第三章 模型的简化

第三章模型的简化

本章围绕模型如何简化展开讨论，第一部分是有关模型描述变量的简化方法，它适应于各类系统模型的简化；第二部分是有关动态系统的模型简化的时域方法，它包括“集结法”和“摄动法”。

３.1 模型描述变量的简化

模型描述变量是系统建模的基础，它们选取的主要依据是建模的目标，而它们的选取则决定了模型的复杂程度。

建模过程中，在能满足建模的前提下，系统的描述变量应是愈简单愈好。模型描述变量一般有以下四种方法：

1、淘汰一个或多个实体、描述变量或相互关系规则；

2、随机变量取代确定性变量；

3、粗化描述变量；

4、粗化描述变量和归组实体及聚焦变量。

3.1.1 淘汰一个或多个实体、描述变量或相互关系原则

1、淘汰实体或描述变量

建模者决定淘汰那些次要因素，只要忽略的因素不会显著地改变整个模型行为，相反却使不必要的复杂了。

淘汰一个实体可能要淘汰或修改其他实体：批淘汰一个实体，需要淘汰所有涉及这个实体的描述变量；淘汰一个描述变量，需要淘汰或修改涉及该变量的相互关系。

P53 图3.1例子

2、相互关系的淘汰

相互关系的淘汰通常可用泰勒级数展开式的简化来实现，它可使一组数值变量之间的相互关系变得更加简洁。

3.1.2 随机变量取代确定性变量

在一个确定性模型中，相互关系的规则控制着整个描述变量的值。有些随机值也是由相互关系的规则确定，为了使模型相对简化，可利用概率原理，用随机变量来取代某些变量的相互关系规则，从而将影响变量转换成随机变量。

P53页书图3.2

3.1.3 粗化描述变量

描述变量是描述模型实体条件的一种方法，变量可能出现的值表示在某一时间可找到这个实体的一种可能条件，其变量的范围集是变量可能出现的所有值的集合。描述变量的范围粗化也是一个简化过程。

粗化有以下2种方法：

1、舍入.

根据需要，将描述变量的范围进行一定的缩小。例如，记账常用元角分，简化后只有元，角和分舍入。

2、归类和非一致粗化。对于归类和非一致粗化，简化前后的描述变量虽然还是

一一对应，但是它们所代表的物理意义已经不同。

见P54例子

3.1.4 归组实体及聚焦变量

把具有相同性质的实体或描述变量聚焦起来，合并并成一个实体或描述变量，这称为实体的归组和聚焦。

特点：在聚焦过程中信息不受损失，且合成变量的范围粗化。

P54例子3。1

3.2 动态系统的模型简化---集结法

在动态模型简化的时域方法中，主要有“集结法”和“摄动法”，这两种方法分别是从经济理论与数学中引进来的。系统的集结法是指用一组“较粗略的”状态变量来描述系统的模型，但应使这个系统的关键性不变。

集结法的基本思想可用映射的观点加以说明，图3.3表示了用集结法进行模型降阶过程的示意图。在图中，X、Y、Z和V为拓扑空间；f是线性连续映射，它表示外生变量x∈X与内生变量y∈Y之间的关系，即为原始高阶模型；h和g表示集结过程，其中h:X→Z和g:Y→V;z∈Z和y∈Y分别是集结起点变量和集结终点变量；连续映射k:Z→V表示简化模型或集结模型。用集结法简化模型的方法就是在给定原始高阶模型f并以适当方式确定h和g后求解k的方法。

3.2.1 精确集结法

1、线性定常系统的集结过程和分析

如图3.4所示，对于一个线性系统：

)

()()0(),()()(0t Dx t y x x t Bu t Ax t x

==+= 3.1

x(t)为(n ×1)状态向量，u(t)为（m ×1)控制向量，y(t)为（r ×1)输出向量。A,B,D 分别是n ×n ，n ×m 和r ×n 矩阵。

设z(t)=Cx(t),z(0)=z 0=Cx 0,C 为l ×n(l ＜n)常数集结矩阵，Z 为x 的集结（l ×l ）,设Rank|C|=l,集结系统为

)

()()0(),()()(0t Kz t y z z t Gu t Fz t z

==+=

把z(t)=Cx(t)代入，集结系统变为

)

()(),()()(t KCx t y t Gu t FCx t x

C =+= 3.2

对比式(3,1)和（3.2）,可得动态精确性条件为：FC=CA G=CB KC=D 定义误差向量e(t)=z(t)-Cx(t),则

)

()()()()()()()()())()(()

()()()()()()(t u CB G t x CA FC t Fe t u CB G t x CA FC t Cx t z F t CBu t CAx t Gu t Fz t Cx t z t e -+-+=-+-+-=--+=-= 若满足前二个条件，FC=CA G=CB ,则)()(t Fe t e

= 因此，对于误差向量e(t),若e(0)=0,e(t)=0,此集结为动态精确性集结；若e(0)≠0，而为稳定矩阵，则)()(t Fe t e =，即渐进满足动态精确性集结。 2、集结矩阵确定方法 （1）利用广义逆

由数学知识可知，任何矩阵P 都有其广义逆矩阵1)(-T T PP P 。因此，对于Rank[C]=r,有

1)(-+==?=T T CC CAC CAC F CA FC CB G = 因此，只要知道C 就可求F,G,得到集结模型。

但是，这种方法要求知道A 的全体特征根，这一要求对于大系统讲是很不实用的。 （2）利用可控矩阵

对于原有系统，可控性矩阵B W A [= AB A 2B …A n-1B]; 对于集结系统，可控性矩阵W F =[G FG F 2G …F n-1G]。根据条件FG=CA 和G=CB ，可有W F =CW A 。 若原系统可控，则有rank{W A }=n ，所以矩阵C

1)(-+

==T

A F T

A F A F W W W W W W C 3.3 P57 3.2例子 3.2.2 模态集结法

模态集结法，首先通过线性变换将高阶系统方程化为模态形式，然后再简化，使得集结模型能精确地保留原高阶系统的主要模态，以实现完全集结。 对于式（3.1）的线性定常系统，如果其特征值为}{A i λ，系统集结时希望保留 r 个优势特征值，即时间常数较大的优势极点。模态集结法就是用某些特征向量组成的矩阵作为集结的基础，它的第一步工作就是将原有的状态方程变换为模态形式。如果原系统的特征值不同，则模态形式的系统矩阵是对角阵，其对角元素为特征值的情况，则为分块对角阵。

一般情况下，首先将特征值按 [}{A i λ]的模递升次序排列。设m i 为第i 个特征值所对应的特征向量，模态矩阵由这些特征向量构成，为

M=[m 1 m 2 …m n ] 根据特征向量的定义，有AM=MJ,J 为特征值对角阵或分块对角阵。

对于式(3.1)的饿线性定常系统，作线性变换x(t)=Mw(t),得到w(t)为状态的模态形式方程

)()()(11t Bu M t AMw M t w

--+= 因为M -1AM=M -1MJ=J ，并设K=M -1B ，则模态形式方程

)()()(t Ku t Jw t w

+= 如果原系统的优势极点和劣势极点的分界非常明显，其模态矩阵M 和模态形式方程可表示成

??

?

???=4321

M M M M M )()()(0021212121t u K K t t J J w w

??

?

???+??????????

??=??????ωω (3.4) 1、戴维森法

思路简单----只考虑原系统的优势极点，完全忽略其他特征根的影响。这样由式(3.4)，有

)()()()()(11111t Bu PM t w PJP t PKu t w J t w T -+=+=

其中P:[I l 0]是l ×n 变换矩阵，又有 )()(11

11t x M t w -= ，得到集结方程

)()()(11111111t Bu PM M t x M AMP PM M t w T ---+= 因此对于戴维森模态集结法，其集结矩阵F ，G 为

1111--=M AMP PM M F T ，B PM M G 11-= P60例子3.3 3、奇达巴拉法 3.2.3 连分式集结法

连分式集结法是一种比较流行的大系统降阶方法，它是以系统闭环传递函数在s=0处的泰勒级数展开式为基础，研究多输入多输出系统的降阶模型。在此，主要是利用连分式集结法来求单输入单输出线性时不变大系统在集结概念下产生的降阶模型。 对于线性定常系统

Cx

t y Bu Ax t x

=+=)()( （3.9）

步骤：

1、通过线性变换，可将上式变成可控矩阵的第二标准型，得到标准型下的A,B,C 。

2、采用修正的Routh-Hurwitz 阵列求得P 阵。

3、根据集结的要求选取S=[Ir,0],主要定r 的大小

4、根据已算出的P 和R 的大小，可求出集结后的系统为

Gu Fz Z

+= 其中，1-=SPAP FS ，SPB G = P65 例子3.5 3.2.4 链式集结法 1、概念

链式集结法是根据非集结系统的信息结构，用“广义海森堡表达式”来描述，集结过程中可舍去系统中的弱可观测部分。 对于线性定常系统

x

C t y Bu Ax t x 1)()(=+=

利用输出方程作为集结方程，通过线性变换x C Z 11=对系统进行集结。11n R z ∈为

集结模型的状态变量，n r 1。集结模型为：

1

11111z y u G z F z =+=

如能满足1111C F A C =和B C G 11=，集结模型能给出原系统输入—输出的精确描述。由于一般情况下，第一次集结不会得到完全集结模型，需要进行第二次集结来扩大集结模型的维数。这种重复集结的过程就是链式集结。 2、链式集结方法

（1）把系统通过线性变换，转换成能观标准型，把系统分成两个串联的子系统，一个能观测的子系统，即为集结子系统，另一个为不可观子系统，为剩余子系统。 （2）步骤 a.求变换矩阵F

根据rank(C 1)=r 1,通过状态排序，将C 1表示成 ]|[12111C C C =，det 011≠C (3.17) 得到一个变换矩阵T1：

??

?

?

??=-10

1211

1r n I C C T b.做线性变换 Z=T 1x 得到

u G G z z F F F F z z z ??????+??

??????????=??????=21212221121121~~~ 其中， 1z

为集结子系统，2z 为剩余子系统。 c.判断系统是否完备，

*0~

12=F ,有1111C F A C =此时大系统就可表示成两个串联子系统。 *0~

12≠F ，就进行第二次集结，通过对剩余子系统的集结来扩大集结子系统以寻求集结模型。

方法是把2122~

z F v =，同理再取变换矩阵，常取E2=I2,对剩余的子系统进行集结。 d.同理判断第二次集结是完全的可终止链式集结过程。 P69 例子3.6

3.3动态系统的模型简化----摄动法

摄动法的基本概念是略去模型内部的某些相互作用，从而用一个低阶模型来逼近系统的结构，它是一种近似集结法，包括弱耦合和强耦合模型，也叫做非奇异摄动法和奇异摄动法。

1、弱耦合系统的集结

有的情况下，线性定常系统可表示成由两个子系统组成的弱耦合系统

?

?

??????????+????????????=??????212211212122112121u u B B B B x x A A A A x x

εεεε 式中ε是个小的正耦合参数，11n R x ∈和11m R u ∈分别为第一子系统的状态和控制向量，

22n R x ∈和22m R u ∈分别为第二子系统的状态和控制向量，

m m m n n n =+=+2121,，且A ，B 的各个块分为常数矩阵。显然，当ε=0时，系统可解耦为两个独立的系统

2

22

22

11111??????u B x A x

u B x A x

+=+=

当ε非常小时，原有系统也可集结为以上两个模型。这样整个系统就可按两个分散系统来

进行设计、仿真，可明显减少计算量。

2、弱耦合系统的判定条件 对于上述系统设

11211,,2,1

},?,?,?{}{n i A n ==λλλλ 2

1112,,1},?,?{}{1n n n j A n n ++==+ λλλ n k A n ,,2,1},,,{}{21 ==λλλλ

|}{1|m ax A r i i

λ=----------表示1A 的特征值位于复平面上以r 为半径的圆内或圆上。

|}{2|max A R j j

λ=----------表示2A 的特征值位于复平面上以R 为半径的圆内或圆上。

|)(,1212|max j i ij

A εε=----------表示12A 的中元素的模数最大值。

|)(,2112|max l k ij

A εε=-------表示21A 的中元素的模数最大值。

若满足下列条件，这系统则称为弱耦合系统： 1<

21121<

有一类系统，它的状态变量之间耦合较强不允许被忽略，但特征值的模之间数值差别较大，也就是过渡过程速度上差别较大。 1、非奇异摄动法

在状态方程的左侧，对状态向量的时间微分项乘以一个小参数

0)(),()()()()(),()()()(022*******z t z t u B t z A t x A t z

x t x t u B t z A t x A t x

=++==++= ε (3.19)

式中，1n R x ∈和2n R z ∈为系统的状态向量，1m R u ∈为控制向量，且ε是一个小的正数，

它表示系统中慢模态和快模态变化速度之比。若2A 是稳定且非奇异的，当ε趋近0时

)(?)(?)(?)(?)()(?)()(?21

211

2

212121*********t u B A t x A A t z

t u

B A A B t x A A A A t x ------=-+-= (3.20)

这样上式可看作系统的一个近似集结模型，即原系统的n 个特征值可用现系统（211

2121A A A A --）的l 个特征值来近似表示。

对于式（3.19）非时变奇异摄动系统，其对应的状态矩阵为

??

?

???=εε

//221

121A A A A A 过渡过程较快的模所对应的元素（ε/21A ，ε/2A ）比上半部分大一个数量级，当ε=0，矩阵A 的元素为无界，ε从ε=0到ε>0的变化称为奇异摄动。 2、集结系统的校正

从式（3.19）到（3.20）的集结过程中，丢掉了z(t)的初始条件z 0，因为)()(?00t z t z

≠，我们把它们的之间的差值称为左边“边界层”，边界层校正就是研究边界层所引起的系统模态的暂态过程，并以此来校正集结的系统。

P74 ---75 作业：

1、模型描述变量化简与动态系统的模型化简二者间的区别；

2、模型描述变量化简的四种方法比较；

3、什么是集结法？

4、在集结法中，小结以下几种方法的针对对象、原理等方面异同点：精确集结法、模态集结法、连分式集结法以及链式集结法；

5、P65页的例子3.5 详细写出计算步骤，验证书中结果是否正确；

6、摄动法是从什么方面入手对模型进行化简的？如何实现的？