矩阵及逆矩阵的求法

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法

目录

摘要 (1)

第1章．矩阵 (2)

1.1矩阵的定义 (2)

1.2矩阵的运算 (2)

第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5)

2.1矩阵的基本概念 (5)

2.2矩阵可逆的判断方法 (6)

2.3矩阵可逆性的求法 (10)

第3章．逆矩阵的拓展 (17)

3.1广义逆矩阵的引入 (17)

3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17)

第4章．总结 (21)

参考文献 (22)

致谢 (23)

附件：论文英文简介

矩阵的可逆性与逆矩阵的求法

[摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B

AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。

[关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法

矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。

第1章 矩 阵

1.1矩阵的定义

定义1

由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表

????

??

? ??st s s t t c c c c c c c c c

2

1

2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2

矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：

)(i 交换矩阵的两行（列）；

)(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素；

)(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。

矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。

1.2矩阵运算

定义1

数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵

)(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。

定义2

两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两

个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。

要注意，我们只能把行数与列数都对应相同的两个矩阵相加。 由定义1和2，容易推出以下规律：

A

B B A +=+

)()(C B A C B A ++=++ A

O B O +=+

aB aA B A a +=+)( aB aA A b a +=+)(

A ab bA a )()(=

这里C B A ,,表示任意n m ?矩阵，而a 和b 表示F 中的任意数。 定义3

数域F 上n m ?矩阵)(ij a A =与p n ?矩阵)(ij b B =的乘积AB 指的是一个

p

m ?矩阵，这个矩阵的第i 行第j 列的元素ij c 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的对

应元素的乘积的和：

nj

in j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ，，，

21=，p j ,,2,1 = 矩阵的乘法的结合律：)()(BC A C AB =

矩阵的乘法和加法满足分配律：AC AB C B A +=+)(

CA

BA A C B +=+)(

矩阵的乘法和数域矩阵的乘法：)()()(aB A B aA AB a == 特别注意：矩阵的乘法不满足交换律。

一个n 阶方阵A 的r 次方有意义：

个

r r

A AA A =

我们再约定

I A =0

定义4 设n m ?矩阵

??????

?

??=mn m m n n a a a a a a a a a A

2

1

22221

11211

把A 的行变为列所得到的m n ?阶矩阵

??????

?

??=mn n

n

m m a a a a a a a a a A

2122212

12111

叫作矩阵A 的转置。 矩阵的转置满足以下规律：

A A T

T

=)

(

T

T

T

B

A

B A +=+)(

T

T

T

A B AB =)(

T

T

aA

aA =)

(

第2章 矩阵的可逆性及逆矩阵

2.1矩阵的基本概念

定义

令A 是数域F 上一个n 阶矩阵。若是存在F 上n 阶矩阵B ，使得

I

BA AB ==

那么A 叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 叫作A 的逆矩阵。

下面的几个概念有助于对矩阵可逆性及逆矩阵求法理解：

（1）设)1(>n 阶矩阵

????

??

?

??=nn n n n n a a a a a a a a a A

2

1

22221

11211

以下等式成立：

???≠==+++;,,

,det 2211j i o j i A A a A a A a jn in j i j i 若若

???≠==+++;

,,

,det 2211j i o j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若

这里st A 是行列式A det 中元素st a 的代数余子式。

由此 若是设

????

??

?

?

?=nn n

n

n n A A A A A A A A A A

212222111211*

那么

I A A A A

A A AA )(det det 0

00det 00

0det *

*

=???

?

???

?

?==

我们把矩阵*A 叫作矩阵A 的伴随矩阵。

（2）初等矩阵：对n 阶单位矩阵I 做一次初等变换所得到的矩阵：

?????????????????

?

?

?=11

1

1

11

1

1

ij P ??????????

?

??=11

1

1

)(

k

k D i

??????????

?

?

?=11

1

1)(

k k T ij 将这三种方阵叫作初等矩阵。通过验算容易看出初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩阵仍是初等矩阵。

2.2矩阵可逆性的判断方法

依照不同的方式和性质，可以从下列几方面来判断矩阵的可逆性：

（1）n 阶矩阵A 可逆当且仅当它可以写成初等矩阵的乘积。

证明：A 可以通过初等变换化为单位矩阵I ，就是说，I 可以通过初等变换化为A ，也就是说，存在初等矩阵t s s E E E E ,,,,,11 +，使

t

s s t s s E E E E E IE E E A 1111++==

这是由初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵的性质推出的。 例1．用初等矩阵表示下面的方阵

????

? ?

?=40

0222

654A 解：根据左行右列的规律：

?????

??=????? ???????? ??10

0010

654

10

010

001100010654

?????

??=????? ???????? ??--10

0222

65410

0010

654

10010012

1

21

????? ??=????? ???????? ?

?40

0222

65410

0222

65440

0010001 故矩阵 ????

?

???????? ???????? ??--?????? ?

?=10

010

001

10

0010

654

10

100140

0010

0012

1

21

A （2）若矩阵行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。

证明：将矩阵A 分解为

t

s s E E A E E A 10

1+=

其中t s s E E E E ,,,,,11 +是初等矩阵，

由初等矩阵的性质可以知道，0det ≠i E 及矩阵乘积的行列式等于其各自行列式的乘积 及得0)det()det()det()det()det()det(101≠=+t s s E E A E E A ，所以矩阵行列式A det 不为零时，其矩阵A 可逆。

综上所述：行列式A det 不为零，则其矩阵A 可逆。 例2．判断下列矩阵是否可逆。

（1）???

?

??=5131A

（2） ????

?

?

?=00

0320

321

B 解：（1） 0

2355

1

31det ≠=-==

A ，所以A 可逆。

（2） 00000000

320

3

21det =---++==B ，所以B 不可逆。 （3）含有n 个坐标的n 个向量组成的方阵A ，若这n 个向量线性无关，则这个方阵A 是可逆。

证明：设n 个向量分别是1α，2α，…，n α 且 ()()nn

n n n n a a a a a a

2

1

112

11

1,,==αα，

则 这n 个向量构成了一个n 阶方阵，????

??

?

??=nn n n n n a a a a a a a a a A

2

1

22221

11211

将矩阵A 化为 ???????

? ??10

000000010

0001

若其中有一个或者一个以上的0，则向量n ααα,,,21 ，可以化为 ++=2211αααk k k

n n a k +即n ααα,,,21 向量是线性相关的一个矩阵。

与条件相矛盾。即矩阵A 可以化为单位矩阵，所以方阵可逆。 例3． 令F 是任意的一个数域。3F 中判断向量

()()()8,

0,

0,0,

4,

0,3,

2,

1321===ααα

的相关性，由此判断其构成的矩阵A 的可逆性。 解：设存在F c b a ∈,,，使得

()0,

0,

0321=++αααc b a

即 ()()()()0,0,08,0,00,4,03,2,1=++c b a

因而有0,0,0===c b a ，则321,,ααα线性无关。则表明321,,ααα中得任意一个都不能被另外两个表示。则其构成的矩阵

???????

? ??10

0000000100001

通过化简后每一行或列都含有一个数，及其行列式不为零。

（4）设一个齐次线性方程组的系数矩阵A 是一个方阵，若此齐次线性方程组仅有零解，则我们可以判定这个方阵A 可逆。

证明：矩阵来表示n 个n 元齐次方程组： 0=AX

因为齐次线性方程组的变换中只有行变换，故不改变系数矩阵的可逆性。而只有零解使其行列式的秩等于其行数和列数。一个方阵构成的线性方程组若只有零解，则这个矩阵A 可逆；若其有非零解，则矩阵A 不可逆。

例4． 矩阵???

?

?

?

?=90

0840

632A 是一个齐次线性方程组系数矩阵，证明矩阵A 可逆。 证明：构造齐次线性方程组：??

?

??==+=++090840

632332321x x x x x x 化简后得，

???

??===0003

21x x x 即此齐次方程组只有零解，故矩阵A 可逆。

我们常常用方阵来解线性方程组，这种转换的方式可以使我们更好的理解矩阵的实质。 （5）设A 与B 都是n 阶矩阵，证明：若AB 可逆，则A 和B 都可逆；反之也对。

证明：因为AB 可逆，则0)det(≠AB 由)(det )(det )det(B A AB ?=，得0det ≠A ，

0det ≠B ，A

和B 都可逆 。

（6）设???

?

?

?=B C A

P 0

是一个n 阶正方阵并且A ，B 分别为r 和s 阶可逆方阵n s r =+，

则P 是可逆矩阵 并且???

? ?

?-=-----1

1

111

0B

CB

A A P

证明：我们由例（1）知道，方阵A 是由r 个无关向量构成的，B 是由s 个无关向量构成的，则P 则是由个s r +无关向量构成的，有n s r =+，得P 是秩为n 的n 阶方阵。则0det ≠P ，所以P 可逆。

2.3 逆矩阵的求法

在判断一个n 阶矩阵A 可逆后，就可以求其逆矩阵。主要求逆矩阵的方法有：

1.利用初等行变换求逆矩阵。

如果n 阶矩阵A 可逆，要求A 的逆矩阵，首先由A 作出一个n n 2?矩阵，即()I A ,其次对这个矩阵施以行初等变换，将它的左半部的矩阵A 化为单位矩阵，那么右半部的单位矩阵就同时化为1-A ：()()1-?????→?A I I A 行初等变换

例5．求矩阵A 的逆矩阵

????

? ?

?=11

1243

421A 解： 先判断矩阵A 是否可逆，矩阵A 行列式

4)det(≠-=A

写下A ，并把单位矩阵I 写在A 的右边：

????

?

??????? ?

?10

01000111

1243421

实行行的初等变换把A 变成I ，但是要记得每次对右边的矩阵施行同样的初等变换。

第二行和第三行分别减去第一行的3倍和第一行，得

????

?

??--????? ?

?----10

1

013

00131

01020421

用2

1-

乘以第二行，得

????

? ??--????? ?

?--10

1

000131

05104212

1

23

第三行加上第二行，得

????

? ??-

-????? ?

?1000120

0510421

2

12

12123

第三行除以2，得

????

? ??-

-????? ?

?214

14

12123

000110

0510421

第二行加上第三行的-5倍，第一行加上第三行的-4倍，得

????

?

??-

--????? ?

?214

14

125

43

41

21

010

0010021 第一行加上第二行的-2倍，得

????

? ??-

--

-????? ?

?214

14

125

4

3

41

2

12

1

310

0010001 验证得：?????

?

?11

1243

421?????? ??-

--

-214

14

1

25

4

341

2

12

1

3=????

?

??10

0010

001 这种方法求逆矩阵的过程清晰易懂，是求逆矩阵的基本方法。 2.利用初等列变换求逆矩阵。

如果n 阶矩阵

A

可逆,作一个n n ?2的矩阵???

?

??I A ,然后对此矩阵施以初等列变换,使

矩阵A 化为单位矩阵I ,则同时I 即化为1

-A

,即???

?

?????→????? ??-1I A I A 初等列变换 例6．求矩阵???

?

? ?

?=37

0230

654

A 的逆矩阵。 解： 先判断矩阵A 是否可逆，矩阵A 行列式 020)det(≠-=A

写下A ，并把单位矩阵I 写在A 的下边：

?????????

? ?

?10

0010001370230654 实行列初等变换把A 变成I ，但是要记得每次对下边的矩阵施行同样的初等变换。第一列除以4，

?????????

? ?

?10

001000370230651

41 用第一列乘以-5加到第二列，用第一列乘以-6加到第三列，

????

?????

? ?

?--10

0010370230001

234

541 第二列除以3，

????

?????

? ?

?--

10

0003021

0001

3

1231254137

用第二列乘以-2加到第三列，

????

?????

? ?

?---

-10

00001

0001

32

3

132125413537

第三列乘以5

3-

，

?????????

? ?

?--

53523

152

12541370

001001

0001 用第三列乘以3

7-

加到第二列，

?????????

? ?

?--

-5357525

352

20274100100010001 验证得： ?????

?

?37

0230

654?????? ??--

-5

35

752

5

35

22027

4

1

=????

? ??10

010001 3.利用矩阵的伴随矩阵求逆矩阵。

定理：矩阵A 可逆当且仅当矩阵A 行列式0det ≠A 且 *

11A

A A =

-

证明：必要性：由A 可逆，即存在1-A ，使I AA =-1，故

1det det det 1

==?-I A

A

所以 0det ≠A

充分性：因为 I A A A AA ?==det **

由于0det ≠A ，所以I

A A A

A A

A

==

*

*

det 1det 1

由可逆的定义有

*

1

det 1A

A

A

=

-

这种求逆矩阵的方法计算量很大，理论上的作用较为重要的。 例 7. 下列矩阵C B A ,,是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵。

????? ?

?=33

1212

321A ，????

??=42

31B ，????

?

?

?----=115

1

531132

C 解： 04det ≠=A ，故A 可逆

A det 中各元素的代数余子式为， ,

3,

4,

1,1,0,

3,5,4,

3332331232221131211-===-====-=-=A A A A A A A A A 所以

A A

det 11

=

-????

?

??----=31

5

404133

41*

A 4

2

31det =

B =-2≠0，所以矩阵B 可逆。即

???

?

??---

=-12

34211

B

011

5

1

531

132

det =----=C ，所以矩阵C 不可逆。

4．分块矩阵求逆矩阵。

分块矩阵法是针对高阶矩阵的一种解法。首先我们要判断怎样对矩阵做分快更合适求逆矩阵，尽量使各分块矩阵求逆的运算更简便，从而简化原矩阵求逆。

例

8. 求矩阵??????

???

?

?

?=40

0320000006000000400

000020000021

A 的逆矩阵。 解：将矩阵A 分成四块 ????

??=2221

1211

A A

A A A 其中????? ?

?=40

002002111

A ，????? ?

?=00

0000

00012A ，????? ?

?=00

0000

000

21A ，????

?

?

?=40

0320

006

22A

根据矩阵的乘法性质：???

?

??????? ??=?22211211

2221

1211

B B B B A A

A A

B A

???

?

??+??+??+??+?=2222212121221121

2212121121

121111B A B A B

A B A B A B A B A B A

要使I A A =?-1，即要使

????

?

???=?

??

?

???+??+??+??+?=???

?

??????? ??=?---------------12222

1

111112222112211

2122111211

2212112111

2112111111221211

121

11

22211211

1

00

A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A

A 由I A A I A A =?=?--1

222211111,

求得 ???

?

?

?

?-=????? ?

?-=--25.00

0375.05.00

01667.0,25.00

005.000111221

11

A A 故所求逆矩阵是 ???

?

???

??

?

?

?--=-25.00

0375

.05.0000000

1667.00000

0025.00000005.000

000111

A

验证： ???

?

???

???

??--??????????? ?

?=?-25.00

375

.05.00000001667.00000

0025.00000005.000

0001140

0320000006000000400000020000021

1

A A

?????????

?

?

?=10

0010000001000000100

000010000001 5.求解逆矩阵也可以用计算机软件来做。其步骤是先输入一个n 阶矩阵A ，然后判断它的行列式是否为零，再用)(A inv ，即可得到你需要的逆矩阵。

下例就是用Matlab 软件的解法求逆矩阵： 例9. 求矩阵A 的逆矩阵

A =????

?

?

?11

1243

421

解：

5000

.02500

.02500

.025000.07500.02500.00000.35000.05000.0)(4)det(1

1

1

243421]1,1,1;2,4,3;4,2,1[---->>-=>>==A inv ans A A A

即 ????

?

?

?----=-5.025

.025.05.275.025.03

5.05

.01

A

第3章 可逆性的拓展——广义逆矩阵

3.1广义逆矩阵的引入

1920年Moore H E ..利用正交投影算子首次引入广义逆矩阵的概念，但未引起人们的注意。到1955年Penrose R .通过线性方程组的研究来定义广义逆矩阵，这才受到关注。以后广义逆矩阵的研究得到迅速发展，并逐步在系统理论、优化问题和控制理论等许多领域中被广泛地应用。后来证明Moore 与Penrose 的定义方法，这就是：

设n m ?矩阵n m C A ?∈，如果存在n m ?矩阵n m C G ?∈，满足Penrose 条件的一部分或全部：

GA

GA AG AG G GAG A AGA H

H ====)

)(4())(3()2()1(

则称G 为A 的一个广义逆矩阵。

3.2广义逆矩阵的定义及存在性

定义

设n m ?矩阵n m C A ?∈，如果存在m n ?矩阵n m C G ?∈满足条件

A

AGA =

则称为矩阵的广义逆矩阵，并记做-A 。

值得注意对于任何矩阵A ，这样的G 并不唯一，这一点从本例可见到：

若

???

? ?

?=00

11A ，则有 ???

? ?

?=00

11G ，都有A AGA =，同时对任意的C t ∈,每个矩阵

???

?

?

?001t 都可作为G ，使得A AGA =也成立。

因此，对任何矩阵n m C A ?∈，就定义A 的广义逆矩阵集：

{}{

}A

AGA C

G A m

n =∈=?|1

并且集{}1A 中任何一个矩阵G 都可以记为-A 。

例

10．求矩阵???

? ?

?=10

01A 的广义逆矩阵。

解： 由定义知，GAG =A ，设???

? ?

?=d c

b a

G ，有 ???

?

??=?

???

?

?++++10

01

22d bc dc ac bd ab bc a 故 ???

??

?

?=+=+=+=+1

00122d bc dc ac bd

ab bc

a

若0=b 时，有???????-====101d k c b a 或???????===-=10

1d k c b a ，其中k 为任意的常数；

若0≠b 时，有0=c ，???????-====101d c k b a 或???

????===-=101

d c k

b a 其中k 为任意的常数；

有0≠c ，??

?

??

??-====-m d c n

b m a n n

m 2

1其中0,1≠≠n m 的任意常数。 定理：设n m ?矩阵n m C A ?∈，秩)0()(≥=r r A 且有可逆矩阵n n m m C Q C P ??∈∈,

使???

?

?

?=00

0r

I PAQ ，则 {}??

??????

??∈∈∈???? ??==-?-?--?为任意矩阵，)()()()(,1r m r n r

r n r m r r C Z C Y C X P Z Y

X I Q G A

证明：由题设知1100

0--???

? ?

?=Q I

P A r

现在任取{}1A G ∈，应有A GAG =，即要求：

1

111

11

000000000------???

? ??=???? ?????

? ??Q I P Q I GP Q I P

r r

r

将1

1--GP

Q 作分块形式， 即行

行

列列r r n r m r Z Y X W

GP

Q ----???? ??=1

1

并代入上式就推出

P Z Y

X I Q G I r

r ???

? ?

?==W 反之，任取这样的一个m n ?矩阵P Z Y

X I

Q G r

???

? ?

?=，则有

A Q I P

Q I PP Z Y X I Q Q I P

AGA r

r

r r =???

? ?

?=???

? ?

????

?

?????? ??=------1

1

11

11

000000000

故证得。

由本定理可得，当n m O A ?=时，则{}{}m n C B m n A ?∈?=矩阵任意1；对n 阶非奇异矩阵A ，因存在n 阶可逆矩阵P 和Q ，使得n I PAQ =，即11--=Q P A ，则有

{}{}{}{

}1

1-===A

QP P QI A n

这说明 非奇异家族中对A 的广义逆矩阵-A 是唯一的，即为1-A 。 例11．设矩阵

???

?

? ?

?-=35

4

12220

1101

A 求{}1A ，并给出一个-A 。 解：为得Q I

P A r

???

?

?

?=00

0中的Q P ,，对下列矩阵施行初等行变换及初等列变换，化为

???

?

??000r

I 形式，即 ??????????

? ?

?----→

→???? ??O

I I A

1

001001110110112

1

02/100010000

0010000104

3 列行 于是