2020年四川省南充市中考数学试卷和答案解析

2020年四川省南充市中考数学试卷

和答案解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．

1．（4分）若＝﹣4，则x的值是（）

A．4B．C．﹣D．﹣4

解析：根据倒数的定义求出即可．

参考答案：解：∵＝﹣4，

∴x＝﹣，

故选：C．

点拨：本题考查了倒数的定义，能熟记倒数的定义的内容是解此题的关键．

2．（4分）2020年南充市各级各类学校在校学生人数约为1150000人，将1150000用科学记数法表示为（）

A．1.15×106B．1.15×107C．11.5×105D．0.115×107解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

参考答案：解：1150000＝1.15×106，

故选：A．

点拨：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（4分）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB＝2，当风车转动90°，点B运动路径的长度为（）

A．πB．2πC．3πD．4π

解析：由题意可得点B的轨迹是以A为圆心，AB长为半径的弧，利用弧长公式可求解．

参考答案：解：由题意可得：点B运动路径的长度为＝＝π，

故选：A．

点拨：本题考查了轨迹，弧长公式，掌握弧长公式是本题的轨迹．4．（4分）下列运算正确的是（）

A．3a+2b＝5ab B．3a?2a＝6a2

C．a3+a4＝a7D．（a﹣b）2＝a2﹣b2

解析：各项计算得到结果，即可作出判断．

参考答案：解：A、原式不能合并，不符合题意；

B、原式＝6a2，符合题意；

C、原式不能合并，不符合题意；

D、原式＝a2﹣2ab+b2，不符合题意．

故选：B．

点拨：此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

5．（4分）八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为（单位：环）：4，5，6，6，6，7，8．则下列说法错误的是（）

A．该组成绩的众数是6环

B．该组成绩的中位数是6环

C．该组成绩的平均数是6环

D．该组成绩数据的方差是10

解析：根据平均数、中位数、众数和方差的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．

参考答案：解：A、∵6出现了3次，出现的次数最多，∴该组成绩的众数是6环，故本选项正确；

B、该组成绩的中位数是6环，故本选项正确；

C、该组成绩的平均数是：（4+5+6+6+6+7+8）＝6（环），故本选项正确；

D、该组成绩数据的方差是[（4﹣6）2+（5﹣6）2+3×（6﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝，故本选项错误；

故选：D．

点拨：此题考查了平均数、中位数、众数和方差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义．

6．（4分）如图，在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝（）

A．B．C．a﹣b D．b﹣a

解析：根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD，进而解答即可．

参考答案：解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD＝72°，

∴∠ABD＝36°＝∠A，

∴BD＝AD，

∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°＝∠C，

∴BD＝BC，

∵AB＝AC＝a，BC＝b，

∴CD＝AC﹣AD＝a﹣b，

故选：C．

点拨：此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出BD＝BC＝AD解答．

7．（4分）如图，面积为S的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是线段BC的中点，过点E作EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，则四边形EFOG的面积为（）

A．S B．S C．S D．S

解析：由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC ×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．

参考答案：解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，S＝AC×BD，

∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，

∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，

∵点E是线段BC的中点，

∴EF、EG都是△OBC的中位线，

∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，

∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝S；

故选：B．

点拨：本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．8．（4分）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC ＝（）

A．B．C．D．

解析：作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．参考答案：解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，AB＝＝，AC＝＝3，

∵S △ABC＝AC?BD＝×3?BD＝×1×3，

∴BD＝，

∴sin∠BAC＝＝＝．

故选：B．

点拨：本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积

求出BD是解决问题的关键．

9．（4分）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A．≤a≤3B．≤a≤1C．≤a≤3D．≤a≤1

解析：求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．

参考答案：解：当抛物线经过（1，3）时，a＝3，

当抛物线经过（3，1）时，a＝，

观察图象可知≤a≤3，

故选：A．

点拨：本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．（4分）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；

②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则﹣＜a≤﹣1或1≤a ＜；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜﹣或a≥1．其中正确的结论是（）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

解析：由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝﹣，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．

参考答案：解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x＝，

∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，

∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；

当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，

若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5≤y≤﹣5，

∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，

∴1≤a＜，

若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y≤﹣3a﹣5，

∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，

∴﹣＜a≤﹣1，

故②正确；

若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，

∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，

∴，

∴a≥1，

若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，

∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，

∴，

∴a＜﹣，

综上所述：当a＜﹣或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．

故选：D．

点拨：本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上.

11．（4分）计算：|1﹣|+20＝．

解析：原式利用绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可求出值．

参考答案：解：原式＝﹣1+1

＝．

故答案为：．

点拨：此题考查了实数的运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（4分）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2＝76°，则∠1＝38度．

解析：直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．

参考答案：解：∵两直线交于点O，

∴∠1＝∠2，

∵∠1+∠2＝76°，

∴∠1＝38°．

故答案为：38．

点拨：此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．13．（4分）从长分别为1，2，3，4的四条线段中，任意选取三条线段，能组成三角形的概率是．

解析：画出树状图，共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，由概率公式即可得出答案．

参考答案：解：画树状图如图：

共有24个等可能的结果，能组成三角形的结果有6个，

∴能组成三角形的概率为＝；

故答案为：．

点拨：本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；正确画出树状

图是解题的关键．

14．（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔10支．

解析：首先设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，根据题意购买钢笔的花费+购买笔记本的花费＝100元，即可求解．

参考答案：解：设某同学买了x支钢笔，则买了y本笔记本，由题意得：

7x+5y＝100，

∵x与y为整数，

∴x的最大值为10，

故答案为：10．

点拨：此题主要考查了二元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的相等关系．

15．（4分）若x2+3x＝﹣1，则x﹣＝﹣2．

解析：根据分式的减法可以将所求式子化简，然后根据x2+3x＝﹣1，可以得到x2＝﹣1﹣3x，代入化简后的式子即可解答本题．

参考答案：解：x﹣

＝

＝，

∵x2+3x＝﹣1，

∴x2＝﹣1﹣3x，

∴原式＝＝＝＝﹣2，

故答案为：﹣2．

点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

16．（4分）△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，将△ABC绕点C 旋转到△EDC，点E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，则AB＝．

解析：根据圆周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根据旋转的性质得到AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，设CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE＝x，根据相似三角形的性质得到BD＝根据勾股定理即可得到结论．

参考答案：解：∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝∠ACB＝90°，

∵将△ABC绕点C旋转到△EDC，

∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∵tanD＝＝3，

∴设CE＝3x，CD＝x，

∴DE＝x，

∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，

∴△ACE∽△DCB，

∴＝3，

∵AE＝2，

∴BD＝

∴BE＝DE﹣BD＝x﹣，

∵AE2+BE2＝AB2，

∴22+（x﹣）2＝（x）2，

∴x＝，

∴AB＝DE＝，

故答案为：．

点拨：本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题（本大题共9个小题，其86分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（8分）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝+1．解析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

参考答案：解：（﹣1）÷

＝

＝

＝

＝，

当x＝+1时，原式＝＝﹣．

点拨：本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．

18．（8分）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC ⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

解析：证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．

参考答案：证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠ACB＝∠CED．

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA），

∴AB＝CD．

点拨：本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．

19．（8分）今年，全球疫情大爆发，我国派遣医疗专家组对一些国

家进行医疗援助．某批次派出20人组成的专家组，分别赴A、B、C、D四个国家开展援助工作，其人员分布情况如统计图（不完整）所示：

（1）计算赴B国女专家和D国男专家人数，并将条形统计图补充完整．

（2）根据需要，从赴A国的专家中，随机抽取两名专家对当地医疗团队进行培训，求所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率．解析：（1）先用赴A国的专家的人数除以它所占的百分比得到调查的总比分人数，再计算出赴B国女专家人数和赴D国男专家人数，然后补全条形统计图；

（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，找出所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．

参考答案：解：（1）（2+3）÷25%＝20（人），

所以调查的总人数为20人，

赴B国女专家人数为20×40%﹣5＝3（人）

赴D国男专家人数为20×（1﹣20%﹣40%﹣25%）﹣2＝1（人）

条形统计图补充为：

（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的两名专家恰好是一男一女的结果数为12，

所以所抽取的两名专家恰好是一男一女的概率＝＝．

点拨：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．20．（10分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．

（1）求k的取值范围．

（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．

解析：（1）根据方程的系数结合△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝2，x1x2＝k+2，结合+

＝k﹣2，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值，再结合（1）即可得出结论．

参考答案：解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，

解得：k≤﹣1．

（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，

∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．

∵+＝k﹣2，

∴＝＝k﹣2，

∴k2﹣6＝0，

解得：k 1＝﹣，k2＝．

又∵k≤﹣1，

∴k＝﹣．

∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．

点拨：本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+＝k﹣2，找出关于k的方程．

21．（10分）如图，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象与y＝2x 的图象相交于点C，过直线上点A（a，8）作AB⊥y轴交于点B，交反比例函数图象于点D，且AB＝4BD．

（1）求反比例函数的解析式．

（2）求四边形OCDB的面积．

解析：（1）想办法求出点D的坐标即可解决问题．

（2）构建方程组求出点C的坐标，利用分割法求面积即可．

参考答案：解：（1）∵点A（a，8）在直线y＝2x上，

∴a＝4，A（4，8），

∵AB⊥y轴于D，AB＝4BD，

∴BD＝1，即D（1，8），

∵点D在y＝上，

∴k＝8．

∴反比例函数的解析式为y＝．

（2）由，解得或（舍弃），

∴C（2，4），

∴S四边形OBDC＝S△AOB﹣S△ADC＝×4×8﹣×4×3＝10．

点拨：本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

22．（10分）如图，点A，B，C是半径为2的⊙O上三个点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC 的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F．

（1）判断直线EF与⊙O的位置关系，并证明．

（2）若DF＝4，求tan∠EAD的值．

解析：（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；

（2）根据勾股定理得到OF＝＝6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论．

参考答案：（1）证明：连接OD，如图所示：

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

∵AD平分∠EAF，

∴∠DAE＝∠DAO，

∴∠DAE＝∠ADO，

∴OD∥AE，

∵AE⊥EF，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：在Rt△ODF中，OD＝2，DF＝4，

∴OF＝＝6，

∵OD∥AE，

∴，

∴＝＝，

∴AE＝，ED＝，

∴tan∠EAD＝＝．