列1 为等差数列；S n （ 2）求数列a n的通项 a n； （ 3）当n 2时，设b n n 1 a n，求证： 1 2 (b2 b3 b n ) 1 . n 2(n 1) n 1 n 5. 等差数列{ a n}中，a18, a4 2 . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设S n| a1 | | a2 || a n |，求 S n；
1 (n N *) ， T n b1 b2 b n (n N *) ，是否存在最大的整数m 使得对任（ 3）设b n n(12 a n ) 意 n N * ，均有T n m m 的值，若不存在，请说明理由. 成立，若存在，求出 32 6. 已知数列{log2(a n1)} 为等差数列，且a13, a39 . （ 1）求{ a n}的通项公式； （ 2）证明： 1 1 ... 1 1. a2 a1 a3 a2 a n 1 a n 7. 数列{ a n}满足a129, a n a n 12n 1(n 2, n N * ) . （ 1）求数列{ a n}的通项公式； （ 2）设b n a n，则 n 为何值时， { b n } 的项取得最小值，最小值为多少？n 8. 已知等差数列{ a n}的公差d大于0 , 且a2,a5是方程x2 12 x 27 0 的两根,数列 { b n } 的前 n 项和 为 T n,且 T n 1 1 b n. 2 （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式； （ 2）记c n a n b n，求证:对一切 n N 2 , 有c n. 3 9. 数列{ a n}的前n项和S n满足S n2a n 3n . （1）求数列{ a n}的通项公式a n； （2）数列{ a n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由 . 10. 已知数列{ a n}的前n项和为S n，设a n是S n与 2 的等差中项，数列{ b n} 中， b1 1，点 P(b n , b n 1 ) 在 直线 y x 2 上. （ 1）求数列{ a n} , { b n}的通项公式
高考文科数学二轮专题复习：11 复数
专题11 复数 本章内容主要是复数的概念、复数的运算．引入虚数，这是中学阶段对数集的最终扩充．需要掌握复数的概念、弄清实数与复数的关系，掌握复数代数形式的运算(包括加、减、乘、除)，了解复数的几何表示．由于向量已经单独学习，因此复数的向量形式与三角形式就不作要求，主要解决代数形式． 【知识要点】 1．复数的概念中，重要的是复数相等的概念．明确利用“转化”的思想，把虚数问题转化为实数问题加以解决，而这种“转化”的思想是通过解实数的方程(组)的方法加以实现． 2．复数的代数形式：z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )．应该注意到a ，b ∈R 是与z ＝a ＋bi 为一个整体，解决虚数问题实际上是通过a ，b ∈R 在实数集内解决实数问题． 3．复数的代数形式的运算实际上是复数中实部、虚部(都是实数)的运算． 【复习要求】 1．了解数系的扩充过程．理解复数的基本概念与复数相等的充要条件． 2．了解复数的代数表示法及其几何意义． 3．能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． 【例题分析】 例1 m (m ∈R )取什么值时，复数z ＝(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是(1)实数?(2)纯虚数?(3)零? 【分析】此类问题可以应用复数的定义加以解决． 解：(1)当m 2－5m －6＝0，即m ＝－1或m ＝6时，复数z 为实数； (2)当，即m ＝4时，复数z 为纯虚数； (3)当，即m ＝－1时，复数z 为零． 【评析】本题主要考查实数、纯虚数的定义，需要对复数的实部、虚部加以研究．应该注意到复数的实部、虚部都是实数，解决复数的问题时实际上是在进行实数运算．这一点大家在后面的运算中更加能够体会到． 例2 判断下列命题的对错： ?????= /--=--06504322m m m m ?????=--=--0 6504322m m m m
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
高考文科数学复习专题极坐标与参数方程精选
高考文科数学复习专题极坐标与参数方程 (1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． (2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．显然，每一个有序实数对(ρ， ． 极角的M 称为点，θ极径的M 称为点ρ决定一个点的位置．其中，)θ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一 点的极坐标却不是唯一的． (3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．直线的极坐标方程． 如下图所示． ，0 φ－π＝θ和0 φ＝θ角的直线方程是0 φ过极点且与极轴成(1)
(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a ，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a ，如下图所示． (3)与极轴平行且在x 轴的上方，与x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a ，如下图所 示． 3．圆的极坐标方程． 所示． 1如图，r ＝ρ的圆的方程为r 半径为，以极点为圆心(1) 所示． 2如图，θ_2rcos ＝ρ的圆的方程为r 半径为，圆心在极轴上且过极点(2) 所 3如图，θ_sin 2r ρ的圆的方程为r 过极点且半径为，的射线上π 2 圆心在过极点且与极轴成3)(示． 4．极坐标与直角坐标的互化．
高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案
函 数 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集． ⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． ⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是
2020届高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题高考仿真模拟二2
2020高考仿真模拟(二) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位，则i ＋i 2 ＋i 3 ＋…＋i 2019 等于( ) A ．i B ．1 C ．－i D ．－1 答案 D 解析 由于i ＋i 2 ＋i 3 ＋i 4 ＝i －1－i ＋1＝0，且i n (n ∈N * )的周期为4,2019＝4×504＋3，所以原式＝i ＋i 2 ＋i 3 ＝i －1－i ＝－1.故选D. 2．集合A ＝{y |y ＝2cos 2 x ＋1}，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．(－2,3] B ．(0,2] C ．[1,2) D ．(2,3] 答案 C 解析 因为A ＝{y |y ＝2cos 2x ＋1}＝{y |y ＝cos2x ＋2}＝[1,3]，B ＝{x |log 2(x ＋2)＜2}＝{x |0＜x ＋2＜4}＝(－2，2)，所以A ∩B ＝[1,2)，故选C. 3．“不等式x 2 －x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A ．m ＞14 B ．0＜m ＜1 C ．m ＞0 D ．m ＞1 答案 C 解析 若不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立，则Δ＝(－1)2－4m ＜0，解得m ＞14，因此当不等式x 2 －x ＋m ＞0在R 上恒成立时，必有m ＞0，但当m ＞0时，推不出m >14，即推不出不等式x 2 －x ＋m >0在R 上 恒成立，故所求的必要不充分条件可以是m ＞0. 4．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是( ) A.23 B.12 C.14 D.16 答案 B
高考文科数学专题复习导数训练题(文)
高考文科数学专题复习导数训练题（文) 一、考点回顾 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。 2.导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、不等式、数列的综合应用。 ３.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大(小）值，而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小）值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。 解析： ()2'2+=x x f ,所以()3211'=+=-f 答案：3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 例２. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22y x = +,则 (1)(1)f f '+= 。 解析：因为 21= k ，所以()211'= f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25 ,所 以 ()25 1= f ,所以()()31'1=+f f 答案：3
例3.曲线 32 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析： 443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ,所以设切线方程为b x y +-=5,将点(13)-， 带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为:025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3+-=，直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点()00,y x 00 ≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析: 直线过原点，则 ()000 ≠= x x y k 。由点 () 00,y x 在曲线C 上,则 02 30023x x x y +-=，∴?2302 00 0+-=x x x y 。又263'2 +-=x x y ,∴ 在 ()00,y x 处 曲线C 的切线斜率为 ()263'02 00+-==x x x f k ,∴?2632302 002 0+-=+-x x x x ，整理 得:0 3200=-x x ,解得： 230= x 或00=x (舍），此时,830-=y ,41 - =k 。所以，直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为 x y 41 -=,切点坐标是??? ??-83,23 点评:本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。 解析:函数()x f 的导数为 ()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0' 2020高考文科数学各类大题专题汇总 一、三角函数 二、数列 三、立体几何 四、概率与统计 五、函数与导数 六、解析几何 七、选做题 大题专项练(一)三角函数 A组基础通关 1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0. (1)求角C的大小; (2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值. 因为c cos B+(b-2a)cos C=0, 所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0, 所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C, 所以sin(B+C)=2sin A cos C. 又因为A+B+C=π, 所以sin A=2sin A cos C. 又因为A∈(0,π),所以sin A≠0, 所以cos C=. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由(1)知,C=, 所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab. 又c=2,所以4=a2+b2-ab. 又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立, 所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=×4×sin. 2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°. (1)若∠AMB=60°,求BC; (2)设∠DCM=θ,若MB=4MC,求tan θ. 由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°. 在Rt△ABM中,MB=2AM=4;在Rt△CDM中,MC=2MD=2. 在△MBC中,由余弦定理,得BC2=BM2+MC2-2BM·MC·cos∠BMC=12,BC=2. (2)因为∠DCM=θ, 所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°. 在Rt△MCD中,MC=; , 在Rt△MAB中,MB= °- 由MB=4MC,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=cos θ, 整理可得tan θ=. 第2讲 三角恒等变换与解三角形 高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题. 真 题 感 悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－7 9. 答案 A 2.(2016·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A ＝( ) A.34π B.π 3 C.π4 D.π6 解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ） 2b 2 ，则cos A ＝sin A . 在△ABC 中，A ＝π 4. 答案 C 3.(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋ sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ? ? ???A ＋π4＝0， 因为sin C ≠0，所以sin ? ? ? ??A ＋π4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π 4. 由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4 ＝2 sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π 6. 答案 B 4.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈? ????0，π2，tan α＝2，则cos ? ? ???α－π4＝________. 解析 由tan α＝2得sin α＝2 cos α， 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝1 5. 因为α∈? ? ? ??0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255. 因为cos ? ? ???α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝55×22＋255×22＝31010. 答案 31010 考 点 整 合 1.三角函数公式 (1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. (2)诱导公式：对于“k π 2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； 高三文科数学导数专题复习 1.已知函数)(,3 ,sin )(x f x x b ax x f 时当π =+=取得极小值 33 -π . （Ⅰ）求a ，b 的值； （Ⅱ）设直线)(:),(:x F y S x g y l ==曲线. 若直线l 与曲线S 同时满足下列两个条件： （1）直线l 与曲线S 相切且至少有两个切点； （2）对任意x ∈R 都有)()(x F x g ≥. 则称直线l 为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. 2. 设函数3 221()231,0 1.3 f x x ax a x a =- +-+<< （1）求函数)(x f 的极大值； （2）若[]1,1x a a ∈-+时，恒有()a f x a '-≤≤成立（其中()f x '是函数()f x 的导函数），试确定实数a 的取值范围． 3.如图所示，A 、B 为函数)11(32 ≤≤-=x x y 图象上两点，且AB//x 轴，点M （1，m ）（m>3）是△ABC 边AC 的中点. （1）设点B 的横坐标为t ，△ABC 的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式)(t f S =； （2）求函数)(t f S =的最大值，并求出相应的点C 的坐标. 4. 已知函数x a x x f ln )(2-=在]2,1(是增函数,x a x x g -=)(在(0,1)为减函数. （I ）求)(x f 、)(x g 的表达式； （II ）求证:当0>x 时,方程2)()(+=x g x f 有唯一解； (III ）当1->b 时,若21 2)(x bx x f -≥在x ∈]1,0(内恒成立,求b 的取值范围 5. 已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++在2x =处有极值，曲线()y f x =在1x =处的切线平行于直线32y x =--，试求函数()f x 的极大值与极小值的差。 6.函数x a x x f - =2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）. （1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域； （2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围； （3）求函数)(x f y =在∈x ]1,0(上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值. 7.设x=0是函数2()()()x f x x ax b e x R =++∈的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设]2,2[,,)1()(,0212 2-∈++-=>+ξξ问是否存在x e a a x g a ，使得|1|)()(21≤-ξξg f 成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由. 8. 设函数()2ln q f x px x x =- -，且()2p f e qe e =--，其中e 是自然对数的底数. （1）求p 与q 的关系； 高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） 大田职专11级1—5班数学专题复习 立体几何模块 1、如图，四边形ABCD 与''ABB A 都是边长为a 的正方形，点E 是A A '的中点，'A A ⊥平面ABCD .。（I ）计算：多面体A 'B 'BAC 的体积； （II ）求证：C A '//平面BDE ； (Ⅲ) 求证：平面AC A '⊥平面BDE ． 2、如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，ο45=∠ABC ，1DC =， 2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ； （Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积． 3、如图，在三棱锥A —BCD 中，AB ⊥平面BCD ，它的正视图和俯视图都是直角三角形，图中尺寸单位为cm 。（I ）在正视图右边的网格内,按网格尺寸和画三视图的要求，画出三棱锥的侧（左）视图；（II ）证明：CD ⊥平面ABD ；（III ）按照图中给出的尺寸，求三棱锥A —BC D 的侧面积。 B ' ? D C A ' B A E M C A P 5、（11-3泉质） 6、如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=?，点M 是棱PC 的中点，N 是棱PB 的中点，PA ⊥平面ABCD ，AC 、BD 交于点O 。 （1）求证：平面OMN//平面PAD ； （2）若DM 与平面PAC 所成角的正切值为2，求三棱锥 P —BCD 的体积。 8、 9、已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点． 求证：（Ⅰ）直线MF ∥平面ABCD ； （Ⅱ）平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1． A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M F 第2讲 三角函数 [考情分析] 高考中，三角函数的核心考点是三角函数的图象和性质与解三角形．高考在该部分一般有两个试题，如果在解答题部分没有涉及到正、余弦定理的考查，会有一个与正、余弦定理有关的小题；如果在解答题中涉及到了正、余弦定理，可能还会有一个和解答题相互补充的三角函数图象、性质、恒等变换的小题. 热点题型分析 热点1 三角函数的图象和性质 三角函数的单调性及周期性的求法： (1)三角函数单调性的求法 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)[或y ＝A cos(ωx ＋φ)](A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调性的一般思路是令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求解． (2)三角函数周期性的求法 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)[或y ＝A cos(ωx ＋φ)]的最小正周期T ＝.应特别注意 2π |ω|y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝. π |ω| (2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2)求函数y ＝2＋2 的值域．[f (x ＋π12)][f (x ＋π4)]解 (1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数， 所以对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)， 即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0. 又θ∈[0,2π)，因此θ＝或θ＝. π23π2(2)y ＝2＋2 [f (x ＋π12)][f (x ＋π4)] ＝sin 2＋sin 2(x ＋π12)(x ＋π4) 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =L ， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，12b =，求数列{}n b 的通项公式． 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =L ，则3411-=--n n a S (2,3,)n =L ， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -= ． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=L ，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b Λ ＝1)34(33 41)34(1211 -=--+--n n ， （2≥n ）， 当n=1时也满足，所以1)3 4 (31-=-n n b ． 2.解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32 34 9a a =所以21 9 q =。有条件可知a>0,故13 q =。 由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1 3 n 。 （Ⅱ ）111111log log ...log n b a a a =+++ (12...) (1) 2 n n n =-++++=- 故 12112()(1)1 n b n n n n =-=--++ 12111111112...2((1)()...())22311 n n b b b n n n +++=--+-++-=-++ 向 量 1. 向量的概念 (1)向量的基本要素：大小和方向. (2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ； 坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ） . (3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a ｜ . (4)特殊的向量：零向量a ＝O ?｜a ｜＝O . 单位向量a O 为单位向量?｜a O ｜＝ 1. (5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）?? ?==?2 12 1y y x x (6) 相反向量：a =-b ?b =-a ?a +b =0 (7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量 . 2.. 向量的运算 运算类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则 向量的 减法 三角形法则 AB BA =-,AB OA OB =- 数 乘 向 量 1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ= 2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向; λ=0时, 0a λ=. 向 量 的 数 量 积 a b ?是一个数 1.00a b ==或时， 0a b ?=. 2. 00||||cos(,) a b a b a b a b ≠≠=且时， 3.向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 4.向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B= --． 5.向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ① a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 6.向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 7.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且2020高考文科数学各类大题专题汇总
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