小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

日字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 2 个并排的正方形格子组成。

目字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 3 个并排的正方形格子组成。

3-L 形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 3 个组成L 形状的格子组成。

4-L 形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成L 形状的四个格子组成，一边长一边短。

凸字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。

田字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。

完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。

一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。

题1: M KN的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。

题2: —个5X7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。

题3:如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。

题4：若M,N 都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。

题5 ：证明，一个8*8 的棋盘不可能用15 个凸形块和一个田字形块覆盖。

题6：证明，一个8*8 的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62 个方格不可能实现日形覆盖。

题7 ：一个3*7 的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。

题8 ：一个3*7 的棋盘不存有3-L 覆盖。提示：本题目需要用多种颜色染色。

题9：若m*n 的棋盘能够实现4-L 覆盖，证明m*n 能够被8 整除

题10：7*9 的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。

题11：在6*6 的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1 到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？

题12：假定8*8 的棋盘是用64 个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。现在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9 块（上次翻动的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？

题13：某个展览大厅是一个6*6 的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？

题14：一个2*8 的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点对格点用红蓝两种颜色染色。证明：无论如何，一定存有两条水平线和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。

染色与覆盖

第三讲染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。知识构架图：染色问题座位问题（例）路径问题（例）结点问题（例）覆盖问题一般覆盖（例）特殊形状覆盖（例）例题讲解一、染色问题 1、座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。 2、路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从 A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。提高练习：（1）有一次车展共4×4=16个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口提示：仍是黑白相间染色，根据奇偶性判断出不可以。

六年级奥数题：染色问题(A) (2)

十染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?

5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”. 6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。 3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。 4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。

题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。提示：本题目需要用多种颜色染色。题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。现在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9块（上次翻动的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？题13：某个展览大厅是一个6*6的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？

六年级奥数.应用题.浓度问题

一、基本概念与关系（1）溶质 “干货”、“纯货”——被溶解的物质（2）溶剂 “溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质（3）溶液溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体（4）浓度 ——溶质的量占溶液的量的百分比二、基本方法（1）寻找不变量，按基本关系或比例求解（2）浓度三角（如右图所示）（3）列方程或方程组求解（1）重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角（2）难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题例题精讲重难点浓度问题知识框架 =100%=100% +??溶质溶质浓度溶液溶质溶液::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z z-y x-z 乙溶液浓度y % 浓度x %混合浓度z%

【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克. 【例 4】将含农药30%的药液，加入一定量的水以后，药液含药24%，如果再加入同样多的水，药液含药的百分比是________．【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%. 二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？【例 6】瓶中装有浓度为15%的酒精溶液1000克，现在又分别倒入100克和400克的A、B两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了14%．已知A种酒精溶液浓度是B种酒精溶液浓度的2倍，那么A种酒精溶液的浓度是百分之几？【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为15%，盐浓度为10%，乙溶液中的酒精浓度为45%，盐浓度为5%．现在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？【例 7】甲瓶中酒精的浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度是66%．如果两瓶酒精各用去5升后再混合，则混合后的浓度是66.25%．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少升？【巩固】纯酒精含量分别为60%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%．如

小学数学六年级奥数《染色问题(1)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《染色问题(1)》练习题（含答案） 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.

6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回

小学奥数专题：黑白染色问题

专题:黑白染色问题 1. 下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2. 展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3. 图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4. 下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.

5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况). 6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘? 7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘? 8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由. 9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1?2的七个小矩形? 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图) 红红红红 11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 14.12?12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3?4矩形的另一角(如图).问 1 2

六年级奥数专题01：染色问题教学文案

二十染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图(a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b)) 呢?

(a) (b) ?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” ()把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.

6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:

奥数染色问题题目及答案

染色问题(1) 年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” (把象棋盘上的62个小格完全盖住?

六年级奥数专题染色问题

六年级奥数专题染色问题年级班姓名得分 (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.一个8?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.

6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数. 9.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题: 证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).

五年级下学期数学长方体和正方体的染色问题专项题型训练

长方体与正方体的染色问题【知识点总结】三个面都染色的在8个顶点处，两个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的里面。对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：（n－2）×12 一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6 没有颜色的：（n－2）×（n－2）×（n－2）验算的方法：上面的总数=体积数对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4 一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2 没有颜色的：（a－2）×（b－2）×（c－2）验算的方法：上面的总数=体积数【针对性训练】 1、下图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它洞虚线切成8 个正方体，这些小正方体的所有表面的面积和是（）平方厘米。 2、一个正方体形状的木块儿，棱长为1米，若沿着正方体的三个方向分别锯成3份，四份、五份，如下图，得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？

3、一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积的和是多少平方厘米？ 4、（1）将一个长10厘米，宽5厘米，高4厘米的长方体表面全部染成红色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体，所有的小正方体中有1面染色的有（）个，2面染色的有（）个，三面染色的有（）个，0面染色的有（）个。（2）将一个棱长为8厘米的正方体表面全部染成红色，然后切割成棱长为1厘米的小正方体，所有的小正方体中有1面染色的有（）个，2面染色的有（）个，三面染色的有（）个，0面染色的有（）个 5、（1）将一个表面涂有红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色没有涂的小立方体只有3块。原来长方体的表面积是多少平方厘米？（2）将一个表面都涂成红色的长方体分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中一点红色都没有的小正方体只有5块．原来长方体的体积是多少立方厘米？ 6、125个棱长为1厘米的小正方体，62个白色，63个黑色，拼成大正方体，在表面上白色部分的面积最多是多少平方厘米？

六年级奥数题：染色问题(B)

二十染色问题(2) 年级班姓名得分 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况). 6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘?

7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个88的正方形棋盘? 8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由. 9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形? 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图) 红红红红 11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 14.1212的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回 O O 1 2 3

小学奥数专题：黑白染色问题.

专题:黑白染色问题 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).

2019年六年级奥数题：染色问题(A)

2019年六年级奥数题：染色问题(A) (编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21 )把象棋盘上的62个小格完全盖住? 5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.

六年级奥数染色和覆盖

染色和覆盖 [同步巩固演练] 1、某影院有座位31排，每排29个座。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？ 2、（北京市第12届小学生迎春杯决赛试题）如图，把A、B、C、D、E这五部分用四种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色。那么，这幅图一共有_____________种不同的着色方法。 4、下图，是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。问能否从1号房间开始，不重复的走遍所有房间又回到1号房间？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5、如图，由22块1×1的小正方形拼成，能不能用若干个2×1的矩形将这个图形不重复地全部覆盖？ [能力拓展平台] 1、有一个5×5的方格棋盘，如图所示，每一个小方格中有一只小甲虫，假设在同一时刻，所有小甲虫都爬到邻格中（横向与纵向的格，不能斜爬），问此时能否会出现空格？ 2、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？

3、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。 4、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。问能否将这些数排一行并满足两个 1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。 5、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。 [全讲综合训练] 1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？ 2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？ 3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？ 4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？

六年级奥数专题01：染色问题

二十染色问题(1) 年级班得分 (编者按:由于容本身的限制,本讲不设填空题) 1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗?为什么? 2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗?如果有80棵果树,连小屋在排成九行九列(图(b))呢? (a) (b) 4.一个8?8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2?1的“骨把象棋盘上的62个小格完全盖住?

5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”. 6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形? 7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答一只马从起点出发,跳了n 步又回到起点.证明:n 一定是偶数. 9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回答一只马能否跳遍这半棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点? 10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半中国象棋盘,试回

奥数：乘法原理之染色法.学生版(精编版)

1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法； 2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系． 3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．教学目标知识要点 7-2-3乘法原理之染色问题

小学奥数专题15：染色问题

专题14 染色问题 1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗? 2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线? 4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数. 5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况 ). 通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资

6.能否用一个田字和15个4?1矩形覆盖8?8棋盘? 7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8?8的正方形棋盘? 8.在8?8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4?4的正方形分别剪去两个1?1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1?2的七个小矩形? (1) (2) (3) 10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1?2?4的长方体木块,能不能把一个容积为6?6?6的正方体木箱充塞填满?说明理由. 13.在平面上有一个27?27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9?9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法 ,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12?12 的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3? 4矩形的另一角( 如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)? 123术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进

六年级上册奥数试题：第19讲简单染色问题全国通用(含答案)

第19讲简单染色问题知识网络数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。重点·难点我们在前面几讲中也涉及到染色问题。一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。学法指导染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。经典例题 [例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？思路剖析由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。解答先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。由C 和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F 可染第一种颜色。这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。

六年级下册奥数讲义-奥数方法：染色法(练习无答案)全国通用

在解决某些数学问题时，我们常常需要把有关元素适当分类。为了使这种分类更为形象，我们可以设想把元素分别涂上不同的颜色。这类用涂色的方法来寻求解题思路的方法叫做染色法。根据染色对象的不同，染色法一般分为方格染色、线段染色和点染色三种，在运用染色法解题的过程中，常结合抽屉原理等组合知识和图论初步知识。解题步骤一般分为： (1)审题，把实际问题用染色图表示出来； (2)运用抽屉原理或图论知识对染色图进行分析； (3)找出问题的答案。 [例1] 在平面上有一个27×27的方格棋盘，在横盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这枚棋子取出来。问：是否存在一种方法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子? 思路剖析本题的游戏规则是一枚棋子越过相邻的棋子进行移动，故每一次移动会影响3个棋盘方块的棋子数，可考虑用3种颜色对棋盘染色，研究其变动规律，推出答案。解答如图1所示，将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色，这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。按照游戏规则，每走一步，有

两部分中的棋子数各减少了一个，而第三部分的棋子数的奇偶性都要改变。因为一开始时，81个棋子摆成一个9×9的正方形，显然三个部分的棋子数是相同的，故每走一步，三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。但如果在走了若干步以后，棋盘上恰好剩下一枚棋子，则两部分上的棋子数为偶数，而另—部分的棋子数为奇数，这种结局是不可能的，即不存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。 [例2]在5×5的方格棋盘中的A格里放一颗棋子，规定每次棋子可向左右或上下移动一格，问这颗棋子走25步后能否回到原处? 思路剖析如图2所示，棋子从A出发，每一步都有2┉4种走法，25步以后出现的情况很多。从表面上看，似乎找不到棋子行走的规律，若利用染色法，对棋格作相间染色，很容易发现规律，找到本题答案。解答如图3所示，对棋格作相间染色，则棋子从白格A出发，走l步进入黑格，走2步进入白格，走3步进入黑格，……，显然，棋子从白格A出发。走奇数步落在黑格，走偶数步落在白格，所以，走25步一定落在黑格，而原处为白格，故本题答案为：这颗棋子走25步后不能回到原处。 [例3】如图4所示，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只小甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗? 思路剖析先将正方体进行黑白相间染色(见图5)，则小甲虫每移动一次，会改变一次方格的颜色，对小甲虫走过不同颜色的方格数进行考虑，问题便迎刃而解了。解答我们如图5所示，将正方体分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上黑色。显然，在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色。故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次。由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次，那么甲虫不能走遍所有的小正方体。 [例4] 如图6所示，平面上给定6个点，没有三个点在一条直线上。证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，必定有一个三角形，它的最大边同时是另一个三角形的最小边。思路剖析在一般情况下，三角形的三条边互不相等，因此存在一个最大边和最小边，考虑特殊情况，在等腰三角形(或等边三角形)中，最大边可能有2 条(或3条)。同样，可用涂色法解决。证明先将每一个三角形中的最大边涂成红色，然后将其余的边染成绿色。 (1)先证明这些三角形中至少有一个同色三角形。根据抽屉原理，从A出发的5 条线，至少有3条线同色，设有3条红线 AB、AC、AD，再分析BC、BD、CD三条线段，若有l条为红色，问题得证，若3条全是绿色．问题也得证。 (2)由(1)可知，全部三角形中必有一个为同色三角形，若为红色三角形，则这红色三角形中的最小边必定是某个三角形的最大边；若为绿色三

小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解

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