高中数学定积分教案
高中数学定积分教案
【篇一：《定积分》教学设计与反思】
《定积分》教学设计与反思
学习目标
2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法．
教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分．教学难点：了解微积分基本定理的含义．
一、自主学习：
1．定积分的定义：，
2．定积分记号：
思想与步骤
几何意义．
3．用微积分基本定理求定积分二、新知探究
新知1：微积分基本定理：
背景：我们讲过用定积分定义计算定积分,但如果要计算，其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
探究问题1：变速直线运动中位置函数s(t)与速度函数v(t)之间的联系设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位移为s(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的位移记为，则
一方面：用速度函数v(t)在时间间隔求积分，可把位移 =
另一方面：通过位移函数s（t）在的图像看这段位移还可以表示为探究问题2：
位移函数s(t)与某一时刻速度函数v(t)之间的关系式为
上述两个方面中所得的位移可表达为
上面的过程给了我们启示
上式给我们的启示：我们找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的
问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。
例1．计算下列定积分：
新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分：
若求
新知3：用定积分求平面图形的面积
1、计算函数在区间的积分
2、计算函数在区间的积分
3、求与在区间围成的图形的面积
通过此题的计算你发现了什么？
教学反思
本课的教学设计，是在新课程标准理念指导下，根据本班学生实际情况进行设计的。从实施情况来看，整堂课学生情绪高涨、兴趣盎然。在教学中，教师一改往日应用题教学的枯燥、抽象之面貌，而是借用学生已有的知识经验和生活实际，有效地理解了微积分的基本定理，具体反思如下：
1、改变定理的表述形式，丰富信息的呈现方式。
根据高中学生的认知特点，我在教学过程中，出示例题、习题时，呈现形式力求多样、新颖，让学生多种感官一起参与，以吸引学生的注意力，培养对数学的兴趣。本课的教学中，我大胆地改变了教材中实例分析顺序，重组和创设了这样一个情境，从而引入速度关于时间的定积分背景，即切合学生的生活实际，又让学生发现了定理的实际意义，理解了定理的本质，激发了学生学习的兴趣。并更好地为下一环节的自主探索、主动发展作好充分的准备。
2、突出数学应用价值，培养学生的应用意识和创新能力
《数学课程标准》中指出，要让学生能够“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。”本课的设计充分体现了这一理念，例题中涉及路程和速度，让学生感受到数学与生活的密切联系，通过自己的探究，运用数学的思维方式解决问题，又能运用掌握的知识去研究解决生活的其它数学问题，，培养了学生的应用意识。
同时，例题的教学注重让学生自主学习，合作探究，充分发挥了学生的学习主动性，也培养了学生的创新能力。
3、创设民主氛围，鼓励解决问题策略的多样化。
民主、自由、开放的学习氛围是学生主动参与、敢于发表自己独特见解的前提条件。学生卸下了包袱、教师思维的束缚，大胆设想、讨论，从实际效果来看，不同的学生就有不同的思考方式和解决方法，使学生的个性学习发挥的淋漓尽致。更培养了学生自己收集已有知识，解决实际问题的能力。因此，我觉得在教学中应对学生多一份“放手”的信任，少一点“关爱”的指导，大胆地让学生在学习的海浪中自由搏击，让学生自己寻找问题解决的策略、学习的方法，有头脑、有个性、有能力的学生才能应运而生。
败笔之处：
1、有些题目说的太快，部分学生没有跟上，没有让不会的学生先说出存在的问题。
2、没有掌握好时间，整节课前松后紧。
3、没有很好的发挥组内合作探究作用。
4、指导太多，有些地方没有大胆的交给学生。
5、没有充分调动了学生的积极性。课堂气氛有些沉闷。
【篇二：高中数学人教版选修2-2教学设计：1.5.3《定
积分的概念》教案】
1.5.3 定积分的概念
教学目标：
1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征.
2. 理解定积分及几何意义.
3. 掌握定积分的基本性质及其计算
教学重点与难点：
1. 定积分的概念及几何意义
2. 定积分的基本性质及运算
教学过程：
1. 定积分的定义：
2. 怎样用定积分表示：
x=0，x=1，y=0及f(x)=x2所围成图形的面积？
t=0，t=1，v=0及v=-t2-1所围成图形的面积？
111115s1??f(x)dx??x2dx? s2??v(t)dt??(?t2?2)dt? 000033
3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如
b?baf(x)dx的几何意义是什么?
4.4. 定积分?f(x)dx是直线x?a，x?b(a?b)，y?0和曲线y?f(x)所围成的曲边a
梯形的面积
根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？
思考：试用定积分的几何意义说明 1.?2
04?x2dx的大小
14?x2所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的，4由直线x=0，x=2，y=0及y?
??
2. 204?x2dx??. ?1
?1x3dx?0
5. 例：利用定积分的定义，计算?1
0x3dx?0的值.
6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关
系 ?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx 和差的积分推广到有限个也成立区间和的积分等于各段积分和
7练习：计算下列定积分3?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx aaacbacbbb?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx(其中a?c?b) 2?(2x?x)dx 1
【篇三：高中数学定积分知识点】
数学选修2-2知识点总结
一、导数
1．函数的平均变化率为
f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f
?? ??x?xx2?x1?x
注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim
f(x0??x)?f(x0)?y
，则?lim
?x?0?x?x?0?x
称函数y?f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做y?f(x)在x0处的导数，记作f(x0)或
y|x?x0，即f(x0)=lim
f(x0??x)?f(x0)?y
. ?lim
?x?0?x?x?0?x
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有：
用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数f(x)
②令f(x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f(x)0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：
(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数f(x) (3)求方程f(x)=0的根
(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在?a,b?上的极值；
⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤
（“以直代曲”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1
?1dx?b?a
a
ba
b
b
b
b
b
性质5 若f(x)?0,x??a,b?，则?f(x)dx?0
①推广：?[f1(x)?f2(x)???fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx????fm(x)
a
a
a
a
②推广:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx????f(x)dx
a
a
c1
ck
b
c1c2
b
11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还
可能是0.
( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等
于x轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯
形面积时，定积分的值为0，且等于x
轴
上方图形的面积减去下方的图形的面积．
12．物理中常用的微积分知识（1）速度的导数为加速度。（2）力
的积分为功。
二、推理与证明知识点
13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
14.归纳推理的思维过程大致如图：
15.归纳推理的特点:
①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属
未知的一般现象。
②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经
过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以
作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
16.类比推理的定义：
根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。
17.类比推理的思维过程
18.演绎推理的定义：
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。
19．演绎推理的主要形式：三段论
20.“三段论”可以表示为：①大前题：m是p②小前提：s是m ③结论：s是p。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。
22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。
要注意叙述的形式：要证a，只要证b，b应是a成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
25.反证法的一般步骤
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
26
27.反证法的思维方法:正难则反．．．．
28.归缪矛盾（1）与已知条件矛盾: （2）与已有公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾．
29有关的数学命题）的步骤 ?
nn?n(1)证明：当n??时命题成立； 00(2)假设当n=k (k∈n*，且
k≥n0)时命题成立，证明当时命题也成立. 由(1)，(2)可知，命题对于
从n0开始的所有正整数n都正确
注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。
三、数系的扩充和复数的概念知识点
30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a
叫实部， b叫虚部，数．．．．
集c??a?bi|a,b?r?叫做复数集。规定：a?bi?c?di?a=c且，强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。
?实数 (b?0)?
31．数集的关系：复数z???一般虚数(a?0)
虚数 ()??
??纯虚数(a?0)?
32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。
33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数z?a?bi，都可以
由一个有序实数对(a,b)唯一确定。
由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数
集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了
直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，