2019年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷及答案解析

2019年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷

一、选择题（每小题2分，共20分）

1．（2分）﹣的相反数是（）

A．﹣B．C．D．﹣

2．（2分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）

A．B．C．D．

3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．（2分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（）

A．7.68×109B．7.68×108C．0.768×109D．0.768×1010 5．（2分）下列计算正确的是（）

A．2a2﹣a2＝1B．（ab）2＝ab2C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a6 6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）

A．9，8B．9，9C．9.5，9D．9.5，8

7．（2分）平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（）A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2）B．P（2，﹣3）Q（3，2）

C．P（2，3），Q（﹣4，）D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）

8．（2分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）

A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1＝2S2

9．（2分）无理数2﹣3在（）

A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间10．（2分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝m，则图中阴影部分的面积是（）

A．m2B．m2C．（）m2D．（）m2二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）分解因式：a2﹣4＝．

12．（3分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是．13．（3分）若分式方程有增根，则实数a的值是．

14．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．

15．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，则这两年的年利润平均增长率为．

16．（3分）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为．

三、解答题（17题6分，18题、19题各8分，共22分）

17．（6分）计算：2﹣1+3tan60°﹣+（2019﹣π）0

18．（8分）如图．在平行四边形ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N．

（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；

（2）已知AF＝5，EM＝3，求AN的长．

19．（8分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．

（1）求共抽取了多少名学生的征文；

（2）将上面的条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；

（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．

四、（每小题8分，共16分）

20．（8分）某学校在‘小小数学家’的课堂练习中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加全国数学大赛，请用列表法或画树状图法，求恰好同时选中甲、丁两位同学的概率．

21．（8分）小颖准备用21元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.5元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几支笔？

五、（本题10分）

22．（10分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD 于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．

（1）求证：AC平分∠DAO．

（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°

①求∠OCE的度数；

②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

六、（本题10分）

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（1，）B（4，）的直线l分别与x 轴、y轴交于点C，D．

（1）求直线l的函数表达式．

（2）P为x轴上一点，若△PCD为等腰三角形直接写出点P的坐标．

（3）将线段AB绕B点旋转90°，直接写出点A对应的点A的坐标．

七、（本题12分）

24．（12分）如图在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，M为AC的中点．D 是射线CB上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接MN．

（1）如图1，∠BCE＝，NM与AC的位置关系是；

（2）如图2，判断（1）中NM与AC的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

（3）连接ME，在点D运动的过程中，当CD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．

八、（本题12分）

25．（12分）如图，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），点P是直线BC上方抛物线上的一动点，PE∥y轴，交直线BC于点E连接AP，交直线BC于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；

（3）求线段PE的最大值；

（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．

2019年辽宁省沈阳市大东区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题2分，共20分）

1．（2分）﹣的相反数是（）

A．﹣B．C．D．﹣

【解答】解：﹣的相反数是，

故选：C．

2．（2分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的左视图为（）

A．B．C．D．

【解答】解：从左面看，这个立体图形有两层，且底层有两个小正方形，第二层的左边有一个小正方形．

故选：A．

3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

4．（2分）2018年春节期间共有7.68亿人选择使用微信红包传递新年祝福，收发红包总人数同比去年增加约10%，7.68亿用科学记数法可以表示为（）

A．7.68×109B．7.68×108C．0.768×109D．0.768×1010【解答】解：7.68亿用科学记数法可以表示为7.68×108．

故选：B．

5．（2分）下列计算正确的是（）

A．2a2﹣a2＝1B．（ab）2＝ab2C．a2+a3＝a5D．（a2）3＝a6

【解答】解：A、2a2﹣a2＝a2，故A错误；

B、（ab）2＝a2b2，故B错误；

C、a2与a3不是同类项，不能合并，故C错误；

D、（a2）3＝a6，故D正确．

故选：D．

6．（2分）某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班级的学生，对他们一周的读书时间进行了统计，统计数据如下表所示：

则该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是（）

A．9，8B．9，9C．9.5，9D．9.5，8

【解答】解：由表格可得，

该班学生一周读书时间的中位数和众数分别是：9、8，

故选：A．

7．（2分）平面直角坐标系中，点P，Q在同一反比例函数图象上的是（）A．P（﹣2，﹣3），Q（3，﹣2）B．P（2，﹣3）Q（3，2）

C．P（2，3），Q（﹣4，）D．P（﹣2，3），Q（﹣3，﹣2）

【解答】解：A、∵（﹣2）×（﹣3）≠3×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；

B、∵2×（﹣3）≠3×2，故点P，Q不在同一反比例函数图象上；

C、∵2×3＝（﹣4）×（），故点P，Q在同一反比例函数图象上；

D、∵（﹣2）×3≠（﹣3）×（﹣2），故点P，Q不在同一反比例函数图象上；

故选：C．

8．（2分）如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一

点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（）

A．S1＞S2B．S1＜S2C．S1＝S2D．S1＝2S2

【解答】解：

∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，

∴AA′∥BC′，

∵点P是直线AA′上任意一点，

∴△ABC，△PB′C′的高相等，

∴S1＝S2，

故选：C．

9．（2分）无理数2﹣3在（）

A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间

【解答】解：∵2＝，

∴6＜＜7，

∴无理数2﹣3在3和4之间．

故选：B．

10．（2分）如图，ABCDEF为⊙O的内接正六边形，AB＝m，则图中阴影部分的面积是（）

A．m2B．m2C．（）m2D．（）m2【解答】解：∵正六边形的边长为m，

∴⊙O的半径为m，

∴⊙O的面积为π×m2＝πm2，

∵空白正六边形为六个边长为m的正三角形，

∴每个三角形面积为×m×m×sin60°＝m2，

∴正六边形面积为m2，

∴阴影面积为（πm2﹣m2）×＝（﹣）m2，

故选：D．

二、填空题（每小题3分，共18分）

11．（3分）分解因式：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．

【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．

12．（3分）在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色做子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是15．【解答】解：5÷﹣5＝15．

∴白色棋子有15个；

故答案为：15．

13．（3分）若分式方程有增根，则实数a的值是4或8．【解答】解：∵+＝，

∴+＝，

当x2﹣2x≠0时，

原式化为3x﹣a+x＝2x﹣4，

∴2x＝a﹣4，

∵分式方程有增根，

∴x＝0或x＝2，

当x＝0时，a＝4；

当x＝2时，a＝8．

故答案是4或8．

14．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是．

【解答】解：连接AB，

∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，

∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，

∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，

∴∠AOB＝45°，

∴cos∠AOB＝cos45°＝．

故答案为：．

15．（3分）某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，则这两年的年利润平均增长率为30%．

【解答】解：这两年的年利润平均增长率为x，根据题意可列出方程为：

300（1+x）2＝507，

解得：x1＝﹣2.3（不合题意舍去），x2＝0.3＝30%，

故答案为：30%．

16．（3分）如图，将边长为4的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点E处，

折痕为FG，点F、G分别在边AD、BC上，则折痕FG的长度为．

【解答】解：如图，过点G作GH⊥AD于H，则四边形ABGH中，HG＝AB，

由翻折变换的性质得GF⊥AE，

∵∠AFG+∠DAE＝90°，∠AED+∠DAE＝90°，

∴∠AFG＝∠AED，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，

∴HG＝AD，

在△ADE和△GHF中，

，

∴△ADE≌△GHF（AAS），

∴GF＝AE，

∵点E是CD的中点，

∴DE＝CD＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，AE＝＝＝2，

∴GF的长为2．

故答案为：2．

三、解答题（17题6分，18题、19题各8分，共22分）

17．（6分）计算：2﹣1+3tan60°﹣+（2019﹣π）0

【解答】解：2﹣1+3tan60°﹣+（2019﹣π）0

＝+3﹣2+1

＝3﹣

18．（8分）如图．在平行四边形ABCD中，过点B作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过

点D作DN⊥AC于点F，交AB于点N．

（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；

（2）已知AF＝5，EM＝3，求AN的长．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∵BM⊥AC，DN⊥AC，

∴DN∥BM，

∴四边形BMDN是平行四边形；

（2）∵四边形BMDN是平行四边形，

∴DM＝BN，

∵CD＝AB，CD∥AB，

∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF，

∵∠CEM＝∠AFN＝90°，

∴△CEM≌△AFN，

∴FN＝EM＝3，

在Rt△AFN中，AN＝．

（1）求共抽取了多少名学生的征文；

（2）将上面的条形统计图补充完整；

（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；

（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．

【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%＝50（名）．

（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3＝15（名），

条形统计图如图所示：

（3）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为20÷50＝40%，

∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%×360°＝144°；

（4）该校九年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%＝360名．

四、（每小题8分，共16分）

【解答】解：画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中甲、丁两位同学的有2种情况，

∴恰好同时选中甲、丁两位同学的概率为＝．

21．（8分）小颖准备用21元买笔和笔记本．已知每支笔3元，每个笔记本2.5元，她买了2个笔记本．请你帮她算一算，她还可能买几支笔？

【解答】解：设她还可以买x支笔，根据题意，

得3x+2.5×2≤21，

解得x≤，

答：她还可能买1支、2支、3支、4支、或5支笔．

五、（本题10分）

22．（10分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD 于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．

（1）求证：AC平分∠DAO．

（2）若∠DAO＝105°，∠E＝30°

①求∠OCE的度数；

②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

【解答】解：（1）∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OC＝OA，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠OAC＝∠DAC，

∴AC平分∠DAO；

（2）①∵AD∥OC，

∴∠EOC＝∠DAO＝105°，

∵∠E＝30°，

∴∠OCE＝45°；

②作OG⊥CE于点G，

则CG＝FG＝OG，

∵OC＝2，∠OCE＝45°，

∴CG＝OG＝2，

∴FG＝2，

在Rt△OGE中，∠E＝30°，

∴GE＝2，

∴．

六、（本题10分）

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，过点A（1，）B（4，）的直线l分别与x 轴、y轴交于点C，D．

（1）求直线l的函数表达式．

（2）P为x轴上一点，若△PCD为等腰三角形直接写出点P的坐标．

（3）将线段AB绕B点旋转90°，直接写出点A对应的点A的坐标．

【解答】解：（1）设直线l的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），

将A（1，），B（4，）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴直线l的函数表达式为y＝﹣x+8．

（2）当x＝0时，y＝﹣x+8＝8，

∴点D的坐标为（0，8）；

当y＝0时，﹣x+8＝0，

解得：x＝6，

∴点C的坐标为（6，0），

∴CD＝10．

分三种情况考虑（如图1所示）：

①当DC＝DP时，OC＝OP1，

∴点P1的坐标为（﹣6，0）；

②当CD＝CP时，CP＝10，

∴点P2的坐标为（﹣4，0），点P3的坐标为（16，0）；

③当PC＝PD时，设OP4＝m，

∴（6+m）2＝82+m2，

解得：m＝，

∴点P4的坐标为（﹣，0）．

综上所述：点P的坐标为（﹣6，0），（﹣4，0），（16，0）或（﹣，0）．（3）过点B作直线l的垂线，交y轴于点E，如图2所示．

∵点B（4，），点D（0，8），

∴BD＝＝．

∵∠CDO＝∠EDB，∠DOC＝∠DBE＝90°，

∴△DOC∽△DBE，

∴＝，即＝，

∴DE＝，

∴点E的坐标为（0，﹣）．

利用待定系数法可求出直线BE的函数表达式为y＝x﹣．

设点A′的坐标为（n，n﹣）．

∵A′B＝AB，

∴（4﹣n）2+[﹣（n﹣）]2＝（4﹣1）2+（﹣）2，

即n2﹣8n＝0，

解得：n1＝0，n2＝8，

∴点A′的坐标为（0，﹣）或（8，）．

七、（本题12分）

（1）如图1，∠BCE＝90°，NM与AC的位置关系是MN⊥AC；

（2）如图2，判断（1）中NM与AC的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

（3）连接ME，在点D运动的过程中，当CD的长为何值时，ME的长最小？最小值是

多少？请直接写出结果．

【解答】解：（1）如图1中，连接AN，CN．

∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠ECB＝45°+45°＝90°，

∵DN＝EN，

∴CN＝DE，同法AN＝DE，

∴NA＝NC，

∵AM＝MC，

∴NM⊥AC，

故答案为90°，MN⊥AC．

（2）如图2中，结论不变．

理由：连接AN，CN．

∵△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ACB＝45°∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，

∵∠ABC＝∠ACB＝45°，

∴∠ABD＝∠ACE＝135°，

∴∠DCE＝90°，

∵DN＝EN，

∴CN＝DE，同法AN＝DE，

∴NA＝NC，

∵AM＝MC，

∴NM⊥AC．

（3）如图3中，

由（1）可知∠ECB＝90°，

∴CE⊥BC，

∴当ME⊥EC时，ME的值最小，

在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝2，

∴BC＝4，

∵AM＝MC＝，

在Rt△CME中，∵∠ECM＝∠CME＝45°，

∴EC＝EM＝1，

由（1）可知：△BAD≌△CAE，

∴BD＝EC＝1，

∴CD＝4﹣1＝3．

∴当CD＝3时，EM的值最小，最小值为1．

八、（本题12分）

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）当AD＝2PD时，求点P的坐标；

（3）求线段PE的最大值；

（4）当线段PE最大时，若点F在直线BC上且∠EFP＝2∠ACO，直接写出点F的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3）（a≠0），则

3＝a×1×（﹣3），

∴a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），

即y＝﹣x2+2x+3；