中位线的性质及练习

B

C 中位线

一、 三角形中位线的性质

1、如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的关系？四边形ADEF 的周长与AB+AC

2、已知在四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 、G 分别是BD 、AC 、BC 的中点，H 是EF 的中点.求证：EF ⊥GH.

3、如图所示，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 平分∠BAC ，CD ⊥AD ，点E 是BC 的中点。

求证：（1）DE ∥AB ；（2）DE=21

(AB-AC).

变式：小明有一个解不开的迷：他任意画了三个△ABC （不全等），发现只要向图中的角平分线BG 、CF 作垂线AG 、AF ，连接两垂足F 、G ，则FG 总是与BC 平行，但他不会证明，你能解开这个迷吗？

A B C

F G

B

4、 入图在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且AC=BD ，求证：OM=ON.

5、O 是ΔABC 所在平面内一动点，连接OB ，OC ，并将AB ，OB ，OC ，AC 的中点D ，

E ，

F ，

G 依次连接，如果DEFG 能构成四边形：

（1）如图，当O 点在ΔABC 内部时，证明四边形DEFG 是平行四边形。 （2）当O 点移动到ΔABC 外部时，（1）的结论是否还成立？画出图形并说明理由。

（3）若四边形DEFG 为矩形，O 点所在位置应满足什么条件？试说明理由。

二、 梯形中位线的性质

1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm ，这个等腰梯形的周长为（ ） A 、16 cm B 、32 cm C 、24 cm D 、40 cm

2、已知四边形ABCD 是高为10的等腰梯形，AB=DC ，AD ∥BC ，又AC ⊥BD ，求中位线EF 的长。

B

B 3、在梯形ABCD 中，AD ∥B

C ，E 、F 分别是AB 、C

D 的中点，

E 、

F 分别交BD 、AC

于点G 、H ，求证：GH=21

(BC-AD).

变式一：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，E 、F 分别交BD 、AC 于点G 、H ，AD=a ，BC=b ，求EF 、FH 、GH 的长。

变式二：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，G 、H 分别是BF 、AC 的中点，求证：EF 是梯形ABCD 的中位线。

4、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD 与∠ABC 的平分线交于CD 中点E.求证：AD+BC=AB.

B

B

5、 直线l 过口ABCD 的顶点B ，AA ’⊥l ，CC ’⊥l ，DD ’⊥l,

试证明AA ’+ CC ’= DD ’

三、 直角三角形和中位线

1、在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，延长BA 到D ，使AD=2

1

AB ，E 、F 分别是BC 、

AC 的中点。（1）求证：DF=BE;（2）过点A 作AG ∥BC ，与DF 相交于点G ，求证：AG=DG.

2、(中线与中位线)已知AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，求证：FC=2AF.

B

B

3、如图，在△ABC 中，D 、E 、F 分别为三边中点，AG 是BC 边上的高，求证：四边形DGEF 是等腰梯形。

4、已知，如图，AD 为△ABC 边的高，∠B=2∠C ，M 为BC 的中点.求证：DM=2

1AB

5、（方程思想与中位线色综合）在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC,BD ⊥DC,且BD 平分∠ABC ，若梯形的周长为20，求这个梯形中位线的长。

四、中点四边形

1、任意四边形的中点四边形都是___________；平行四边形的中点四边形是_____________；

矩形的中点四边形是_______________； 菱形的中点四边形是__________________； 正方形的中点四边形是__________________； 梯形的中点四边形是_________________； 直角梯形的中点四边形是________________； 等腰梯形的中点四边形是______________。

B (E )2、如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且A

C ⊥B

D ，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…如此继续下去得到四边形A n B n C n D n 。 （1）证明四边形A 1B 1C 1D 1是矩形。

（2）写出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积。 （3）写出四边形A n B n C n D n 的面积。

3、如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得得结论：①DE AF =；②DE AF ⊥。（不需要证明）。

（1）如图2，若点E 、F 不是正方形ABCD 的边的中点，但满足DF CE =，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图3，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线上，且DF CE =，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由。 （3）如图4，在（2）的基础上，连结AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程。

五、 操作题

在△ABC 中，借助作图工具可以做出中位线EF ，沿着中位线EF 剪开，用得到的△AEF 和四边形EBCF 可以拼成口EBCP ，剪切线与拼图如图。仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并画出图示。

(1)在△ABC中，增加条件，沿着剪开后可以拼成矩形，画出剪切线与拼图；

（2）在△ABC中，增加条件，沿着剪开后可以拼成菱形，画出剪切线与拼图；

(3)在△ABC中，增加条件，沿着剪开后可以拼成正方形，画出剪切线与拼图；

（4）在△ABC（AB AC）中，沿着剪切线剪开也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的做法）是

。