(word完整版)学而思寒假七年级尖子班讲义第3讲平面直角坐标系

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3 平面坐标系

知识目标

目标一理解有序数对、有序数对、点的坐标的概念

目标二掌握象限、坐标轴、坐标轴夹角平分线的点的坐标特征目标三灵活运用点和线的平移变换。点的对称变换求坐标

模块一 平面直角坐标系的相关概念 知识导航

1有序数对

有顺序的两个数a 与b 组成的数对，叫做有序数对，记作（a,b),利用有序数对可以可以很准确的表示出一个位置。 2平面直角坐标系

3、点的坐标

平面内的点可以用一个有序数对表示，这个有序数对就叫做点的坐标。对于平面内任意一点，过该点分别向横轴、纵轴作垂线，垂足在横轴、纵轴上对应的数分别叫做该点横坐标、纵坐标。

在平面内两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角

坐标系、水平的数轴称为x 轴或横轴，习惯上取向右为正方向：

竖直的数轴称为y 轴或纵轴，取向上方向为正方向；两坐标轴

的交点为平面坐标系的原点。

如左图，建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个部分,每个部分称为象限，分别

叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的

点不属于任何象限。

Ⅰ 第一象限 Ⅳ

第四象限

Ⅲ

第三象限 Ⅱ 第二象限 原点

如图，点p 为坐标平面内一点，过点p 作x 轴

的垂线，垂足M 在x 轴上对应点的数是-2，则-2就是p 的横坐标；过点p 作y 轴的垂线，垂足N 在y 轴上对应的数为3，则3为点p 的纵坐标，点p 就可以用有序数对（-2，-3）来表示，记作p （-2,3）。

①由坐标确定点的方法：要确定由坐标（a,b)所表示的点p 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点p 即为所求的位置。

②由点求坐标的方法：先由已知点p 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别为A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在轴上的坐标b ，则点p 的坐标为（a,b) ③

巩固练习 点的坐标

(1)在图1的平面直角坐标系中描出下列个点：

A(3，4),B(-2，3),C(-5，-2),D(4，-1),E(1，0),F(0，3),G(-2，0),H(0，-4). (2)写出图2中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 的坐标。

y x

–1

–2–3–4–5

1

2345–1–2–3–4–5123

45O

图1 图2 象限内的点p （a,b)

坐标轴上的点p(a,b)

点p 在第一象限 a ＞0 , b ＞0 点p 在x 轴正半轴 a ＞0 , b=0 点p 在第二象限 a ＜0， b ＞0 点p 在x 轴负半轴 a ＜0， b=0 点p 在第三象限 a ＜0， b ＜0 点p 在y 轴正半轴 a=0， b>0 点p 在第四象限

a ＞0 ,

b ＜0

点p 在y 轴负半轴

a=0， b ＜0

5、坐标轴夹角平分线上的点的特征

若点p(a,b)在一、三象限的角平分线上，则a=b,例如p(3,3) p(-5,-5)等； 若点Q(a,b)在二、四象限的角平分线上，则a=-b,例如Q(-1,1) p(4,-4)等;

6、平面直角坐标系内点到坐标轴的距离公式

点p(a,b)到x 轴的距离为b ；点p （a,b)到y 轴的距离为a ，

Q （n,m ）

p(a,b)

a

b

题型一 坐标系概念应用 例1

(1)若用有序数对（3,6）表示教室中前起第3排，左起第6列的位置，那么前起第2排，左起第4列的位置有序数对可表示为 。

(2)点（2,1）在第 象限；点（-2,1）在第 象限； 点（-2，-1）在第 象限；点（2，-1）在第 象限。

（3）若点（a+1,-5)在第三象限，则a 的取值范围为 ；

若点（-5,a+1)在第二象限，则a 的取值范围为 ；

（4）点p （6，x-5)在第四象限，则x 的取值范围是 ； 点p （x-1，4-x)在第一象限，则x 的取值范围是 ；

（5青山区2015-2016年七下期中）点A 在x 轴上，位于原点右侧，距离原点2个单位，则点A 坐标为 。

（洪山区2015-2016七下期中）若点p(m+3,m+1)在x 轴上，则点p 的坐标为 。

（6）已知点P(x,y)在第四象限，且x =3，y =5，则p 点的坐标为 。 练

（1）实数x,y,满足021=++-y x ，则点p(x,y)的位置在第 象限；

（2）（汉阳区2015-2016七下期中）写出一个在x 轴正半轴上点的坐标 。 例2 （1）（武昌七校2015-2016七下期中）点p(-5,6)到x 轴的距离是 ，点Q(3,6)到y 轴的距离是 ，线段pq 的长度是 。 （2）（江汉区2015-2016七下期中）已知点A （4,3），AB ∥y 轴，且AB=3，则B 点的坐标为 练

（1）（江岸区2015-2016七下期中）点M(-3,2)到x 轴的距离是 。 （2）（硚口区2015-2016七下期中）点A （2,5），点B 在过A 点且平行于x 轴的直线上，点B 到点A 的距离是4个单位，则点B 的坐标是 。

例3

（1）已知点p位于y轴右侧，距y轴3个单位长度，位于x轴的上方，距x轴4个单位长度，则

点p的坐标是

（2）已知点p的坐标（2-a,3a+6),且点p到两坐标轴的距离相等，则点p的坐标是。（3）点M在第一、三象限的角平分线上，且到x轴的距离为2，则点M的坐标是。

（4）点A（5，y-1),B(x+3,2)都在第二、四象限的角平分线上，则x+y= 。

练

（1）已知A（5，y-1),B(x+3,-2)都在第一、三象限的角平分线上，则x= ,y= （2）点p(2x,x+3)在坐标轴角平分线上，则点Q（-x+2,2x+3)坐标是

题型二建立平面直角坐标系

例4

(1)(江岸区2015-2016七下期中）如图，由小正方形组成格点图形，已知格点A坐标为（-1，-2），

则格点B的坐标为。

(2)（洪山区2015-2016七下期中）如图所示的象棋盘上，若“帅”位于点（1-2）上，“相”位于点（3，-2）上，则：“炮”位于点的坐标是多少？

（3）小明从点p出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用（-40，-30）表示，那么（10,20）表示的位置是哪个点？点A和点D的坐标分别是多少？

练

（青山区2015-2016七下期中）

如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC，正方形ABDE、正方形ACGF的顶点均在格点上。

（1）以格点为原点，建立合适的平面坐标系，使得B/C两点的坐标分别为B(-1，-3),C(4，-3),则点A的坐标为；点D的坐标为；

（2）利用面积计算线段AB= ，AC= ,则AB/AC/BC三条线段的数量关系为

模块二、平面直角坐标系中的平移变换 知识导航 1平移

3、坐标系中图形的平移

把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，即图形整体向右（或向左）平移a 个单位。

把一个图形中各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数b ，即图形整体向右（或向左）平移b 个单位.

平移前 平移方式

平移后

点p( a,b) 向左平移m 个单位长度 点'p ( a-m,b) 点p( a,b) 向右平移m 个单位长度 点'p ( a+m,b) 点p( a,b) 向上平移m 个单位长度 点'p ( a,b+n) 点p( a,b)

向下平移n 个单位长度

点'p ( a,b-n)

把一个图形整天沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与远图形的形状和大小完全相同。图形的这种移动，叫做平移。（图形平移的方向，不限于是水平的，也可以竖直或倾斜）

新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点平移后得到的 新图形中的每一点，都是由原图形中某一点平移后的到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的连线段平行（或在同一条直线上）且相等，可见原图形中每一个点的平移方向和平移距离均相同。 如左图，线段AB 向下平移3个单位长度得到线段''B A ,线段上的每一个点的横坐标不变，纵坐标减去3.再向右平移5个单位长度得到线段''''B A ,线段上每一个点横坐标加5，纵坐标不变。

例5

（1）已知点A 的坐标为（3,5），则点A ：

先向上平移3个单位，则点坐标为 ； 再向下平移5个单位，则点坐标为 ； 再向左平移7个单位，则点坐标为 ； 再向右平移9个单位，则点坐标为 ；

（2）已知点B 的坐标为（3,5），则点B ：

先向上平移a 个单位，则点坐标为 ； 再向下平移b 个单位，则点坐标为 ； 再向左平移c 个单位，则点坐标为 ； 再向右平移d 个单位，则点坐标为 ； 练

（江汉区2015-2016七下期中）如图，三角形ABC 经过平移后，使点A 与点)41('， A 重合， （1）画出平移后的三角形'''C B A ;

（2）写出平移后三角形'''C B A 另外两个顶点的坐标为'B （ ）'C （ ）； （3）若三角形ABC 内有一点p(a,b),经过平移后的对应点'P 的坐标为 （ ）；

例6 （1） 点p(m,n)向右平移2个单位，向下平移3个单位得'P （3,5）

，则P 点坐标为 ； (2) 点p(m-1,2n+1)向右平移3个单位，向下平移2个单位得'P （n,3m ），则P 点坐标为 ；

(3)已知AB 两点的坐标分别为（1,0）（0,2），若将线段AB 平移到''B A ，点'A 、'B 的坐标分别为（2，a)、（b,3),则a+b= . 练

（1）若将点p(a-2,b+1)向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到点'P （2b,3a ），则P 点坐标.

(2)已知AB 两点的坐标分别为A （3,4）（2,,20），若将线段AB 平移至11B A ，点）（0

,11A 、求点1B 的坐标；

模块三平面直角坐标中的对称变换

知识导航

1轴对称: 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说“成轴对称”），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

2坐标系中对称点的坐标关系

对称前对称方式对称后

点p( a,b) 关于x轴对称

点'p( a,-b)

点p( a,b) 关于y轴对称

点'p( -a,b)

点p( a,b) 关于一、三象限角平分线对称

点'p( b,a)

点p( a,b) 关于二、四象限角平分线对称

点'p(-b ,-a)

点p( a,b) 关于原点对称（原点为中点）

点'p(-a ,-b)

点p( a,b)

关于Q(m,n)点对称（Q为中点）点'p(2m-a ,2n-b)

对称点所连的线段的中点在对称轴上，并且垂直于

对称轴，即对称点到对称轴的距离相等。如左图，

点p与

1

p，点Q与

1

Q关于x轴对称，点p与

2

p，

点Q与

2

Q关于y轴对称.

巩固练习：关于特殊直线的对称点的坐标

题型一 关于特殊直线对称 例7

（1）（硚口区2015-2016七下期中）点（3-2）关于x 轴对称的点'A 的坐标是 ；

（2）点p( 2,3)关于x 轴对称的点的坐标是 ， 关于y 轴对称的点的坐标是 ； 关于x=-2对称的点的坐标是 ，关于y=4对称的点的坐标是 ； 关于y=x 轴对称的点的坐标是 ，关于y=-x 轴对称的点的坐标是 ； （3）点p(a+3b,3)与点Q （-5，a+2b)关于x 轴对称,则a= ，b= 。

（4）点p(1,a-2)与关于x 轴对称的点在第一象限，则a 的取值范围 。

（5）点p(a-1,3-2a)关于一、三象限角平分线对称,点在第二、四象限角平分线上，则a= . 练

（1）点（1,2）关于x 轴对称点的坐标是 ， 关于y 轴对称点的坐标是 ；

关于x=-1对称点的坐标是 ， 关于y=1对称点的坐标是 ； 关于y=x 对称点的坐标是 ，关于y=-x 对称点的坐标是 ； （2）p(3m+2,2n-1)关于x 轴对称点在第三象限，求m,n 的取值范围。

对称前 对称方式

对称后

点p( a,b) 关于平行于y 轴的直线x=m 对称 点'p (2m-a ,b) 点p( a,b)

关于平行于x 轴的直线y=m 对称

点'p (a ,2n-b)

题型二关于点对称 例8 （1）点（3，8）与点 关于原点对称，与点（1,3）关于点 对称，与点（ ） 关于点（2,1）对称。

（2）点（a,b)与点 关于原点对称，与点 关于点（2,1）对称。 练

（1）点（2,7）关于原点对称的点坐标是 ， 点（2,7）关于点（5,1）的对称点的坐标是

（2）点（a,b)关于点（2,7）对称的点坐标是 ,点（a,b)关于点（2a+1,3b-2)的对称点的坐标是

数学趣题

正整数集只是有理数集合的一部分，有趣的是，德国数学家康托尔（1845-1918）曾将所有有理数像正整数那样排成一列纵队，从而和正整数集一一对应起来，让我们跟随康托尔的思路吧！ 任一个有理数都可以写成一个既约分数q

p （p ，q 都是整数），它可以对应着网格纸（如图）上的一

个点，即p 所在行与q 所在列的交点，记为点（q ，p ） 如

3

1

对应图中的点A(3，1),这样，每个有理数对应着网格纸上的一个格点（水平线与竖直线的交叉点），而康托尔用图中的方法从中心O 出发“螺旋式”地扩展开去，将平面内所有格点“一网打尽”。

在图中，O(0，0)是第一个点，A(1，-1)是第 个点，B （-1,2）是第 个点，第35个点是 （ ）。

第3讲 课后作业 平面直角坐标系

1、点（3,2）在第 象限；点（-10,2）在第 象限； 点（-3，-8）在第 象限；点（20，-7）在第 象限。

2、点p( -5,6)到y 轴的距离为 ，点q( 3,-6)到x 轴的距离为 。

3、点c 在x 轴上方，y 轴的左侧，距离x 轴2个单位，距离y 轴3个单位，则C 点的坐标为 。

4、已知点p 的坐标（4-a,2a+6),且点p 到两坐标轴的距离相等，则点p 的坐标是 。

5、已知点A（1，8a+4)到x轴的距离是y轴距离4倍，则a的值为。

6、点A（x-1,-2）在第三象限，求x的取值范围。

点A（1,x-2）在第四象限，求y的取值范围。.

7.在平面直角坐标系中，将点（2，-5)向右平移3个单位长度可得到对应点坐标、

将点（-2，-5)向左平移3个单位长度可得到对应点坐标；将点（2，5)向上平移3个单位长度可得到对应点坐标、将点（-2，5)向下平移3个单位长度可得到对应点坐标、

8线段CD是由线段AB平移得到的，A（-1,4）的对应点为C(4，7)，则点B(-4，-1)的对应点的坐标为。

9、点A的坐标为（2,3），则点A关于x轴的对称点B的坐标为，点B关于y轴的对称点C 的坐标为；若点E（a+1,b-2)与点F（4，-2）关于原点对称，则点C（a,b)到y轴的距离

为；若点p（2-m,2m+1)在第四象限的角平分线，则点M(m,m)关于y轴对称点的坐标

是 .

10.（2013江岸区七下期中）已知，6×6的网格中，点A的坐标为（-1,3），点C的坐标为（-1，-1），则点B的坐标为。

11、小明和爸爸、妈妈到公园游玩，回到家后，他利用平面直角坐标系画出了公园景区地图，如图所示，可是他忘记了在图中标出原点和x轴、y轴，只知道游乐园D的坐标为（2，-2），且每一格的距离代表一个单位长度，请帮他求出其它各景点的坐标。