多元函数微分学及其应用

《高等数学》课程学习指导与讨论题

第五章多元函数微分学及其应用

在理论研究和实际应用中，经常遇到具有两个或两个以上自变量取值为数量或向量的函数，就是多元数量值函数与多元向量值函数，统称为多元函数，本章研究多元函数微分学的基本概念、理论和方法以及它们的应用，包括多元函数的极限与连续性。导数(方向导数，偏导数与梯度)与全微分等基本概念，多元函数微分法、极值问题以及多元函数微分学的一些几何应用。多元函数微分学中的基本概念、理论和方法是一元函数相应概念、理论和方法的推广和发展，因此它们之间既有相同之处，又有许多本质上的不同，同学们在学习这部分内容的时候，既要注意它们的相同点和互相联系，更要注意它们之间的不同点，善于将它们进行比较，研究推广到多元函数之后出现的新情况和新问题以及为什么会出现这些差异，有能力的同学还应注意推广的方法，以提高自己分析和解决问题的能力。

本章教学实施方案(总计30学时)

讲课：24学时分 1.n维Enclid空间中点集的初步知识（2学时）2.多元函数的极限与连续性(2学时) 3.多元数量值函数的导数与微分(7学时) 4．多元函数的Taylor公式与极值问题(4学时)；5．多元向量值函数的导数与微分(3学时)；6．多元函数微分学的几何应用(3学时)

7.空间曲线的曲率与挠率（3学时）。

习题课：4学时 1.多元函数极限、连续、偏导数与全微分（2学时）；2.多元函数的极值与多元微分在几何中的应用（2学时）。

讨论课：2学时多元函数极限、连续、偏导数、方向导数、梯度、全微分的概念及联系；；多元函数在极值问题中与几何方面的应用。

第一节 n维Enclid空间中点集的初步知识

一、教学内容与重点

n

R中点列的极限与点集的初步知识。

二、教学要求

1. 理解n维欧氏空间n R中点列极限的概念及性质，了解它们与一维空间中

数列极限概念及性质的异同。

2. 知道n R 中的开值(含集合的内点与内部)，闭集(含集合的聚点及导集)，区域有界闭集(即紧集)等常用的几个概念并能识别一些常见集合的开闭性，连通性。

第二节 多元函数的极限与连续性

一、教学内容与重点

多元函数的概念(多元数量值函数与多元向量函数)；多元函数的极限(重点讲二重极限)；多元函数的连续性(重点讲二元连续函数)及其性质。

二、教学要求

1. 理解多元函数有多元数量值函数与多元向量值函数之分。

2. 正确领会二重极限的概念，它与一元函数极限的异同，理解二重(n 重)极限定义中为什么要求(00,y x )(或n x x x 00201,, )为A 的一个聚点。

3. 正确理解利用二重极限定义说明二重极限不存在的方法，会求较简单的二元函数的二重极限。

4. 正确理解二元(多元)函数的连续与间断的概念。

5. 理解n 元向量值函数极限与连续性的定义。

6. 知道有界闭集上多元连续函数的有界性，最大最小值定理及有界连通闭集上多元连续函数的介值定理。

第三节 多元数量值函数的导数与微分

一、教学内容与重点

方向导数与偏导数的定义及几何意义；全微分的概念，函数可微的必要条件与充分条件，全微分在近似计算与误差估计中的应用；梯度的概念，运算法则及其与方向导数的关系；高阶偏导数;多元复合函数的链式法则(重点二元函数)与全微分，一阶全微分形式不变性，由一个方程所确定的隐函数的微分法，由方

程组所确定的隐函数的微分法。

二、教学要求

1. 正确理解方向导数与偏导数的定义和几何意义，理解方向导数与偏导数之间的关系，理解多元函数在一点处方向导数、偏导数都存在不能保证函数在该点连续。

2. 正确理解多元函数在一点处可微与全微分的定义。

3. 理解并熟记多元函数在一点处可微、方向导数存在、偏导数存在与连续之间的关系。

4. 熟悉利用偏导数求全微分的公式，会用全微分计算函数的近似值并能估计误差。

5. 正确理解梯度的概念及其与方向导数的关系，熟悉梯度的运算，并会求函数的梯度。

6. 熟悉多元函数(重点是二元函数)的高阶偏导数(重点为二阶偏导数)及混合偏导数相等的条件。

7. 正确掌握和使用链式法则求多元复合函数的一阶与二阶偏导数的方法，特别是会求由抽象函数的复合而成的复合函数的偏导数，要求同学们通过做一定数量的习题，体会掌握该方法的关键在于弄清函数的复合关系。

8. 理解一阶微分形式不变性，并会用它求复合函数的一阶全微分与偏导数。

9. 知道由一个方程所确定的隐函数的存在定理，并能正确求出隐函数的一、二阶导数。

10. 会求由方程组所确定的隐函数的一阶导数。

第四讲多元函数的Taylor公式与极值问题

一、教学内容与重点

多元函数的Taylor公式(重点是二阶Taylor公式)，多元函数无约束极值的必要条件与充分条件，最大最小值问题，有约束极值的Lagrange乘数法。

二、教学要求

1．熟悉多元函数的二阶Taylor及其向量形式，理解其中的一阶项系数为函

数的梯度，二阶项为二次型，其对应的矩阵为函数的Hessian矩阵。

2. 能正确使用极值的必要条件与充分条件求出极值点并判定其是极大值还是极小值。

3. 会求函数在有界闭域上的最大值与最小值，并利用它去解决实际应用中的最大值与最小值问题。

4. 能正确建立在实际问题中有约束极值的目标函数与约束条件，并能使用Lagrange乘数法正确求解此类问题。

第五节多元向量函数的导数与微分

一、教学内容与重点

向量值函数的方向导数与偏导数，向量值函数的导数与微分的概念，向量值函数在一点处的Jacobi矩阵与Jacobi行列式，向量值函数的微分运算法则，向量值函数的链式法则。

二、教学要求

1. 正确理解一元向量值函数导数的定义及几何意义，知道多元向量值函数方向导数与偏导数的定义与计算方法。

2. 理解向量值函数可导性(可微性)，导数与微分的概念。

3. 熟悉向量值函数导数的矩阵表示、Jacobi矩阵以及向量值函数的Jacobi 矩阵与Jacobi行列式的区别。会计算一元向量值函数的一阶与二阶导数。

4. 熟悉向量值函数的求导法则，包括链式法则。

第六节多元函数微分学在几何上的简单应用

一、教学内容与重点

空间曲线的切线与法平面，弧长与弧微分，曲面的切平面与法线，空间曲线的Frenet标架，曲线的曲率，曲线挠率的初步知识。

二、教学要求

1. 理解曲线的参数表示方法。

2. 熟悉曲线的切线与法平面方程的各种表达式，并会利用它们解决与之相关的一些几何问题。

3. 理解可求长曲线及其弧长的概念，熟悉弧长计算公式。

4. 理解弧微分与自然参数的概念，知道采用自然参数表示曲线有什么优点。

5. 理解曲面的双参数表示及曲面上的参数曲线网。

6. 熟悉曲面的切平面与法线方程的表达式，并会利用它们解决与之相关的一些几何问题。

7. 理解空间曲线上的活动坐标架(即Frenet 标架)的构成－－单位切向量、主法向量与次法向量，知道它们的表达式。

8. 正确理解曲线的曲率的概念，熟悉曲率与曲率半径的计算。

9. 理解曲线挠率的概念，知道挠率的计算公式。

第七节 空间曲线的曲率与挠率

一、教学内容与重点

空间曲线的Frenet 标架，曲线的曲率，曲线挠率的初步知识。

二、教学要求

1. 理解空间曲线上的活动坐标架(即Frenet 标架)的构成－－单位切向量、主法向量与次法向量，知道它们的表达式。

2. 正确理解曲线的曲率的概念，熟悉曲率与曲率半径的计算。

3. 理解曲线挠率的概念，知道挠率的计算公式。

讨论题

1．在定义函数),(y x f 在点),(00y x 处的极限

),(lim ),(),(00y x f y x y x →时，为什么要求点),(00y x 为)(f D 的聚点？

2．0>?ε，0,21>?δδ，使得在函数),(y x f 的定义域内满足10||δ<-x x ，20||δ<-y y 且),(),(00y x y x ≠的一切),(y x 均有ε<-|),(|A y x f 成立，则

A y x f y y x x =→→),(lim 00。对吗？

3．多元函数的极限与一元函数的极限有何异同点？根据极限的定义，可将一元函数极限中的哪些概念与命题推广到多元函数中来？

4．如果引入极坐标θcos 0r x x +=，θsin 0r y y +=且对每一个θ值都有A r y r x f r =++→)sin ,cos (lim 000

θθ，其中A 是与θ无关的常数，那么是否必有A y x f y y x x =→→),(lim 0

0？试研究例子623

00lim y x xy y x +→→。 5. 判定二重极限不存在的常用方法有哪些?

6．如果函数),(0y x f 在0y 处连续，),(0y x f 在0x 处连续，那么二元函数

),(y x f 在点),(00y x 处是否必连续？试研究函数?????=+≠++=0,

00,),(222222y x y x y x xy y x f 在(0,0)处的连续性。

7．计算偏导数),(00y x f x 时，能否先将0y y =代入),(y x f 中，再对x 求导？即是否成立0

),(),(000x x dx y x df x y x f ==??？对于函数x y y x y x f arctan )1(),(2-+=，你能很快求出)1,1(x f 吗？

8．对于函数??

???=+≠++=0,00,),(2222222

y x y x y x xy y x f ，问)0,0(x f 及)0,0(y f 是否存

在？),(y x f 在)0,0(点是否连续？),(y x f 在)0,0(点是否可微？此例说明什么？

9.试讨论二元函数),(y x f z =在点),(00y x P 处连续、偏导数存在、沿任一方向的方向导数存在、可微及一阶偏导数连续之间的关系。

10．判断一个函数),(y x f 在点),(00y x P 是否可微的常用方法是有哪些？试判断下列函数在给定点处是否可微： (1) ?????=+≠++=0,

00,),(222222y x y x y x xy y x f ,在)0,0(点；

(2) 22),(y x y x f +=，在)0,0(点； (3) ??

???=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在)0,0(点。

(4) )1ln(),(22y x y x f ++=，在)0,0(点；

11．若),(v u f z =，),(y x u u =，),(y x v v =，问公式x v x u x v f u f z +=、y v y u y v f u f z +=成立的条件（条件尽可能的弱）是什么？设函数

??

???=+≠++==0,00,||),(22222

2y x y x y x y x y x f z ，又t x =，t y =，欲求0=t dt dz ， 下述两种求法的结果不一样，这是为什么？

解法1：由于0)0,0()0,0(==y x f f ，于是由链导法则

)0,0(0x t f dt dz ==0)0,0(0

0=?+?==t y t dt dy f dt dx 解法2：把t x =，t y =代入),(y x f 中，得2),(t

t t f z ==，故2

10==t dt dz 。 12.若在区域D 上恒有,0),(=y x f y 能否断言函数),(y x f 在D 上的函数值与y 无关？

13．设L 为过点),(000y x M 的任一直线，如果当点),(y x 在L 上变动时，函数),(y x f 都在0M 处取得极值，问能否断定f 在0M 处取得极值？试研究例子：)6)(2(812),(22422y x y x y xy x y x f --=+==，)0,0(0M

14．如果二元函数),(y x f 在有界闭区域D 内有唯一的极值点M ，且在点M 处取得极小值，那么函数),(y x f 是否必在M 处取得其在区域D 上的最小值？为什么？试研究例子：32233),(x y x y x F -+=，16:22≤+y x D 。(0)0,0(==f f 极小， 16)0,4(-=f )。