论广义积分的收敛性
论广义积分的收敛性
摘要
广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。
1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于
?+∞
a
dx
x f )(和
?+∞
b
dx
x f )(,如果b>a,则
?+∞
b
dx
x f )(称为
?+∞
a
dx
x f )(的余部。因为改变下限积
分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即?b>a,k ≠0,都有
?+∞
a
dx
x f )(收敛??+∞
b
dx
x f )(收敛，
?+∞
a
dx
x f )(收敛?
?+∞
b
dx
x kf )(收敛.
另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.
2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞
?∞，设函数f(x)在区间(?∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义
?
+∞
∞
-)(dx x f = f x dx x 0?∞+ f x dx +∞
x 0
，
如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).
对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义
?I dx x f )(=?
I dx x f 1
)(+?I dx x f 2
)
(+···+
?
I dx x f n
)(
如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).
3.对于广义积分 f x dx +∞
a
，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有
界可积，并且有原函数F (x ),那么
f x dx =lim x→+∞
f x dx =x
a +∞
a
lim x→+∞
F x ?F (a ).
不论这个极限如何，都把这个公式写为
f x dx =F x +∞
a
|a +∞
.
如果极限lim x→+∞
F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.
4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞
a 这一种形式即可. f x dx
+∞
a
收敛
??ε>0，?X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x
2x 1
|<ε
?lim t→+∞
ρ t =0，ρ t ?q
p t sup
≤≤?q
p
)(dx
x f
5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞
a
+∞
a
都收敛，那么积分 g x dx +∞
a
也收敛.
另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则
在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么
广义积分 f x dx +∞
a
收敛?变上限积分 f x dx t
a (t ≥a )有界
(2)控制收敛判定法
在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得
0≤f x ≤g(x)，?x ≥x 0.
如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法
在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限
lim
x→+∞f (x )
g (x )=l (存在或为+∞).
(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)
当l =0时，由 g x dx +∞
a
收敛，推出 f x dx +∞
a
收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞
a
发散，推出 f x dx +∞
a
发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞
a
都收敛.
Abel条件 (1) f(x)单调有界. (2) g(x)广义积分收敛.
f(x)=0. (2) g(x)的变上限积分有界.
Dirichlet条件 (1)f(x)单调，lim
x→+∞
总结
以上列举的众多判定广以积分收敛性的方法，有助于我们更好地掌握广义积分的性质，提高运算效率。广义积分是定积分的推广，也是微积分这门学科的重要组成部分，因此熟悉广义积分的概念有助于培养微积分的思维方式，也为将来更好地解决学习和生活中的实际问题打下基础。但这只是微积分的一个小分支，微积分学如一片广袤的大海，还有很多的知识需要学习，还有很多的疑难需要探索和解答。所以我们应该不断探索，努力奋进，来到数学的海洋中体味抽象之美。
参考文献：
[1]丁晓庆.数学分析[M].北京：清华大学出版社，2014.
[2]李忠，方丽萍.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2008.
[3]伍胜健.数学分析[M].北京：北京大学出版社，2009.
广义积分的收敛性
§2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。
习题反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
对数判别法
一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需
广义积分敛散性判别探讨
摘要 广义积分是定积分的突破被积区间有界性与被积函数无界性的束缚得到的推广形式.在实际应用中，大部分的广义积分不能直接运算，有的积分虽然可以计算，但是过程太复杂，不方便我们的应用，而对广义积分而言，求其值的一个先决条件就是广义积分收敛，否则毫无意义，因此，广义积分的敛散性判别显得十分重要.本文主要论述了广义积分的两种形式：无穷积分和瑕积分.首先简述了无穷积分和瑕积分的定义，性质；其次，重点讨论了无穷积分与瑕积分的收敛与发散的判别，讨论了几种常用的判别方法，并用例题加以说明；最后，讨论了一下无穷积分与瑕积分混合时的反常积分的收敛与发散的判别. 关键词：广义积分;无穷积分;瑕积分;收敛;发散.
ABSTRACT Generalized integrals is definite integral breakthrough was integrated interval bounded ness and integrand unbounded sexual ties get promotion form. In practical applications, most of the generalized integrals cannot direct operations, some integral although can calculate, but process is too complex, it is not convenient to our application, and the generalized integrals, let their value as a precondition is generalized integrals convergence, otherwise has no purpose, therefore, the generalized integral scattered sex discrimination folding is extremely important. This article mainly discusses the generalized integral in two forms: infinite integrals and flaw points. First, this paper expounds the infinite integrals and flaw integral definition, properties; Secondly, this paper discusses infinite integrals and the convergence and divergent flaw integral, discussed several discriminate criterion method commonly used instructions, and binders; Finally, discussed the infinite integrals when mixed with a flaw points of convergence in divergent discrimination. Keywords: Generalized integrals; Infinite integrals; Flaw integral; Convergence; Divergent;
正项数收敛判别方法
数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法
摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足
反常积分的收敛判别法
反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛；
2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.
广义积分敛散性判别法的应用
安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。 指导教师：陈一虎 作者简介：陈雪静(1986-),女,陕西咸阳人，数学与应用数学专业2008级专升本1班． 无穷限广义积分的计算 陈雪静 （宝鸡文理学院 数学系,陕西 宝鸡 721013） 摘 要: 文章归纳总结了利用数学分析、复变函数、积分变换、概率论统计理论等知识计算无穷限广义积分的几种方法.在学习中运用这几种方法可开拓视野,激发学习数学的兴趣. 关键词: 广义积分;收敛;计算方法 广义积分是《高等数学》学习中的一个难点知识,广义积分的概念不仅抽象,而且计算方法灵活,不易掌握.广义积分包括两大类,一类是积分区间无穷型的广义积分,另一类是积分区间虽为有穷,但被积函数在该区间内含有有限个无穷型间断点（瑕点）的广义积分.一般的判别法是对积分区间无穷型的广义积分,先将积分限视为有限的积分区间按常义积分处理,待积分求出原函数后再考查其极限是否存在,在用此极限去判定原积分是否收敛.对于第二类广义积分,我们可将积分区间改动,使被积函数在改动后的积分区间内成为有界函数再按常义积分处理,求出原函数之后考查它在原积分区间上的极限是否收敛.但是有些被积函数的原函数不易求出或无法用初等函数表示,使得广义积分无法用常规方法计算,因此需寻求其它的计算方法.本文主要研究无穷限广义积分的计算方法,主要方法包括利用广义积分定义、参量积分、变量代换、二重积分、留数定理、级数展开、概率论知识以及拉普拉斯变换等方法. 1 无穷限广义积分的定义 定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上连续,取t a >.如果极限 lim ()d t a t f x x →+∞? 存在,则称此极限为函数()f x 在无穷区间[,)a +∞上的反常积分（也称作广义积分）, 广义积分的收敛判别 法 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲 数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑ 数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m , 数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛， 则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞ a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛??∞1f 收敛. 此时?∞1f ≤∑f (n )≤?∞1f + f (1). 证 ?21f ≤f (1) = f (1), ?32f ≤f (2)≤?21f , … ,?+1n n f ≤f (n )≤?-n n f 1, 相加得?+11n f ≤∑-n k k f 1)(≤?n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件. 证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法. *证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p Λ, … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞ =32ln ln 1 ,ln 1n p n p n n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 第九章广义积分习题课 一、主要容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet 判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy 判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。 3、Abel 判别法和Dirichlet 判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy 收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy 法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分?+∞ +=0q p x x dx I 的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记?+=1 01q p x x dx I ，?+∞+=12q p x x dx I 对1I ，先讨论简单情形。 q p =时，1 p 时，由于 级数判别法 基本定理：正项级数收敛的充要条件是： ∑∞ =1 n n a 的部分和数列 }{n S 有界。 1、 比较判别法：设 ∑∞=1 n n a 和∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且存在 0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则： ○ 1：∑∞ =1n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∑∞ =∞ =?10 1 n n n n b a 发散发散。 2、 比较判别法极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数，且 λ=+∞→n n n b a lim ，则： ○ 1：当+∞<<λ0时，∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 具有相同的敛散性。 ○ 2：当0=λ时，∑∞=1 n n b 收敛∑∞ =?1n n a 收敛。 ○ 3：当+∞=λ时，∑∞=1 n n b 发散∑∞ =?1 n n a 发散。 3、 比较判别法II ：设有两正项级数 ∑∑∞ =∞ =10 1 n n n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足： n n n n b b a a 1 1++≤，则： ○ 1：∑∞ =1 n n b 收敛 ∑∞ =?1 n n a 收敛。 ○ 2：∑∞ =1 n n a 发散∑∞ =? 1 n n b 发散。 4、 比值判别法（达朗贝尔）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则： 1°若当n 充分大时有： 11 <≤+q a a n n ，则级数∑∞ =1n n a 必收敛。 2°若当n 充分大时有： 11 ≥+n n a a ，则级数∑∞=1 n n a 必发散。 5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，且 2111lim lim λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a ，a a ，+∞≤2,1λ，则： 1°：当11 <λ时，级数∑∞ =1n n a 收敛。 2°：当 12>λ时，级数∑∞ =1 n n a 发散。 6、 根值判别法（Cauchy ）：设 ∑∞ =1 n n a 为正项级数，则：无穷限广义积分的计算(1)
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