CTSC2004最优切割解题报告

CTSC2004最优切割解题报告

河北唐山一中 鬲融

题目大意

一个凸多边形模板内有一个凸多边形的零件，对于零件来说，除相邻的两边外，任何两条边的延长线的交点都在模板之外。

切割时，每一刀必须沿零件的某一条边所在的直线切下，把模板分成两部分，然后保留含有零件的一部分，再继续切割。每一刀的费用为模板上切痕的长度，求最小花费。

解法分析

题目中有一句话引起了我们的注意：对于零件来说，除相邻的两边外，任何两条边的延长线的交点都在模板之外。这句话实际是要说明什么呢？我们首先定

没有影响的。而在右边的图中，如果我们先切左边那条边，那么在切右边那条边的时候短切痕长度就变短了，这种变短的切痕显然会给处理上带来很多麻烦。但是由于题目中的条件限制，右边的情况不会出现。

所以这个条件实际上是告诉我们，短切痕的长度是不变的。这样容易使我们想到动态规划的方法。但是最显然的动态规划是三次方的，还需要进一步优化才能解决。这样势必造成思维和程序上的复杂。

进一步考虑一个顶点处的两个短切痕，容易知道它们中必然有一个要真的被切下，那么我们是否可以使用贪心的方法呢？如果每次切下最短的短切痕就可以保证最优，接下来就需要保证是否每次切下的都是最短的。经过实验可以得到一个结论：如果先切下一刀的话确实可以保证以后每次都切下最短的。下面就来证如图，零件已经被切下一刀，考虑红色和蓝色两道切痕，如果红色的切痕比较

长，那么我们可以先完成左边两条边的

切割，最后再切右边这条边。否则我们

就先切右边这条边。总之一定可以切掉

较短的一端切痕。

这样我们就证明了，除第一刀所切下的切痕外，以后每一刀都可以通过刚才证明的方法来切掉最短的切痕，从而得到最优切割。

这样我们就得到了一个可行的算法：

1. 计算所有短切痕的长度

2. 穷举第一刀，计算此时的最优解

3. 综合考虑，得出最后的最优解

这个算法的简单实现是O(mn)的，其中前两步都是O(mn)，最后一步是O(n)的。这样的复杂度已经可以解决本题。但是需要注意本题中大量使用实数运算，系数很大，需要在这方面进行优化。

代码优化

首先可以看到，运算量最大的部分就是计算短切痕长度的部分。我们可以通过叉积来找到与零件上给定边相交的模板边，但是直接使用直线方程计算交点的

如图，需要计算AB 和CD 的交点到B 的距离x （就是图中虚线的长度）

。注意到AB ：x=S ACBD ：S BCD ，而其中的两个面积可以用叉积得出，这样就大大减小了运算量，同时又提高了精度。 型还需要把所有参数都变成地址传递才能达到题目要求（如果是C++可以用inline 来实现叉积），这样可以使速度提高近一倍。经过这样的优化程序效率就可以达到题目的要求。

算法优化

代码优化虽然能有效提高程序的效率，但是毕竟不能改变程序的复杂度。所以在算法上优化才是关键。

首先我们发现上述算法的第二步写成O(mn)是很浪费的，在穷举第一刀以后，只要把它与理论下界的差记下来就可以了，而这样只要O(1)的时间。

其次就要改进第一步，由于多边形都是按逆时针顺序给出的，我们可以发现，当零件上的边逆时针转过一圈时，模板上与之相交的边也恰好转过一圈，这样就得到了O(m+n)的算法：我们只要维护两个指针，一个（P1）表示叉积从-到+的那个点，另外一个(P2)表示叉积从+到-的那个点，就可以在线性时间内得到各个短切痕的长度。

从而导致错误。因此当P2=P1时我们应该让P1=P1+1。可是考虑右边的情况，处理红色箭头时，P1=P2，于是让P1=P1+1，可是实际上P1还应该继续移动。所以处理共线情况的方法就是，如果发现P1=P2，那么就P1=P1+1，然后继续尝试移动P1直到到达所需位置为止。通过这样的优化我们得到了一个O(m+n)的算法，结合前面介绍的代码优化方法，对所有数据都可以瞬间出解。