医学图像变换

第四章 医学图像变换

在医学图像处理与分析中广泛应用着各种图像变换技术，它们是图像处理与分析的重要工具之一，通过各种图像变换来转换图像的表示域以及表示数据，给后续的图像处理工作带来极大的方便。图像变换是一种为了达到某种目的而对图像使用的一种数学操作，经过图像变换后的图像将能够更方便、更容易地被处理和操作，因此图像变换在图像增强、图像复原、图像编码、特征抽取等方面有着广泛的应用。例如，傅立叶变换可使处理分析在频域中进行，使运算更简便；某些图像经过变换后往往能反映出图像的灰度结构特征，从而更便于分析；还有许多变换可使变换后的能量集中在少数数据上，从而便于实现数据压缩、图像传输和存储等等方面。

在实际的图像处理中，图像变换可以看作是一个数学问题，即对原图像函数寻找一个合适的变换核，但本质上来说，图像变换有着深刻的物理背景。常用的图像变换方法主要有：傅立叶变换、余弦变换、小波变换、哈达玛变换、K —L 变换、哈尔变换、斜变换等。由于傅立叶变换和小波变换目前应用的较为普遍，并且在理论上也比较重要，所以本章将重点讨论这两种图像变换形式。

第一节 傅立叶变换

傅立叶变换是一种正交变换，它广泛地应用于很多领域，从某种意义上说，傅立叶变换就是函数的第二种描述语言，掌握了傅立叶变换，人们就可以在空域和频域中同时思考处理问题的方法。由于它不仅能把空间域中复杂的卷积运算转化为频率域中的乘积运算，还能在频率域中简单而有效地实现增强处理和进行特征抽取，因而在图像处理中也得到了广泛的应用。

一、一维傅立叶变换

一维连续信号的傅立叶正变换和反变换的数学表达式如下：

dx e x f u F ux j ?∞

∞--=π2)()( （4.1） du e u F x f ux j ?∞

∞-=π2)()( （4.2）

从上式可以看出F(u)通常是自变量u 的复函数，可以将其表达为如下形式： )(jI )(R )(u u u F += （4.3） 可以得到：

)(I )(R )(22u u u F +=， （4.4）

??

????=)(R )(I arctan )(u u u θ （4.5） 其中)(u F 称为)(x f 的频幅谱或傅立叶谱，)(u θ为傅立叶变换的相位角，振幅谱的平方通常被称为)(x f 的能量谱。

傅立叶变换的物理含义是将信号f(x)表达为一系列正交基函数的加权求和。傅立叶正变换的目的就是求出对应各正交基的权重。傅立叶反变换的目的就是通过这些基函数的加权和，恢复出原始信号。

同样道理，在离散域中，一维连续傅立叶变换式中的积分运算可以简化为求和，一维离散傅立叶正变换和反变换的表达式如下：

∑-=-=102)()(N x N ux j e

x f u F π （4.6）

∑-==1

02)(1)(N x N ux

j e u F N x f π （4.7） 如下图所示是一个淹没在噪声当中的信号，仅从时域信号看，很难看到信号本身的特征。将该信号进行傅立叶变换后并如图显示所示，则能很容易看出信号的主要信息特征。

图4-1 信号的时域显示

图4-2 信号的频域显示

二、二维傅立叶变换

对于二维信号或者图像信号来说，同样存在连续傅立叶变换和离散傅立叶变换，它们的正变换和反变换分别如下式所表示：

二维连续傅立叶变换：

d x d y

e y x

f v u F vy ux j ??∞∞-∞∞-+-=

)(2),(),(π （4.8） d u d v e v u F y x f vy ux j ??∞∞-∞

∞-+=)(2),(),(π （4.9）

二维离散傅立叶变换：

∑∑-=-=+-=1010)(2),(),(M x N y N vy M ux j e

y x f v u F π （4.10）

∑∑-=-=+=101

0)(2),(1),(M x N y N vy

M ux j e v u F MN y x f π （4.11）

三、傅立叶变换的性质

（1）平均值

傅立叶变换域原点的频谱分量)0,0(F 是空间域的平均值的N 倍，即式（4.12）所示：

),(),(1),(1)0,0(101010102y x f N y x f N N y x f N F N x N y N x N y =??

????==∑∑∑∑-=-=-=-= （4.12） （2）变换的周期性

设m ，n 为整数，m ，n=0，±1，±2，…，将u+mN 和v+nN 代入式中右

边，有：

[]∑∑-=-=??

????+++-=++1010)()(exp ),(1),(N x N y N y nN v x mN u iz y x f N nN v mN u F π [][])(exp exp ),(11010ny mx iz N vy ux iz y x f N N x N y +-???

????+-?=∑∑-=-=ππ （4.13） 上式中，右边第二个指数项[])(exp ny mx iz +-π为单位值，因此傅立叶变换是周期性的，即：),(),(v u F nN v mN u F =++

（3）对称共轭性

由离散傅立叶变换定义可方便地证明，傅立叶变换满足：

),(),(),(v u F v u F nN v mN u F *=--=++* （4.14）

（4）平移性

如果用),(),(v u F y x f ?表示傅立叶变换对，则平移性是指：

),()(e x p ),(v v u u F N y v x u iz y x f '-'-???

????'+'π （4.15） ??

????'+'-?'-'-N y v x u iz v u F y y x x f )(exp ),(),(π （4.16） 由于),()(exp ),(v u F N y v x u iz v u F =??

????'+'-π，因而说明),(y x f 的移动并不影响它的傅立叶变换的幅度。

（5）线性特性和比例性

设),(),(),(21y x bf y x af y x f +=，若),(1v u F 和),(2v u F 分别是),(),(21y x f y x f 和的傅氏变换，则根据定义可知其线性特性为：

),(),(),(21v u F v u aF v u F += （4.17）

同时，也容易证明其比例性为：

),(1),(b

v a u F ab bv au F = （4.18） （6）可分离性

可分离性的主要优点是可以通过两次一维变换来实现一个二维变换（或反变换）。可分为两步，第一步：先沿y 轴对),(y x f 求一维离散傅立叶变换，得中间结果),(1v x F ，即：

)/e x p (),(1),(10

1N vy iz y x f N y x F N y ∑-=-=π （4.19） 第二步，再沿x 轴对),(1v x F 求一维离散傅氏变换，得最后结果),(v u F ，即：

)/e x p (),(1),(1

01

M ux iz v x F M

v u F M x ∑-=-=π （4.20） （7）旋转性质 由于在极坐标下表示二维函数图形的旋转特性非常方便，所以可以将坐标进行转换。空间域坐标变换为：

θc o s

r x =，θsin r y = （4.21） 频率域坐标变换为：

φ

ωc o s =u ，φωsin =v （4.22） ),(),(φωθF r f ?便是极坐标中的傅氏变换对。可以证明二维离散傅氏变换具有如下旋转性质：

),(),(00φφωθθ+?+F r f （4.23）

（8）微分性质

傅立叶变换的微分性质可表示为：

),()(),(v u F u iz x y x f n n n π???和),()(),(v u F v iz y

y x f n n n π??? （4.24） 作为特例，在图像增强中用到的拉普拉斯（Laplace ）算式，可以定义为：

22222

),(),(),(),(y y x f x y x f y x f y x f ??+??=?=? （4.25） 则由微分性质可知laplace 算子的傅氏变换为),()()2(222v u F v u +-π，即：),()()2(),(222v u F v u y x f +-=?π便是在模式识别技术中经常用到的laplace 算子。

四、快速傅立叶变换（FFT ） 对于一维的傅立叶变换∑-=-=102)()(N x N ux j e

x f u F π的计算来说，每次计算都需要进

行N 次复数乘法和N －1次加法，用这个公式计算N 点的一维傅立叶变换就有

计算2N 次的乘法和加法运算。而快速傅立叶变换把?????

?-N ux j π2exp 只计算一次，然后把它存放在一个表里，以备查用，这样可以使计算次数减少为N N 2log ，因此原始变换算法与快速傅立叶变换算法的计算量之比为N N 2log /，当N 比较大时，计算量节省是相当可观的。

下面介绍一种逐次加倍法的快速傅立叶变换算法：

令：)/2exp(N j W N π-= 其中N 为2的正整数次幂，且M N 2=，则上式可表示为：

∑∑∑-=+-=-=++==1

0)12(210)2(210)12()2()()(N x x u M N x x u M N x ux N W x f W x f W

x f u F （4.26） 由于性质ux M

ux M W W =22，所以可以将上式写为：

∑∑-=-=++=101

02)12()2()(N x N x u M ux M ux M W W x f W

x f u F （4.27） 现在可以定义：

∑-==10)2(1)(M x ux M even W x f M

u F 1,1,0-=M u （4.28） ∑-=+=10)12(1)(M x ux M odd W x f M u F 1,1,0-=M u （4.29）

因此可以将（4.1.26）简化为：

[]

u M o d d e v e n W u F u F u F 2)()(21)(+= （4.30） 同理，由u M M u M W W =+和u M M u M W W 22-=+可得：

[]

u M odd even W u F u F M u F 2)()(21)(-=+ （4.31） 现在我们来仔细分析式（4.28）到式（4.29），式（4.30）和式（4.31）表明1个N 点的变换可通过将原始表达式分成两半来计算，对)(u F 第一半的计算需要根据式式（4.1.27）和式（4.1.28）计算2个（N/2）点的变换，这样所得到的所得到的)()(u F u F odd even 和可以代入式（4.30）和式（4.31）以得到12/,1,0-=N u 时的)(u F 。对剩余的)(u F 的计算也与此类似。

因此该算法的关键是将输入数据排列成满足连续运用式（4.28）和式（4.29）的次序。例如要计算1个8点{})7(,),1(),0(f f f 的快速傅立叶变换，需要将它们排列成{})7(),3(),5(),1(),6(),2(),4(),0(f f f f f f f f 的形式，如下图所示，这样在第1层先计算4个2点变换，在第2层用以上4个结果计算2个4点变换，在第3层再用医师2个结果计算1个8点变换。

图4-3 快速傅立叶变换的输入数据排序

对输入数据的排序可根据一个简单的位对换规则进行，如用x 表示)(x f 的1

个自变量值，那么它排序后对应的值可通过把x 表示成二进制，并左右对换各位得到。例如32=N 时，)6(f 排序后为)3(f ，因为21106=，而反过来的30112=。因此，只有把输入数据进行重新排序，则输出结果才是正确的次序，对于傅立叶反变换也可以类似计算。

五、傅立叶变换的物理意义

傅立叶变换的本质是将一个时域上的信号转换到频率域。我们平时观测到的各种物理量都是随时间的变化，进行傅立叶变换以后就是这些物理量在不同频率上的分布。从傅立叶变换原理可以看出，任何连续测量的时序信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。

对于图像傅立叶变换的物理意义来说，是将以灰度信息表示的图像转变成以不同频率信息表示的图像，换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，而图像的频率信息是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标。

因此，和对信号的傅立叶变换相似，任何图像的傅立叶变换也可以用许多基图像的线性组合来表示，如图4.4，图4.5，图4.6所示。

图4-4 基函数图像

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于 地表属性

u

v

变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换以前，图像是由对在连续空间上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。从傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，如图4.5和图4.6所示，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

图4-5 以数字矩阵形式表示的图像傅立叶变换

图4-6 以基函数表示图像傅立叶变换

六、基于傅立叶变换的频域滤波

空间域和频率域的线性滤波基础都是卷积定理，该定理可以表示为:

),(F ),(H )y ,x (h )y ,x (f υμυμ?* （4.32） ),(F ),(H )y ,x (h )y ,x (f υμυμ*? （4.33）

其中，符号"*"表示两个函数的卷积，双箭头两边的表达式组成了傅立叶变换对。第一个表达式表明两个空间函数的卷积可以通过计算两个傅立叶变换函数的乘积的逆变换得到。相反，两个空间函数的卷积的傅立叶变换恰好等于两个函数的傅立叶变换的乘积。同样的情况也出现在第二个表达式中。

基于傅立叶变换的频域滤波问题，主要通过第一个表达式来实现。在空间域中的操作图像)y ,x (f 与设定滤波函数)y ,x (h 。根据卷积定理，我们可以在频域中通过),(H υμ乘以),(F υμ来得到相同的结果，我们通常将空间滤波器的傅立叶变换),(H υμ称为滤波传递函数。 基本上，频域滤波的目的是选择一个滤波器传递函数，以便按照指定的方式修改),(F υμ。

基于傅立叶变换的频域滤波处理的过程，包括如下主要环节：

图4-7 频域滤波基本过程

根据以上分析，针对一幅医学图像进行频域滤波处理，其结果如图4.8和图

4.9所示：

图4-8 医学图像及其频谱显示

图4-9 滤波器图形及其滤波结果

七、傅立叶变换相关函数

在MATLAB中较为常见的傅立叶变换相关函数主要有以下这些：

傅立叶变换相关函数

conv 卷积

conv2 2维卷积

fft 快速傅立叶变换

fft2 2维快速傅立叶变换

ifft 逆快速傅立叶变换

ifft2 2维逆快速傅立叶变换

filter 离散时间滤波器

filter2 2维离散时间滤波器

abs 幅值

angle 四个象限的相角

unwrap 在360°边界清除相角突变

fftshift 把FFT结果平移到负频率上

表4-1 傅立叶变换相关函数

第二节 离散余弦变换

离散余弦变换（DCT ）是利用傅立叶变换的对称性，采用图像边界褶翻操作将图像变换为偶函数形式，然后对这样的图像进行二维离散傅立叶变换，变换后的结果将仅包含余弦项，所以称为离散余弦变换。离散余弦变换可以将图像描述为不同幅值和频率的正弦值之和的形式。离散余弦变换的一个重要的性质就是，有关图像的许多重要可视信息都集中在变换后的一小部分系数当中，因此，在图像压缩处理中离散余弦变换是非常有用的，而且离散余弦变换已经是有损压缩国际标准JPEG 算法的核心变换。

一、 一维离散余弦变换

如果首先定义一个常量为：

???????-====1,,2,12)(01)(N u N u a u N u a 当当 （4.34）

那么一维离散余弦变换（DCT ）的正变换核由下述关系式给出：

∑-=+=102)12(cos

)()()(N x N u x x f u a u C π )1,,2,1,0(-=N u （4.35）

同样一维离散余弦的反变换也可以定义为：

∑-=+=102)12(cos

)()()(N u N

u x u C u a x f π )1,,2,1,0(-=N x （4.36）

二、二维离散余弦变换

同样道理，二维离散余弦变换的正反变换相同也可以表示为：

∑∑-=-=++=10102)12(cos 2)12(cos

),()()(),(N x N y N

v y N u x y x f v a u a v u C ππ 1,,1,0,-=N v u （4.37）

∑∑-=-=++=10102)12(cos 2)12(cos

),()()(),(N x N y N

v y N u x v u C v a u a y x f ππ 1,,1,0,-=N y x

（4.38）

不难看出，二维离散余弦变换的变换核是可分离的，因而可通过两次一维变换实现一个二维变换，二维余弦变换在图像压缩编码中得到了广泛应用。

如图4.10所示，图像经DCT 后，能量集中于频率平面的左上角，因此DCT 常常用于医学图像数据的压缩。

图4-10 离散余弦变换频谱显示

三、离散余弦变换的MATLAB 实现

在MATLAB 的图像处理工具箱内，提供了两种不同的离散余弦变换的计算方法。第一种方法是直接使用dct2函数，该函数是一个基于FFT 算法来提高当输入矩阵较大时的计算速度，dct2函数的使用格式如下：

B=dct2( A ，[M ，N] )；

其中A 表示要变换的图像，M 、N 是可选参数，表示填充后的图像大小，B 表示变换得到的图像矩阵，具体程序如下所示：

A=imread('mri2.jpg');

B = dct2(A);

subplot(1,2,1), imshow(A);

subplot(1,2,2), imshow( log(abs(B)));

DCT

图4-11 离散余弦变换前后的图像显示

第二种方法是使用函数dctmtx得到离散余弦变换的矩阵，这种方法适合于较小的输入方阵，其使用格式为B=dctmtx（A），其中，A表示要变换的矩阵，B表示变换后得到的矩阵。

四、离散余弦变换的初步应用

离散余弦变换是JPEG压缩算法的基础，下面对离散余弦变换在图像压缩中的具体应用做一个简单的介绍，在JPEG图像压缩算法中，输入图像被分为8*8或者16*16块，然后对其中每一个块进行二维离散余弦变换，接着再对离散余弦变换的系数进行量化、编码和发送，JPEG的接收者只要通过对离散余弦变换系数进行解码，计算每个块的二维逆变换，然后将所有的块重新组装成一幅图像。对于一般的图像来说，离散余弦变换系数当中许多都是接近于0的数值，可以丢弃这些系数而不会对图像的重建质量产生重大影响，下面就以对一幅医学图像的压缩处理为例来作为说明。

A=imread('mri2.jpg');

B = dct2(A);

B(abs(B) < 100) = 0;

K = idct2(B);

figure, imshow(A)；

figure, imshow(K,[0 255])；

图4-12 利用离散余弦变换进行压缩处理前后的图像显示

第三节 小波变换

小波变换的概念最早是1910年Harr 提出的小“波”规范正交基，到了80年代，Stromberg 对Harr 系进行了改进，证明了小波函数的存在性。1984年法国地球物理学家Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier 变换难以达到要求，因而将小波变换概念引入到信号分析中。随后，理论物理学家提出了一个确定函数的伸缩、平移系，为小波分析的形成奠定了基础。

现阶段小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学、信号分析、图像处理、量子力学、理论物理、非线性科学等领域。例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等；在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等；在图像处理方面的图像压缩、分类、识别、去噪等。其它方面的具体应用还有诸如军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面。

对于信号和图像处理的目的来说，通常是准确的分析、诊断、编码压缩、快速传递或存储、精确地重构或恢复等。从数学的角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号）。现在，对于稳定信号的处理，理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

小波变换与Fourier 变换、窗口Fourier 变换（Gabor 变换）相比，小波变换是一个时间和频率的局域变换，因而能有效的从信号中提取局部信息。它允许在

较宽的时间区域内对低频信号进行全局分析，在较窄时间区域内对所需的高频信号进行精确分析。虽然以傅立叶变换为基础的短时傅立叶变换(STFT)采用加窗的方法，也可以提供时域局部化定位观测特性，但它观测的分辨率是固定不变的。

小波变换可以通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multi-scale Analysis ），解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题，因而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是信号分析发展史上一个里程碑式的进展。

一、小波变换

和Fourier 变换的基函数正弦波相比，小波是一种有限带宽、均值为零的波形，而正弦波是平滑、对称、周期变化的波形，小波变换中的小波一般都是不规则且不对称变化的。

图4-13 正弦波和小波的比较

Fourier 变换是将信号分解成各种频率下的正弦波形，而小波变换则将信号分解成各种尺度(scale)和平移（shift ）条件的小波波形。对于变化很快的非平稳信号，一般用小波变换方法分析比用Fourier 变换方法分析更适合。

（1）伸缩函数（Scaling function ）

一个伸缩函数（尺度函数）是通过对母函数φ(x)的拉伸和平移得到的，定义为：

)2(2)(2/,k x x j j k j -=?? （4.39） 其中j 、k 都是整数，j 表示伸缩函数沿x 轴方向的宽度，k 表示它所在的位置，2/2j 控制函数的幅值。

（2）小波基函数（Wavelet base function ）

当伸缩函数能满足多分辨分析的几个要求：

1．伸缩函数和它的整数平移函数正交，

2．高精度（high scale ）函数所在的空间必须包含所有低精度函数所在的空

间。

3．任一个伸缩函数可以用其他任意精度的函数表示：

)2(2)()(n x n h x n

-=∑φφφ （4.40）

也就是说，在某个伸缩子空间内的一个函数，可以用它的下一个高精度空间的函数来构建。这时，我们就可以用伸缩函数来定义小波基函数，小波子空间横跨相邻的二个伸缩子空间Vj 和Vj+1：

)2(2)(2/,k x x j j k j -=ψψ （4.41）

（3）伸缩（Scaling ）

对一个小波伸缩，就是对原小波进行扩展或压缩。我们引入一个伸缩因子a ，伸缩因子的作用很容易从下图中看出：伸缩因子越小，对小波的压缩越强。

（a ）基本小波 （b ）b>0，a=1 （c ）b 不变，a=2

图4-14 小波伸缩示意图

小波变换之所以在时频域中分辨率都可随频率变化而变化，就因为在高频时使用小尺度a 值，时轴上观察范围小，而频域上相当于用高频小波作细致观察；低频时使用大尺度a ，时轴上考察范围大，而频域上相当于用低频小波作概貌观察。虽然分析频率有高有低，但在各分析频率段内分析的品质因数却保持一致，这是一项很符合实际工作需要的特点，因为如果希望在时域上观察得愈细致，就愈要压缩观察范围，并提高分析频率。利用小波变换所具有的这种数学显微镜特点和频域带通特性，可以把所需的信号分离出来，进行分析研究。

（4）平移（Shifting ）

对小波作平移就是简单地对原信号进行延时。在数学上，对函数f(t)延时k 可表示为f(t-k)：

图4-15 小波平移示意图

从小波函数Ψ和伸缩函数φ的一些特性上，我们可以来区分二者的关系，在整个实空间内，对Ψ的积分为零，即?=ψ0)(dx x ，因此用Ψ来定义“细节”部分，但对φ的积分为1，即?=1)(dx x φ，因此用φ来定义“近似”部分，小波子空间横跨相邻的二个伸缩子空间：j j 1j W V V ⊕=+，各小波子空间之间为正交的，不互相包含，即0)(),(,,=>ψ

二、 连续小波变换：

连续小波变换可定义为：

?∞

∞-=dx x x f t s W t s )()(),(,ψψ （4.42） 这里)(1)(,s t x s

x t s -=ψψ 从上式可知，小波变换是信号与小波基函数的内积，是对信号满足一定附加条件的滤波，这种附加条件反映在小波函数及伸缩因子的选择上。由于变量s ，t 是连续变量，所以把这种小波变换称为连续小波变换（continuous wavelet transform ，CWT ）

对连续小波进行逆变换可获得原信号，小波逆变换的表达式为：

d t d s s x t s W C x f t s ??∞∞∞-=02,)

(),(1

)(ψψψ （4.43） 这里：du u u C ?∞∞-=2)

(ψψ

连续小波变换具有以下重要性质：

(1) 线性：一个多分量信号的小波变换等于各个分量的小波变换之和；

(2) 平移不变性：若)(x f 的小波变换为),(t s W f ，则)(τ-x f 的小波变换为

),(τ-t s W f ；

(3) 伸缩共变性：若)(x f 的小波变换为),(t s W f ，则)(cx f 的小波变换为0),(1

>c ct cs W c f ；

(4) 自相似性：对应不同尺度参数s 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的；

(5) 冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

三、 离散小波变换

离散小波变换可定义为：

∑=x k j x x f M

k j W )()(1

),(,00φφ （4.44） ∑=

x k j x x f M k j W )()(1

),(,ψψ （4.45）

并且其逆变换为： ∑∑∑∞=+=00)(),(1)(),(1)(,,0j j k k j k k j x k j W M x k j W M x f ψφψφ （4.46）

其中，),(0k j W φ和),(k j W ψ分别称为“近似系数”和“细节系数”。信号的离散小波变换过程如下图所示，将信号分解成近似系数1cA 与细节系数1cD ：

图4-16 信号小波分解示意图

这里，如果滤波器的长度为2N ，信号的长度为n ，则信号F 和G 的长度为n+2N-1，则1cA 和1cD 的长度为：N n floor +-)2

1( 同样道理，我们可进一步将近似系数1cA 按上面同样的方式分解为2cA 和

cD，并可以依次循环下去（如下图所示），直到得到满足需要的结果为止。

2

图4-17 近似系数的再分解

当分解层次J=3时，可用树形结构来清晰表示这个分解过程：

图4-18 三层小波分解示意图

而离散小波的逆变换，就相当于是对信号的合成过程，合成过程是信号分解的逆过程，通过插零值（上采样）及对插值结果滤波，来重建上一级的近似细节信号，并最终可以得到合成信号。一维离散小波逆变换的过程如下图所示：

图4-19 一维离散小波逆变换

四、快速小波变换

像快速傅立叶变换FFT一样，快速小波变换利用小波系数的自相似特性来实现离散小波变换的快速计算，它也被称为Mallat算法，即：某一分辨率下，离散小波变换的“细节系数”和“近似系数”，都可以通过是上一级高分辨空间中的“近似系数”和小波向量的卷积，而后对卷积结果进行亚取样，从而计算得