高三数学一诊模拟考试试题理

四川省成都市龙泉第二中学2017届高三数学一诊模拟考试试题 理

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

注意事项：

1．必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{|2}M x x =<，集合{}

2

|0N x x x =-<，则下列关系中正确的是

A.M N ?=R

B.M C N ?=R R

C.N C M ?=R R

D.M N M =I 2. 复数i

i

Z 212+-=

(i 为虚数单位)所对应复平面内的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知数列n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，14,2248==S S ，则=2016S

A ．22252-

B ．22253-

C ．221008- D.222016-

4．函数)(x f 是定义在)2,2(-上的奇函数，当)2,0(∈x 时，,12)(-=x x f 则)3

1(log 2f 的值为 A ．2- B ．3

2

-

C ．7

D ．123- 5.函数cos sin y x x x =+的图象大致为

A B C D

6.函数的定义域为

A.（，1）

B.（，+）

C.（1，+）

D.

7.执行如图所示的程序框图，如果输入a=2，b=2，那么输出的a 值为

A ．14

B ．15

C ．16

D ．17

8．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x ﹣）2+y 2表示的区域为T ，向Ω区域均

匀随机撒360颗芝麻，则落在区域T 中芝麻数约为 A ．114 B ．10

C ．150

D ．50

9.如图，在OMN ?中，,A B 分别是,OM ON 的中点，若(),OP xOA yOB x y R =+∈u u u v u u u v u u u v

，且点P 落

在四边形ABNM 内（含边界），

1

2

y x y +++的取值范围是

A.12,33?????? B ．13,34

??

????

C ．13,44??????

D ．12,43??

????

10．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π

ω?ω?=+≠><的图像关于直线2

3

x π=对称，且它的最小正周期为π，则

A.()f x 的图像经过点1(0,)2

B.()f x 在区间52

[,]123

ππ上是减函数 C.()f x 的图像的一个对称中心是5

(,0)12

π D.()f x 的最大值为A

11、把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为

A ．2680种

B ．4320种

C ．4920种

D ．5140种 12.已知命题p : x R ?∈,3

sin 2

x >

, 则 A.﹁p : x R ?∈,sin 32x ≤

B.﹁p : x R ?∈,3sin 2

x < C.﹁p : x R ?∈,错误！未指定书签。 D.﹁p : x R ?∈,3

sin 2

x ≤

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每小题4分，共20分） 13.曲线21x y

xe -=在点(1,1)处的切线方程为 .

14.已知三棱锥A-BCD 中，AB ⊥面BCD ，△BCD 为边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为 。

15．数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*

-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列?

??

??

?+n

n a 2λ为等差数列，则λ= .

16.已知函数)(x f =x+sinx.项数为19的等差数列{}n a 满足???

?

?-

∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()()(191821=++?++a f a f a f a f ，则当k =______时，0)(=k a f

三、解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17．（本小题满分12分）

已知三角形ABC 中,()()2211,,,y x AC y x AB ==. (1)若()()

3,1,1,3-==AC AB .求三角形ABC 的面积?S ; （2）求三角形ABC 的面积?S .

18.（本小题满分12分） 已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若

在区间

上单调递增，求b 的取值范围.

19.设函数f （x ）=x 2+bln （x+1），其中b ≠0． （Ⅰ）当时，判断函数f （x ）在定义域上的单调性；

（Ⅱ）当2

1

≤b 时，求函数f （x ）的极值点；

20. （本小题满分12分）

已知动圆过定点P (4,0)，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心C 的轨迹方程；

(2)过点（2,0）的直线l 与C 相交于A ，B 两点．求证：OA OB u u u r u u u r

g 是一个定值．

21.（本小题满分12分）已知动圆P 与圆()2

21:381F x y ++=相切，且与圆()2

22:31F x y -+=相内切，记圆心P 的轨迹为曲线C ；设Q 为曲线C 上的一个不在x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点

2F 作OQ 的平行线交曲线C 于,M N 两个不同的点．

（1）求曲线C 的方程；

（2）试探究MN 和2

OQ 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （3）记2QF M ?的面积为1S ，2OF N ?的面积为2S ，令12S S S =+，求S 的最大值．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号，本小题满分10分。

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为?????x ＝3＋1

2t ，

y ＝3

2t (t 为参数).以原点为极点，x 轴正半

轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程；

(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.

23.（本题满分10分）选修4-5:不等式选讲 若a >0，b >0，且1a ＋1

b ＝ab . (1)求a 3＋b 3的最小值；

(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.

成都龙泉第二中学高2017届高三上期期末考试模拟试题

数学（理工类）参考答案

1—5 BCBAD 6—10 ACACC 11—12 BA 13. e ex y 23-= 14.2821

27

π 15.1- 16.10 17．（本小题满分12分）

解:已知,sin 2A AC AB S ?=?

,cos 2121A AC AB y y x x AC AB ??=+=? ……6分

得:,4sin 2

22

2

?=?S A AC AB ①

,)(cos 2212122

2y y x x A AC AB +=? ②

由①+②,得: ,)(4221212

2

2

y y x x S AC AB ++=?? 又.,22222

21

2

1

2

y x AC y x AB +=+=

代入化简,得: 12212

1

y x y x S -=

?. ......12分 18.（1）当b =2时，()()=x+2-x f x 2

12的定义域为1-2??∞ ??

?，

()()()

()2

'5222122221212x x f x x x x x x

-+=+-++-=

-- 令()'

0f

x =，解得12x 2,0x =-=

当1x 2x<

2<-和0<时，()'

0f x <，所以()f x 在()1,2,2??-∞- ???

,0上单调递减； 当12x<

2-<时，()'

0f x >，所以()f x 在12,2??- ??

?上单调递增；

所以，当x 2=-时，()f x 取得极小值(2)0f -=；当1

x 2

=

时，()f x 取得极大值(0)4f =。 （2）()f x 在10,3?? ???

上单调递增?()'

0,f x ≥且不恒等于0对x 10,3

??∈ ??

?

恒成立……………………7分

()(()2'

2

212221212f

x x b x x bx b x x

=+-++-=

--

25320x bx x ∴--+≥……………………………………8分 min

253x b -??∴≤ ???……………………………………10分

1

2525133

39

x

-?

->=Q

……………………………………11分 1

9

b ∴≤……………………………………12分

19.解：（Ⅰ）函数f （x ）=x 2

+bln （x+1）的定义域在（-1，+∞）

令g （x ）=2x 2

+2x+b ，则g （x ）在

上递增，在

上递减，

g （x ）=2x 2+2x+b ＞0在（-1，+∞）上恒成立， 所以f'（x ）＞0即当，函数f （x ）在定义域（-1，+∞）上单调递增． 5分

（Ⅱ）（1）当时，

，

∴，

∴时，函数f （x ）在（-1，+∞）上无极值点 7分

（2）当

时，解f'（x ）=0得两个不同解2

211,221121b

x b x -+-=

---=

当b ＜0时，2

211,221121b

x b x -+-=

---=

， ∴x 1∈（-∞，-1），x 2∈（-1，+∞），f （x ）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点2

2112b

x -+-=

当

时，x 1，x 2∈（-1，+∞）f'（x ）在（-1，x 1），（x 2，+∞）都大于0，

f'（x ）在（x 1，x 2）上小于0，f （x ）有一个极大值点2

2111b

x ---=

和一个极小值点

2

2112b

x -+-=

综上可知，b ＜0，时，f （x ）在（-1，+∞）上有唯一的极小值点2

2112b

x -+-=

时，f （x ）有一个极大值点22111b x ---=

和一个极小值点2

2112b

x -+-=

2

1

=

b 时，函数f （x ）在（-1，+∞）上无极值点． 12分

20.解：(1)设圆心为C (x ，y )，线段MN 的中点为T ，则

1分 |MT |＝|MN |

2＝4.

依题意，得|CP |2＝|CM |2＝|MT |2＋|TC |2，∴()2

22244y x x +-=+，

∴2

8y x =为动圆圆心C 的轨迹方程．

4分

(2)证明：设直线l 的方程为x ＝ky ＋2，A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2） 5分

由???=+=x

y ky x 822，得y 2－8ky －16＝0. ∴264640k ?=+>。 7分

∴y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16，OA →＝(x 1，y 1)，OB →

＝(x 2，y 2)． 8分 ∵OA →·OB →

＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ky 1＋2)(ky 2＋2)＋y 1y 2 9分

＝k 2

y 1y 2＋2k (y 1＋y 2)＋4＋y 1y 2 ＝－16k 2＋16k 2＋4－16＝－12. 11分 ∴OA →·OB →

是一个定值． 12分

21.

（2）设()()()112233,,,,,M x y N x y Q x y ，直线:OQ x my =，则直线:3MN x my =+，

由221167x my x y

=???+

=??可得：222

22112716112716m x m y m ?=??+??=?+?，∴2

23223

2112716112716m

x m y m ?=??+??=?+?

，

∴()222

2233222

1121112112716716716

m m OQ

x

y m m m +=+=+=+++ 由223

1167

x my x y =+??

?+=?

?可得：()2271642490m y my ++-=，∴12122

4249,716716m y y y y m m +=-=-++， ∴()()

()()()2

22

2

22121212121331MN x x y y my my y y m y y =

-+-=+-++-=+-????

()

()22

2

2

2

1212222

56142491

414716716716m m m y y y y m m m m +????=++-=+---= ? ?+++????

． ∴()

()22

2

22561171621121716

m MN

m m OQ

m ++==++∴MN 和2OQ 的比值为一个常数，这个常数为12．

22.解 (1)由ρ＝23sin θ，得ρ2

＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ? ????3＋1

2t ，32t ，又C (0，3)， 则|PC |＝

? ????3＋12t 2＋? ??

??3

2t －32＝t 2＋12， 故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3，0).

23.解(1)由ab＝1

a＋

1

b≥

2

ab，

得ab≥2，且当a＝b＝2时等号成立.

故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立. 所以a3＋b3的最小值为4 2.

(2)由(1)知，2a＋3b≥26·ab≥4 3.

由于43>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.