专题四 平面向量 理科数学
专题四 理科数学平面向量
一、选择题
1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++
=
A ．0
B ．BE
C ．AD
D ．CF
【答案】D
【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+=
2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A
A A A λ=
（λ∈R ），1412A
A A A μ= （μ∈R ），且1
1
2
λ
μ
+
=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知
平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D
3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题
12:||1[0,
)3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b π
θπ+>?∈
13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π
θπ->?∈
其中真命题是
（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A
4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1
2-
，,a c b c --=060，则
c 的最大值等于 A ．2
B
C
D ．1
【答案】A
5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则|
|c b a -+的最大值为
（A ）12- （B ）1
（C ）2
（D ）2
【答案】B
6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式
1x y +≤，
则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D
7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】
D
8.（广东理5）已知在平面直角坐标系xOy 上的区域D
由不等式组02x y x ?≤≤?
≤??
≤?给定。若
(,)M x y 为D 上的动点，点A
的坐标为，则z OM OA =?
的最大值为C
A
． B
．
C ．4
D ．3
【答案】
9.（福建理8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域21y 2
x y x +≥??≤??≤?，上
的一个动点，则OA ·OM
的取值范围是
A ．[-1．0]
B ．[0．1]
C ．[0．2]
D ．[-1．2]
【答案】C 二、填空题
10.（重庆理12）已知单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则122e e -=__________
11.（浙江理14）若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的
平行四边形的面积为1
2，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
【答案】5[,]
66ππ
12.（天津理14）已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0
90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是
腰DC 上的动点，则3PA PB
+ 的最小值为____________.
【答案】5
13.（上海理11）在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则
A B A D ?= 。
【答案】152
14.（江苏10）已知→
→
21,e e 是夹角为π
32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若
0=?→
→b a ，则k 的值为 .
【答案】45
15.（安徽理13）已知向量,a b 满足()()a b a b +2?-=-6，且1a =，2b =，
则a 与b 的夹角为 .
【答案】3π
16.（北京理10）已知向量a =
1），b =（0，-1），c =（k
。若a -2b 与c 共线，
则k=__________。 【答案】1
17.（湖南理14）在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==
则
AD BE ?=
__________________．
【答案】14-
18.（江西理11）已知2a b == ,(2)
a b + ·a b - （）=-2，则a 与b 的夹角为
【答案】3π
高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=?。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ?=?； cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ?=?=；121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （7）若ma mb =，则a b =。
2013高考理科数学辅导平面向量
第四章平面向量 考试要求重难点击命题展望 1.平面向量的实际背景及基本概念 (1)了解向量的实际背景； (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的 含义； (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算 (1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义； (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 3.平面向量的基本定理及其坐标表示 (1)了解平面向量的基本定理及其意义； (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 4.平面向量的数量积 (1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义； (2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系； (3)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算； (4)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.向量的应用 (1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题； (2)会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题. 本章重点： 1.向量的各种运 算； 2.向量的坐标运 算及数形结合的思 想； 3.向量的数量积 在证明有关向量相 等、两向量垂直、投 影、夹角等问题中的 应用. 本章难点： 1.向量的直角坐 标运算在证明向量垂 直和平行问题中的应 用； 2.向量的夹角公 式和距离公式在求解 平面上两条直线的夹 角和两点间距离中的 应用. 向量是近代数学中重要和 基本的数学概念之一，它是沟 通代数、几何与三角函数的一 种工具，有着极其丰富的实际 背景，同时又是数形结合思想 运用的典范，正是由于向量既 具有几何形式又具有代数形式 的“双重身份”，所以它成为 中学数学知识的一个交汇点.在 高考中，不仅注重考查向量本 身的基础知识和方法，而且常 与解析几何、三角函数、数列 等一起进行综合考查. 在考试要求的层次上更加突出 向量的实际背景、几何意义、 运算功能和应用价值. 知识网络
20高考数学平面向量的解题技巧
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
2020-2021年高考数学试题汇编平面向量(精华总结)
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)
一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;
高考数学知识点总结：平面向量公式
高考数学知识点总结：平面向量公式 定比分点 定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ，使向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心判断式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。 a//b的重要条件是xy'-x'y=0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是a?b=0。 a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量. 设a=(x，y)，b=(x'，y')。 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且 ∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 当λ0时，λa与a同方向; 当λ0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。 当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
2020年高考数学平面向量专题复习(含答案)
2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（）
A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________.
15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值．
最新高一必修4平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算 一、目标认知 学习目标： 1．了解向量的实际背景. 2．理解平面向量和向量相等的含义. 3．理解向量的几何表示. 4．掌握向量加、减、数乘运算，并理解其几何意义. 5．理解两个向量共线的含义. 6．了解向量的线性运算性质及其几何意义. 重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量. 难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 二、知识要点梳理 知识点一：向量的概念 1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法:(1)字母表示法:如等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如等. (3)向量的有关概念 向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量. 共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:与任一向量共线. 要点诠释： 1．数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 2．零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 3．平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点二：向量的加(减)法运算 1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则 2．运算律：①交换律：；②结合律： 要点诠释： 1．两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 2．.探讨该式中等号成立的条件，可以解决许多相关的问题. 知识点三：数乘向量 1．实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作： (1)； (2)①当时，的方向与的方向相同；②当时.的方向与的方向相反；③当时，. 2．运算律：设为实数 结合律：；分配律：， 3．共线向量基本定理：非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使. 要点诠释：是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练
高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D
【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；
高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21-a +23b B 、21a 23-b C 、23a 2 1-b D 、2 3-a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103(- = B 、)10 10 ,10103()1010,10103(-- =或 C 、)2,6(-= D 、)2,6()2,6(或-= 3、已知k 3),2,3(),2,1(-+-==垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量=(2，1)， =(1，7)， =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA ?的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1(-==分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos α,sin β)，b =(cos α ,sin β )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于α－β B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i θθsin 3cos 3+=，i -=∈),2 ,0(π θ。若用 来表示与的夹角，则 等于 （ ） A 、θ B 、 θπ +2 C 、 θπ -2 D 、θπ- 8、设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是 （ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP ?取得最小值的点P 的坐标
高考理科数学22题逐题特训第3讲 平面向量
第3讲 平面向量 1.已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ⊥(2a ＋b )，则k 等于( ) A.－8 B.－6 C.6 D.8 答案 A 解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，∴2a ＋b ＝(3,2＋k )， ∵a ⊥(2a ＋b )，则a ·() 2a ＋b ＝6＋2＋k ＝0， 解得k ＝－8. 2.若平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且a ＝????12，3 2，||b ＝25，则||a ＋b 等于( ) A.5 B.3 2 C.18 D.25 答案 A 解析 ∵a ＝????12，3 2，∴|a |＝1， 又a ·() a ＋ b ＝3?||a 2＋a ·b ＝3?a ·b ＝2， ∴(a ＋b )2＝||a 2＋2a ·b ＋||b 2＝1＋4＋20＝25， ∴|| a ＋ b ＝5. 3.如图所示，AD 是△ABC 的中线，O 是AD 的中点，若CO →＝λAB →＋μAC → ，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ的值为( ) A.－12 B.1 2 C.－14 D.14 答案 A 解析 由题意知CO →＝12(CD →＋CA →)＝12×????12CB →＋CA → ＝14(AB →－AC →)＋12CA →＝14AB →－34AC → ， 则λ＝14，μ＝－34，故λ＋μ＝－12 .
4.已知||a ＝1，||b ＝3，且a ⊥????a ＋2 3b ，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π 3 答案 B 解析 ∵ a ⊥??? ?a ＋2 3b ， ∴ a ·??? ?a ＋23b ＝0， 即a 2＋2 3a ·b ＝0. 又||a ＝1，∴ a ·b ＝－3 2 ， ∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为 cos 〈a ，b 〉＝ a · b ||a ||b ＝－3 2 1×3 ＝－3 2， 又∵0≤〈a ，b 〉≤π， ∴向量a 与向量b 的夹角为 5π6 . 5.在Rt △ABC 中，点D 为斜边BC 的中点，|AB |＝8，|AC |＝6，则AD →·AB → 等于( ) A.48 B.40 C.32 D.16 答案 C 解析 因为点D 为斜边BC 的中点， 所以AD →＝12(AB →＋AC →)， 所以AD →·AB →＝12(AB →＋AC →)·AB → ＝12AB →2＋12AC →·AB →， 又Rt △ABC 中，AC ⊥AB ， 所以AD →·AB →＝12AB →2＝12 |AB →|2＝32. 6.若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( ) A.(0,2) B.(－∞ ,2) C.(－2,2) D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D
人教版高中数学高一-教案必修4第2章(第1课时)平面向量的实际背景及基本概念
课题：2.1.1向量的物理背景与概念 2.1.2向量的几何表示 2.1.3相等向量与共线向量 教学目的： 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示； 2.了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或出与某一已知向量相等的向量； 3.了解平行向量的概念. 教学重点：向量概念、相等向量概念、向量几何表示 教学难点：向量概念的理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 向量这一概念是由物理 学和工程技术抽象出来的， 反过来，向量的理论和方法， 又成为解决物理学和工程技 术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算 性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在 向量范围内不都适用因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了 向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则， 包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等之后， 又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标) 的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种 方法——向量法和坐标法 教学过程： 一、复习引入： 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量. 向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.这一节课，我们将学习向量的有关概念. 二、讲解新课： 1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性
届高三文科数学平面向量专题复习
2014届高三数学四步复习法—平面向量专题（311B ） 第一步：知识梳理——固本源，基础知识要牢记 1.基本概念：（1）向量：既有大小又有方向的量. （2）向量的模：有向线段的长度，a r . （3）单位向量：长度为1 的向量 .（4）零向量0r ，00=r ，方向任意. （5）相等向量：长度相等，方向相同.（6）共线向量（平行向量）：方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 （7）向量的加减法 ①共起点的向量的加法：平行四边形法则 ②首尾相连的向量的加法：口诀：首尾连，起点到终点. 如:AB BC CD AD ++=u u u r u u u r u u u r u u u r ③共起点的向量的减法：共起点，连终点，指向被减向量 ④化减为加：AB AC AB CA CA AB CB -=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （8）平面向量基本定理（向量的分解定理）1e u r ，2e u u r 是平面内两个不共线的 向量，a r 为该平面内任一向量，则存在唯一的实数对12,λλ，使得 1122a e e λλ=+u r u u r r ，12,e e u r u u r 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2. 平面向量的坐标运算?? ①设()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则()()()11221212,,,a b x y x y x x y y ±=±=±±r r ； ()()1111,,a x y x y λλλλ==r ， ②(),B A B A AB x x y y =--u u u r ，AB = u u u r ③(),a x y =r ，则a =r 3. 平面向量的数量积 ①向量a r 与b r 的数量积：cos a b a b θ?=r r r r （θ为向量a r 与b r 的夹角，[]0,θπ∈） ； ②若()()1122,,,a x y b x y ==r r ，则1212a b x x y y ?=+r r ； ③22a a a a =?=r r r r ；④a r 在b r 方向上的投影：cos a θr （θ为向量a r 与b r 的夹角）； ⑤θ为锐角?0a b ?r r f ，且a r 与b r 不同向；θ为钝角?0a b ?r r p ，且a r 与b r 不 反向； θ为直角?0a b ?=r r （θ为向量a r 与b r 的夹角）. 4.向量的平行： ① a r ∥b r a b λ?=r r （0b ≠r r ，λ唯一确定）； ②a r ∥b r 1221x y x y ?= 5.向量的垂直: 121200a b a b x x y y ⊥??=?+=r r r r 第二步：典例精析——讲方法，究技巧，悟解题规律.
高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念含答案
平面向量的实际背景及基本概念 预习课本P74～76，思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？ (2)怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？ (3)两个向量(向量的模)能否比较大小？ (4)如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？ (5)零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别？ [新知初探] 1．向量的概念和表示方法 (1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)向量的表示： 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，… 字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头 量，有向线段是规定了起点和终点的线段． 2．向量的长度(或称模)与特殊向量 (1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度． (2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.
(3)特殊向量： ①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． [点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系 (1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b. (2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行． [点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小．() (2)向量的模是一个正实数．() (3)单位向量的模都相等．() (4)向量AB与向量BA是相等向量．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)× 2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速． 其中可以看成是向量的个数() A．1B．2C．3D．4 答案：B 3．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是() A．也可以用MN表示B．方向是由M指向N C．始点是M D．终点是M 答案：D 4.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向 量有______． 答案：AB，DC 向量的有关概念 [典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．
2011—新课标全国卷1理科数学分类汇编——5平面向量
一、选择题 【2018，6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ） A ．3144A B A C - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344 AB AC + 【2015，7】设D 为ABC ?所在平面内一点3BC CD =，则（ ） A ．1433AD A B A C =-+ B ．1433 AD AB AC =- C ．4133AD AB AC =+ D ．4133AD AB AC =- 【2011，10】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??+>?∈ ??? 3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??->?∈ ??? 其中的真命题是（ ） A ．14,P P B ．13,P P C ．23,P P D ．24,P P 二、填空题 【2017，13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |= ． 【2016，13】设向量a )1,(m =，b )2,1(=，且|a +b ||2=a ||2+b 2|，则=m ． 【2014，15】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝__________． 【2012，13】已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________．
最新平面向量-文科数学高考试题
三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析 第五章 平面向量 一、选择题 1. 【2014高考北京文第3题】已知向量()2,4a =r ，()1,1b =-r ，则2a b -=r r （ ） A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 2. 【2015高考北京，文6】设a r ，b r 是非零向量，“a b a b ?=r r r r ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3. 【2014高考广东卷.文.3】已知向量()1,2a =r ,()3,1b =r ,则b a -=r r ( ) A .()2,1- B .()2,1- C .()2,0 D .()4,3 4. 【2015高考广东，文9】在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-u u u r ， ()D 2,1A =u u u r ，则D C A ?A =u u u r u u u r （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5. 【2014山东.文7】已知向量(3a =r ，()3,b m =r .若向量,a b r r 的夹角为π6 ，则实数m =（ ） （A ）23（B 3 （C ）0 （D ）36. 【2015高考陕西，文8】对任意向量,a b r r ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤r r r r B ．||||||||a b a b -≤-r r r r C ．22()||a b a b +=+r r r r D ．22 ()()a b a b a b +-=-r r r r r r 7. 【2014全国2，文4】设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=?b a ρ ρ（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 8.【2015高考新课标1，文2】已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4) 9. 【2014全国1，文6】设F E D ,,分别为ABC ?的三边AB CA BC ,,的中点，则=+ A.AD B. AD 21 C. BC 2 1 D. BC
人教A版高中数学必修4第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念习题(最新整理)
平面向量的实际背景及基本概念课时练 1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功，其中不是向量的有( ) A．1 个B．2 个 C．3 个D．4 个 解析：由物理知识知，质量、路程、密度、功是标量，而速度、位移、力、加速度是向量． 答案：D 2．在下列命题中，正确的是( ) A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a 与b 共线 D．若a≠b，则a 一定不与b 共线 解析：分析四个选项知，C 正 确．答案：C 3.设a，b 为两个单位向量，下列四个命题中正确的是( ) A.a＝b B.若a∥b，则a＝b C.a＝b 或a＝－b D.若a＝c，b＝c，则a＝b 答案：D →→→ 4.设M 是等边△ABC 的中心，则AM、MB、MC是( ) A.有相同起点的向量 B．相等的向量 C．模相等的向量 D．平行向量 解析：由正三角形的性质知，|MA|＝|MB|＝|MC|. →→→ ∴|MA|＝|MB|＝|MC|.故选C. 答案：C
→→ 5.如右图，在四边形ABCD 中，其中AB＝DC，则相等的向量是( ) →→→→ A.AD与CB B.OA与OC →→→→ C.AC与DB D.DO与OB →→→→解析：由AB＝DC知，四边形ABCD 是平行四边形，由平行四边形的性质知，|DO|＝|OB|，故选D. 答案：D 6.如下图，ABCD 为边长为3 的正方形，把各边三等分后，共有16 个交点，从中选取 → 两个交点作为向量，则与AC平行且长度为2 2的向量个数是． → → → → →→→→ 解析：如图所示，满足条件的向量有EF、FE、HG、GH、AQ、QA、PC、CP共8 个． 答案：8 个 7.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是 ． 解析：这些向量在同一直线，其终点构成一条直 线．答案：一条直线 8．给出以下5 个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a 与b 方向相反；④|a|＝0 或|b|＝0；⑤a 与b 都是单位向量， 其中能使a∥b 成立的是． 答案：①③④ 9.如下图，E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的各边中点，分别指出图中：
专题四 平面向量 理科数学
专题四 理科数学平面向量 一、选择题 1.（四川理4）如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++ = A ．0 B ．BE C ．AD D ．CF 【答案】D 【解析】BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 2.（山东理12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ= （μ∈R ），且1 1 2 λ μ + =,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知 平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D 3.（全国新课标理10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||1[0, )3p a b πθ+>?∈ 22:||1(,]3p a b π θπ+>?∈ 13:||1[0,)3p a b πθ->?∈ 4:||1(,]3p a b π θπ->?∈ 其中真命题是 （A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p 【答案】A 4.（全国大纲理12）设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b =1 2- ，,a c b c --=060，则 c 的最大值等于 A ．2 B C D ．1 【答案】A 5.（辽宁理10）若a ，b ，c 均为单位向量，且0=?b a ，0)()(≤-?-c b c a ，则| |c b a -+的最大值为 （A ）12- （B ）1 （C ）2 （D ）2 【答案】B 6.（湖北理8）已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式 1x y +≤， 则z 的取值范围为 A ．[-2，2] B ．[-2，3] C ．[-3，2] D ．[-3，3] 【答案】D 7.（广东理3）若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ?+= A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】 D