四点共圆问题(强方法)

证明四点共圆的方法

理论依据：不共线的三点确定一个圆。

重点问题：四点共圆。

其它问题：多点共圆（超过四点，一般考虑先用不共线的三点/四点共圆，之后证明其它点在此圆上）。

思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上.

思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆.

思路三：运用有关定理或结论

（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径.

（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆.

（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆.

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，

PD BP PC AP ?=??四点共圆.

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，

PD PC PB PA ?=??四点共圆.

（6）托勒密定理的逆定理：对于凸四边形ABCD ，

BD AC BC AD CD AB ?=?+??四点共圆.

图（3） 图（4） 图（5）

（3）对于凸四边形ABCD ，对角互补?四点共圆.

证明：用反证法

过A ，B ，D 作圆O ，假设C 不在圆O 上，

则C 在圆外或圆内， 若C 在圆外，设BC

交圆O 于C '，连结D C '，根据圆内接四

边形的性质得∠A +∠D C 'B =180°，

∵∠A +∠C =180°∴∠D C 'B =∠C .

故假设错误，原命题成立. A B C D A B C D P A B C D P