《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第4章 时变电磁场
第4章 时变电磁场
在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1 波动方程
由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即0ρ=、0=J 。在线性、各向同性的均匀媒质中，E 和H 满足的麦克斯韦方程为
t ε
???=?E
H （4.1.1） t
μ???=-?H
E （4.1.2） 0?=H （4.1.3） 0?=E （4.1.4）
对式（4.1.2）两边取旋度，有
()()t
μ
?
????=-???E H 将式（4.1.1）代入上式，得到
22()0t με?????+=?E
E
利用矢量恒等式2
()()????=??-?E E E 和式（4.1.4），可得到
22
20t
με??-=?E
E （4.1.5）
此式即为无源区域中电场强度矢量E 满足的波动方程。
同理可得到无源区域中磁场强度矢量H 满足的波动方程为
22
20t
με??-=?H H （4.1.6）
无源区域中的E 或H 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为
22222222
0x x x x
E E E E x y z t
με????++-=???? （4.1.7） 22222
2
2
2
0y
y
y
y
E E E E x y z t με
????+
+
-=???? （4.1.8）
22222222
0z z z z
E E E E x y z t με????++-=???? （4.1.9） 在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动
方程常常是很复杂的。
4. 2 电磁场的位函数
在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。
4.2.1 矢量位和标量位
由于磁场B 的散度恒定于零，即0?=B ，因此可以将磁场B 表示为一个矢量函数A 的旋度，即
=??B A （4.2.1）
式中的矢量函数A 称为电磁场的矢量位，单位是T m 。
将式（4.2.1）代入方程t
???=-?B
E ，有
()t
?
??=-???E A
即
()0t
???+
=?A
E 这表明t
?+
?A
E 是无旋的，可以用一个标量函数?的梯度来表示，即 t
??+=-??A E （4.2.2）
式中的标量函数?称为电磁场的标量位，单位是V 。由式（4.2.2）可将电场强度矢量E 用矢量位A 和标量位?表示为
t
??=--??A E （4.2.3）
由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的E 和B ，除了可用一组A 和?来表示外，还存在另外的'A 和?'，使得'=??B A 和
t
?'
?'=-
-??A E 。实际上，设ψ为任意标量函数，令
t ψψ??'=+???
??'=-???
A A （4.2.4） 则有
()ψ'??=??+???=??=A A A B
()()t t t t
ψ?ψ??'????'--?=-+?-?-=--?=????A A A E 由于ψ为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的'A 和?'有无穷多组。出现这种现象
的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位A 的旋度，没有规定矢量位A 的散度。因此，通过适当地规定矢量位A 的散度，不仅可以得到惟一的A 和?，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位A 的散度为
t
?
με
??=-?A （4.2.5） 此式称为洛仑兹条件。
4.2.2 达朗贝尔方程
在线性、各向同性的均匀媒质中，将=??B A 和t
??=-
-??A
E 代入方程t
ε
???=+?E
H J ，则有 22()t t ?
μμεμε??????=--???A A J
利用矢量恒等式2
()????=??-?A A A ，可得到
22
2(()t t
?
μεμεμ???--??+=-??A A A J （4.2.6）
同样，将t ??=--??A E 代入1
ρε
?=E ，可得到 21
()t ?ρε
??+?=-?A （4.2.7）
式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于A 和?得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位A 的
散度来加以简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到
22
2t μεμ??-=-?A
A J （4.2.8）
22
21t ??μερε
??-=-? （4.2.9）
式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位A 和标量位?所满足的微分方程，称
为达朗贝尔方程。
由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位A 和标量位?分离在两个独立的方程中，且矢量位A 仅与电流密度J 有关，而标量位?仅与电荷密度ρ有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的?A ，得到的A 和?的方程将不同
于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由A 和?求出的E 和B 是相同的。
4. 3 电磁能量守恒定律
电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度e w 与磁场能量密度
m w 能量密度分别为
1
2e w =
E D (4.3.1) 1
2
m w =H B (4.3.2)
在时变电磁场中，电磁场能量密度w 等于电场能量密度e w 与磁场能量密度m w 之和，即
11
22
e m w w w =+=+E D H B (4.3.3)
当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢
量，用S 表示，其单位为2
W m （瓦/米2）。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理。下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理，以及描述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。
坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导出来。假设闭合面S 包围的体积V 中无外加源，媒质是线性和各向同性的，且参数不随时间变化。分别用E 点乘方程t
???=+?D
H J 、H 点乘方程t
???=-
?B
E ，得 ()t
???=+?D E H E J E ()t
???=-?B H E H
将以上两式相减，得到
()()t t
????-??=++??D B
E H H E E J E
H
在线性、各向同性的媒质中，当参数不随时间变化时
()1()1
()22t t t t μμ????===????B H H H H
H H B ()1()1()22t t t t εε????===????D E E E E E E D
于是得到
11
()()()22
t ???-??=
++?E H H E H B E D E J 再利用矢量恒等式
()()()-??=??-??E H E H H E
可得到
11
()()22
t ?-??=
++?E H H B E D E J (4.3.4) 在体积V 上，对式(4.3.4)两端积分，并应用散度定理，即可得到
d 11()d ()d d d 22
S
V V V V t -?=
++???E H S H B E D E J (4.3.5) 这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
在式(4.3.5)中，右端第一项d 11
()d d 22
V V t +?H B E D 是在单位时间内体积V 中所增加的电磁场能量；右端第二项
d V V ?
E J 是在单位时间内电场对体积V 中的电流所作的功，在
导电媒质中，d d V
V
V V σ=??E J E E 即为体积V 内总的损耗功率。根据能量守恒关系，式(4.3.5)左端的()d S
-??E H S 则是单位时间内通过曲面S 进入体积V 的电磁能量，所以
矢量?E H 是一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。因此，我们将?E H 定义为电磁能流密度矢量S ，即
=?S E H (4.3.6) 这样，若已知某点的E 和H ，由式(4.3.6)即可求出该点的能流密度矢量。
由式(4.3.6)可知，S 既垂直于E 也垂直于H ，又由于E
和H 也是相互垂直的，因此S 、E 、H 三者是相互垂直的，且成右旋关系，如图4.3.1所示。由此可知，任一时刻、空间
任以点的能流密度矢量的大小为
(,)(,)(,)S t E t H t =r r r (4.3.7)
由于式中的(,)E t r 和(,)H t r 都是瞬时值，所以能流密度
(,)S t r 也是瞬时值，只有当(,)E t r 和(,)H t r 同时达到最大值
时，能流密度(,)S t r 才达到最大。若某一时刻，(,)E t r 或
(,)H t r 为零，则能流密度(,)S t r 也为零。 例 4.3.1 同轴线地内导体半径为a 、外导体地内半径为b ，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电流为I 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率σ为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为
ln()U
b a ρ
ρ=E e （a b ρ<<）
2I
φπρ
=H e （a b ρ<<）
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量为
2[]()ln()22ln()
z U I UI
b a b a ρ
φρπρπρ=?=?=S E H e
e e
电磁能量在内外导体之间的介质中沿z 轴方向流动，即由电源向负载，如图4.3.2所示。穿过
H
图4.3.1 能流密度矢量
U
L
U
L
图4.3.2 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）
图4.3.3 同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）
任意横截面的功率为
2d 2d 2ln()
b
z S
a
UI
P S UI b a πρρπρ===??
S e
与电路中的分析结果相吻合。可见同轴线传输的功率是内外导体间的电磁场传递到负载，而不是经过导体内部传递的。
（2）当导体的电导率σ为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场
E 内2
z
I
a σ
πσ
=
=J
e 根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即E 内z z E =外。因此，在内导体表面外侧的电场为
2ln()z a
U I
a b a a ρ
ρπσ
==+外
E e e
磁场则仍为
2a
I a
φ
ρπ==外
H e
内导体表面外侧的坡印廷矢量为
2232
()22ln()
z a a
I UI a a b a ρρρπσπ===?=-+外外外S E H e e 由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如图4.3.3所示。
进入每单位长度内导体的功率为
22
1
22320()d 2d 2a
S
I I P S a z RI a a ρρππσπσ
==-===??S e 外
式中2
1
R a πσ
=
是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
以上分析表明电磁能量是电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体
的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
4. 4 惟一性定理
在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？
这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。
惟一性定理指出：在以闭曲面S 为边界的有界区域V 内，如果给定0t =时刻的电场强度E 和磁场强度H 的初始值，并且在0t ≥时，给定边界面S 上的电场强度E 的切向分量或
磁场强度H 的切向分量，那么，在0t >时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。
下面利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域V 内的解不是惟一的，那么至少存在两组解1E 、1H 和2E 、2H 满足同样的麦克斯韦方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令
012=-E E E 、012=-H H H
则0t =时，在区域V 内，0E 和0H 的初始值为零；在0t ≥时，边界面S 上电场强度0E 的切向分量为零或磁场强度0H 的切向分量为零，且0E 、0H 满足麦克斯韦方程
00t
σε
???=+?E H E 0
0t
μ
???=-?H E 0()0μ?=H 0()0ε?=E
因此，根据坡印廷定理，应有
222
00000d 11()d ()d d d 22
n S
V V S V V t μεσ-?=
++???E H e H E E 根据0E 或0H 的边界条件，上式左端的被积函数为
000000()()()0n n n S S S ?=?=?=E H e e E H H e E
所以，得
222
000d 11()d d 0d 22
V V V V t μεσ++=??H E E 由于0E 和0H 的初始值为零，将上式两边在(0,)t 上对t 积分，可得
222
000011()d (d )d 022t V V V V t μεσ++=???H E E
上式中两项积分的被积函数均为非负的，要使得积分为零，必有
00=E ，00=H 即
12=E E ，12=H H
这就证明了惟一性定理。
惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重要的意义和广泛的应用。
4. 5 时谐电磁场
在时电磁场中，如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。在工程上，应用最多的就是时谐电磁场，同时任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。因此，研究时谐电磁场具有重要意义。
4.5.1 时谐电磁场的复数表示
对于时谐电磁场可采用复数方法使问题的分析得以简化。设(,)u t r 是一个以角频率ω随时间呈时谐变化的标量函数，其瞬时表示式为
(,)()cos[()]m u t u t ωφ=+r r r （4.5.1） 式中()m u r 为振幅，它仅为空间坐标的函数，ω为角频率，()φr 是与时间无关的初相位。
利用复数取实部表示方法，可将式（4.5.1）写成
()(,)Re[()]Re[()]j j t j t m u t u e e u e φωω==r r r r （4.5.2）
式中
()()()j m u u e φ=r r r
称为复振幅，或称为(,)u t r 的复数形式。为了区别复数形式与实数形式，这里用打“·”的符号表示复数形式。
任意时谐矢量函数(,)t F r 可分解为三个分量(,)i F t r (,,)i x y z =，每一个分量都是时谐标量函数，即
(,)()cos[()]i im i F t F t ωφ=+r r r (,,)i x y z =
它们可用复数表示为
()(,)Re[()]i j j t i im F t F e e φω=r r r (,,)i x y z =
于是
(,)(,)(,)(,)x x y y z z t F t F t F t =++F r e r e r e r
()
()()Re{[()()()]}y x z j j j j t x xm y ym z zm F e F e
F e e φφφω=++r r r e r e r e r
Re[()]j t m e ω=F r （4.5.3）
其中
()m F r ()
()()()()()y x z j j j x xm y ym z zm F e F e
F e φφφ=++r r r e r e r e r （4.5.4）
称为时谐矢量函数(,)t F r 的复矢量。
式（4.5.3）是瞬时矢量(,)t F r 与复矢量()m F r 的关系。对于给定的瞬时矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的复矢量；反之，给定一个复矢量，由式（4.5.3）可写出与之相应的瞬时矢量。
必须注意，复矢量只是一种数学表示方式，它只与空间有关，而时间无关。复矢量并不是真实的场矢量，真实的场矢量是与之相应的瞬时矢量。而且，只有频率相同的时谐场之间才能使用复矢量的方法进行运算。
例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式
（1）(,)cos()sin()x xm x y ym y z t E t kz E t kz ωφωφ=-++-+E e e （2）00(,,)()sin(
)sin()cos(
)cos()x z a x
x
x z t H k kz t H kz t a
a
ππωωπ
=-+-H e e
解：（1）由于
(,)cos()cos()2
x xm x y ym y z t E t kz E t kz π
ωφωφ=-++-+-E e e
()
()
2
Re[]y x j t kz j t kz x xm y ym E e
E e
π
ωφωφ-+--+=+e e
根据式（4.5.3），可知电场强度的复矢量为
()
()
2
()y x j kz j kz m x xm y ym z E e E e π
φφ-+--+=+E e e ()y x j j jkz x xm y ym E e jE e e φ
φ-=-e e
（2）因为 cos()cos()kz t t kz ωω-=-
sin()cos()cos()22
kz t kz t t kz ππ
ωωω-=--=-+
所以
200(,)()sin()cos()jkz j jkz m x z a x x
x z H k e H e a a
ππππ-+-=+H e e
例4.5.2 已知电场强度复矢量()cos()m x xm z z jE k z =E e ，其中xm E 和z k 为实常数。写出
电场强度的瞬时矢量。
解：根据式（4.5.3），可得电场强度的瞬时矢量
()
2
(,)Re[cos()]Re[cos()]j t j t
x xm z x xm z z t jE k z e
E k z e
π
ωω+==E e e
cos()cos()2
x xm z E k z t π
ω=+e
4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程
对于一般的时变电磁场，麦克斯韦方程组为
t ???=+
?D
H J t
???=-?B
E
0?=B ρ?=D 在时谐电磁场中，对时间的导数可用复数形式表示为
(,)Re[()]Re{[()]}Re[()]j t j t j t m m t e e j e t t t
ωωωω???
===???F r F r F r F r 利用此运算规律，可将麦克斯韦方程组写成
Re[()]Re[()]Re[()]j t j t j t m m m e e j e ωωωω??=+H r J r D r
Re[()]Re[()]j t j t m m e j e ωωω??=-Εr B r Re[()]0j t m e ω?=B r
Re[()]Re[()]j t j t m m e e ωωρ?=D r r
将微分算子“?”与实部符号“Re ”交换顺序，有
Re[()]Re[()]Re[()]j t j t j t m m m e e j e ωωωω??=+H r J r D r Re[()]Re[()]j t j t m m e j e ωωω??=-Εr B r
Re[()]0j t m e ω?=B r
Re[()]Re[()]j t j t m m e e ωωρ?=D r r
由于以上表示式对于任何时刻t 均成立，故实部符号可以消去，于是得到
()()()m m m j ω??=+H r J r D r （4.5.5） ()()m m j ω??=-Εr B r （4.5.6） ()0m ?=B r （4.5.7） ()()m m ρ?=D r r （4.5.8）
这就是时谐电磁场的复矢量所满足的麦克斯韦方程，也称为麦克斯韦方程的复数形式。
这里为了突出复数形式与实数形式的区别，用打“·”符号表示复数形式。由于复数形式的公式与实数形式的公式之间存在明显的区别，将复数形式的“·”去掉，并不会引起混淆。因此以后用复数形式时不再打“·”符号，并略去下标m ，故将麦克斯韦方程的复数形式写成
j ω??=+H J D （4.5.9）
j ω??=-E B （4.5.10）
0?=B （4.5.11） ρ?=D （4.5.12）
4.5.3 复电容率和复磁导率
实际的媒质都是有损耗的，电导率为有限值的导电媒质存在欧姆损耗，电介质的极化存在电极化损耗，磁介质的磁化存在磁化损耗。损耗的大小除与媒质的材料有关外，也与场随时间变化的快慢有关。一些媒质在低频场中损耗可以忽略，而在高频场中损耗往往就不能忽略了。
在时谐电磁场中，对于介电常数为ε、电导率为σ的导电媒质，式（4.5.9）可写为
()c j j j
j σ
σωεωεωεω
??=+=-=H E E E E （4.5.13） 式中
c j
σ
εεω
=- （4.5.14） 由此可见，这类导电媒质的欧姆损耗以负虚数形式反映在媒质的本构关系中。因此，称c ε为
等效复介电常数或复电容率。
类似地，对于存在电极化损耗的电介质，表征其电极化特性的介电常数是一个复数
c j εεε'''=- （4.5.15） 称为复介电常数或复电容率。ε''表征电介质中的电极化损耗，是大于零的正数。在高频时谐场中，ε'和ε''都是频率的函数。
当媒质同时存在电极化损耗和欧姆损耗时，其等效复介电常数可写为
()c j σ
εεεω
'''=-+ （4.5.16）
在工程上，通常采用损耗角正切tan εδ来表征电介质的损耗特性，其定义为
tan εεδε''
=
'
（4.5.17） 对于导电媒质，其损耗角正切为
tan σσωσ
δεεω
=
=
（4.5.18） σεω描述了导电媒质中的传导电流与位移电流的振幅之比。当
1σ
ωε
<<（通常取1100
σωε<）时，媒质中传导电流的振幅远远小于位移电流的振幅，因此称为弱导电媒质或良绝缘体。而当1σωε>>（通常取100σωε
>）时，媒质中传导电流的振幅远远大于位移电流的振幅，因此称为良导体。应当注意，同一种媒质在低频时可能是良导体，而在很高的频
率时就可能变得类似于绝缘体了。
与电介质的情形相似，对于存在磁化损耗的磁介质，表征其磁化特性的磁导率也是一个复数
c j μμμ'''=- （4.5.19） 称为复磁导率。其中，μ''表征磁介质中的磁化损耗，是大于零的正数。磁介质的损耗角正切tan μδ定义为
tan μμδμ''
=
'
（4.5.20） 例 4.5.3 海水的电导率4σ=S m 、相对电容率81r ε=。求海水在频率1f =kHz 和
1f =GHz 时的等效复电容率c ε。
解 当1f =kHz 时
93
104
8136210c j j
σεεωππ-=-=?-? 10447.1610 6.3710 6.3710j j ---=?-?≈-? F m
当1f =GHz 时
99
1048136210c j j σεεωππ-=-=?-?1010
7.1610 6.3710j --=?-? F m 4.5.4 亥姆霍兹方程
对于时谐电磁场，将t j ω??→、2
22t ω??→-，则由式（4.1.5）和式（4.1.6）可得到
22
22
k k ??+=???+=??H H E E （4.5.21） 式中
k = （4.5.22）
式（4.5.21）即为时谐电磁场的复矢量E 和H 在无源空间中所满足的波动方程，通常又
称为亥姆霍兹方程。
如果媒质是有损耗的，即介电常数或磁导率为复数，则k 也相应地变为复数c k 。对于电导率0σ≠的导电媒质，用式（4.5.14）中的等效复介电常数c ε代替式（4.5.22）中的ε，得到
c k = （4.5.23）
波动方程（4.5.21）形式不变，只是将k 替换为c k 。
4.5.5 时谐场的位函数
对于时谐电磁场的情形，矢量位和标量位都可改用复数，即
1j μω??
=????
?=--??
H A
E A （4.5.24） 洛仑兹条件变为
j ωμε??=-A （4.5.25）
达朗贝尔方程变为
22k μ?+=-A A J （4.5.26）
221
k ??ρε
?+=- （4.5.27）
其中22
k ωμε=。
由洛仑兹条件（4.5.25），可将标量位?表示为
j ?ωμε
?=
-A
代入式（4.5.24），则可得到
2
1()j j j k μωωωμε?=????
?
?????=--=-+??
H A A A E A A （4.5.28） 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度矢量
前面讨论的坡印廷矢量是瞬时值矢量，表示瞬时能流密度。在时谐电磁场中，一个周期
内的平均能流密度矢量av S （即平均坡印廷矢量）更有意义。式(4.3.6)的平均值为
200
1d d 2T av t t T πω
π
=
=??
S S S (4.5.29) 第 一 章式中
2T π
ω=
为时谐电磁场的时间周期。
av S 也可以直接由场矢量的复数形式来计算。对于时谐电磁场，坡印廷矢量可写为
Re[]Re[]j t j t e e ωω=?=?S E H E H 11
[()][()]22
j t j t j t j t e e e e ωωωω**=+?+E E H H
221
[][]414j t j t e e ωω**-**=?+?+?+?E H E H E H E H 2211
[()][()]44j t j t e e ωω****=?+?+?+?E H E H E H E H 211
Re[]Re[]22
j t e ω*=?+?E H E H 代入式(4.5.29)，可得到
220
11
{Re[]Re[]}d 222
j t av e t πωωπ
*=
?+??
S E H E H 1
Re[]2
*=
?E H (4.5.30) 其中“*”表示取共轭复数。
类似地，可以得到电场能量密度和磁场能量密度的时间平均值分别为
0111
d Re()44T eav
e c w w t T εε**'===?E E E E (4.5.31)
0111
d Re()44
T mav m c w w t T μμ**'===?H H H H (4.5.32)
由麦克斯韦方程组的复数形式可以导出复数形式的坡印廷定理。设介质的介电常数c ε和
磁导率c μ都是复数。由恒等式
()***??=??-??E H H E E H
和
c j ωμ??=-E H ， c j σωε****
??=-H E E
得
()c c j j ωμωεσ*****??=-+-E H H H E E E E
即
1111()2222
c c j j ωμωεσ*****-?
?=-+E H H H E E E E 将上式对体积V 积分，并应用散度定理将左边体积分变为面积分，得
1111
()d ()d d 2222S V V j V V ωμεσ*****-?=-+?
??E H S H H E E E E 由于
1111
()2222c j j j j ωμωμμωμωμ****''''''=-=+H H H H H H H H 1111()2222
c j j j j ωεωεεωεωε*****''''''-=-=-+E E E E E E E E 于是得到
1111
()d ()d 2222
S V V ωμωεσ****''''-?=++?
?E H S H H E E E E 11
2()d 44
V j V ωμε**''+-?H H E E
()d 2()d eav mav jav mav eav V V
p p p V j w w V ω=+++-?? （4.5.33)）
式中12mav p ωμ*''=
H H 、12eav p ωε*''=E E 、1
2
jav p σ*=E E 分别是单位体积内的磁损耗、介电损耗和焦耳热损耗的平均值。式（4.5.33）即为复数形式的坡印廷定理，其右端的两
项分别表示体积V 内的有功功率和无功功率。式（4.5.33）左端的面积分是穿过闭合面S 的复功率，其实部为有功功率，即功率的时间平均值，被积函数的实部即为平均能流密度矢量av S 。
例4.5.4在无源（0ρ=、0=J ）的自由空间中，已知电磁场的电场强度复矢量
0()V m jkz
y z E e -=E e
式中k 和0E 为常数。求：(1) 磁场强度复矢量()z H ；(2) 瞬时坡印廷矢量S ；(3) 平均坡印
廷矢量av S 。
解：（1）由0j ωμ??=-E H ，得
00
11()jkz z
y z E e j j z ωμωμ-?
=-
??=-
??H E e e 00
jkz x kE e ωμ-=-e （2）电场、磁场的瞬时值为
0(,)Re[()]cos()j t y z t z e E t kz ωω==-E E e
00
(,)Re[()]cos()j t x kE
z t z e t kz ωωωμ==--H H e
所以，瞬时坡印廷矢量S 为
00
cos()[cos()]y x
kE E t kz t kz ωωωμ=?=-?--S E H e e
220
cos ()z
kE t kz ωωμ=-e
（3）由式(4.5.30)，可得平均坡印廷矢量
0001Re[()]2jkz
jkz av y x kE E e e ωμ--*=?-S e e 22
0000
1Re[]22z z kE kE ωμωμ==e e
或由式(4.5.29)计算
22
22
00
2[cos ()]d 2av z z kE kE t kz t ωπ
π
ωω
ωμωμ=
-=?
S e e
思考题
4.1 在时变电磁场中是如何引入动态位A 和?的？A 和?不惟一的原因何在？ 4.2 什么是洛仑兹条件？为何要引入洛仑兹条件？在洛仑兹条件下，A 和?满足什么方程？
4.3 坡印廷矢量是如何定义的？它的物理意义是什么？ 4.4 什么是坡印廷定理，它的物理意义是什么？ 4.5 什么是时变电磁场的惟一性定理？它有何重要意义？ 4.6 什么是时谐电磁场？研究时谐电磁场有何意义？
4.7 时谐电磁场的复矢量是如何定义的？它与瞬时场矢量之间是什么关系？ 4.8 时谐电磁场的复矢量是真实的场矢量吗？引入复矢量的意义何在？
4.9 时谐场的平均坡印廷矢量是如何定义的？如何由复矢量计算平均坡印廷矢量？ 4.10 时谐场的瞬时坡印廷矢量与平均坡印廷矢量有何关系？是否有
(,)Re[()]j t av t e ω=S r S r ？
4.11 试写出复数形式的麦克斯韦方程组。它与瞬时形式的麦克斯韦方程组有何区别？ 4.12 复介电常数的虚部描述了介质的什么特性？如果不用复介电常数，如何表示介质的损耗？
4.13 如何解释复数形式的坡印廷定理中各项的物理意义？
习 题
4.1证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程22
22
10c t ??-=?E E ，
其中2001c με=，0E 为常数。
（1）0cos()x E t z c
ω
ω=-E e ；（2）0sin()cos()x E z t c
ω
ω=E e ；
（3）0cos()y E t z c
ω
ω=+
E e
4. 2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度()E r 的波动方程为
22()()0ωμε?+=E r E r
已知矢量函数0()j e -=k r
E r E ，其中0E 和k 是常矢量。试证明()E r 满足波动方程的条件是
22k ωμε=，这里k =k 。
4. 3 已知无源的空气中的磁场强度为
90.1sin(10)cos(6A 10)m y x t kz ππ=?-H e
利用波动方程求常数k 的值。
4.4 证明：矢量函数0cos()x E t x c
ω
ω=-
E e 满足真空中的无源波动方程
22
2210c t
??-=?E
E ，但不满足麦克斯韦方程。
4.5 证明：在有电荷密度ρ和电流密度J 的均匀无损耗媒质中，电场强度E 和磁场强度H 的波动方程为：
222()t t ρμεμε???-=+???E J E ，22
2t
με??-=-???H H J
4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛仑兹条件，而采用库仑条件0?=A ，导出A 和?
所满足的微分方程。
4.7 证明在无源空间（0ρ=，0=J ）中，可以引入矢量位m A 和标量位m ?，定义为
m =-??D A
m m t
??=-?-?A
H
并推导m A 和m ?的微分方程。
4.8给定标量位x ct ?=-及矢量位()x x t c
=-A e
，式中c =
。（1）试证明：
00
t
?
με??=-?A ；（2）求H 、B 、E 和D ；（3）证明上述结果满足自由空间的麦克斯韦方程。
4.9 自由空间中的电磁场为
(,)100cos()V m x z t t kz ω=-E e (,) 2.65cos()A m y z t t kz ω=-H e
式中0.42rad m k ==。求：（1）瞬时坡印廷
矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如题
4. 9图所示的平行六面体（长1m 、横截面积为20.25m ）中的净功率。
4. 10 已知某电磁场的复矢量为
00()sin()V m x z jE k z =E e
0()cos()A m z k z =H e 式中00
2k c
π
ω
λ=
=
，c 为真空中的光速，0λ是波长。求：（1）0z =、
8
λ、
4
λ各点处的
瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
4. 11 在横截面为a b ?的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为
0sin(
)V m j z
y a
x
j H e a
βπωμπ
-=-E e
00[sin(
)cos(
)]A m j z
x z a
x
x
j H H e a
a
βππβ
π
-=+H e e
式中0H 、ω、μ和β都是实常数。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。
4. 12 在球坐标系中，已知电磁场的瞬时值
0(,)sin sin()V m E t t k r r θ
θω=-E r e 000(,)sin sin()A m E
t t k r r
φθωη=-H r e
式中0E
为常数，0η=
，0k =。试计算通过以坐标原点为球心、0r 为半径的球面S 的总功率。
4.13 已知无源的真空中电磁波的电场
0cos()x E t z c
ω
ω=-
E e V m 证明av z av w c =S e ，其中av w
是电磁场能量密度的时间平均值，c =
为电磁波在真空
题4.9图
中的传播速度。
4.14设电场强度和磁场强度分别为
0cos()e t ωψ=-E E 和 0cos()m t ωψ=-H H
证明其坡印廷矢量的平均值为
00co 1
2
s()av e m ψψ=
?-S E H 4.15在半径为a 、电导率为σ的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流I ，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度s ρ。
（1）导线表面外侧的坡印廷矢量S ；
（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
4.16 由半径为a 的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为d ，两板间充满介电常数为ε、电导率为σ的媒质，如题4.16题所
示。设两板间外加缓变电压cos m u U t ω=，略去边缘效应，试求：
（1）电容器内的瞬时坡印廷矢量和平均坡印廷矢量；
（2）进入电容器的平均功率；（3）电容器内损耗的瞬时功率和平均功率。
4.17 已知真空中两个沿z 方向传播的电磁波的电场为
11jkz x m E e -=E e
()22j kz y m E e φ--=E e
其中φ
为常数、k =证明总的平均坡印廷矢量等于两个波的平均坡印廷矢量之和。
4.18 试证明电磁能量密度22
1122
w εμ=+E H 和坡印廷矢量=?S E H 在下列变换下都具有不变性：
1cos sin φηφ=+E E H ，11
sin cos φφη
=-
+H E H
其中φ
为常数、η=
u
题4.16题
时变电磁场
第五章 时变电磁场 1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。 2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不可分割。3）电力线和磁力线相互垂直环绕。 3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。第八章介绍了电磁波的产生－天线。 4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。2）基本方法：复矢量 §5.1时变电磁场方程及边界条件 1 1)因为 t ?? 不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。其基本方程就是Maxwell 方程。 微分形式：?? ??? ????????????-=??=??=????-=????+=??t J B D t B E t D J H ρρ 0 积分形式??????? ??????????-=?=?=????-=????+=??????????s V s s V c s c s dV t s d J s d B dV s d D s d t B l d E s d t D J l d H ρρ 0)( 2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中 H B E D με== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。 3）上面的电流J 包括传导电流E J c σ=和运移电流v J v ρ= 2 边界条件： §5.2 时变电磁场的唯一性定理 1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界
电磁场与电磁波第四版谢处方版思考题目答案
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？ 矢量场F穿出闭合曲面S的通量为： 当大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。 当小于0时，小于 有汇集矢量线的源，称为负通量源。 当等于0时等于、闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。 1.8什么是散度定理?它的意义是什么？ 矢量分析中的一个重要定理： 称为散度定理。意义：矢量场F的散度在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。 1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？ 矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分，称为矢量场F沿 的环流。 大于0或小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。
等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。 1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？ 在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系 这就是是斯托克斯定理矢量场的旋度在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面. 1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0,即F为无散场。 1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性? =0即为无旋场 1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？ 不对。电力线可弯，但无旋。 1.14 无旋场与无散场的区别是什么？ 无旋场F的旋度处处为0，即，它是有散度源所产生的，它总可以表示矢量场的梯度，即 =0
作业06_第四章时变电磁场
第四章 时变电磁场 1. 在无源的自由空间中，已知磁场强度597.210cos(31010)A/m y H t z e -=??-v v ，求位移 电流密度。 2. 在电导率310S/m γ=、介电常数06εε=的导电媒质中，已知电场强度 58210sin(10)x E t e -=?πv v ，计算在92.510s t -=?时刻，媒质中的传导电流密度c J v 和位移电流密度d J v 。 3. 在无源区域，已知电磁场的电场强度90.1cos(6.281020.9)V/m x E t z e =?-v v ，求空间 任一点的磁场强度H v 和磁感应强度B v 。 4. 一个同轴圆柱型电容器，其内、外半径分别为11cm r =、24cm r =，长度 0.5m l =，极板间介质介电常数为04ε，极板间接交流电源，电压为 V u t =π。求极板间任意点的位移电流密度。 5.一个球形电容器的内、外半径分别为a 和b ，内、外导体间材料的介电常数为ε，电导率为γ，在内、外导体间加低频电压sin m u U t ω=。求内、外导体间的全电流。
6. 已知自由空间中电磁波的两个场量表达式为 )V/m x E =t z e ωβ-v v ，)A/m y H =t z e ωβ-v v 式中，20MHz f = ，0.42rad/m β==。求(1)瞬时坡印亭矢量；(2)平均坡印亭矢量；(3)流入图示的平行六面体（长为2m ，横截面积为0.5m 2）中的净瞬时功率。 7. 一个平行板电容器的极板为圆形，极板面积为S ，极板间距离为d ，介质的介电常数和电导率分别为ε，γ，试问： (1). 当极板间电压为直流电压U 时，求电容器内任一点的坡印亭矢量； (2). 如果电容器极板间的电压为工频交流电压cos314u t =，求电容器内任一点的坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。 8. 在时变电磁场中，已知矢量位函数m e cos()z x A A t z e αωβ-=-v v ，其中m A 、α和β 均是常数。试求电场强度E v 和磁感应强度B v 。
电磁场与电磁波第四版课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
电磁场与电磁波第四版思考题答案 2.1 点电荷的严格定义是什么？ 点电荷是电荷分布的一种极限情况，可将它看做一个体积很小而电荷密度很的带电小球的极限。当带电体 的尺寸远小于观察点至带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已无关紧要。就可将带电体所带 电荷看成集中在带电体的中心上。即将带电体抽离为一个几何点模型，称为点电荷。 2.2 研究宏观电磁场时，常用到哪几种电荷的分布模型？有哪几种电流分布模型？他们是如何定义的？ 常用的电荷分布模型有体电荷、面电荷、线电荷和点电荷；常用的电流分布模型有体电流模型、面电流模 型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。 2,3 点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极子的电场强度又如何呢？ 点电荷的电场强度与距离 r 的平方成反比；电偶极子的电场强度与距离 r 的立方成反比。 2.4 简 述 E / 和 E 0 所表征的静电场特性 E / 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密度有关， 静电荷是静电场的 通量源。 E 表明静电场是无旋场。 2.5 表述高斯定律，并说明在什么条件下可应用高斯定律求解给定电荷分布的电场强度。 高斯定律：通过一个任意闭合曲面的电通量等于该面所包围的所有电量的代数和除以 与闭合面外的电荷无 关，即 E 1 dV 在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应用高斯定 律求解给定电荷分 dS S 0 V 布的电场强度。 2.6 简 述 B 0 和 B 0J 所表征的静电场特 性。 B 表明穿过任意闭合面的磁感应强度的 通量等于 0，磁力线是无关尾的闭合线， B 0 J 表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产生恒定磁场的漩涡源 2.7 表述安培环路定理，并说明在什么条件下可用该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。 安培环路定理：磁感应强度沿任何闭合回路的线积分等于穿过这个环路所有电流的代数和倍，即 0 B dl 0I 如果电路分布存在某种对称性，则可用该定理求解给定电流分布的磁感应强度。 C 2.8 简述电场与电介质相互作用后发生的现象。 在电场的作用下出现电介质的极化现象，而极化电荷又产生附加电场
时变电磁场
简述电磁波与电磁辐射 电磁波是由同相振荡且互相垂直的电场与磁场在空间中以波的形式移动，其传播方向垂直于电场与磁场构成的平面，有效地传递能量和动量。而电磁波是怎样产生的呢？电磁波是电磁场的一种运动形态。电与磁可说是一体两面，变化的电场会产生磁场，变化的磁场则会产生电场。变化的电场和变化的磁场构成了一个不可分离的统一的场，这就是电磁场，而变化的电磁场在空间的传播形成了电磁波，也常称为电波。电磁辐射可以按照频率分类，从低频率到高频率，包括有无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X射线和伽马射线等等。人眼可接收到的电磁辐射，波长大约在380至780纳米之间，称为可见光。只要是本身温度大于绝对零度的物体，都可以发射电磁辐射，而世界上目前并未发现低于或等于绝对零度的物体。因此，人们周边所有的物体时刻都在进行电磁辐射。尽管如此，只有处于可见光频域以内的电磁波，才是可以被人们看到的。 电磁波在生活中的应用非常广泛。简单地讲，无线电波用于通信等；微波用于微波炉、卫星通信等；红外线用于遥控、热成像仪、红外制导导弹等；可见光是所有生物用来观察事物的基础；紫外线用于医用消毒，验证假钞，测量距离，工程上的探伤等；X射线用于CT 照相；伽玛射线用于治疗,使原子发生跃迁从而产生新的射线等。下面我们重点来看无线电波、电磁波和X射线的应用。
电磁波无线电广播与电视都是利用电磁波来进行的。在无线电广播中，人们先将声音信号转变为电信号，然后将这些信号由高频振荡的电磁波带着向周围空间传播。而在另一地点，人们利用接收机接收到这些电磁波后，又将其中的电信号还原成声音信号，这就是无线广播的大致过程。而在电视中，除了要像无线广播中那样处理声音信号外，还要将图象的光信号转变为电信号，然后也将这两种信号一起由高频振荡的电磁波带着向周围空间传播，而电视接收机接收到这些电磁波后又将其中的电信号还原成声音信号和光信号，从而显示出电视的画面和喇叭里的声音。无线电广播利用的电磁波的频率很高，范围也非常大，而电视所利用的电磁波的频率则更高，范围也更大。 微波炉的工作原理为微波炉是利用食物在微波场中吸收微波能量而使自身加热的烹饪器具。在微波炉微波发生器产生的微波在微波炉腔建立起微波电场，并采取一定的措施使这一微波电场在炉腔中尽量均匀分布，将食物放入该微波电场中，由控制中心控制其烹饪时间和微波电场强度，来进行各种各样的烹饪过程。因此，微波炉由七大部分组成，即磁控管、电源变压器、炉腔、波导、旋转工作台、炉门、时间功率控制器。磁控管：是微波炉的“心脏”，由它产生和发射微波（直流电能转换成微波震荡输出），它实际上是一个真空管（金属管）。电源变压器：是给磁控管提供电压的部件。炉腔：也称谐振腔，它是烹调食物的地方，由涂复非磁性材料的金属板制成。在炉腔的左侧和顶部均开有通风孔。经波导管输入炉腔内的微波在腔壁内来回反射，每次传播都穿过和经过食物。在设计微波炉时，通常使炉腔的边
第四章 时变电磁场 作业
第四章 时变电磁场 作业 1、试由麦克斯韦方程推导均匀无损耗媒质无源区域的E 的波动方程 2220E E t με???=? 。（() 2A A A ?×?×=????? ） 解：H E t μ??×=?? ，() E H t μ??×?×=??×? ()()2E E H t μ??????=??×? ，0E H E t ε??×=??=? ∵又 2220E E t με???=? 2、推导线性、各向同性、无源、无损耗媒质中磁场强度H 的波动方程： J t H H ×??=????222με。 解：线性、各向同性、无源、无损耗媒质中，0,0J ρ== H E t μ??×=?? ；J t E H +??=×?ε；E ρε ??= ；0H ??= 对第二式两边取旋度： J E t H ×?+×???=×?×?)(ε＝J H t t ×?+?????)(με＝J t H ×?+???22με 2()H H H ?×?×=????? ＝2H ?? J t H H ×??=????2 22με 3、推导线性、各向同性、有源（J ，ρ） 、无损耗媒质中平面电磁波的电场强度E 的波动方程（亥姆霍兹方程）：ρε ωμμεω?+=+?122 J i E E 。（公式：H i E ωμ?=×?；E i J H ωε+=×?；/E ρε??= ；0H ??= ） 解：线性、各向同性、有源、无损耗媒质中，平面电磁波的麦克斯韦方程组： H i E ωμ?=×?；E i J H ωε+=×?；/E ρε??= ；0H ??= 对第一式两边取旋度： H i E ×??=×?×?ωμ)(E i J i ωεωμ+?=
电磁场与电磁波 时变电磁场
电磁场与电磁波 严肃认真、周到细致、稳妥可靠、万无一失 韩宇南 Email:hanyn@https://www.360docs.net/doc/455845653.html, 教材： 谢处方、饶克谨，电磁场与电磁波（第四版），北京：高等教育出版社参考书： 焦其祥，电磁场与电磁波，北京：科学出版社 严琪琪、赵丽珍，电磁场与电磁波全程导学及习题全解，中国时代经济出版社John D.Kraus , Daniel A. Fleisch . Electromagnetics with Application. Beijing:Tsinghua University Press. 第6章时变电磁场 §6.1 法拉第电磁感应定律 §6.2 位移电流 §6.3 麦克斯韦方程组 §6.4 时变电磁场的边界条件 §6.5 时变电磁场的能量与能流 §6.6 复数形式的电磁场 §6.7 波动方程 §6.8 时变电磁场中的位函数 §6.1 法拉第电磁感应定律∫??=Φ? =S dS B dt d dt d εN 匝线圈，看成是由N 个一匝线圈串联而成的，其感应电动势为 Nd dt εΦ =? 感应电动势, 定义非保守感应场E 沿闭合路径l 的积分： l S d d E dl B d S dt dt Φ?=?=??∫∫J G G J G J G v l S B E dl d S t ??=???∫∫J G J G J G v 利用矢量斯托克斯(Stokes)定理，上式可写为()S S B E d S d S t ??×?=???∫∫J G J G J G J G 上式对任意面积均成立，所以B E t ??×=? ?J G J G 麦克斯韦第二方程 静电场： 0l E dl ?=∫J G G v E ?×=J G 非普适式 §6.1 法拉第电磁感应定律 §6.2 位移电流 位移电流不是电荷的运动，而是一种人为定义的概念。对于静态场，由于电荷分布与时间无关，因此获得电流连续性原理，即 d =?∫S S J 0 =??J 电荷守恒原理表明 t q S ???=?∫S J d t ??? =??ρJ §6.2 位移电流 对于时变电磁场，因电荷随时间变化，不可能根据电荷守恒原理推出电流连 续性原理。但是电流连续是客观存在的物理现象，为此必须扩充前述的电流概念。 静电场的高斯定律同样适用于时变电场。代入上述电荷守恒定律，得 q S =?∫ d S D 0 d =?????? ???+∫ S S t D J 相应的微分形式为 =????? ? ??+??t D J 不是由电子运动形成的传导电流或运流电流，而是人为定义的位移电流。 ≈ 真空电容器中通过的时变电流是什么？ 显然，上式中 具有电流密度量纲。t ??D
论时变电磁场的衔接条件
论时变电磁场的衔接条件 摘要 本文研究时变电磁场街接条件的独立性问题。在进行电磁场分析计算时，只需顾及不同媒质交界面上电场强度的切线分量和磁场强度的切线分量连续条件。 在科学技术发展史上所起的重大作用，了解自然科学发展史的人都知道，电磁场基本理论是不可替代的。自1888年赫兹用实验证明了电磁波的存在至今，一百多年的时间里电磁理论不断的深化，其应用领域不断的扩大。同时，电磁场理论和近年来迅速发展的电磁场数值分析方法，正日渐渗入到许多交叉领域和新兴学科，应用范围越来越广。鉴于这种情况，我就以本文对电磁场的应用作些简单的介绍，主要从静态场、时变电场、电磁波等方面论述。并以电磁波的应用为主。希望通过此文能引起人们对电磁场理论的注意。 有内在联系、相互依存的电场和磁场的统一体的总称。随时间变化的电场产生磁场，随时间变化的磁场产生电场，两者互为因果，形成电磁场。电磁场可由变速运动的带电粒子引起，也可由强弱变化的电流引起，不论原因如何，电磁场总是以光速向四周传播，形成电磁波。电磁场是电磁作用的媒递物，具有能量和动量，是物质存在的一种形式。电磁场的性质、特征及其运动变化规律由麦克斯韦方程组确定。 时变电磁场是一种随时间变化着的电磁场。时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。 时变电磁场与静态电磁场不应被对立起来看待。作为电磁场的两类，其根本区别仅在于激励源（也称场源）的时变性，由此而导致两者特性的诸多不同。当这种时变性完全不被考虑时，时变电磁场便退化为静态电磁场；当部分被忽略这种时变性时，时变电磁场便退化为准静态电磁场（一种兼具时变场和静态场某些特征的电磁场）。 M.法拉第提出的电磁感应定律表明，磁场的变化要产生电场。这个电场与来源于库仑定律的电场不同，它可以推动电流在闭合导体回路中流动，即其环路积分可以不为零，成为感应电动势。现代大量应用的电力设备和发电机、变压器等都与电磁感应作用有紧密联系。由于这个作用。时变场中的大块导体内将产生涡流及趋肤效应。电工中感应加热、表面淬火、电磁屏蔽等，都是这些现象的直接应用。 继法拉第电磁感应定律之后，J.C.麦克斯韦提出了位移电流概念。电位移来源于电介质中的带电粒子在电场中受到电场力的作用。这些带电粒子虽然不能自由流动，但要发生原
第四章 时变场
第四章时变电磁场电磁感应定律和全电流定律 电磁场基本方程组?分界面上的衔接条件动态位 坡印亭定理和坡印亭向量
第四章时变电磁场 时变电磁场的概念： 电场、磁场矢量不仅是空间坐标的函数，而且是时间的函数，这样的场称为时变电磁场。 在时变电磁场中，电场与磁场互相依存、互相制约，已不可能如前面三种静态场那样分别进行研究，而必须在一起进行统一研究。变化的磁场会产生电场，变化的电场会产生磁场，电场与磁场相互依存，构成统一的电磁场。 英国科学家麦克斯韦将静态场、恒定场、时变场的电磁基本特性用统一的电磁场基本方程组高度概括。电磁场基本方程组是研究宏观电磁场现象的理论基础。
第四章时变电磁场 在本章中，首先引出并扩展电磁感应定律的适用范围，在提出位移电流概念的基础上，将安培环路定律推广到时变场中，导出普遍适用的全电流定律。从而总结出得出变化的磁场产生电场、变化的电场产生磁场。 然后，总结电磁场的基本方程（即麦克斯韦方程组），媒质的构成方程和它在分界面的衔接条件。介绍动态位和达朗贝尔方程的解答，提出电磁场的波动性和电磁波概念。 其三，由基本方程出发推导出反映电磁场中能量守恒与能量转换的坡印廷定理和坡印廷矢量。再进一步介绍正旋稳态时变场中电磁场的基本方程和坡印廷矢量。
电磁感应定律全电流定律 Maxwell方程组 分界面上衔接条件动态位A , 达朗贝尔方程正弦电磁场坡印亭定理与坡印亭矢量 电磁幅射( 应用) 时变场知识结构框图
4.1.1 电磁感应定律(1) 定律的内容 1831年法拉弟在大量实验基础上归纳总结，提出了电磁感应定律。 l S 磁场中的线圈 当一导体回路l 所限定的面积S 中的磁通发生变化时，在这个回路中就要产生感应电势，形成感应电流。 感应电势的大小与S 中的磁通对时间的变化率成正比， 感应电势的方向由楞次定律确定。 楞次定律指出：感应电动势及其所产生的感应电流总是企图阻止与导体回路相交链的磁通的变化。
电磁场与电磁波简答题归纳
电磁场与电磁波易考简答题归纳（四川理工大学） 1、什么是均匀平面电磁波？ 答：平面波是指波阵面为平面的电磁波。均匀平面波是指波的电场→ E 和磁场→ H 只沿波的传播方向变化，而在波阵面内→ E 和→ H 的方向、振幅和相位不变的平面波。 2、电磁波有哪三种极化情况？简述其区别。 答：（1）直线极化，同相位或相差 180；2）圆极化，同频率，同振幅，相位相差 90或 270；（3）椭圆极化，振幅相位任意。 3、试写出正弦电磁场的亥姆霍兹方程（即亥姆霍兹波动方程的复数形式），并说明意义。 答：0 02222=+?=+?→ → → → H k H E k E ，式中μεω22=k 称为正弦电磁波的波数。 意义：均匀平面电磁波在无界理想介质中传播时，电场和磁场的振幅不变，它们在时间上同相，在空间上互相垂直，并且电场、磁场、波的传播方向三者满足右手螺旋关系。电场和磁场的分量由媒质决定。 4、写出时变电磁场中麦克斯韦方程组的非限定微分形式，并简述其意义。 答：????? ???? ??=??=????-=????+=??→→ → →→ → →ρεμμ εE H t H E t E J H )4(0)3()2()1( 物理意义：A 、第一方程：时变电磁场中的安培环路定律。物理意义：磁场是由电流和时变的电场激励的。 B 、第二方程：法拉第电磁感应定律。物理意义：说明了时变的磁场激励电场的这一事实。 C 、第三方程：时变电场的磁通连续性方程。物理意义：说明了磁场是一个旋涡场。 D 、第四方程：高斯定律。物理意义：时变电磁场中的发散电场分量是由电荷激励的。 5、写出麦克斯韦方程组的微分形式或积分形式，并简述其意义。 答：（1）微分形式 （2） 积分形式 物理意义：同第4题。 6、写出达朗贝尔方程，即非齐次波动方程，简述其意义。 答：→ → → -=??-?J t A A μμε 2 2 2，ε ρμε - =?Φ?-Φ?→ → 2 2 2t 物理意义：→ J 激励→ A ，源ρ激励Φ，时变源激励的时变电磁场在空间中以波动方式传播，是时变源的电场辐射过程。 7、写出齐次波动方程，简述其意义。 答： 2 2 2=??-?→ → t H H με ，022 2=??-?→ → t E E με 物理意义：时变电磁场在无源空间中是以波动方式运动，故称时变电磁场为电磁波，且电磁波的传播速度为： με υ1 = p 8、简述坡印廷定理，写出其数学表达式及其物理意义。 答：（1）数学表达式：①积分形式：???++??=?-→ →τ ττστεμd E d E H t S d S S 222)2 121(，其中，→ → → ?=H E S ，称为坡印廷矢量。 ????? ??????=??=????-=????+=??→→ →→→ → →ρD B t B E t D J H )4(0)3()2()1( ??? ?? ??????=?=????-=????+=???????→→→ →→→ →→→ →→→→q S d D l d B S d t B l d E S d t D J l d H S S S l s l )4(0)3()2()()1(
时变电磁场和电磁波解读
第九章 时变电磁场和电磁波 我们已经接受了电场和磁场的各种基本规律。作为最后一章，将要对这些规律加以总结。麦克斯韦于1865年首先将这些规律归纳为一组基本方程，现在称之为麦克斯韦方程组。根据它可以解决宏观电磁场的各类问题，特别是关于电磁波（包括光）的问题。本章首先列出麦克斯韦方程组，并分别说明各方程的物理意义。然后介绍电磁波的一般性质，包括其中电场和磁场的特征、能量和动量等。 §1 麦克斯韦方程组 一、麦克斯韦方程组 电磁学的基本规律是真空中的电磁场规律，它们是 I ??==?V S dV q S d E ρεε001 II 0=??S S d B III ?????-=Φ-=?S L S d t B dt d l d E 0 IV ?????+=Φ+=?S e L S d t E J dt d c I l d B )(10020εμμ 这就是关于真空的麦克斯韦方程组的积分形式。在已知电荷和电流分布的情况下，这组非常可以给出电场和磁场的惟一分布。特别是当初始条件给定后，这组方程还能惟一地预言电磁场此后变化的情况。正像牛顿运动方程能完全描述质点的动力学过程一样，麦克斯韦非常组能完全描述电磁场的动力学过程。 二、方程组中各方程的物理意义 方程I 是写成的高斯定律，它说明电场强度和电荷的关系。尽管电场和磁场的变化也有关系（如感生电场），但总的电场和电荷的联系总服从这一高斯定律。 方程II 是磁通连续定律，它说明，目前的电磁场理论认为在自然界中没有单一
的“磁荷”（磁单极子）存在。 方程III 是法拉第电磁感应定律，它说明变化的磁场和电场的联系。虽然电场荷电场和电荷也有联系，但总的电场和磁场的联系总符合这一规律。 方程IV 是一般形式下的安培环路定理，它说明磁场和电流（即运动的电荷）以及变化的电场的联系。 为了求出电磁场对带电粒子的作用从而预言粒子的运动，还需要洛伦兹力公式 B v q E q F ?+= 这一公式实际上是电场E 和磁场B 的定义。 §2 电磁波 电磁波在当今信息技术和人类生活的各个方面已成为不可或缺的“工具”了，从电饭锅、微波炉、手机、广播、电视到卫星遥感、宇宙飞行的控制等都要利用电磁波。电磁波的可能存在是麦克斯韦在1873年根据他创立的电磁场理论导出的。根据上节介绍的方程组可以证明，电荷做加速运动（例如简谐振动）时，其周围的电场和磁场将发生变化，并且这种变化会从电荷所在处向四外传播。这种互相紧密联系的变化的电场和磁场就叫电磁波。麦克斯韦根据他得到的电磁波的传播速度和光速相同而把电磁波的领域扩展到了光现象。麦克斯韦的理论预言在20年后被赫兹用实验证实，从而开阔了无线电应用的新时代。 电磁波具有的一般性质： (1) 电磁波是横波，即电磁波中的电场E 和磁场B 的方向都和传播方向垂直。 (2) 以最简单的电磁波即简谐电磁波（其中电场和磁场都做简谐变化分电磁波） 为例，其电场方向和磁场方向也相互垂直，传播方向、电场方向和磁场方向三者形成右手螺旋关系（见图1）。 B E k ?=
第九章时变电磁场与电磁波解答
9．1．1 （1）D D j t ?=? D D j t ?=? 空气中0D E ε= ()500 720sin10t D E jD t t t πεε???∴===??? 55072010cos10t πεπ=?（安/米2） （2）由环路定理 ()D s H dl j j ds ?=+??? 传 而电容中0j = 传，在电容中过P 作以r 为半径的圆，圆上H 大小相等 2 2, D D H dl H r j ds j r ππ∴?=??=?? 52507201010cos102 D P t j r H εππα -???= = 5503.610cos10(/)t A m πεπ=? 0t =时， 0t =时，503.610(/)H A m πε=? 5102 t π = ?时，0H = 9．1．2 （1） 0sin m q q wt = 对平行板电容器 00s i n m q q D wt A A σ=== c o s m D q D j w t t A ω ?∴= =? （2）以两极板中心轴上，平板电容器，以轴为心，依半径r 为圆，则其上H 大小相同 cos 22m D q wr j r H wt A ∴= = 2D D j ds j r π?=? cos 22m D q wr j r H wt A ∴== 0c o s 2m q w r B H w t A μμ== 9．1．3 0 D dq du j C dt dt == 000q cu q cu s s σ=== 而0D D C U D j t S t σ??=∴==?? D D U j j s C t ?=?=? ， 0,q u t 是的函数
电磁场考试试题及答案
电磁波考题整理 一、填空题 1.某一矢量场，其旋度处处为零，则这个矢量场可以表示成某一标量函数的（梯度）形式。 2.电流连续性方程的积分形式为（??? s dS j=- dt dq） 3. 两个同性电荷之间的作用力是（相互排斥的）。 4. 单位面积上的电荷多少称为（面电荷密度）。 5.静电场中，导体表面的电场强度的边界条件是：（D1n-D2n=ρs） 6.矢量磁位A和磁感应强度B之间的关系式：（=▽x A） 7. .E（Z，t）=e x E m sin（wt-kz-）+ e y E m cos（wt-kz+），判断上述均匀平面电磁波的极化方式为： （圆极化）（应该是90％确定） 8. 相速是指均匀平面电磁波在理想介质中的传播速度。 9.根据电磁波在波导中的传播特点，波导具有（HP）滤波器的特点。（HP，LP，BP三选一） 10.根据电与磁的对偶关系，我们可以由电偶极子在远区场的辐射场得到（磁偶极子）在远区产生的辐射场 11.电位移矢量D=ε0E+P在真空中P的值为（0） 12.平板电容器的介质电容率ε越大，电容量越大。 13.恒定电容不会随时间（变化而变化） 14.恒定电场中沿电源电场强度方向的闭合曲线积分在数值上等于电源的（电动势） 15. 电源外媒质中电场强度的旋度为0。 16.在给定参考点的情况下，库伦规范保证了矢量磁位的（散度为零） 17.在各向同性媚质中，磁场的辅助方程为(D=εE, B=μH, J=σE) 18.平面电磁波在空间任一点的电场强度和磁场强度都是距离和时间的函数。 19. 时变电磁场的频率越高，集肤效应越明显。 20. 反映电磁场中能量守恒与转换规律的定理是坡印廷定理。 二、名词解释 1. 矢量：既存在大小又有方向特性的量 2.反射系数：分界面上反射波电场强度与入射波电场强度之比 3. TEM波：电场强度矢量和磁场强度矢量均与传播方向垂直的均匀平面电磁波 4.无散场：散度为零的电磁场,即·=0。 5.电位参考点：一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取点为参考 点时，P点处的电位为=；当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参考点较为方便，此时=。 6.线电流：由分布在一条细线上的电荷定向移动而产生的电流。 7.磁偶极子：磁偶极子是类比电偶极子而建立的物理模型。具有等值异号的两个点磁荷构成的系统称为磁偶极子场。磁偶极子受到力矩的作用会发生转动，只有当力矩为零时，磁偶极子才会处于平衡状态。利用这个道理，可以进行磁场的测量。但由于没有发现单独存在的磁单极子，故我们将一个载有电流的圆形回路作为磁偶极子的模型。
时变电磁场
时变电磁场 1 什么是时变电磁场：场源（电荷、电流或时变场量）和场量（电场、磁场）随时间变化的电磁场。由于时变的电场和磁场相互转换，也可以说时变电磁场就是电磁波。 2 时变电磁场的特点：1）电场和磁场互为对方的涡旋（旋度）源。2）电场和磁场共存，不可分割。3）电力线和磁力线相互环绕。 3 本教科书自第五章以后内容全是关于电磁波的，第五章主要是基础，引入波动方程去掉电场与磁场的耦合，引入复矢量，简化时间变量的分析。第六章以平面波为例，首先研究无限大区域内的电磁波的传播特点，引入用于描述电磁波特性的参量。然后介绍半无限大区域内的电磁波的传播特点－电磁波的反射和折射。第七章首先介绍一个坐标方向无限、其余坐标方向有限的区域内的电磁波传播特性—导行电磁波特性，然后介绍了有限区域内的电磁波谐振特性。第八章介绍了电磁波的产生－天线。 4 本章内容线索：1）理论方面：基本场方程，位函数（引入矢量位），边界条件，波动方程。2）基本方法：复矢量 §5.1时变电磁场方程及边界条件 1 1)因为 t ??不为零，电场和磁场相互耦合，不能分开研究。其基本方程就是Maxwell 方程。 微分形式：???????? ?????????-=??=??=????-=????+=??t J B D t B E t D J H ρ ρ 0 积分形式??????? ??????????-=?=?=????-=????+=??????????s V s s V c s c s dV t s d J s d B dV s d D s d t B l d E s d t D J l d H ρρ )( 2）物质（本构）方程： 在线性、各向同性媒质中 H B E D με== 其它媒质有：非线性，各向异性，双各向异性，负相对电导率、负相对磁导率媒质等人工媒质。这些媒质在微波、光学、隐身、伪装方面有很多应用。 3）上面的电流J 包括传导电流E J c σ=和运移电流v J v ρ= 2 边界条件： §5.2 时变电磁场的唯一性定理 1 如果1）一个区域内0=t 时，每一点的电场强度和磁场强度的初始值已知，2）区域边界
电磁场与电磁波第四版课后思考题
《电磁场与电磁波理论》思考题 第1章思考题 1.1 什么是标量？什么是矢量？什么是矢量的分量？ 1.2 什么是单位矢量？什么是矢量的单位矢量？ 1.3 什么是位置矢量或矢径？直角坐标系中场点和源点之间的距离矢量是如何表示的？ 1.4 什么是右手法则或右手螺旋法则？ 1.5 若两个矢量相互垂直，则它们的标量积应等于什么？矢量积又如何？ 1.6 若两个矢量相互平行，则它们的矢量积应等于什么？标量积又如何？ 1.7 若两个非零矢量的标量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 1.8 若两个非零矢量的矢量积等于零，则两个矢量应垂直还是平行？ 1.9 直角坐标系中矢量的标量积和矢量积如何计算？ 1.10 什么是场？什么是标量场？什么是矢量场？ 1.11 什么是静态场或恒定场？什么是时变场？ 1.12 什么是等值面？它的特点有那些？ 1.13 什么是矢量线？它的特点有那些？ 1.14 哈密顿算子为什么称为矢量微分算子？ 1.15 标量函数的梯度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.16 什么是通量？什么是环量？ 1.17 矢量函数的散度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.18 矢量函数的旋度的定义是什么？物理意义是什么？ 1.19 什么是拉普拉斯算子？标量和矢量的拉普拉斯运算分别是如何定义的？ 1.20 直角坐标系中梯度、散度、旋度和拉普拉斯算子在的表示式是怎样的？
1.21 三个重要的矢量恒等式是怎样的？ 1.22 什么是无源场？什么是无旋场？ 1.23 为什么任何一个梯度场必为无旋场？为什么任何一个无旋场必为有位场？ 1.24 为什么任何一个旋度场必为无源场？为什么任何一个无源场必为旋度场？ 1.25 高斯散度定理和斯托克斯定理的表示式和意义是什么？ 1.26 什么是矢量的唯一性定理？ 1.27 在无限大空间中是否存在既无源又无旋的场？为什么？ 1.28 直角坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 1.29 圆柱坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？ 1.30 球面坐标系中的长度元、面积元和体积元是如何表示的？