数理统计课后题答案完整版

第一章3. 解：因为

i i x a

y c

-=

所以 i i x a cy =+

1

1n

i

i x x n ==∑

()1

111n

i i n

i i a cy n na cy n ===+??=+ ???

∑∑

1n

i

i c a y n a c y

==+=+∑

所以 x a c y =+ 成立

因为 ()2

2

1

1n x i i s x x

n ==-∑

()

(

)

()

2

2

12

21

11n

i i i

n

i i n

i

i a cy a c y n cy c y n c y y n

====+--=-=-∑∑∑

又因为 ()2

2

1

1n y i i s y y

n ==-∑

所以 2

22

x

y

s c s = 成立 6. 解：变换

()1027i i y x =-

1

1l

i i i y m y n ==∑

()1

3529312434101.5

=-?-?+?+=- 2710

y

x

=

+= ()

2

21

1l

y

i i i s m y y

n ==-∑

()()()()2222

1235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25

?=

?-++?-++?+++???= 22

1 4.4025100

x y s s =

= 7解：

*1

1l

i i i x m x n ==∑

()1

156101601416426172121682817681802100166=

?+?+?+?+?+?+?=

()2

2

*1

1l

i i i s m x x

n ==-∑

()()()()()()()2222

222

110156166141601662616416628168166100

121721668176166218016633.44

=

?-+?-+?-+?-???

+?-+?-+?-?

=

8解：将子样值重新排列（由小到大） -4，，，，，0，0，，，，，，

()()()()()17218120

3.2147.211.2

e n n e n

M X X R X X M X X +?? ???

??+ ???

====-=--==== 9解：

12

1

211

121211

n n i j i j n x n x n n x n n ==+=

+∑∑1122

12

n x n x n n +=+

()

122

21

12

1

n n i

i s x x n n +==

-+∑

(

)()()12

1

22

2112

2

1

1

112212

122

2

2

22

111

2

2

2

1

1

2

2

12

12

2

2

222

11221122

11221212

122

2211211122

12

1n n i i n n i j

i j x x

n n x x n x n x n n n n n s x n s

x n x n x

n n n n n s n s n x n x n x n x n n n n n n n n n x n n s n s

n n +====

-++??

+=

- ?++??

+++??+=

-

?++?

?

??+++=+- ?

+++??

+++=

+

+∑

∑∑()()

()

()

()

()

2

2

21221122

2

122

2

221122121

12212122

12122

221212

1122

2

12

122n n x n x n x n n n s n s n n x n n x n n x x n n n n n n x x n s n s

n n n n +-++++-=+++-+=+

++

12. 解：

()i x P λ: i Ex λ= i Dx λ= 1,2,,i n =???

112

2

11

1111

n n i i i i n

n

i i i i n E X E x Ex n n n n DX D x Dx n n

n n λ

λ

λλ

============∑∑∑∑

13.解：

(),i x U a b : 2i a b Ex += ()2

12

i b a Dx -= 1,2,,i n =??? 在此题中

()1,1i x U -: 0i Ex = 1

3

i Dx = 1,2,,i n =???

112

11

110

11

1

3n n

i i i i n

n

i i

i i E X E x Ex n n DX D x Dx n n

n ==========∑∑∑∑

14.解：因为()2,i

X N μσ: 0i X E μσ-= 1i X D μσ

-=

所以 ()0,1i X N μσ-: 1,2,,i

n =???

由2

χ分布定义可知

()

2

2

2

1

11

n

n

i

i

i i X Y X

μμσσ==-??=

-= ??

?∑∑服从2χ分布

所以 ()2Y

n χ:

15. 解：因为

()0,1i X N :

1,2,,i n =???

()1230,3X X X N ++:

0=

1=

所以

()0,1N :

()2

21χ:

同理

()2

21χ:

由于2

χ分布的可加性，故

()22

2123Y χ=+: 可知 13

C =

16. 解：（1）因为 ()

20,i X N σ: 1,2,,i n =??? ()0,1i X N σ

:

所以 ()2

2121n

i i X Y n χσσ=??= ?

??

∑:

(){}11122Y Y

y F y P Y y P σ

σ??=≤=≤????

()2

20

y

f x dx σχ=

?

()()211'221

Y Y y f y F y f χσσ

??==? ???

因为 ()2122

202200n x n x e x n f x x χ--??>???

=?Γ

????

?≥?

所以 ()21122202200n y n n

Y y e y n f y y σ

σ--??>???=?Γ

????

?≤?

（2） 因为 ()20,i

X N σ: 1,2,,i n =???

()0,1i X N σ

:

所以

()2

2

221n

i i X nY n χσσ=??= ??

?∑: (){}()2

2222220

ny

Y nY

ny F y P Y y P f x dx σχσ

σ??=≤=≤=

?????

()()222'22Y Y ny n

f y F y f χσσ

??== ???

故 ()221222202200n n

ny n n Y n y e y n f y y σ

σ--??>???=?Γ

?

???

?≤?

（3）因为 ()

20,i X N σ: 1,2,,i

n =???

()1

0,1n

i N =: 所以

()2

2311n i Y n χσ=?= ?: (){}()()2

2333210

y

n Y Y F y P Y y P y f x dx n σχσ??

=≤=≤=

????

?

()()()233

'

2211

Y Y y f y F y f n n χσσ

??== ???

()(

)22

1000x x f x x χ-?>=≤?

故 (

)232000

y n Y y f y y σ-?>=≤? （4）因为

()20,i X N σ: 1,2,,i n =???

所以

(

)()12

2

42

10,11n

i n

i N Y χσ==?= ?::

(){}()()()()()2

242244

42210'22

11

y

Y Y Y y F y P Y y P f x dx

y f y F y f σχχχσσσσ

??=≤=≤=??????== ???? 故

(

)242000

y

Y y f y y σ-?>=≤?

17.解：因为 ()X

t n :

存在相互独立的U ，V

()0,1U N : ()2V n χ:

使

X = ()2

21U

χ:

则 2

21U X V n

=

由定义可知 ()2

1,F n χ

:

18解：因为 ()20,i

X N σ: 1,2,,i n =???

()1

0,1n

i N =:

()2

21n m

i i n X m χσ+=+?? ???

∑: 所以

()1

n

n

i

X Y

t m =

=

:

（2）因为

()0,1i

X N σ

: 1,2,,i n m =???+

()()2

212

2

1n

i i n m

i i n X n X m χσχσ=+=+?? ???

?? ?

??

∑∑::

所以 ()2

211

222

11,n

i n i i

i n m

n m

i i i n i n X m X n Y F n m X n X m

σσ==++=+=+??

???==?? ?

??

∑∑∑∑: 19.解：用公式计算

(

)20.010.019090χ=

查表得 0.01 2.33U =

代

入

上

式

计

算

可

得

()20.01909031.26121.26χ=+=

20.解：因为

()2X n χ: 2E n χ= 22D n χ=

由2

χ分布的性质3可知

()0,1N : {

}P X c P ≤=≤

2

2lim t n P dt -→∞-∞

≤==Φ 故 {

}P

X c ≤≈Φ

第 二 章 1.

,0

()0,0()()1

()

1

1

1

x x x x x

e x

f x x E x f x xdx xe dx

xe e d x e λλλλλλλλλ

λ

λ

λ

-+∞

+∞

--∞+∞

+∞--+∞-?≥=?

?==-+

=-=

=?

?

?

令

从而有

1

x λ∧

= 2.

()11

1

1

2

1).()(1)(1)1

1

11k k x x E x k p p p k p p

p

p ∞

∞

--===-=-==

??--??

∑∑

令

1

p ＝X

所以有

1p X ∧

=

２）．其似然函数为

1`

1

1

()(1)

(1)n

i x i i n

X n

n

i L P P p p p -=-=∑=-=-∏

1

ln ()ln ()ln(1)

n

i i L P n p X n p ==+--∑

1

ln 1

()0

1n

i i d L n X n dp p p ==--=-∑

解之得

1

1

n

i

i n

p X X

∧

==

=

∑

３．

解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以

()2122!

2!!

()12n

i i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧

∧

+=--?

=???-?=???=???=?∑2

2

2（a-b ）（） D （X ）=

12令E （X ）= D （X ）=S ，

1S =

n a+b 2

（）a 4. 解：（1）设

12,,n x x x L 为样本观察值则似然函数为：

11

1

()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n

n

i i i n

i

i i

n i i L x x i n

L n x d L n

x d θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑L （-1）

解之得：

1

1

ln ln n

i

i n

i

i n

x

n

x

θθ=∧

==-

==

∑∑

（2）母体X 的期望

1

()()1E x xf x dx x dx θ

θθθ+∞

-∞

===

+?

?

而样本均值为：

11()1n

i

i X x n E x X X X

θ=∧

===

-∑令得

5.。解：其似然函数为：

1

1

11

1

1

1()2(2)1

ln ()ln(2)1

0n

i

i

i x n

x n i n i

i n

i

i L e

e

L n x x σσ

σσ

σσσσ

σσ

=-

-

==∧

=∑=?=

?=--=

∏∑=∑令

得：

（2）由于

00

11222111

()(

)()x x

x x

n

n

i i i i x x E e dx e dx x e e dx E E x E x n n n n

σ

σ

σ

σ

σ

σσ

σσσ+∞

----

+∞

+∞+∞

-∞

∧

=====-+====?=?

??

∑∑

以 11n

i

i x n σ∧

==∑ 为σ的无偏估计量。

6. 解：其似然函数为：

(1)(1)()()(1)!(1)!11k k n n k x n x i k i L x e x e

i i k k i i βββββ----∏==∏--==

ln ()ln (1)ln()11n n

L nk k X X i i

i i βββ=+--∑∑==

1

ln ()0

n

i i d L nk

d X βββ

==-

=∑

解得

1

n

i

i nk

k X

X

β∧

==

=

∑1

(),0,

f x x ββ=≤≤

７．解：由题意知：均匀分布的母体平均数

2

2

β

βμ=

-=

，

方差12

12)0(2

22

ββλ=-=

用极大似然估计法求β得极大似然估计量

似然函数：∏

==n

i n

L 1

1

)

(θβ β

≤≤≤≤≤n

i i i i x x 1)

(max min 0

选取β使L 达到最大

取n

i i

x ≤≤∧

=1max β

由以上结论当抽得容量为6的子样数值 ，，，，，，时

2.2=∧

β即,

1.12

==

∧

∧

β

μ

4033.012

2

.22.212

2

2

≈?=

=

∧

βσ

8. 解：取子样值为)(),,,(21θ≥i n x x x x Λ

则似然函数为： ∏=--=n

i x i e L 1

)

()

(θθ θ

≥i

x

∑∑==+-=--=n

i n

i i i n x x L 1

1

)()(ln θθθ

要使似然函数最大，则需θ取),,,min(21n x x x Λ

即

∧

θ=),,min(21n x x x Λ

9. 解：取子样值)0)(,,(2,1>i n x x x x Λ

则其似然函数∑===-=-∏n

i i

i

x n

n

i x e

e

L 1

1)

(λ

λλλλ

∑=-=n

i i

x n L 1

ln )(ln λλλ

∑=-=n

i i

x n

d L 1

)(ln λλλ

x

x

n

n

i i

1

1

=

=

∑=∧

λ 由题中数据可知

20

)6525554545703510025150152455365(1000

1=?+?+?+?+?+?+?=

x 则 05.020

1

==

∧

λ 10. 解：（1）由题中子样值及题意知： 极差7.45.12.6=-=R 查表2-1得

4299.01

5

=d

故0205.27.44299.0=?=∧

λ

（2）平均极差115.0=R ，查表知

3249.01

10

=d

0455.0115.03249.0=?=∧

λ

11/解：设∧

u 为其母体平均数的无偏估计，则应有x =∧

μ

又因4)26261034018(60

1

=?+?+?+?=

x

即知4=∧

μ

12. 解：)1,(~μN X Θ

μ=∴)(i x E

，1)

(=i x D ， )2,1(=i

则μμ=+=∧

21132

31)(EX EX E

μμ=+=∧21243

41)(EX EX E

μμ=+=∧2132

1

21)(EX EX E

所以三个估计量321,,∧

∧

∧

μμμ均为μ的无偏估计

95

91949194)3132()(2121=+=+=+=∧

DX DX X X D D μ

同理可得85)(2=∧μD ，2

1

)(2=∧μD

可知3∧μ的方差最小也亦∧

2μ最有效。 13解：)(~λP X Θ

λλ==∴)(,)(X D X E

])(11[)(1

22

*∑=--=n

i i X X n E S E

)]()([1121

2

X nE X E n n

i i --=∑= ])()([11122∑=+-+-=

n

i n n n λλ

λλ

λλλ=--=)(1

1

n n 即2

*S

是λ的无偏估计

又因为

λ====∑∑∑===n

i i n

i i n i i EX n X E n X n E X E 1

111)(1)1()(

即

X

也是λ的无偏估计。

又]1,0[∈?α

λλλαλααα=-+=-+=-+)1()()1()())1((2

*2

*S E X E S X a E 因此2

*

)1(S X

αα-+也是λ的无偏估计

14.解：由题意：

),(~2σμN X 因为

])(()([)()(2111

1212

i i n i i i i i X X E X X D C X X E C E -+-=-=+-=++∧∑∑λ

21

1

211

1)1(22]0)()([λλ-==++=∑∑-=-=+n C C X D X D C n i n i i i

要使22

)(λλ

=∧E 只需)1(21

+=

n C

所以当)

1(21

-=

n C 时2

∧λ为2

λ的无偏估计。

15.证明：Θ参数θ的无偏估计量为∧

θ，∧

θD 依赖于子样容量n 则,0>?ε

由切比雪夫不等式

0lim =∧

∞→θD n Θ故有1lim =?

??

???<-∧∞

→εθθp n 即证∧

θ为θ的相合估计量。 16证明：设X 服从),(p N B ，

则分布律为 k k k N

P P k X P C

)1()(-=

= ),2,1(N k K =

这时NP X E =)( )1()(P NP X D -=

2222)1()(P N P NP EX DX EX +-=+=

例4中

N

X

p -

∧

=

所以P N

NP

N X E P E ===

-

∧

)

(（无偏）

Nn P P n

N P NP N X D P D )

1()1(2

2-=-==

-

∧

罗—克拉美下界满足

∑=----??=n

k P N K K

N P N K K N R P P P P Ln p

n I C C 02)1(])1([1 ∑=----++??=N

K K N K K

N K N P P P Ln P N KLnP Ln P

n

C C 0

2)1())]1()(([

∑=-----=N

K K N K

K N P P P

P N P K n C 0

2)1(]1[

])1(2)1(22[2

22222P EX NEX N P P EX NEX P EX n -+-+---=

2

2

2222222222)1()1(2)1()1(2)1([P P

N P NP P N N P P N P NP P N P P N P NP n -+-+-+-----+-=

)1(]111[

P P nN P P nN -=

-+=

所以∧=-=P D nN

P P I R )

1(即∧p 为优效估计

17． 解：设总体X 的密度函数 2

22)(21)(σμσ

π--=

x e

x f

似然函数为

∏

=---

-∑

===n

i x n x n

i i i e

e

L 1

2)(2

22)(22

1

22

2

)2(21)(σ

μσ

μπσσ

πσ

2

1

2

222)(2

22)(σ

μσπσ∑=----

=n

i i

x

Ln n

Ln n LnL

02)

(24

1

2

2

2=-+-=∑=σμσσn

i i

x

n d dLnL

∑=-=n i i x n 1

22)(1μσ

因为

?

+∞

∞

-??dx x f x Lnf )())((

2

2

σ

=

?

∞

+∞

---

--dx e

x x 2

22)(2

2

42

21]212)([

σμσ

πσσμ

=

]2)()([414

22

4

8

σσμμσ+---X E X E =

4

2σn

故2

σ的罗—克拉美下界

4

2σn

I R =

又因∑=∧-=n i i X n E E 1

2

2

)

)(1(μσ ∑=-=

n

i i X E n 1

2))((1

μ2σ= 且∑=-=n i i X n D D 12

2))(1()(μσ42σn

=

所以2

∧σ是2

∧σ

的无偏估计量且)(2

∧=σD I R

故2

∧σ

是2

∧σ

的优效估计

18． 解：由题意：n=100，可以认为此为大子样，

所以n

S X U

μ

-=

近似服从)1,0(N

αα-=1}{2

u U P π

得置信区间为n

s u x 2

(α

- )2

n

s u x α

+

已知95.01=-α s=40 x =1000 查表知96.12

=α

u 代入计算得

所求置信区间为（ ）

19.解：（1）已知cm 01.0=σ

则由)1,0(~N n

X U σ

μ-=αα

-=<1}{2

u U P

解之得置信区间n

u X

σ

α

2

(- )2

n

u X

σ

α

+

将n=16 X = 645.105.02

==u u α

01.0=σ

代入计算得置信区间（ ） （2）σ未知

)1(~--=

n t n

S X T μ

αα-=<1}{2

t T P 解得置信区间为2

(αt n

s X

-

)2

αt n

s X +

将n=16 753.1)15()15(05

.02

==t t α

00029.02=S 代入计算得置信区间为（ ）。 20．解：用T 估计法

)1(~--=

*

n t n

S X T μ

αα-=-<1)}1({2

n t T P 解之得置信区间2

(α

t n

S X *

- )2

*αt n

S X +

将6720=X 220=*

S

n=10 查表2622.2)9(025.0=t

代入得置信区间为（ ）。

21．解：因n=60属于大样本且是来自（0—1）分布的总体， 故由中心极限定理知

)

1()

1(1

p np np X n p np np

X

n

i i

--=

--∑=近似服从)1,0(N

即αα

-=<--1})1()({2u p np P X n p

解得置信区间为2

)1((α

u n p p X --

))

1(2

αu n p p X -+ 本题中将n

U n 代替上式中的X 由题设条件知25.0=n U

n

055.0)()1(2

=-=-n

U n U n p p n n 查表知96.1025.0==U U n 代入计算的所求置信区间为（ ） 22． 解：2

σ未知 故

)

1,0(~N n

X U σ

μ

-=

由αα-<<1}{2u U P 解得置信区间为2(α

σu n X - )2ασu n X +

区间长度为2

2α

σ

u n

于是L u n ≤22ασ

计算得22

224ασU L n ≥即为所求 23．解：μ未知，用2

χ估计法 )1(~)1(22

22--=n S n χσ

χ

αχχχαα

-=-<-<--1)}1()1()1({2

2

222

1n n n P

解得σ的置信区间为2

22

)1((α

χS

n - ))1(22

12

α

χ-

-S n

（1） 当n=10，*

S =时

查表)9(2

005

.0χ

= )9(2995

.0χ

=

代入计算得σ的置信区间为（ ） （2） 当n=46，*

S =14时

查表)45(2005

.0χ

= )45(2

995

.0χ

代入计算可得σ的置信区间为（ ） 24．解：（1）先求μ的置信区间 由于σ未知 )1(~--=n t n

S

X T μ αα

-=<1}{2

t T P

得置信区间为2

(αt n

S X -

)2

αt n

S X +

经计算2203.012.5==S X 查表093.2)

19(025.0=t n=20

代入计算得置信区间为（ ） （2）μ未知 用统计量)1(~)1(2

2

2

2--=n S

n χσχ

αχχχαα-=<<-1}{2

2

222

1P

得σ的置信区间为

22

2

)1((

α

χS n - ))1(2

2

12

α

χ

-

-S n

查表)19(2025.0χ= )19(2

975.0χ= 代入计算得σ的置信区间为（ ）

25．解：因1+n X 与n X X X K ,,21相互独立，

所以1+n X 与

X

相互独立，故

))11(,0(~21σn

N X X n +

-+

又因

)1(~22

2

-n nS χσ

且与X X n -+1相互独立，

有T 分布的定义知

)1(~1

1

)1(1

12

21-+--=

-+-++n t n n S X X n nS n n X

X n n σσ 26． 解：因

),(~21σμN X i m i K ,2,1=

),(~22σμN Y j n j K ,2,1=

所以),0(~)(2

21m

N X σαμα-，),0(~)(222n N Y σβμβ- 由于

X 与Y 相互独立，则

)]

(

,0[~)()(22

21n

m

N Y X βαμβμα+-+- 即

)

1,0(~)

()(2

2

21N n

m

Y X σ

β

α

μβμα+

-+-

又因

)1(~22

2-m ms x

χσ

)1(~22

2-n ns y

χσ

则

)2(~22

22

2-++

n m ns ms y

x

χσσ

构造t 分布

n

m Y X 2

2

21)

()(βασμβμα+

-+-

=

)2(~2

)

()(2

2

2221-++

-++-+-n m t n

m

n m ns

ms Y X y

x

β

α

μβμα

27． 证明：因抽取n>45为大子样

)1(~)1(22

2

*

2

--=

n s n χσ

χ

由2χ分布的性质3知

)

1(2)

1(2---=

n n U χ近似服从正态分布)1,0(N

所以 α

α-=≤1}{2u U

P 得 22)1(2)1(αχu n n ≤--- 或2

2

2

2)

1(2)1()1(αασu n n s n u ≤----≤- 可得2σ的置信区间为??????

?????

?---+22

2

2121,

121ααu n s u n s 28． 解： 因22

22

1

σσσ==未知，故用T 统计量

)2(~1

1)(21-++---=

m n t m

n s Y X T w

μμ

其中2

)1()1(22

21

2-+-+-=

m n s

m s n s w

而

05.0=α 2-+m n 查表 144.2)4(025.0=t

计算

625.81=X 125.76=Y

695.14521=s ，554.10122=s ， 625.1232

=w s 代入得

9237.115.51

1)2(2±=+-+±-m

n s m n t Y X w

α 故得置信区间)4237.17,4237.6(- 29解： 因22

22

1

σσσ==故用T 统计量

)

2(~1

1)

(21-++---=

m n t m

n s Y X T w

B A μμ

其中2)1()1(2

2

2

12

-+-+-=m n S m S n S W

αα-=????

??<12t T P 计算得置信区间为 m n m n t S X X W B A 11)

2((2

+

-+--α，

)11)2(2

m n m n t S X X W B A +-++-α 把2

W S = )7(2

α

t =

代入可得所求置信区间为（ ）。 30．解：由题意 用U 统计量

)

1,0(~)

(2

22

12121N m

S

n S X X U +---=

μμ

αα-=<1}}{2

u U P 计算得置信区间为

m S n S u

X X 2

2212

21(+

--α

，

)2

2212

21m S n S u X X ++-α 把71.11=X 67.12=X 22

1

035.0=S

22

2038.0=S

100==m n 96.1025.02

==u u α

代入计算得 置信区间)0501.0,0299.0(- 31．解：由题意，21,u u 未知，则

)

1,1(~122

12

*1

22

2*2--=

n n F S S F σσ

则ααα-=?

??

???

--<<---

1)1,1()1,1(1221221n n F F n n F

P 经计算得

ασσαα-=??

?

???????--<<---1)1,1()1,1(2*22

*112222212*22*11221S S n n F S S n n F P

解得2

22

1σσ的置信区间为

???

? ??-----2*22*11222*22*11

221)1,1(,)1,1(S S n n F S S n n F αα

61=n 92=n 245.02

*1=S

357.02

*

2=S 05.0=α 查表：82.4)

8,5(025.0=F

207.082

.41

)8,5(1)5,8(025.0975.0===

∴F F

带入计算得

2

22

1σσ的置信区间为：)639.4,142.0(。

32. 解：2σ未知，则

)1(~*

--=

n t n

S

X T μ

即： {}αα-=-<1)1(n t T P 有：α

μα-=?

???

??-->1)1(*

n S n t X P

则单侧置信下限为：

n

S n t X *)

1(--α将6720=X 220*=S

10=n 833.1)9(05.0=t 带入计算得471.6592即钢索所能承受平

均张力在概率为%95的置信度下的置信下限为471.6592。 33.解：总体服从（0，1）分布且样本容量n=100 为大子样。令X 为样本均值，由中心极限定理)1,0(~2

N n nP X n σ- 又因为22S =σ

所以αα

-=?

??

???<-12

u nS np X n P

则相应的单侧置信区间为-∞(， )2

αu n

S X + 将X = 94.06.0)1(2?=-=

n

m

n m S 645.105.0==u u α 代入计算得所求置信上限为

即为这批货物次品率在置信概率为95%情况下置信上限为。

34.解：由题意：)

1(~)1(222

2

--=*

n S n χσχ

{

}

αχ

χα

-=->-1)1(12

2n P 解得σ

的单侧置信上限为)

1()1(212

---*

n S n αχ 其中n=10，*S =45， 查表==-)9()1(2

95

.02

χ

χαn

代入计算得σ的单侧置信上限为。 第五章

1.解：对一元回归的线性模型为i i i Y x βε=+ 1,2,,i n =??? 离差平方和为()2

1

n

i

i i Q y

x β==

-∑

对Q 求β的偏导数，并令其为0，即

()1

n

i

i

i

i y x x

β=-=∑

变换得 2

11

11n n i i i

i i x y x n n β===∑∑ 解此方程得 2

xy x

β

∧

=

因为 22D E σεε== i

i i y x εβ=-

所以 2

2

11n i i i y x n σβ∧∧=??=- ???

∑

()()()

22

212

2

22

2

2

2

2

2

2

1222n i i i i i y x y x n y xy x xy xy x y x x ββββ∧∧=∧

∧??=-+ ???

=-+=-+

∑

()2

2

2

xy y x

=-

其中11n i i i xy x y n ==∑ 2

211n i i x x n ==∑ 221

1n i i y y n ==∑

2. 解：将 26x = 90.14y = 2736.511xy =

2

451.11x

m = 2

342.665y m =代入得

2

2

2

22

22736.5112690.14

0.8706451.11

90.140.87062667.5088

342.6650.8706451.110.7487x y

x xy x y m y x m m βαβσβ∧

∧

∧

∧∧--?=

===-=-?==-=-?=

3证明：

'

00

2211d d uv uv

d d u u β∧-=- ()()()

1

2

1

1

n

i

i

i n

i

i u

u

v v d d u

u

==--=-∑∑

()()

()

()()

()

100111

10002

1

1111

1100121

21

11

2

111n

i i i n i i n

i i i n i

i n

i

i

i n

i

i x c y c y c x c d d d d d d x c x c d d x x y y d d d d x x d x x y y x x β

======∧

??

??------ ?

?????=??

--- ???--=

---=

-=∑∑∑∑∑∑

'

'

0001

1

'

'

00001

1'

10001'

01d d c c d d d v d u c c d c d v c d u d d y x

d y x αββββββα

∧∧∧∧∧∧∧

∧

+-=-+-??

=+-+ ?

?

?=-=-=

()2

''2

012

'

'

00012

'

'

100011

2

'''000011112

1n i i i n

i i i n i i i n

i i i n

i i i d v u d v d d u x c y c d d d d d y c d x c d d y x αβαβαβαββαβ∧∧=∧∧=∧∧=∧∧∧=∧∧

=??-- ???

??

=-- ???-?

?

=---???

?

??

=---+ ?

????=-- ?

??∑∑∑∑∑4．解：

品质指标

支数

将 35.353x = 2211.2y = 76061.676xy =

2

132.130x m = 234527.46y m = 代入得

()2

2

2

2

2276061.67635.3532211.215.98132.130

2211.215.9835.3532776.14

34527.4615.98132.130786.69

x y

x

xy xy m y x m m βαβσβ∧

∧∧

∧∧--?===-=-=+?==-=--?=

*2

σ

∧

为2

σ

∧的无偏估计量

*2

220786.69874.10218

n n σ

σ∧

∧===- 5. 解：将6x = 210.4y = 1558xy =

2

8x

m = 210929.84y m = 代入得

(

)2

*2

22*

15586210.4

36.958

210.436.95611.3

510929.8436.95812.3723

3.517

x xy x y m y x n n βαβσ

σσ∧

∧

∧

∧∧∧

--?=

===-=-?=-==-?=-= 假设 0:38H β= 1:38H β≠

用T 检验法 拒绝域为

()2t n α≥-

查表得 ()

0.025

3 3.1824t =

将上面的数据代入得

()0.0251.893t t =<

所以接受0H 即认为β为38

6. 解：（1）由散点图看，x 的回归函数具有线性函数形式，

认为长度对于质量的回归是线性的。

长度

质量

（2）将17.5x = 9.49y = 179.37xy =

2

72.92x m = 2 2.45y m =代入得

2

179.3717.59.49

0.18272.92

x xy xy m β∧

--?=

== 9.490.18217.5 6.305y x αβ∧

∧

=-=-?=

6.3050.182y x x αβ∧

∧

∧

=+=+

（3）当16x =时

00

16y a b ε=++

由T 分布定义

()2T t n ∧

∧

=

-:

()0.02520.95P t n ???

??

<-=???

???

所以0Y 的预测区间为

()

()00.02500.02522x t n x t n αβσβσ∧∧

∧∧∧∧?+--++-??

查表得()0.025

4 2.776t =

将（2）的数据代入得

()*2

2

2*

6

2.450.18272.920.0075240.0866

n n σσσ∧∧

∧

=

=-?=-=

计算得0Y 的预测区间为

()8.9521,9.4721

9. 解：利用第八题得到的公式 将21x

= 141.2y = 3138xy = 2

90x

m =

代入得

2

313821141.2 1.9290141.2 1.9221100.88

x xy x y m y x βαβ∧

∧∧

--?====-=-?=

10.

解

：

二

元

线

性

回

归

模

型

为

1122,1,2,,i i i i Y x x i n ββε=++=???

离差平方和为()

2

1221

n

i i i i i Q

y x x ββ==--∑

对Q 求12,ββ的偏导数并令其为0

()()112211

112221

00n

i i i i i n

i i i i i y x x x y x x x ββββ==?--=????--=??∑∑ 可变换为2

111212111

22112221

1100n n n

i i i i i i i i n n n

i i i i i i i i x y x x x y x x x x βββ

β======?--=????--=??∑∑∑∑∑∑

正规方程为21112212121222x x x x y

x x x x y

ββββ∧

∧

∧∧

?+=???+=?

最小二乘估计为221212

1

2

221212

2

1122122

22

1212

x yx x x yx x x x x

x yx x x yx x x x x ββ∧

∧

-=

--=

-

其中1111n i i i x y x y n ==∑ 221

1n

i i

i x y x y n ==∑

121211n i i i x x x x n ==∑ 2

21

1n j ij i x x n ==∑ 1,2j =

11解：（1）

2p = 15n =采用线性回归模型

()()

1122Y x x x x μββε=+-+-+

15

1

248.25i

i y

==∑ 16.55y =

1521

4148.3125i i y ==∑ 15

11

920i i x ==∑

15

21

1

56734i i x

==∑

161.33x = 15

21

7257i i x ==∑ 2483.8x =

15

2

2

1

3524489i i x ==∑

15

12

1

445366i i i x

x ==∑

15

11

15170i i

i x

y ==∑

15

2

1

12063925i i i x

y ==∑

2

15

152111

11

115673456426.66307.3415i i i i L x x ==??

=-=-= ???∑∑

2

15

152222

21

1135244893510936.613552.415i i i i L x x ==??

=-=-= ???∑∑

15

1515122112121

11144536644509627015i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

15

15151111

111151701522656

15y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-=- ???????∑∑∑15

15152221111120639.25120103.25536

15y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑于是 16.55y μ∧==

307.3427027013552.4L ??=???? 1256536y y L L ??-??=????

???

???

可得11256536L ββ∧-∧??

-????=??????

??

所以 1210.5040.2160.04y x x =-+

12.解

3p =18n =采用线性回归模型

()()()

112233Y x x x x x x μβββε=+-+-+-+

18

1

1463i

i y

==∑ 81.277y =

18

1

1

215i i x

==∑

1

11.944x = 18

21

758i i x ==∑ 242.11x =

18

31

2214i i x ==∑

3123x =

18

211

4321.02i i x ==∑

18

221

35076i i x ==∑

18

2

3

1

307864i i x

==∑

2

18

18

21111112

18

182

222

2112

18

182

33331

114321.022568.051752.971813507631920.223155.78

18130789427232235572

18i i i i i i i i i i i i L x x L x x L x x ======??

=-

=-= ???

??

=-=-= ?????=-=-= ???∑∑∑∑∑∑18

121

10139.5i i i x x ==∑

18

1818122112121

11110139.59053.881085.62

18i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

13

1

96598

i i i x

x ==∑18

1818133113131

1112764526445120018i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

23

196598i i i x

x ==∑

18

1818322323231

11196598932343364

18i i i i i i i L L x x x x ===????

==-=-= ???????∑∑∑

18

11

20706.2i i

i x

y ==∑

18

18181111

11120706.217474.73231.518y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

18

2

1

63825i i i x

y ==∑

18

18182221

1116382561608.52216.5

18y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

18

31

187542i i

i x

y ==∑

18

18183331

111187542179949759318y i i i i i i i L x y x y ===????

=-=-= ???????∑∑∑

于是 4.582y μ

∧

==1752.931085.621200L -????=??????

1085.62

1200 3155.78 3364 3364 35572

1233231.52216.57593y y y L L L ????????=????????????可得11233231.52216.57593L βββ∧

∧-∧??????????=????

????????

??

所以

12343.65 1.780.080.16y x x x ∧

=+-+

第三章

1.解: 假设: 26:,26:10≠=μμH H

由于2.5=σ

已知,故用统计量)1,0(~N n

x u σ

μ-=-

αα=???

???≥2u u P u 的拒绝域2

αu u ≥

2.14

2.526

56.27=-=

-=

-

n

x u σ

μ

因显著水平05.0=α

,则96.12.1025.02

==≤=u u u α

这时,就接受0H

2. 解: (1) σ已知,故)1,0(~0

N n

x u σμ

-=

-

αα=???

???≥2u u P u 的拒绝域2

α

u u ≥

2.310

15

32.50

=-=

-=

-

n

x u σμ

因显著水平01.0=α,则

576.22.3005.02

==≥=u u u α 故此时拒绝0H :5=u

(2) 检验8.4=u

时犯第二类错误的概率β

-

+-???? ??--?-=

x d e

n

n

n

n

x 0

2

2

20

2

20

21

σμμσ

μμσμαα

σπ

β

令n

x t 0

σμ

-=

-

则上式变为

7180

.0171990.09999979.01)58.0()58.4()58.0()58.4(212158

.458

.02

2

22

1

02

1

02

≈-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ==

=

?

?--+----dt

e dt e

t u n

u n

t π

π

βα

α

σμμσμ

μ

3. 解:假设25.3:,25.3:10

≠=μμH H 用t 检验法拒绝域

)1(2

*

-≥-=

-

n t n

s x T αμ

01.0=α,

252.3=-

x 查表6041.4)14(0112.0=t 0130

.0,00017.02

*==s s

代入计算

)14(344.00112.0t T <=

故接受0H ,认为矿砂的镍含量为25.3

4解:改变加工工艺后电器元件的电阻构成一个母体, 则在此母体上作假设64.2:0

=μH ,用大子样检验

)1,0(~0

N n

s

x u μ-=

-

拒绝域为2

αu u ≥ 由01.0,06.0,62.2,200====-

αs x n

查表得575.22=α

u

2

575.233.31006.002

.0αμu n

s x u =>==-=-

故新加工工艺对元件电阻有显著影响.

5 .解：用大子样作检验，假设

00:μμ=H

)1,0(~0N n

s x u 近似

μ-=

-

拒绝域为2

αu u >由

96

.1,05.0,162.0,994.0,973.0,200025.00======-

u s x n αμ96.1833.1200162.0021

.00<≈=--

n s x μ

故接收0H ，认为新工艺与旧工艺无显著差异。 6.解:由题意知，母体X 的分布为二点分布),1(p B ，

作假设)17.0(:000==p p p H

此时)(个产品中废品数为n m n

m

x =

-

因400=n

很大，故由中心极限定理知-

x 近似服从正态分布。

故)1,0(~)

1(000N n p p p n m u

--=

即α

α≈≥--})1({2

000u n

p p p n

m P

计算得拒绝域为

n

p p u p n m

)

1(002

0-≥-α

把17

.0,96.1,400,560025.02

=====p u u n m

α

代入

037.00188.096.103.017.014.00=?<=-=-p n

m

即接受0H ，认为新工艺不显著影响产品质量。 7解：金属棒长度服从正态分布原假设5.10:00

==μμH ，

备择假设01:μμ≠H )1(~--=

-

n t n

s

x t μ

拒绝域为2

αt t ≥

48.10)7.106.104.10(15

1

=+++=

-

Λx 样本均方差

237.0)48.107.10()48.104.10(14

122=-++-=Λs

于是327.015

237

.002.00

==

-=

-

n

s

x t

μ

而144.2)

14(025.0=t 因144.2327.0<

故接受0H ，认为该机工作正常。 8．解：原假设12100

:00

==μμH ，

备择假设01

:μμ≠H )1(~0

--=

-

n t n

s

x μτ， 拒绝域为

2

αt T ≥ 将05.0,323,11958===-

αs x

代入计算

068.2)13(153.224

323142

025.00

=≥==--

t n s x μ 故拒绝原假设即认为期望。 9． 假设8

.20:,8.20:010

=>==μμμμH H

使用新安眠药睡眠平均时间

2.24)4.230.227.26(7

1

=+++=-

Λx

296

.2]

)2.244.23()2.247.26[(6

1

2222

==-++-=s s s Λ 046.47

296

.24.30==-=

-

n

s

x t μ所以拒绝域为

)1(05.0->n t t

查表t t =<=046.4943.1)

6(05.0 故否定0H

又因为38.202.24+>=-

x 故认为新安眠药已达到新疗效。 10． 原假设乙

甲乙甲，μμμμ≠=::10

H H

)1,0(N u ~2

22

121近似

乙甲n s n s x x +-=

-

-解得拒绝域2

u u α≥

100n ,140n 00.105s ,41.120s 2680

x ,2805x 212121======-

-

代入计算 03.8100

105

11041.120125n s n s x x 2

2

2

22

121

21=+=

+--

-

查表96.1u u 025.02==α

因96.103.8>

故拒绝原假设即两种枪弹速度有显著差异。 11．解：因两种作物产量分别服从正态分布且2

22

1σσ=

假设211210

:,:μμμμ≠=H H

故统计量)2(~1

1212

1-++-=-

-n n t n n S Y X T w

其中2

)1()1(212

221-+-+-=

n n s n s n S y

x w

拒绝域为2

α

t T

≥

代入计算063.24=w s 2878)18()2(005.0212

==-+t n n t α

代

入

数

值

T

的

观

测

植

为

85.0756

.1018

.910

1

101063.2479.2197.30≈=

+?

-=

t

因为

)18(878.285.0005.0t t =<=

所以接受0H ，认为两个品种作物产量没有显著差异。

12．解：因两台机床加工产品直径服从正态分布且母体方差相等， 由题意假设211210

:,:μμμμ≠=H H

统计量)2(~1

1212

121-++-=

-

-n n t n n S X X T

w

2

)1()1(212

2

2211-+-+-=

n n s n s n S w 拒绝域为

2

αt T ≥

数值代入计算5473

.0=w

s

265.05175

.05437.0925

.19203966

.0,2164.020

)2.197.19(7

1

925

.19)9.195.20(81

2

22121≈?-====++==++=--

t s s x x ΛΛ

因

)13(160.2265.0025.0t t =<=

故接受假设0H ，认为直径无显著差异。

13．解：由题意设施肥，未施肥植物中长势良好率分别为

2

,1p p （均未知）则总体),1(~),,1(~21p B Y p B X 且两样本独立

假设211210,:p p H p p H >==

既)

()(:).()(:10

y E x E H y E x E H >=

而)(),(y D x D 均未知，则)1,0(~2

22

121

N n s n s y x u +-=

-

-

由题意易得

2491

.0)1(53

.0100

53

,1001137.0)1(87

.0900

783

,90022

221

1=-=====-=≈==-

--

-

--

y y s y n x x s x n

于是

6466

.60511

.034.0100

2491.09001137.053

.087.02

22

121

==+-=

+--

-n s

n s y x

查表6466

.633.201

.0<=u

故应拒绝0H ，接受1H 即认为施肥的效果是显著的。 14．（1）解：假设两厂生产蓄电池容量服从正态分布。 由于21,σσ未知，故假设2

11210

:,:μμμμ≠=H H

选取统计量)2(~11212

121-++-=

-

-n n t n n S X X T w

2

)1()1(212

2

2211-+-+-=

n n s n s n S w

拒绝域为

2

αt T ≥

)

18(1009.201.140,1.140025.021t T x x =<===-

-

故接受210:μμ=H ，即认为两种电池性能无显著差异

（2）检验要先假设其服从正态分布且2

22

1

σσ=

15．解：由题意假设048

.0:,048.0:100

≠==σσσH H

由于μ未知。故)

1()1(22

2

2

-=-=

n s n χσ

χ

拒绝域为22

1222

2

α

αχχχχ

-≤≥或

00778

.05

,048.02

0===s n σ

得2

χ的观测值5

.130482.000778

.042

≈?=

χ

查表得14.11)4()1(2

025.022

==-χχαn

因为)

4(14.115.13025.02

χχ

≥>=

故拒绝0H ，认为母体标准差不正常。 16．解：由题意熔化时间服从)400,(μN

假设400:,400:2120

≠=σσH H

)

1(~)1(220

2

2

--=

n s n χσχ

拒绝域为22

1222

2

α

αχχχχ

-≤≥或

400,77.404,2522===σs n

代入计算29.24)1(2

2

=-σ

s n

查表56.45)24()1(2

005.02

2==-χχα

n

89

.9)24()1(2995.022

1==--χχαn

因为56.4529.2489.9<<

故接受0H ，即认为无显著差异。

17.证明：大子样在正态母体上作的假设

)

1(~)1(:2

2

2

2

2

20--=

=n s n H χσχσσ

因1-n 很大，故由2

χ分布的性质3知

)1(2-n χ分布近似于正态分布)]1n (2),1n [(N --

而

)1,0(N ~)

1n (2)

1n ()1n (2----χ给定显著水平α

，则

α

χα=≥----}u )

1n (2)

1n ()1n ({

P 2

2

即可计算

2

2

2

2)1(2)1()1()1(2)1()1(α

α

χχu n n n u n n n -+-≥----≤-或

拒绝假设0H 相反：

2

22

)1(2)1()1(2)1(α

αχu n n u n n -+-<<---若

则接受0H ，即证。 18解：（1）2

σ未知假设0

100

:%,5.0:μμμμ≠==H H

则)1(~0

--=

-

n t n

s

x T

μ 拒绝域为α

t T

≥

05

.0,162.310%,037.0%,5.0%,452.00======-

αμn s x

查表262

.2)

9(025.0=t

因为

)9(262.210.4162

.3%

037.0%

048.0025.00

t n

s

x =>==--

μ

故拒绝假设0H ，即认为0μμ≠

（2）μ未知假设2

212020

:%,04.0:σσσσ≠==H H

)1(~)1(22

2

2

--=

n s n χσχ

拒绝域为22

12

2

2

2

α

αχ

χχχ

-≤≥或

025.0,10,%04.0,%037.022

022====ασn s

查表

7

.2)9(02.19)9(20975.02025.0==χχ

70.7%04.0%037.09)1(2

220

2

2

=?=-=

σχs n

故)9()9(2

025.022

975.0χχχ<<故接受%04.0:0=σH

19．解：甲品种

),(~211σμN X 乙品种),(~2

22σμN Y

假设2

221122210

:,:σσσσ≠=H H 而均值未知，则

10

,1.2126.7,10)

1,1(~2122========--=

小大小大小大小

大

，n n s s s s n n n n F s

s F y x

代入计算601.11.217.262

2

==F

查表54.6)9,9()1,1(005.02

==--F n n F

小大α

而)

9,9(54.6601.1005.0F F

=<=

故接受0H ，认为产量方差无显著差异。 20．解：甲机床加工产量~

)

,(211σμN 乙机床加工产量

~),(2

22σμN

假设2

2

21122210

:,:σσσσ≠=H H 21,μμ未知， 则)1,1(~22

--=

小大小

大

n n F s

s F

2

22221213966.0,2164.012,7,8大

小题计算知由s s s s n n ======故

8

712====n n n n 小大 代入计算833.12164

.03966

.0==

F

查表

)

7,6(12.5833.112

.5)7,6()11(025.0025.02

F F F n n F =<===--小大，α

故接受0H ，认为两台机床加工精度无显著差异。 21．解：

B A ,测定值母体都为正态分布

)(~:),,(~:2

2,2211σμσμN Y B N X A

假设2

2

21122210

:,:σσσσ≠=H H 21,μμ未知，

则)1,1(~22--=

小大小

大n n F s s F

2

22221215006.0,4322.0,7,5大

小s s s s n n ====== 故57

12====n n n n 小大 158.14342

.06

500.0==F 查表

)

4,6(20.9158.19.20

)4,6()11(025.0025.02

F F F n n F =<===--小大，α

故接受0H ，认为方差无显著差异。

22． 解：由题意（1）检验假设2221122210:,:σσσσ≠=H H

由于2

22121,,,σσμμ未知，则)1,1(~212

2

2

1--=n n F s s F

又05.0=α，可查表得相应的拒绝域为

15.7)5,5()1,1(025.0212

==--≥F n n F F α

由样本计算0000071.0,0000078666.01385

.0)140.0135.0(6

1

1407.0)137.0140.0(61

2

221===++==++=

--

s s y x ΛΛ

由此可得1079.122

2

1==s s F

由于15.71079.114.0<=<

F 故接受2221

0:σ

σ=H

（2）检验假设2

11210:,:μμμμ≠=H H

由（1）可知222

1

σσ=且未知，故

)2(~11212

121-++-=

-

-

n n t n n S X X T w

6,2

)1()1(21212

2

2211==-+-+-=

n n n n s n s n S w

又可计算0027355

.0=w

s ，

代入得

2716

.13

1

0027355.01385.01407.0=?

-=

T

又由,05.0=α

，查表228.2)10(025.0=t 因

228.2)10(2716.1025.0=<=t T 故接受0H ，

即认为这两批电子元件的电阻值的均值是相同的。

23．解：（1）检验假设0100:,:μμμμ<=H H 由5题，用统计量)

1,0(~0N n

s

x u μ-=-

αα=-≤}{u u P 拒绝域为α

u u ≤

由645.1,05.0,162.0,994.0,973.0,2000======-

ααu s x u n

代入计算645

.1833.1-=->=αu u

故接受0H ，认为方差无显著降低。

（2）假设0

100

:,:p p H p p H <=

由6题知)1,0(~)

1(000N n

p p p n m

u --=

α

α=-≤}{u u P 拒绝域为α

u u

<

把17.0,645.1,400,56005.0=====p u u n m

α

代入α

u u

-=-≥-=645.1596.1

即接受0H ，即产品质量显著提高。 （2）假设乙

甲乙甲，μμμμ>≤::10

H H

由10题知)1,0(N ~u 2

22

121

n s n s x x +-=

-

-乙甲

解得拒绝域αu ≥u

当

110,00.105,41.120,100,26802805,1212======-

-n s s n x x 乙甲

代入计算05.0645.103.8u u u

==>=α

即拒绝0H ，接受1H ，认为甲枪弹的速度比乙枪弹速度显著得大。 （4）假设

400,400:12

0>≤H H σ)1(~)1(220

2

2

--=

n s n χσχ

400

,77.404,252

02===σs n

代入)24(98.4229.242

01.02

χχ

=<=

即接受0H ，认为符合要求。 24．解：由题意假设22

21

122

2

1

0::σ

σσσ

>≤H H ，21μμ，未知，

故用统计量)1,1(~212

2

2

1--=n n F s s F 解得拒绝域αF F ≥ 把0.245

,6,90.3572*2212*2

1

======甲乙乙，s s n n s s

代入计算

)5,8(82.4457.1245

.0357

.005.0F F =<==

故接受0H ，即认为乙机床零件长度方差不超过甲机床，或认为甲机床精度不比乙高。

25． 解：假设0H ，各锭子的断头数服从泊松分布

即)2,1,0(!

}{Λ==

=-i e i i x P i

λλ

其中λ未知，而λ的极大似然估计为

66

.01^

!

66.066

.0440

292

1-=-

=

====∑e i p im n x i

i n i i λ

由此可用泊送分布算得

i p 及有关值，如下表

由分组数1,5==r l 故自由度数21=--=r l k

由05.0=α

查表知82.7)2()2(205

.02

==χ

χα

由于∑=>=-=4

02

2

82.7095.45)(i i

i i np np m χ

故拒绝0H ，即认为总体不服从泊松分布。

26. 解：假设四面体均匀，记则抛次时白色与地面接触的概率为

4

1

=

p ，k x =，表示1-k 次抛掷时，白色的一面都未与地面接触，第k 次抛掷时才与地面相接触，则相当于

)2,1(4

1

43)

1(}{:1

1

0Λ=?

?

? ??=-==--k p p k x P H k k 则

256

81

25627163411}5{25627

4143}4{649

4143}3{16

34143}2{,41}1{3

2

=

---===

???? ??===

???? ??===?===

=x P x P x P x P x P

将以上数据代入下式，则 216.18)(5

12

2

=-=∑-i i

i i np np f χ

对于05.0=α，自由度41=-=l n

查表22

05.0216.18488.9)

4(χχ=<=

所以拒绝0H ，即认为四面体是不均匀的。

27． 解：假设0H 螺栓口径X

具有正态分布

即

),,(~2σμN X 首先用极大似然估计法求出参数2

σμ与的估计值，i x 为各小区间中点

∑∑=-=-===n i i n i i x x n x n u 1^2

1^

)(1,111σ

下面计算x 落在各小区间上的概率

0594

.09406.01)5625.1(1}05.11{1142.08264.09460.0)9375.0()5625.1(}05.1103.11{2047.06217.08264.0)3125.0()9375.0(}03.1101.11{2434

.03783.06217.0)3125.0()3125.0()

032

.011

99.10()032.01101.11(}01.1199.10{2047

.01736.03783.0)9375.0()3125.0()

032

.011

97.10()032.01199.10(}99.1097.10{1142

.00594.01736.0)5625.1()9375.0()

032

.011

95.10()032.01197.10(}97.1095

.10{0594

.0)5625.1()()032.0)1195.10(}95.10{7654321=-=Φ-=+∞<<==-=Φ-Φ=<<==-=Φ-Φ=<<===-=-Φ-Φ=-Φ--Φ=<<==-=-Φ--Φ=-Φ--Φ=<<==-=-Φ--Φ=-Φ--Φ=<<==-Φ=-∞Φ--Φ=<<-∞=x P p x P p x P p x P p x P p x P p x P p 计算2χ的观测值列表如下：

计算得统计量的观测值为9532.102

=χ

2

χ

的自由度41

27=--=n

05.0=α查表9532

.1049.9)4(205.0<=χ

故拒绝0H ，认为其不服从正态分布。 28． 解：由题意，取80.3,20.2==b a ，组距为, 得其分布

密度估计表

由此图形可大致认为其为母体及正态分布下面用2

χ检验法作检

验假设 2

1

2^1

^

20322.0)(1009.31

)

,(~:=-===

∑∑=-=n

i i n

i i x x n x n u

N X H λσμ

2

,16==k l ∑==-=16

1

2

069

.3)(i i i i np np m χ)13()1216(22ααχχ=--

查表可知无论α为何值 总有069.3)

13(2

>αχ 故接受0H ，

即认为母体服从正态分布

第四章 1 解：

1

1

11112

21

1

22

2

1

1

1

1

()()

1()()

11011

()()111

()()

i

i

i i

n n i ij

ij

i j j i i n n r r ij ij i j i j i i r

r

A i i i i i i r

r

i i i

i

i i y b x c bx

bc b X c n n b y b x c x bc b X c n n X c y X c y b b

b

S n X X n c y c y b b

n y y n y y b b b ===========

-=-=-=-=-=-∴=+

=+

≠=-=+

--=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑