第11讲 圆与扇形

第11讲圆与扇形

五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题，这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。

圆的面积=πr2，

圆的周长=2πr，

本书中如无特殊说明，圆周率都取π=3.14。

例1如下图所示，200米赛跑的起点和终点都在直跑道上，中间的弯道是一个半圆。已知每条跑道宽1.22米，那么外道的起点在内道起点前面多少米？（精确到0.01米）

分析与解：半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。虽然弯道的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。

设外弯道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为

πR-πr＝π（R-r）

＝3.14×1.22≈3.83（米）。

即外道的起点在内道起点前面3.83米。

例2有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆（如左下图），此时橡皮筋的长度是多少厘米？

分析与解：由右上图知，绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补，得到6个角的和是360°，所以BC弧所对的圆心角是60°，6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。而线段AB等于塑料管的直径，由此知绳长=5×6＋

5×3.14＝45.7（厘米）。

例3左下图中四个圆的半径都是5厘米，求阴影部分的面积。

分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影部分的面积与原图

相同，等于一个正方形与4个半圆（即2个圆）的面积之和，为（2r）2＋πr2×2=102＋3.14×50≈257（厘米2）。

例4草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？

分析与解：如右上图所示，羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，

所以羊活动的范围是

例5右图中阴影部分的面积是2.28厘米2，求扇形的半径。

分析与解：阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。

所以，扇形的半径是4厘米。

例6右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆，求阴影部分的面积。

分析与解：解此题的基本思路是：

从这个基本思路可以看出：要想得到阴影部分S1的面积，就必须想办法求出S2和S3的面积。

S3的面积又要用下图的基本思路求：

现在就可以求出S3的面积，进而求出阴影部分的面积了。

S3=S4-S5=50π-100（厘米2），

S1=S2-S3=50π-（50π-100）=100（厘米2）。

练习11

1.直角三角形ABC放在一条直线上，斜边AC长20厘米，直角边BC长10厘米。如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕A点转动，到达位置Ⅱ，此时B，C点分别到达B1，C1点；再绕B1点转动，到达位置Ⅲ，此时A，C1点分别到达A2，C2点。求C点经C1到C2走过的路径的长。

2.下页左上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？

3.一只狗被拴在一个边长为3米的等边三角形建筑物的墙角上（见右上图），绳长是4米，求狗所能到的地方的总面积。

5.右上图是一个400米的跑道，两头是两个半圆，每一半圆的弧长是100米，中间是一个长方形，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。

6.左下图中，正方形周长是圆环周长的2倍，当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？

7.右上图中，圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π厘米2，求图中三角形的面积。